Teste 1 2012.1

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães, Mário de Oliveira, Milton Ramirez e Monique Car-
mona
Data: 26 de março de 2012
Primeiro Teste
• Qual ou quais dos conjuntos de vetores abaixo são linearmente independentes?
I {(1,2,3,2),(2,1,2,1),(1,1,1,1),(0,-3,-2,-3)}
II {(1,-1,2,2),(2,1,2,1),(1,1,-1,1),(2,1,3,1)}
Resposta: Apenas II
• O sistema linear representado pela matriz aumentada

1 2 1 1
1 1 2 −3
1 0 −1 5
−1 1 2 −7

Resposta: admite uma única solução, cuja soma das coordenadas é -5.
• Considere as afirmativas abaixo:
I Se a matriz A, 3× 2, tem duas linhas linearmente independentes, então o sistema linear Ax = b sempre tem
solução, qualquer que seja o vetor b em R3.
II Se a matriz A formada pelos coeficientes de um sistema linear Ax = b possui mais linhas do que colunas, então
o sistema nunca tem solução, visto que o vetor b nem sempre pode ser representado como uma combinação
linear das colunas de A.
Resposta: Ambas são falsas.
• Considere as afirmativas:
I Sejam ~u,~v e ~w três vetores não nulos em R4 que são vértices de um triângulo não degenerado. O espaco
gerado por ~u,~v e ~w é um espaco de dimensão 3.
II O conjunto das soluções (x, y, z, w) da equação x+ y + z + w = 0 é um espaço de dimensão 3.
Resposta: Apenas II é verdadeira..
• Três vetores coplanares em R3, v1 =
 a11a21
a31

, v2 =
 a12a22
a32

, v3 =
 a13a23
a33

não podem gerar todo o espaço R3
porque, dado o vetor b =
 b1b2
b3

Resposta: o sistema
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 x1x2
x3
 =
 b1b2
b3

pode não ter solução.
• O conjunto de todas as soluções do sistema linear
x+ 2y − 4w = −1
z + 3w = 2
pode ser escrito como
Resposta: {(−1, 0, 2, 0) + r(−2, 1, 0, 0) + s(4, 0,−3, 1), r, s ∈ R}
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez e Monique Car-
mona
Data: 26 de março de 2012
Primeiro Teste
1. Qual ou quais dos conjuntos de vetores abaixo são
linearmente independentes?
I {(1,2,3,2),(2,1,2,1),(1,1,1,1),(0,-3,-2,-3)}
II {(1,-1,2,2),(2,1,2,1),(1,1,-1,1),(2,1,3,1)}
(a) Apenas II
(b) Apenas I
(c) Ambos
(d) Nenhum
2. O sistema linear representado pela matriz aumentada
1 2 1 1
1 1 2 −3
1 0 −1 5
−1 1 2 −7

(a) admite uma única solução, cuja soma das
coordenadas é -5.
(b) admite uma única solução, cuja soma das coor-
denadas é 3.
(c) não admite nenhuma solução.
(d) admite infinitas soluções.
3. Considere as afirmativas abaixo:
I Se a matriz A, 3×2, tem duas linhas linearmente
independentes, então o sistema linear Ax = b
sempre tem solução, qualquer que seja o vetor b
em R3.
II Se a matriz A formada pelos coeficientes de um
sistema linear Ax = b possui mais linhas do que
colunas, então o sistema nunca tem solução, visto
que o vetor b nem sempre pode ser representado
como uma combinação linear das colunas de A.
(a) Ambas são falsas.
(b) Ambas são verdadeiras.
(c) Somente I é verdadeira.
(d) Somente II é verdadeira.
4. Considere as afirmativas:
I Sejam ~u,~v e ~w três vetores não nulos em R4 que
são vértices de um triângulo não degenerado. O
espaco gerado por ~u,~v e ~w é um espaco de di-
mensão 3.
II O conjunto das soluções (x, y, z, w) da equação
x+ y + z + w = 0 é um espaço de dimensão 3.
(a) Apenas II é verdadeira.
(b) Ambas são verdadeiras.
(c) Apenas I é verdadeira
(d) Ambas são falsas
5. Três vetores coplanares em R3, v1 =
 a11a21
a31

