Apostila 05 - Análise de Sensibilidade

Prévia do material em texto

Análise de Sensibilidade
Pesquisa Operacional
Desenvolvimento do material
Julio Loureiro
1ª Edição
Copyright © 2021, Afya.
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, 
mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia 
autorização, por escrito, da Afya.
Sumário
Análise de Sensibilidade
Para Início de Conversa... ............................................................................... 3
Objetivo ‘ ........................................................................................................ 3
1, Mudanças nos Lucros Unitários (Coeficientes da 
Função Objetivo) ............................................................................................... 4
2. Entrada de uma Nova Variável .................................................................... 6
3. Mudanças nos Valores dos Recursos ..................................................... 13
Referências ........................................................................................................ 16
Para Início de Conversa...
Um dos benefícios propiciados pela aplicação das ferramentas da 
pesquisa operacional é obter a análise da sensibilidade de uma variável. 
Ao longo desta Unidade de Aprendizagem, teremos a oportunidade de 
entender um pouco mais sobre como identificar a solução ótima de 
um problema, utilizando a ferramenta Simplex, bem como conhecer 
diversas situações nas quais a modificação de uma variável, seja por 
uma estimativa inicial inadequada ou mesmo pela evolução natural dos 
fatos, precise de um ajuste e, com isso, sejam trazidas novas soluções 
para os problemas inicialmente identificados e modelados.
O surgimento de programas e de ferramentas informatizadas que 
auxiliam os analistas e tomadores de decisão na modelagem de novos 
cenários viabilizou a realização de ajustes necessários a partir da 
inserção de novos valores ou quantidades. São recursos cada vez mais 
utilizados para agilizar o trabalho de análise e interpretação dos dados, 
assim como para abrir espaço para a realização de novas considerações.
Objetivo
Analisar a sensibilidade de uma variável, considerando a entrada de uma 
nova variável e a mudança nos valores dos recursos. 
 3
1, Mudanças nos Lucros Unitários (Coeficientes 
da Função Objetivo) 
A análise da sensibilidade da solução ótima ou de pós-otimização para 
um problema por meio do Método Simplex é o recurso que estabelece 
as condições para as quais a solução ótima obtida é válida.
A solução ótima de um problema é calculada com base nos dados do 
modelo, os quais podem sofrer alterações que podem ser decorrentes de 
diversos motivos, tais como:
 ▪ Os dados foram estimados e, no ato da colocação em prática, 
precisaram ser ajustados.
 ▪ Ou pelo surgimento de novas possibilidades, que apareceram após a 
formulação do modelo.
Segundo Longaray (2013), os termos análise de sensibilidade, análise 
econômica, análise pós-otimização ou interpretação econômica são 
utilizados de modo análogo por uma diversidade de autores da pesquisa 
operacional, cujo objetivo é única e exclusivamente o de explicar os 
mesmos fenômenos.
Logo, a análise pós-otimização tem como principal objetivo testar 
a validade da solução obtida, quando submetida a variações nos 
coeficientes do modelo original.
Vejamos a primeira possibilidade, que é a alteração nos coeficientes da 
função objetivo. Para tanto, vamos observar uma análise mais aprofundada 
do tema já abordado no capítulo anterior: o algoritmo Simplex.
O Método Simplex faz parte de um grupo de critérios para escolha de 
soluções básicas, cujo objetivo é o de melhorar o desempenho de um 
modelo em estudo, além de oferecer um teste para a obtenção de uma 
solução ótima.
Um outro ponto interessante sobre o Método Simplex é que ele parte 
do princípio de que o problema apresenta uma solução básica inicial. 
A partir daí, todas as soluções básicas seguintes passam a ser obtidas 
por meio das variáveis básicas (VB) e por variáveis não básicas (VNB), as 
quais produzirão novas soluções. 
Os procedimentos para seleção das variáveis que entram e saem na 
composição da nova base constituem o principal foco do Método 
Simplex. Após a análise com os dados inseridos na modelagem inicial, 
a solução ajustada poderá ser diferente da inicial, considerando as 
relações e os impactos de cada fator na solução que será obtida após 
os ajustes.
Para demonstrar o funcionamento do Método Simplex, que será muito 
útil na análise de sensibilidade, utilizaremos como exemplo um modelo 
que, segundo Oliveira (2019), apresenta uma solução básica inicial, dada 
pela função objetivo a seguir: 
 4
Maximizar Z = 3 X1 + 5 X2
Sujeito às restrições:
 2 X1 + 4 X2 ≤ 10 (1)
 6 X1 + X2 ≤ 20 (2)
 X1 + X2 ≤ 30 (3)
 X1 ≥ 0
 X2 ≥ 0
As restrições, aqui expressas por inequações, serão transformadas em 
equações a partir da inclusão das variáveis de folga (XF1, XF2 e XF3).
