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Apostila_ALIIIR_2012

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i 
ÍNDICE 
 
MATRIZES 
 
Definição 1 
Igualdade 2 
Matrizes Especiais 2 
Operações com Matrizes 3 
Classificação de Matrizes Quadradas 9 
Operações Elementares 11 
Matriz Equivalente por Linha 11 
Matriz na Forma Escalonada 11 
Aplicações de Operações Elementares 12 
Exercícios 15 
Respostas 18 
Apêndice A – Determinante 19 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Definição 24 
Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24 
Classificação de Sistemas 25 
Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25 
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 26 
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 28 
Sistema Homogêneo 37 
Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38 
Exercícios 39 
Respostas 40 
 
 
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA 
 
Definição 41 
Subespaço Vetorial 42 
Combinação Linear 43 
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44 
Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45 
Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46 
Operações com Subespaços Vetoriais 47 
Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49 
Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50 
Exercícios 51 
Respostas 54 
Apêndice B – Teoremas 55 
 
 ii 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Transformação Linear 58 
Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 59 
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 62 
Transformação Linear Injetora 64 
Transformação Linear Sobrejetora 64 
Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo 65 
Matriz Associada a uma Transformação Linear 66 
Operações com Transformações Lineares 68 
Exercícios 69 
Respostas 73 
Apêndice C – Teoremas 74 
 
 
PRODUTO INTERNO 
 
Definição 76 
Norma de um Vetor 76 
Distância entre dois Vetores 76 
Ângulo entre dois Vetores 77 
Ortogonalidade 77 
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um 
Subespaço. 
 
77 
Complemento Ortogonal 80 
Exercícios 81 
Respostas 83 
Apêndice D – Teoremas 84 
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
Definição 86 
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 86 
Multiplicidade de Autovalores 87 
Diagonalização de Operadores Lineares 88 
Exercícios 89 
Respostas 90 
Apêndice E – Teoremas 90 
 
ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES 
LINEARES 
 
Operador Adjunto 91 
Operador Auto-Adjunto 91 
Operador Ortogonal 91 
Operador Normal 91 
Exercícios 92 
Apêndice F – Teoremas 93 
 
 
BIBLIOGRAFIA 94 
 
 1 
MATRIZES 
 
Definição 
Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m 
linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos. 
 
 
 
Notação: com 
 - elemento genérico da matriz A 
i - índice que representa a linha do elemento 
j - índice que representa a coluna do elemento 
- ordem da matriz. Lê-se “m por n”. 
 
Representações: 
 
Exemplos: 
1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz . 
 
2) A matriz onde é . 
 
3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: 
 
 cidade A cidade B cidade C cidade D 
 
Esta é uma matriz (quatro por quatro). 
 
4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina 
distribuída nas três lojas encarregadas da venda. 
 
 shorts blusas saias jeans 
 
Esta é uma matriz (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 
colunas. 
 
 2 
Igualdade 
Duas matrizes de mesma ordem e são iguais quando para todo 
 e para todo . 
 
Matrizes Especiais 
1. Matriz Linha 
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. 
Notação: 
Exemplo: 
 
2. Matriz Coluna 
Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. 
Notação: 
Exemplo: 
 
3. Matriz Nula 
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 
 para todo e para todo . 
Notação: 
Exemplo: 
 
4. Matriz Quadrada 
Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto 
é, . 
Notação: 
 
Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde para todo . 
Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde para todo . 
Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA. 
 
Exemplo: 
 
Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. 
Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. 
 
 
 3 
5. Matriz Diagonal 
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não 
pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, quando para todo . 
Exemplo: 
 
6. Matriz Identidade 
Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal 
forem todos iguais a um. 
Notação: 
Exemplo: 
 
7. Matriz Triangular Superior 
Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, isto é, quando para todo . 
Exemplo: 
 
8. Matriz Triangular Inferior 
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da 
diagonal principal são nulos, isto é, quando para todo . 
Exemplo: 
 
 
Operações com Matrizes 
1. Adição 
Sejam e matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma tal 
que e para todo e para todo . 
 
Exemplos: 
1) Sejam e . 
 
Então . 
 4 
 
2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e 
transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas 
em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. 
 
 preço custo preço custo 
 compra transporte compra transporte 
 
 Fornecedor 1 Fornecedor 2 
 
A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias 
A, B e C é dada por: 
 
 
 
Propriedades da Operação de Adição 
A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, . 
 
A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, . 
Dem.: Considere matrizes de ordem , e . 
 para todo e para todo . 
Assim, . 
Logo, a operação de adição é comutativa. 
 
A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, . 
 
A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem existe uma matriz S de mesma ordem 
tal que . 
Sendo tem-se . 
Notação: 
Assim, . 
Além disso, . 
 
A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, . 
Dem: Considere as matrizes de ordem n. 
 
 5 
2. Multiplicação por Escalar 
Sejam uma matriz e um escalar, define-se a matriz produto por escalar 
tal que e