Lista de Vetores- Planos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO PROF. JOSE´ ALOI´SIO DE CAMPOS
Vetores e geometria anal´ıtica
4a Lista de exerc´ıcios- Planos -08/08/2013
1. Ache a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto A = (6, 0,−2) e e´ paralelo aos vetores
3
−→
i e −2−→j + 5−→k .Resposta: −15y − 6z − 12 = 0
2. Supondo abc 6= 0, escreva a equac¸a˜o do plano que corta os eixos OX, OY e OZ nos
pontos (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c) respectivamente.
3. Considere o plano pi : 4x+ 6y + 3z − 12 = 0.
a) Ache as intersec¸o˜es desse plano com os eixos coordenados. Esboc¸e o plano. Resposta:
Ix = (3, 0, 0), Iy = (0, 2, 0), Iz = (0, 0, 4)
b) Ache a equac¸a˜o da reta suporte da mediana do triaˆngulo ABC, formado pelos pontos
intersec¸a˜o encontrados no item anterior, relativa ao lado AB. Resposta:x = −3
2
t, y =
−t, z = 4t+ 4
c) Ache a equac¸a˜o do plano pi na forma parame´trica.Resposta:x = −3α− 3t, y = 2t, z =
4α + 4
d) Encontre o aˆngulo do plano pi com o plano coordenado Y OZ.Resposta: arccos 4√
61
4. Qual e´ a equac¸a˜o do plano tangente, no ponto P = (x0, y0, z0), a` esfera com centro
A = (a, b, c) e raio r?
5. Considere o plano pi : 5x − y + 2z + 1 = 0 e as retas r : x = 3z + 1 y = −z + 2; e
s :
x− 1
−1 = y =
z − 3
n
.
a) Ache o valor de n para que o aˆngulo entre as retas r e s seja de 300.Resposta:
n = 32±
√
792
−58
b) Ache o valor de n para que a reta s na˜o intercepte o plano pi.REsposta:n = 3
c) Ache a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r e e´ ortogonal ao plano pi.Resposta:
x+ y − 2z − 3 = 0
6. Determine os pontos da reta r : x = −z + 1, y = 2z − 1 que distam do plano pi :
x+ y − 2z + 3 = 0
√
11
6
.
7. Seja o paralelep´ıpedo de dimenso˜es 3, 4, 5, representado abaixo. Determine:
a) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a face ABCD e a equac¸a˜o do plano que
conte´m a face BDFH.
b) Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m o segmento AC.
c) Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m o segmento ED.
d) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a diagonal CAHF do paralelep´ıpedo.
1
A B
C D
E F
G
H
3
4
5
8. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ perpendicular a pi3, sendo
pi1 : x− y + z + 1 = 0, pi2 : x+ y − z − 1 = 0, pi3 : x+ y + 2z − 2 = 0.
9. Ache as coordenadas do ponto do plano 2x + y − 2z = 12 que esta´ mais pro´ximo da
origem.
10. Qual e´ o ponto do plano 2x− 3y + z = 5 mais pro´ximo do ponto P = (1, 3, 1)?
2