Os modelos com restrições do tipo ≤ e com termos da direita não 
negativos (10, 20 e 30) têm uma solução básica formada pelas variáveis 
de folga.
 2 X1 + 4 X2 + XF1 = 10 (1)
 6 X1 + X2 + XF2 = 20 (2)
 X1 + X2 + XF3 = 30 (3)
 X1 ≥ 0
 X2 ≥ 0
 XF1 ≥ 0
 XF2 ≥ 0
 XF3 ≥ 0
{
{ 
Transcrevendo os dados do modelo com as suas restrições em relação às 
variáveis de folga no quadro Simplex, teremos:
X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
2 4 1 10
6 1 1 20
1 1 1 30
Quadro 1: Variáveis de folga no quadro Simplex. Fonte: Elaborado pelo autor.
Ao igualarmos X1 e X2 a zero, teremos:
2 x 0 + 4 x 0 + 1 XF1 = 10
0 + 0 + 1 XF1 = 10
XF1 = 10
Da mesma forma, na segunda restrição teremos:
6 x 0 + 1 x 0 + 1 XF2 = 20
0 + 0 + 1 XF2 = 20
XF2 = 20
 5
E, finalmente, fazendo a mesma operação na 3ª restrição, teremos:
1 x 0 + 1 x 0 + 1 XF3 = 30
0 + 0 + XF3 = 30
XF3 = 30
Ou seja, com a atribuição do valor zero para X1 e X2 (variáveis não 
básicas – VNBs), temos que a solução básica inicial será composta 
exclusivamente com as variáveis de folga XF1, XF2 e XF3 (variáveis 
básicas – VBs):
X1 = 0; X2 = 0; XF1 = 10; XF2 = 20; XF3 = 30. 
VNB VB
2. Entrada de uma Nova Variável 
A partir de agora, veremos as fases que compõem o Algoritmo Simplex e 
as suas relações, que possibilitam a entrada de novas variáveis.
Fase 1 – Teste de otimalidade para a solução:
Nesta primeira fase, segundo Oliveira (2019), será feita a avaliação do 
efeito da substituição de uma variável básica (VB) por outra variável não 
básica (VNB). Tal substituição permite a formação de uma nova solução. 
Se a entrada de uma VNB puder melhorar o desempenho do sistema, a 
solução testada não é ótima.
Considerando o exemplo da seção 1 desta Unidade de Aprendizagem, 
veremos que as VNBs X1 e X2 e as VBs são XF1, XF2 e XF3.
 X1 = 0; X2 = 0; XF1 = 10; XF2 = 20; XF3 = 30. 
 VNB VB
Portanto, a função objetivo está escrita com as VNBs. Essa avaliação 
é possível quando a função objetivo está escrita somente em termos 
das VNBs.
Ainda com base no nosso exemplo, a função objetivo se encontra 
descrita na forma:
Maximizar: Z = 3 X1 + 5 X2
Será alcançada, quando estivermos atribuindo a X1 = 0, X2 = 0, uma 
solução básica inicial formada pelas variáveis de folga XF1 = 10, XF2 = 
20 e XF3 = 30. 
Analisando a função objetivo e a sua solução inicial X1 = 0, X2 = 0 e Z =0, 
onde Z = 3 X1 + 5 X2, temos o seguinte quadro:
 6
 ▪ Se adicionarmos X1 ao conjunto das VBs com valor 1 (deixa de ser 
zero), o valor de Z passa de Z = 0 para Z= 3, aumentando 3 unidades, 
exatamente o valor do coeficiente de X1.
Z = 3 X1 + 5 X2
Z = 3 x (1) + 5 x (0)
Z = 3 + 0 
Z = 3
Se X2 for para o conjunto das VBs com valor 1, o valor de Z passa de Z = 
0 para Z = 5, aumentando 5 unidades, exatamente o valor do coeficientede X2.
Z = 3 X1 + 5 X2
Z = 3 x (0) + 5 x (1)
Z = 0 + 5 
Z = 5
 ▪ Por outro lado, se os coeficientes de X1 ou X2 fossem negativos, a 
entrada dessas variáveis no conjunto das VBs reduziria o valor de Z, 
de acordo com seu coeficiente. 
