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<p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções</p><p>polinomiais, regras de derivação e derivada de</p><p>funções trigonométricas</p><p>Alexandre Miranda Alves</p><p>Anderson Tiago da Silva</p><p>Edson José Teixeira</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Vimos que uma função f é derivável em um ponto x0 do seu doḿınio se</p><p>existir o seguinte limite</p><p>lim</p><p>∆x→0</p><p>f (x0 + ∆x)− f (x0)</p><p>∆x</p><p>.</p><p>Uma vez que tal limite existe, o denotamos por</p><p>f ′(x0) ou</p><p>df</p><p>dx</p><p>]</p><p>x=x0</p><p>.</p><p>Com o intuito de simplificar a notação, escreveremos simplesmente h ao</p><p>invés de ∆x na definição de derivada.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Encontrar a derivada de uma função pela definição pode ser uma tarefa</p><p>dif́ıcil e extremamente trabalhosa para a grande maioria das funções.</p><p>Os próximo resultados visam simplificar nosso trabalho, garantindo que</p><p>determinadas funções são deriváveis e explicitando uma fórmula para tais</p><p>derivadas.</p><p>Teorema</p><p>Seja f : R→ R função dada por</p><p>f (x) = c ,</p><p>onde c é uma constante qualquer. Então</p><p>f ′(x) = 0.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Demostração: Este resultado nos diz que a derivada de uma função</p><p>constante é zero. Para demonstrar bastar aplicar a definição</p><p>f ′(x) = lim</p><p>h→0</p><p>f (x + h)− f (x)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>c − c</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>0</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>0 = 0.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Continuaremos nosso trabalho deduzindo a derivada de funções da forma</p><p>xn, n ∈ N, n ≥ 1.</p><p>Teorema</p><p>Seja f : R → R função dada por f (x) = xn, n ∈ N, n ≥ 1. Então f é</p><p>derivável em todos os pontos do seu doḿınio e além disso,</p><p>f ′(x) = nxn−1.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Demonstração: Se n é um número natural, podemos desenvolver (x +h)n</p><p>pelo Teorema Binomial da seguinte forma</p><p>(x + h)n =</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>(</p><p>n</p><p>i</p><p>)</p><p>xn−ihi</p><p>=</p><p>(</p><p>n</p><p>0</p><p>)</p><p>xnh0 +</p><p>(</p><p>n</p><p>1</p><p>)</p><p>xn−1h1 + · · ·</p><p>(</p><p>n</p><p>n − 1</p><p>)</p><p>x1hn−1</p><p>+</p><p>(</p><p>n</p><p>n</p><p>)</p><p>x0hn,</p><p>onde</p><p>(</p><p>n</p><p>j</p><p>)</p><p>=</p><p>n!</p><p>(n − j)!j!</p><p>.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Desta forma, utilizando o Teorema Binomial, obtemos</p><p>f ′(x) = lim</p><p>h→0</p><p>[</p><p>xn + nxn−1h +</p><p>n(n − 2)</p><p>2!</p><p>xn−2h2 + ...+ nxhn−1 + hn</p><p>]</p><p>− xn</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>[</p><p>nxn−1 +</p><p>n(n − 2)</p><p>2!</p><p>xn−2h + ...+ nxhn−1 + hn−1</p><p>]</p><p>= nxn−1.</p><p>Observe que tal limite existe independente do ponto x do doḿınio de f ,</p><p>ou seja, f é derivável em todos os ponto do seu doḿınio e sua derivada é</p><p>dada por</p><p>f ′(x) = nxn−1.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>PROF. ADY-DMA</p><p>Realce</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Seja f : R → R dada por f (x) = x5. Uma vez que já sabemos que tal</p><p>função é derivável em todos os pontos do seu doḿınio e conhecemos uma</p><p>fórmula para sua derivada, não precisamos recorrer à definição. Neste</p><p>caso, podemos utilizar a fórmula encontrada anteriormente.</p><p>Assim, pelo teorema anterior, temos que</p><p>f ′(x) = 5x4.</p><p>Para encontrar a derivada em um ponto espećıfico, basta substituir tal</p><p>valor na expressão de f ′(x), ou seja,</p><p>f ′(2) = 5(2)4 = 80.