Lista 1 - Séries

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Ca´lculo 2 – 1a. lista de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Calcule lim
n→∞
5n
n!
. Justifique.
Exerc´ıcio 2. Expresse o nu´mero 0, 73 = 0, 73737373 . . . como uma frac¸a˜o.
Exerc´ıcio 3. Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente ou na˜o monoˆtona. A
sequeˆncia e´ limitada?
1. an =
2n−3
3n+4
.
2. an = n +
1
n
.
Exerc´ıcio 4. Mostre que a sequeˆncia definida por
a1 = 1, an+1 = 3− 1
an
e´ crescente e que an < 3 para todo n. Deduza que an e´ convergente e calcule seu limite.
Exerc´ıcio 5. Determine se as se´ries seguintes sa˜o convergentes ou divergentes e, quando
poss´ıvel, calcule a soma:
1.
∞∑
n=1
1
3n − cos(n)
2.
∞∑
n=1
e−2n
3.
∞∑
n=1
ln(
5n
12n + 5
)
4.
∞∑
n=1
3
√
n
4n−√n + 1
5.
∞∑
n=1
3n + 2n
6n
6.
∞∑
n=1
1 + 3n
2n
7.
∞∑
n=1
5
3
√
n
8.
∞∑
n=1
lnn
n2 + 1
9.
∞∑
n=2
1
n(lnn)2
10.
∞∑
n=2
lnn
n2
1
Exerc´ıcio 6. Considere a se´rie
∞∑
n=1
an. A sequeˆncia de somas parciais dessa se´rie e´ dada por
sn =
2n
n + 5
.
1. Encontre uma fo´rmula para a sequeˆncia dos termos an.
2. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma.
Exerc´ıcio 7. Determine se as se´ries seguintes sa˜o convergentes ou na˜o. Se forem convergen-
tes, decida se sa˜o absolutamente ou condicionalmente convergentes.
1.
∞∑
n=1
(−1)n 1√
n
2.
∞∑
n=1
(−1)n n!
1 · 3 · · · (2n− 1)
Exerc´ıcio 8. Determine se as seguintes se´ries sa˜o absolutamente convergentes, condicional-
mente convergentes ou divergentes:
1.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n + 2
n(n + 3)
.
2.
∞∑
n=1
(−1)n 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)
1 · 4 · 7 · · · (3n− 2).
3.
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n.
4.
∞∑
n=1
n(
2
3
)n.
5.
∞∑
n=1
n
(lnn)n
.
Exerc´ıcio 9. Os termos de uma se´rie sa˜o definidos recursivamente pelas equac¸o˜es
a1 = 2, an+1 =
5n + 1
4n− 3an.
Determine se a se´rie,
∞∑
n=1
an, converge ou diverge.