ÁLGEBRA LINEAR - Liista de exercícios A 2013.1 - Retificada

Prévia do material em texto

André Gustavo 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
LISTA DE EXERCÍCIOS A 
2º SEMESTRE 
 
 
 
 André Gustavo 
 
Lista de Exercícios de Álgebra Linear 
Obs. O aluno deve responder as questões da lista respaldando-se nas anotações realizadas em sala de 
aula ou nas referências bibliográficas indicadas no plano de curso. Respostas indicadas como: “A 
cargo do aluno” é fundamental para a construção do conhecimento do mesmo e é muito importante que 
o aluno preste atenção nas aulas e leia o material indicado pelo professor para que assim seja possível 
elaborar uma resposta adequada. Devo ressaltar que é de inteira responsabilidade do aluno revisar o 
conteúdo básico de matrizes e determinantes, pois estes são fundamentais para o entendimento 
geral do curso. 
 
1) Encontrar uma solução para equação linear 2x - y - z = 0 diferente da 
solução trivial (0, 0, 0). 
2) Dado o sistema 








12352
95342
54235
:
tzyx
tzyx
tzyx
S
 faça o que se pede: 
a) Dê a representação matricial de S 
b) Dê a Matriz A dos coeficientes de S 
c) Dê a Matriz A’ ampliada do Sistema S 
d) Verifique se as sequências (1, 0, -2, 1) e (0, 1, -1, 2) são soluções do sistema S, 
justifique sua resposta. 
 
3) O que é um sistema linear homogêneo? Dê um exemplo de um sistema linear 
homogêneo cujo número de equações é maior do que o número de incógnitas. 
 
4) Dada a Matriz 
















1000
0121
0132
1111
H faça o que se pede: 
a) aplique a operação elementar na matriz H. 
b) aplique a operação elementar na matriz equivalente obtida 
anteriormente no item (a). 
c) aplique a operação elementar na matriz equivalente obtida 
anteriormente no item (b). 
 
d) usando a matriz equivalente obtida no item (c), aplique operações elementares 
sobre as linhas da matriz de forma a transformá-la numa matriz identidade. 
e) transforme a matriz H numa matriz escalar H’ equivalente cuja diagonal 
principal é igual √ 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 André Gustavo 
5) Determinar o posto das seguintes matrizes: 
 
a) 













642
122
311
A
 b) 















1012
3230
1111
2121
B c) 














1111
3333
1111
C
 
obs. Use no máximo; 4 operações no item (a), 3 operações no item (b) e 2 operações no item 
(c). 
 
6) Dados os sistemas abaixo, faça o que se pede: 
 
a) 








4345
1223
1022
:
zyx
zyx
zyx
S
 b) 








034
032
02
:
zyx
zyx
zyx
S
 c) 











333
142
2222
12
:
wx
wzyx
wzyx
wzyx
S 
 
d) 





0652
032
:
zyx
zyx
S
 e) 











2
4
4
0
:
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
S f) 








033
22
1
:
yx
yx
yx
S
 
a) Dê a representação matricial de cada um dos itens a, b, c, d, e e f. 
 
b) Dê a matriz ampliada de cada um dos itens a, b, c, d, e e f. 
 
c) Reduza as matrizes ampliadas dos itens a, b, c, d, e e f a forma equivalente 
escalonada por linhas e use no máximo 4 operações elementares sobre as linhas da 
matriz no item (b), no máximo 7 operações elementares sobre as linhas da matriz 
no item (c), no máximo 2 operações elementares sobre as linhas da matriz no item 
(d) e no máximo 3 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (f). 
 
d) Faça a discussão completa dos sistemas dos itens a, b, c, d, e e f usando o 
teorema dos posto. 
e) Quais dos itens são necessários calcular o “grau de liberdade”? Defina “grau de 
liberdade”. 
e) Dê, se possível, a solução dos sistemas dos itens a, b, c, d, e e f e justifique 
cada uma das respostas. 
 
 
 
 
 
 
 André Gustavo 
7) Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: 
a) 








kyx
yx
yx
S
12
045
234
:
 b) 








0
2
12
:
zyx
zykx
kzyx
S
 c) 








02
0
0252
:
kzx
zyx
zyx
S
 
 
8) Discuta e, se possível, resolva os sistemas de equações lineares abaixo 
usando o Método de Gauss-Jordan. (Use o mínimo possível de operações 
elementares sobre as linhas das matrizes para obter a forma LRFE das 
mesmas). 
a) 








1253
12
422
:
zyx
zyx
zyx
S
 b) 








0
022
03
:
zyx
yx
zyx
S
 c) 








13
12
0
:
zyx
zyx
zyx
S
 
9) Usando Operações elementares sobre as linhas de uma matriz, determine 
se as matrizes abaixo são inversíveis, em caso afirmativo, determine sua 
inversa. 
a) 








23
21
A
 b) 









69
23
B
 c) 