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Apresentaremos agora as regras de derivação da soma, diferença, produto</p><p>e quociente de duas funções. Esta regras simplificam os cálculos para</p><p>encontrar derivadas e estas regras combinadas com as derivadas das</p><p>funções conhecidas (e das funções que veremos posteriormente), nos</p><p>permite encontrar a derivada de uma grande quantidade de funções de</p><p>uma maneira rápida.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>PROF. ADY-DMA</p><p>Realce</p><p>PROF. ADY-DMA</p><p>Realce</p><p>PROF. ADY-DMA</p><p>Realce</p><p>PROF. ADY-DMA</p><p>Realce</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Teorema</p><p>Sejam f , g funções deriváveis em um ponto x0 e seja k uma constante real.</p><p>Então as funções</p><p>f ± g , kf , f · g</p><p>são deriváveis em x0. Se, além disso, g(x0) 6= 0, então</p><p>f</p><p>g</p><p>também é</p><p>derivável em x0. Mais ainda,</p><p>(i) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g ′(x0)</p><p>(ii) (k · f )′(x0) = k · f ′(x0)</p><p>(iii) (f · g)′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f (x0) · g ′(x0)</p><p>(iv)</p><p>(</p><p>f</p><p>g</p><p>)′</p><p>(x0) =</p><p>g(x0) · f ′(x0)− f (x0) · g ′(x0)</p><p>[g(x0)]2</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Observação</p><p>Tendo conhecimento destas regras de derivação, somos capazes de derivar</p><p>qualquer função racional f , ou seja,</p><p>f (x) =</p><p>p(x)</p><p>q(x)</p><p>,</p><p>onde p(x) e q(x) são polinômios com coeficientes reais.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Nos exemplos a seguir mostraremos como aplicar diretamente as regras de</p><p>derivação acima.</p><p>Exemplo</p><p>Seja f : R→ R definida por</p><p>f (x) = 3x4 + 5x + 3.</p><p>Vamos derivar tal função utilizando as regras apresentadas acima. Vamos</p><p>utilizar a notação</p><p>df</p><p>dx</p><p>para visualizar melhor a utilização de tais regras.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>f ′(x) =</p><p>df</p><p>dx</p><p>(x)</p><p>=</p><p>d</p><p>dx</p><p>(3x4 + 5x + 3)</p><p>=</p><p>d</p><p>dx</p><p>(3x4) +</p><p>d</p><p>dx</p><p>(5x) +</p><p>d</p><p>dx</p><p>(3)</p><p>= 3 · d</p><p>dx</p><p>(x4) + 5 · d</p><p>dx</p><p>(x) +</p><p>d</p><p>dx</p><p>(3)</p><p>= 3 · 4x3 + 5 · 1 + 0</p><p>= 12x3 + 5.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Seja h : R \ {0} → R definida por h(x) =</p><p>1</p><p>xn</p><p>. Observe que h(x) =</p><p>f (x)</p><p>g(x)</p><p>,</p><p>onde f (x) = 1 e g(x) = xn.</p><p>Utilizando a regra do quociente para derivadas, temos, para x 6= 0</p><p>h′(x) =</p><p>(</p><p>f</p><p>g</p><p>)′</p><p>(x)</p><p>=</p><p>g(x)f ′(x)− f (x)g ′(x)</p><p>[g(x)]2</p><p>=</p><p>xn · 0− 1 · nxn−1</p><p>(xn)2</p><p>= −n</p><p>xn−1</p><p>x2n</p><p>= −nx−n−1.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>O exemplo anterior nos fornece a regra de derivação para uma função f</p><p>definida por f (x) = xn, para n inteiro negativo. Se n é um inteiro negativo,</p><p>m = −n é um natural. Dáı, podemos escrever</p><p>f (x) = xn = x−m =</p><p>1</p><p>xm</p><p>.</p><p>Utilizando o exemplo anterior,</p><p>f ′(x) = −mx−m−1 = nxn−1.</p><p>Dáı, se f é uma função dada por f (x) = xn, n 6= 0, então</p><p>f ′(x) = nxn−1, n ∈ Z, n 6= 0.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Seja f : R \ {2} → R dada por</p><p>f (x) =</p><p>x2 − 3</p><p>x2 − 4x + 4</p><p>.</p><p>Aplicando a regra de derivação do quociente obtemos</p><p>f ′(x) =</p><p>(x2 − 4x + 4)(x2 − 3)′ − (x2 − 3)(x2 − 4x + 4)′</p><p>(x2 − 4x + 4)2</p><p>=</p><p>(x2 − 4x + 4)2x − (x2 − 3)(2x − 4)</p><p>(x − 2)4</p><p>=</p><p>2x3 − 8x2 + 8x − (2x3</p><p>− 4x2 − 6x + 12)</p><p>(x − 2)4</p><p>=</p><p>−4x2 + 14x − 12</p><p>(x − 2)4</p><p>= − 4x − 6</p><p>(x − 2)3</p><p>.