, v2 = a12a22
a32

, v3 =
 a13a23
a33

não podem gerar todo o es-
paço R3 porque, dado o vetor b =
 b1b2
b3

(a) o sistema
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 x1x2
x3
 = b1b2
b3

pode não ter solução.
(b) o sistema
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 x1x2
x3
 =
 b1b2
b3

pode ter mais do que uma solução.
(c) A terceira coluna da matriz do sistema é combi-
nação linear das duas primeiras.
(d) o vetor
~0 não é solução do sistema a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 x1x2
x3
 =
 b1b2
b3

.
6. O conjunto de todas as soluções do sistema linear
x+ 2y − 4w = −1
z + 3w = 2
pode ser escrito como
(a) {(−1, 0, 2, 0) + r(−2, 1, 0, 0) + s(4, 0,−3, 1), r, s ∈ R}
(b) {(−1, 0, 2, 0) + r(−2, 1, 0, 0) + s(4,−2, 0, 0), r, s ∈ R}
(c) {(−1, 0, 2, 0), (−2, 1, 0, 0), (4,−2, 0, 0)}
(d) {(−1, 0, 2, 0) + (−2, 1, 0, 0) + (4, 0,−3, 1)}
Gabarito Pág. 1
Gabarito dos 285 Testes Gerados
Teste 001: 1A 2B 3A 4B 5C 6B
Teste 002: 1A 2C 3C 4A 5A 6B
Teste 003: 1C 2D 3D 4D 5D 6A
Teste 004: 1A 2C 3B 4A 5C 6B
Teste 005: 1B 2B 3C 4C 5A 6D
Teste 006: 1B 2C 3C 4B 5D 6A
Teste 007: 1B 2D 3B 4B 5D 6A
Teste 008: 1C 2B 3A 4C 5A 6D
Teste 009: 1D 2A 3B 4A 5B 6B
Teste 010: 1C 2A 3B 4A 5A 6A
Teste 011: 1A 2A 3A 4C 5C 6D
Teste 012: 1C 2A 3D 4D 5C 6A
Teste 013: 1A 2C 3B 4A 5A 6D
Teste 014: 1A 2B 3A 4B 5C 6D
Teste 015: 1D 2B 3B 4C 5A 6D
Teste 016: 1D 2D 3D 4B 5A 6C
Teste 017: 1A 2B 3A 4B 5D 6A
Teste 018: 1B 2D 3D 4C 5A 6C
Teste 019: 1A 2D 3B 4D 5D 6C
Teste 020: 1A 2A 3C 4D 5A 6B
Teste 021: 1D 2D 3C 4A 5A 6D
Teste 022: 1A 2B 3C 4A 5A 6D
Teste 023: 1D 2D 3C 4C 5C 6A
Teste 024: 1D 2B 3B 4D 5B 6B
Teste 025: 1A 2C 3A 4D 5A 6A
Teste 026: 1C 2A 3C 4C 5A 6D
Teste 027: 1B 2D 3D 4B 5C 6B
Teste 028: 1B 2B 3D 4A 5A 6B
Teste 029: 1D 2A 3D 4D 5A 6D
Teste 030: 1C 2D 3A 4D 5A 6C
Teste 031: 1A 2C 3A 4D 5B 6C
Teste 032: 1C 2D 3C 4C 5B 6A