 ▪ Dessa forma, conclui-se que enquanto a função objetivo apresentar 
VNBs com coeficientes positivos, ela poderá ser incrementada, não 
sendo considerada, portanto, como a solução ótima.
Reescrevendo a função objetivo com todas as variáveis à esquerda:
Observe que os coeficientes positivos das variáveis X1 e X2 (VNBs), à 
direita, tornam-se negativos à esquerda. Ao mudar de lado, trocaram o 
sinal, portanto os coeficientes negativos das variáveis à esquerda indicam 
que o valor de Z pode ser incrementado com sua entrada no conjunto das 
VBs e na mesma proporção do módulo de seu coeficiente (quando os 
valores se tornam sempre positivos). 
A partir dessa observação, conclui-se que a solução testada só será ótima 
quando as VNBs não apresentarem mais coeficientes negativos.
Fase 2: Para a realização do cálculo da nova solução básica, devemos 
considerar:
Z = 3x1 + 5x2
Z - 3x1 + 5x2 = 0
 7
a. Seleção da variável a entrar na base: 
Selecione a variável com coeficiente negativo de maior valor 
absoluto. Para determinarmos a variável que entra no conjunto das 
VBs, devemos escolher aquela que apresenta o menor valor negativo 
como coeficiente. Para o nosso exemplo o coeficiente é (-5), logo a 
variável será X2.
Considerando a função objetivo do nosso exemplo, temos:
Z = 3 X1 + 5 X2 ou Z - 3 X1 - 5 X2 = 0
Nesse caso, deve-se selecionar a variável X2, pois cada unidade a mais 
em X2 aumenta Z em 5 unidades, como vimos na fase 1.
b. Seleção da variável para sair da base: 
Selecione a variável que primeiro se anula com a entrada da variável 
escolhida no item a, no nosso exemplo, X2. Sua indicação pode ser 
obtida dividindo-se os termos da direita das restrições técnicas pelos 
seus respectivos coeficientes positivos da variável que entra. 
 2 X1 + 4 X2 + XF1 = 10
 6 X1 + 1 X2 + XF2 = 20
 1 X1 + 1 X2 + XF3 = 30
 Entra
O menor valor positivo indica que a VB dessa linha é a que primeiro 
se anula e, portanto, deixará o conjunto das VBs. Logo, essa linha será 
a que sai.
4 X2 = 10 X2 = 10/4 = 2,5 → Sai
1 X2 = 20 X2 = 20/1 = 20
1 X2 = 30 X2 = 30/1 = 30
c. Seleção do elemento pivô:
A interseção da coluna da variável que entra no conjunto das VBs 
e a linha da variável que sai do conjunto das VNBs identificam um 
elemento comum chamado pivô.
A linha da variável que sai é também denominada linha pivô. No caso, 
a primeira linha é a pivô, e o coeficiente 4 de X2 é o elemento pivô 
(ver na tabela a seguir).
d. Calcular a nova solução
Vamos organizar a função objetivo e restrições em uma nova tabela, 
com colunas formadas pelos coeficientes de cada variável e outra dos 
termos independentes, conforme mostra a Tabela 1, a seguir:
 8
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -3 -5 0 0 0 0
0 2 4 1 0 0 10
0 6 1 0 1 0 20
0 1 1 0 0 1 30
 Entra
Tabela 1: Tabela da nova solução. Fonte: Elaborada pelo autor.
Os valores de X1 = -3 e X2 = -5, na primeira linha, vieram da explicação 
exibida no item a (Seleção da variável a entrar na base), apresentado 
anteriormente, quando Z foi igualado a zero.
Na sequência, fazemos a divisão de todos os elementos da linha pivô 
pelo valor do elemento pivô (por 4, elemento em itálico na Tabela 1), 
obtendo uma nova linha com pivô unitário, conforme o exemplo a seguir:
Sai
(linha pivô)
Linha pivô (original): 
0 2 4 1 0 0 10
Dividindo-se todos os elementos pelo dito pivô (por 4):
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Esta última será a nova linha pivô da nossa tabela.
O próximo passo será reescrever cada uma das demais linhas, 
considerando os seguintes procedimentos:
1º – Multiplicar os elementos da nova linha pivô pelo coeficiente da 
variável que entra da outra linha, com sinal trocado.
2º – Somar termo a termo com os elementos da linha original.
Retornando ao nosso exemplo:
O coeficiente da variável que entra no conjunto das VBs (X2) na primeira 
linha é -5. 