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Seja f : R \ {0} → R dada por</p><p>f (x) = x2 − 1</p><p>x</p><p>.</p><p>Utilizando as regras de derivação temos</p><p>f ′(x) = 2x +</p><p>1</p><p>x2</p><p>= 2x + x−2,</p><p>uma vez que f pode ser escrita como sendo f (x) = x2 − x−1.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Seja f : R→ R função definida por</p><p>f (x) = (3x5 − 1)(2− x4).</p><p>Temos que f é o produto de duas funções deriváveis. Aplicando a regra</p><p>do produto temos</p><p>f ′(x) = (3x5 − 1)′(2− x4) + (3x5 − 1)(2− x4)′</p><p>= (15x4)(2− x4) + (3x5 − 1)(−4x3)</p><p>= 30x4 − 15x8 − 12x8 + 4x3</p><p>= 30x4 − 27x8 + 4x3.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Nosso próximo passo é apresentar os resultados que garantem que as</p><p>funções trigonométricas são deriváveis e além disso, estes resultados nos</p><p>fornecem a derivada de cada uma delas. Para garantir que as funções seno</p><p>e cosseno são deriváveis necessitaremos do limite fundamental</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen x</p><p>x</p><p>= 1,</p><p>que foi apresentado anteriormente. Vimos anteriormente também que</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>1− cos x</p><p>x</p><p>= 0.</p><p>Para as demais funções trigonométricas, as derivadas das funções seno e</p><p>cosseno, combinadas com as regras de derivação serão suficientes para</p><p>garantir que as mesma são deriváveis e obter a expressão para suas</p><p>respectivas derivadas.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Teorema</p><p>Seja f : R→ R a função definida por</p><p>f (x) = sen x .</p><p>Então f é derivável e além disso,</p><p>f ′(x) = cos x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Demonstração: Utilizando a definição, obtemos</p><p>f ′(x) = lim</p><p>h→0</p><p>sen(x + h)− sen(x)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>sen x cos h + cos x sen h − sen x</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>sen x(cos h − 1) + cos x sen h</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>[</p><p>− sen x</p><p>(</p><p>1− cos h</p><p>h</p><p>)</p><p>+ cos x</p><p>(</p><p>sen h</p><p>h</p><p>)]</p><p>.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Uma vez que</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>sen h</p><p>h</p><p>= 1 e lim</p><p>h→0</p><p>1− cos h</p><p>h</p><p>= 0</p><p>conclúımos que</p><p>f ′(x) = cos x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Teorema</p><p>Seja f : R→ R a função definida por</p><p>f (x) = cos x .</p><p>Então f é derivável e além disso,</p><p>f ′(x) = − sen x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Demonstração: Pela definição de derivada, temos</p><p>f ′(x) = lim</p><p>h→0</p><p>cos(x + h)− cos(x)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>cos x cos h − sen x sen h − cos x</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>cos x(cos h − 1)− sen x sen h</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>[</p><p>− cos x</p><p>(</p><p>1− cos h</p><p>h</p><p>)</p><p>− sen x</p><p>(</p><p>sen h</p><p>h</p><p>)]</p><p>.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Novamente, utilizando os limites fundamentais</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>sen h</p><p>h</p><p>= 1 e lim</p><p>h→0</p><p>1− cos h</p><p>h</p><p>= 0,</p><p>garantimos que f é derivável e</p><p>f ′(x) = − sen x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Uma vez conhecendo as derivadas do seno e do cosseno, podemos</p><p>encontrar a derivada das demais funções trigonométricas, utilizando as</p><p>regras de derivação.