Teste 033: 1B 2A 3C 4A 5B 6C
Teste 034: 1C 2B 3D 4A 5D 6B
Teste 035: 1C 2A 3B 4D 5A 6B
Teste 036: 1A 2C 3C 4D 5C 6C
Teste 037: 1C 2B 3A 4B 5C 6B
Teste 038: 1D 2C 3A 4B 5A 6D
Teste 039: 1D 2D 3A 4A 5D 6D
Teste 040: 1C 2C 3A 4D 5C 6B
Teste 041: 1B 2B 3A 4A 5D 6B
Teste 042: 1A 2A 3B 4A 5A 6B
Teste 043: 1A 2A 3C 4B 5A 6C
Teste 044: 1B 2A 3A 4C 5A 6C
Teste 045: 1B 2B 3A 4A 5D 6B
Teste 046: 1D 2B 3C 4A 5A 6B
Teste 047: 1B 2C 3D 4C 5D 6A
Teste 048: 1C 2A 3D 4D 5D 6C
Teste 049: 1A 2D 3A 4D 5D 6C
Teste 050: 1B 2B 3B 4C 5D 6D
Teste 051: 1B 2B 3B 4A 5D 6C
Teste 052: 1D 2D 3B 4B 5D 6B
Teste 053: 1B 2D 3A 4D 5C 6C
Teste 054: 1D 2A 3B 4A 5C 6C
Teste 055: 1D 2D 3A 4B 5D 6B
Teste 056: 1C 2A 3D 4B 5C 6A
Gabarito Pág. 1
Teste 057: 1C 2A 3C 4B 5A 6C
Teste 058: 1A 2B 3D 4C 5B 6C
Teste 059: 1A 2A 3B 4B 5D 6C
Teste 060: 1A 2A 3A 4C 5A 6D
Teste 061: 1D 2C 3D 4C 5C 6B
Teste 062: 1C 2C 3D 4B 5C 6C
Teste 063: 1A 2A 3A 4D 5D 6B
Teste 064: 1D 2C 3B 4A 5C 6B
Teste 065: 1A 2A 3B 4D 5B 6A
Teste 066: 1D 2A 3C 4D 5C 6C
Teste 067: 1B 2A 3C 4B 5C 6A
Teste 068: 1B 2A 3C 4D 5B 6A
Teste 069: 1B 2A 3B 4D 5A 6D
Teste 070: 1D 2C 3D 4A 5D 6A
Teste 071: 1A 2B 3C 4A 5B 6A
Teste 072: 1B 2C 3D 4B 5A 6B
Teste 073: 1A 2C 3D 4B 5D 6A
Teste 074: 1D 2B 3B 4D 5B 6A
Teste 075: 1D 2B 3B 4D 5D 6D
Teste 076: 1D 2D 3A 4B 5C 6C
Teste 077: 1B 2A 3C 4B 5B 6A
Teste 078: 1A 2D 3A 4C 5B 6A
Teste 079: 1B 2C 3C 4A 5B 6C
Teste 080: 1D 2B 3C 4D 5C 6A
Teste 081: 1D 2B 3D 4B 5B 6B
Teste 082: 1B 2C 3B 4C 5C 6A
Teste 083: 1B 2A 3C 4D 5C 6A
Teste 084: 1C 2C 3A 4C 5A 6A
Teste 085: 1B 2A 3D 4D 5B 6B
Teste 086: 1C 2D 3A 4C 5C 6A
Teste 087: 1A 2B 3C 4A 5D 6D
Teste 088: 1D 2A 3C 4A 5C 6A
Teste 089: 1A 2B 3C 4A 5B 6B
Teste 090: 1B 2D 3A 4D 5D 6A
Teste 091: 1B 2B 3C 4C 5A 6B
Teste 092: 1B 2C 3B 4B 5B 6D
Teste 093: 1D 2C 3B 4A 5B 6C
Teste 094: 1C 2D 3C 4C 5C 6A
Teste 095: 1C 2D 3D 4C 5A 6A