143
122
021
C
 d)














210
423
211
D
 
Obs. Use no máximo 8 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (c). 
10) Resolva o sistema 








178
3352
532
:
zx
zyx
zyx
S
 usando inversão de matrizes. 
11) Mostrar que o conjunto V = ³ = {u = (x, y, z)/x, y, z  } dos vetores 
da geometria analítica (ternos ordenados de números reais) é um espaço 
vetorial sobre R, se estiverem definidas nesse conjunto as seguintes operações 
fechadas de adição de vetores e multiplicação por um número real,  u, v  
³,    : 





),,(),,(
),,(),,(),,(
111111
212121222111
zyxzyxu
zzyyxxzyxzyxvu

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 André Gustavo 
12) Mostrar que o conjunto V = ² = {u = (x, y)/x, y  } dos vetores da 
geometria analítica (plano cartesiano) é um espaço vetorial sobre R, se 
estiverem definidas nesse conjunto as seguintes operações fechadas de adição 
de vetores e multiplicação por um número real,  u, v  ²,    : 





),(),(
),(),(),(
1111
21212211
yxyxu
yyxxyxyxvu

 
 
 13) Mostrar que o conjunto V = ² não é um espaço vetorial em relação as 
operações definidas por: 





),(),(
),(),(),(
1111
21212211
yxyxu
yyxxyxyxvu

. Identifique 
os axiomas que não são válidos. 
 
14) Mostrar que o conjunto V = ² não é um espaço vetorial em relação as 
operações definidas por: 





)0,(),(
),(),(),(
111
1212211
xyxu
yxxyxyxvu

. Identifique os 
axiomas que não são válidos. 
 
15) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de seus 
respectivos espaços. Para os subconjuntos que não são subespaços, dê um 
contra-exemplo. 
a) W = {(x, y)  ²; 3x = 0}  ² 
b) W = {(x, y)  ²; y = x²}  ² 
c) W = {(x, y)  ²; 2x - y = 0}  ² 
d) W = {(x, y)  ²; y = |x|}  ² 
e) W = {(x, y)  ²; x  0}  ² 
f) W = {(x, y)  ²; x < 0}  ² 
g) W = {(x, y, z)  ³; x = y = 0 }  ³ 
h) W = {(x, y, z)  ³; x + y - z = 0}  ³ 
i) W = {(x, y, z)  ³; 2x + y - 3z + 1 = 0}  ³ 
j) W = {(x1, x2,...,xn )  
n; xn = 0 }  ³ 
 
 
 
 André Gustavo 
l) {(
 
 
) ( ) } ( ) 
m) {(
 
 
) ( ) } ( ) 
n) {(
 
 
) ( ) 
 } ( ) 
o) {(
 
 
) ( ) 
 } ( ) 
p) {(
 
 
 
) ( ) } ( ) 
 
 
---------- GABARITO ------------- 
1) Resposta a cargo do aluno. 
2) Resposta a cargo do aluno dos itens a, b, c. 
No item (d) a sequência (1, 0, -2, 1) é solução do sistema linear e a 
sequência (0, 1, -1, 2) não é solução do sistema. A justificativa está ao 
cargo do aluno. 
3) Resposta a cargo do aluno. 
4) Resposta a cargo do aluno. 
5) a) P(A) = 3 b) P(A) = 3 c) P(A) = 1 
6) a) SPD,S = {(1,2,-3)} b) SPI, S = {(-z,z,z)} c) SPI, S = {(-1+w,2z,z,w)} 
 
d) SPI, S = {(-3z,0,z)}e) SPD,S = {(1,-1/2,-2)} f) Sistema Impossível (SI) 
 
Obs. As justificativas das respostas estão a cargo do aluno. 
 
7) a) Se k  -6 o sistema é impossível (SI) 
 Se k = -6 o sistema é possível determinado (SPD) 
 
 b) Se k = 0 o sistema é impossível 
 Se k  0 e k  1 o sistema é possível determinado (SPD) 
 Se k = 1 o sistema é possível indeterminado (SPI) 
 
 c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado (SPI) 
 Se k  2 o sistema é possível determinado (SPD) 
 
 
 
 André Gustavo 
 
 
8) a) S = {(5,-2,-2)} b) S = {(0,0,0)} c) S = {(1/4,1/8, 3/8)} 
 SPD SPD SPD 
 
9) a) 








8/18/3
4/24/1
1A
 b) B não é inversível c) 













2/12/12/5
4/14/16/11
2/12/13/8
1C
 
d) D não é inversível. 
10) S = {(1,-1,2)} 
11) Demonstração a cargo do aluno. 
12) Demonstração a cargo do aluno. 
13) Demonstração a cargo do aluno. 
14) Demonstração a cargo do aluno. 
15) a) sim b) não c) sim d) não e) não f) não g) sim h) sim i) não 
 j) sim l) sim m) não n) sim o) sim p) sim