</p><p>Teorema</p><p>(i) Se f (x) = tg x , então f ′(x) = sec2 x .</p><p>(ii) Se g(x) = cotg x , então g ′(x) = − cossec2 x .</p><p>(iii) Se h(x) = sec x , então h′(x) = sec x · tg x .</p><p>(iv) Se l(x) = cossec x , então l ′(x) = − cossec x · cotg x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Demonstração: Utilizaremos a regra do quociente para derivadas para</p><p>encontrar a derivada da tangente, uma vez que</p><p>f (x) = tg x =</p><p>sen x</p><p>cos x</p><p>.</p><p>Note que a função tangente é derivável, uma vez que é o quociente de</p><p>funções deriváveis.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Assim,</p><p>f ′(x) = (tg x)′</p><p>=</p><p>( sen x</p><p>cos x</p><p>)′</p><p>=</p><p>cos x(sen x)′ − sen x(cos x)′</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>cos x(cos x)− sen x(− sen x)</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>cos2 x + sen2 x</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>1</p><p>cos2 x</p><p>= sec2 x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Para as demais funções trigonométricas procederemos de maneira análoga</p><p>g ′(x) = (cotg x)′</p><p>=</p><p>(cos x</p><p>sen x</p><p>)′</p><p>=</p><p>sen x(cos x)′ − cos x(sen x)′</p><p>sen2 x</p><p>=</p><p>sen x(− sen x)− cos x(cos x)</p><p>sen2 x</p><p>=</p><p>− sen2 x − cos2 x</p><p>sen2 x</p><p>= − 1</p><p>sen2 x</p><p>= − cossec2 x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>h′(x) = (sec x)′</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>cos x</p><p>)′</p><p>=</p><p>−(cos x)′</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>sen x</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>1</p><p>cos x</p><p>· sen x</p><p>cos x</p><p>= sec x · tan x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>l ′(x) = (cossec x)′</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>sen x</p><p>)′</p><p>=</p><p>−(sen x)′</p><p>sen2 x</p><p>=</p><p>− cos x</p><p>sen2 x</p><p>= −cos x</p><p>sen x</p><p>· 1</p><p>sen x</p><p>= − cotg x · cossec x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Neste momento já somos capazes de derivar uma maior variedades de</p><p>funções utilizando as regras vistas até então.</p><p>Exemplo</p><p>Seja f : R→ R dada por</p><p>f (x) = x2 sen x .</p><p>Utilizando a regra de derivação do produto e a derivada trigonométrica</p><p>obtemos</p><p>f ′(x) = (x2)′ sen x + x2(sen x)′ = 2x sen x + x2 cos x .</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Seja f uma função dada por</p><p>f (x) =</p><p>sec x</p><p>1 + tan x</p><p>.</p><p>Vamos encontrar f ′(π).</p><p>Primeiramente, vamos aplicar as regras de derivação apresentadas até</p><p>agora para derivar a função em um ponto qualquer do seu doḿınio.</p><p>Posteriormente, avaliaremos a derivada em x = π.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>f ′(x) =</p><p>(sec x)′(1 + tg x)− sec x(1 + tg x)′</p><p>(1 + tg x)2</p><p>=</p><p>(sec x tg x)(1 + tg x)− sec x(sec2 x)</p><p>(1 + tg x)2</p><p>=</p><p>(sec x tg x)(1 + tg x)− sec x(1 + tg2 x)</p><p>(1 + tg x)2</p><p>=</p><p>sec x tg x + sec x tg2 x − sec x − sec x tg2 x</p><p>(1 + tg x)2</p><p>=</p><p>sec x tg x − sec x</p><p>(1 + tg x)2</p><p>=</p><p>sec x(tg x − 1)</p><p>(1 + tg x)2</p><p>.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação Derivada das Funções</p><p>Trigonométricas</p><p>Exemplo</p><p>Logo, fazendo x = π, encontramos</p><p>f ′(π) =</p><p>sec(π)(tg2 π − 1)</p><p>(1 + tg π)2</p><p>=</p><p>(−1)(−1)</p><p>(1 + 0)2</p><p>= 1.</p><p>MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas UFV</p><p>Regras de Derivação</p><p>Derivada das Funções Trigonométricas</p>