Teste 096: 1C 2C 3A 4B 5A 6C
Teste 097: 1D 2A 3B 4B 5B 6D
Teste 098: 1A 2A 3B 4C 5A 6D
Teste 099: 1D 2B 3B 4A 5C 6B
Teste 100: 1B 2C 3C 4D 5A 6C
Teste 101: 1B 2D 3A 4C 5A 6C
Teste 102: 1C 2C 3D 4D 5B 6C
Teste 103: 1D 2D 3A 4D 5C 6A
Teste 104: 1C 2B 3A 4C 5C 6A
Teste 105: 1B 2B 3A 4A 5D 6D
Teste 106: 1D 2A 3B 4A 5A 6B
Teste 107: 1B 2C 3D 4A 5B 6B
Teste 108: 1C 2B 3D 4A 5B 6B
Teste 109: 1A 2C 3C 4A 5C 6C
Teste 110: 1C 2A 3D 4D 5D 6C
Teste 111: 1A 2C 3B 4A 5C 6C
Teste 112: 1A 2D 3B 4D 5B 6B
Teste 113: 1D 2D 3D 4C 5C 6C
Teste 114: 1C 2C 3A 4C 5A 6B
Teste 115: 1D 2A 3D 4C 5C 6D
Gabarito Pág. 2
Teste 116: 1D 2B 3D 4B 5B 6A
Teste 117: 1A 2C 3B 4C 5D 6CTeste 118: 1B 2C 3C 4D 5C 6A
Teste 119: 1A 2B 3B 4C 5C 6B
Teste 120: 1B 2B 3D 4A 5A 6D
Teste 121: 1B 2A 3D 4D 5D 6D
Teste 122: 1C 2C 3D 4B 5B 6A
Teste 123: 1D 2B 3B 4C 5A 6C
Teste 124: 1C 2B 3A 4A 5A 6B
Teste 125: 1D 2B 3A 4A 5B 6A
Teste 126: 1B 2C 3B 4A 5B 6C
Teste 127: 1A 2A 3D 4D 5D 6A
Teste 128: 1C 2A 3B 4C 5C 6D
Teste 129: 1D 2A 3C 4D 5B 6D
Teste 130: 1A 2C 3D 4B 5A 6A
Teste 131: 1C 2B 3A 4B 5D 6A
Teste 132: 1B 2D 3D 4A 5B 6B
Teste 133: 1A 2B 3A 4B 5D 6A
Teste 134: 1A 2B 3D 4A 5A 6B
Teste 135: 1B 2D 3D 4B 5C 6B
Teste 136: 1C 2C 3D 4D 5B 6D
Teste 137: 1B 2D 3B 4C 5B 6C
Teste 138: 1C 2A 3C 4D 5D 6A
Teste 139: 1B 2B 3A 4B 5D 6B
Teste 140: 1A 2B 3D 4B 5D 6D
Teste 141: 1A 2B 3A 4D 5B 6A
Teste 142: 1D 2D 3C 4D 5B 6C
Teste 143: 1D 2A 3A 4A 5B 6C
Teste 144: 1A 2C 3C 4D 5B 6D
Teste 145: 1C 2B 3C 4C 5A 6A
Teste 146: 1C 2B 3C 4B 5D 6C
Teste 147: 1B 2A 3D 4C 5D 6B
Teste 148: 1D 2B 3C 4C 5D 6D
Teste 149: 1A 2C 3B 4B 5C 6B
Teste 150: 1B 2D 3C 4B 5C 6B
Teste 151: 1A 2D 3D 4D 5C 6D
Teste 152: 1A 2C 3A 4A 5C 6A
Teste 153: 1D 2D 3B 4D 5A 6A
Teste 154: 1C 2B 3C 4B 5C 6B
Teste 155: 1D 2B 3A 4B 5B 6B
Teste 156: 1D 2A 3C 4D 5B 6C
Teste 157: 1A 2D 3B 4A 5C 6C
Teste 158: 1A 2B 3A 4A 5C 6A
Teste 159: 1D 2C 3D 4A 5D 6B
Teste 160: 1D 2A 3A 4B 5A 6A
Teste 161: 1B 2A 3A 4D 5A 6C
Teste 162: 1C 2A 3B 4D 5B 6A
Teste 163: 1A 2D 3C 4B 5C 6C
Teste 164: 1D 2B 3A 4C 5D 6B
Teste 165: 1D 2D 3C 4C 5B 6A
Teste 166: 1A 2C 3D 4C 5A 6A
Teste 167: 1C 2C 3D 4C 5A 6A
Teste 168: 1B 2C 3A 4C 5B 6D
Teste 169: 1B 2B 3C 4A 5C 6B
Teste 170: 1B 2C 3C 4D 5C 6B
Teste 171: 1D 2D 3A 4A 5D 6D
Teste 172: 1A 2A 3A 4A 5A 6A
Teste 173: 1C 2B 3B 4B 5B 6D
Teste 174: 1D 2A 3A 4C 5C 6D
Gabarito Pág. 3
Teste 175: 1A 2A 3B 4B 5D 6B
Teste 176: 1A 2B 3A 4C 5A 6D
Teste 177: 1B 2D 3C 4C 5C 6C
Teste 178: 1A 2A 3C 4C 5B 6B
Teste 179: 1C 2A 3A 4A 5D 6B
Teste 180: 1D 2C 3B 4D 5B 6A
Teste 181: 1A 2A 3C 4B 5C 6C
Teste 182: 1C 2B 3A 4B 5D 6C
Teste 183: 1C 2B 3A 4A 5A 6B
Teste 184: 1C 2B 3D 4C 5D 6B
Teste 185: 1C 2D 3D 4B 5C 6D
Teste 186: 1D 2B 3B 4A 5B 6A
Teste 187: 1D 2A 3C 4C 5A 6C
Teste 188: 1A 2D 3C 4D 5D 6A
Teste 189: 1D 2B 3D 4D 5C 6A
Teste 190: 1D 2A 3C 4D 5D 6D
Teste 191: 1A 2B 3D 4B 5D 6B
Teste 192: 1A 2C 3B 4D 5B 6C
Teste 193: 1A 2B 3A 4A 5A 6C
Teste 194: 1A 2A 3A 4B 5D 6D
Teste 195: 1B 2D 3A 4D 5A 6D
Teste 196: 1B 2A 3A 4C 5C 6C
Teste 197: 1B 2D 3C 4A 5A 6B
Teste 198: 1D 2D 3C 4A 5C 6D
Teste 199: 1D 2B 3D 4A 5D 6A
Teste 200: 1A 2A 3C 4C 5D 6B
Teste 201: 1D 2D 3A 4B 5D 6C
Teste 202: 1D 2C 3C 4D 5D 6B
Teste 203: 1C 2C 3B 4C 5D 6B
Teste 204: 1D 2A 3A 4A 5A 6C
Teste 205: 1D 2B 3A 4B 5D 6D
Teste 206: 1D 2C 3C 4B 5B 6C
Teste 207: 1B 2C 3A 4A 5B 6A
Teste 208: 1C 2C 3A 4D 5A 6B
Teste 209: 1D 2B 3C 4C 5B 6C
Teste 210: 1B 2D 3C 4B 5B 6D
Teste 211: 1B 2A 3D 4C 5A 6B
Teste 212: 1C 2B 3C 4B 5C 6A
Teste 213: 1A 2A 3B 4B 5B 6D
Teste 214: 1C 2B 3C 4A 5D 6D
Teste 215: 1D 2A 3D 4D 5D 6A
Teste 216: 1A 2D 3D 4D 5B 6C
Teste 217: 1B 2A 3A 4B 5C 6A
Teste 218: 1B 2D 3C 4A 5A 6B
Teste 219: 1B 2D 3D 4B 5D 6A
Teste 220: 1B 2B 3C 4C 5B 6D
Teste 221: 1B 2B 3C 4B 5B 6A
Teste 222: 1A 2B 3B 4A 5D 6D
Teste 223: 1D 2C 3A 4A 5A 6D
Teste 224: 1D 2B 3D 4D 5A 6D
Teste 225: 1C 2B 3B 4A 5C 6A
Teste 226: 1B 2A 3D 4D 5A 6C
Teste 227: 1D 2C 3B 4C 5B 6B
Teste 228: 1C 2D 3D 4C 5A 6C
Teste 229: 1B 2D 3D 4D 5B 6C
Teste 230: 1B 2B 3B 4D 5A 6A
Teste 231: 1D 2D 3D 4B 5C 6A
Teste 232: 1B 2C 3D 4D 5B 6A
Teste 233: 1C 2A 3C 4D 5D 6C
Gabarito Pág. 4
Teste 234: 1B 2A 3C 4C 5A 6A
Teste 235: 1B 2B 3D 4A 5D 6D
Teste 236: 1A 2D 3B 4B 5B 6A
Teste 237: 1A 2A 3B 4B 5D 6C
Teste 238: 1A 2D 3B 4A 5D 6B
Teste 239: 1C 2B 3C 4C 5B 6B
Teste 240: 1B 2C 3D 4D 5A 6D
Teste 241: 1A 2D 3C 4B 5D 6C
Teste 242: 1A 2C 3B 4A 5A 6C
Teste 243: 1C 2D 3D 4D 5A 6C
Teste 244: 1A 2B 3A 4A 5C 6C
Teste 245: 1D 2A 3A 4C 5D 6B
Teste 246: 1B 2D 3D 4B 5D 6B
Teste 247: 1A 2C 3D 4D 5D 6C
Teste 248: 1A 2C 3C 4C 5A 6D
Teste 249: 1C 2A 3D 4C 5D 6A
Teste 250: 1C 2C 3C 4B 5A 6A
Teste 251: 1A 2B 3B 4C 5B 6C
Teste 252: 1C 2C 3C 4B 5D 6C
Teste 253: 1C 2B 3A 4D 5A 6D
Teste 254: 1B 2C 3A 4D 5A 6C
Teste 255: 1C 2C 3C 4D 5D 6A
Teste 256: 1A 2A 3A 4A 5D 6C
Teste 257: 1A 2C 3D 4C 5A 6C
Teste 258: 1A 2B 3A 4C 5A 6B
Teste 259: 1C 2C 3D 4B 5A 6D
Teste 260: 1B 2B 3A 4B 5A 6C
Teste 261: 1A 2A 3D 4C 5B 6D
Teste 262: 1D 2D 3A 4A 5C 6A
Teste 263: 1B 2C 3A 4D 5A 6C
Teste 264: 1C 2B 3D 4A 5B 6D
Teste 265: 1A 2C 3C 4D 5B 6C
Teste 266: 1B 2C 3B 4D 5D 6D
Teste 267: 1A 2A 3A 4A 5C 6B
Teste 268: 1D 2A 3A 4B 5C 6C
Teste 269: 1C 2D 3C 4B 5A 6D
Teste 270: 1D 2D 3D 4B 5A 6C
Teste 271: 1D 2B 3C 4A 5A 6A
Teste 272: 1D 2C 3C 4B 5A 6B
Teste 273: 1B 2C 3D 4B 5B 6B
Teste 274: 1A 2A 3B 4B 5D 6B
Teste 275: 1B 2A 3C 4A 5B 6C
Teste 276: 1D 2B 3B 4A 5B 6A
Teste 277: 1C 2D 3C 4C 5A 6D
Teste 278: 1C 2C 3C 4A 5D 6A
Teste 279: 1D 2D 3D 4A 5B 6A
Teste 280: 1C 2A 3C 4D 5B 6B
Teste 281: 1C 2C 3D 4D 5C 6A
Teste 282: 1C 2D 3C 4B 5D 6A
Teste 283: 1A 2D 3A 4D 5A 6A
Teste 284: 1B 2C 3C 4A 5A 6D
Teste 285: 1A 2D 3D 4A 5D 6B
Gabarito Pág. 5