 9
Ficará da seguinte forma:
Nova linha 
pivô 0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Multiplicar 
por 5 0 2,5 5 1,25 0 0 12,5
+ a 1ª linha 1 -3 -5 0 0 0 0
A soma = nova 1 -2,5 0 1,25 0 0 12,5
1ª linha
O coeficiente da variável que entra no conjunto das VBs (X2) na terceira 
linha é 1. 
Dessa forma, teremos:
Nova linha 
pivô 0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Multiplicar 
por -1 0 -0,5 -1 -0,25 0 0 -2,5
+ a 3ª linha 0 6 1 0 1 0 20
A soma = nova 0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
3ª linha
O coeficiente da variável que entra no conjunto das VBs (X2) na quarta e 
última linhas é 1. 
Com isso, faremos o mesmo raciocínio:
Nova linha 
pivô 0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Multiplicar 
por - 1 0 -0,5 -1 -0,25 0 0 -2,5
+ a 4ª linha 0 1 1 0 0 1 30
A soma = nova 0 0,5 0 -0,25 0 1 27,5
4ª linha
Reescrevendo a tabela completa com os novos valores calculados, 
teremos que:
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
0 0,5 0 -0,25 0 1 27,5
 10
Com base na tabela apresentada anteriormente, podemos extrair a nova 
solução do problema inicial, onde o valor de Z passa de zero para 12,5.
As variáveis que apresentaram valores diferentes de zero passam a ser 
as variáveis não básicas (VNBs), que foram X1 e XF1. 
As variáveis que faltam (X2, XF2 e XF3) formam o conjunto das variáveis 
básicas, cujos valores são VBs X2 = 2,5; XF2 = 17,5 e XF3 = 27,5.
No entanto, ainda não podemos dizer que a solução encontrada seja a 
ótima, pois o coeficiente de X1 na função objetivo é negativo (-0,5).
Como existe espaço para uma solução de Z melhor que a obtida, vamos 
calcular para descobrir qual seria esse valor.
Iniciamos com a identificação da variável que entra no conjunto da 
VBs. Será X1, pois ela apresentou coeficiente negativo de maior valor 
absoluto na função objetivo.
A variável que sai do conjunto das VBs será obtida pela divisão dos 
termos independentes pelos coeficientes positivos de X1.
 ▪ Na linha 2: 2,5 ÷ 0,5 = 5
 ▪ Na linha 3: 17,5 ÷ 5,5 = 3,18 -> menor valor: sai a variável dessa linha, 
no caso, XF2 
Nova linha pivô = terceira linha
 ▪ Na linha 4: 27,5 ÷ 1,5 = 18,33 
A interseção da coluna da variável que entra no conjunto das VBs e a 
linha da variável que sai do conjunto das VNBs identificam um elemento 
comum chamado pivô. A linha onde se encontra o elemento pivô será a 
linha pivô.
Nessa busca de uma nova solução ótima, teremos um novo elemento 
pivô: 5,5
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
0 0,5 0 -0,25 0 1 27,5
 Entra
Para encontrar os novos valores para a nova linha pivô, faremos a divisão 
de todos os elementos dessa linha (solução anterior que não foi a ótima) 
pelo valor do elemento pivô.
Ou seja, para encontrarmos os valores da nova linha pivô, usaremos 
como base a linha que sai, dividindo-se todos os seus termos por 5,5.
Linha que sai (da solução onde Z = 12,5): 
0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
 11
Dividindo-se todos os elementos pelo dito pivô (5,5), teremos a nova 
linha pivô:
0 1 0 -0,045 0,18 0 3,18
Aqui, procederemos como já havíamos feito anteriormente. Vamos 
reescrever cada uma das demais linhas, seguindo os procedimentos 
a seguir:
1º – Multiplicar os elementos da nova linha pivô pelo coeficiente da 
variável que entra da outra linha com sinal trocado.
2º – Somar termo a termo com os elementos da linha original.
Como o coeficiente da variável que entra no conjunto das VBs (X1) na 
primeira linha é -0,5, teremos:
Nova linha 
pivô 0 1 0 -0,045 0,18 0 3,18
Multiplicar por 
0,5 0 0,5 0 -0,022 0,09 0 1,59
+ a 1ª linha 1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
A soma = nova 1 0 0 1,227 0,09 0 14,09
1ª linha
O coeficiente da variável que entra no conjunto das VBs (X1) na segunda 
linha é 0,5. Com isso, teremos:
Nova linha 
pivô 0 1 0 0,045 0,18 0 3,18
Multiplicar por 
(-0,5) 0 -0,5 0 0,22 -0,99 0 -1,59
+ a 2ªlinha 0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
A soma = nova 0 0 1 0,272 -0,09 0 0,91
2ª linha
E, finalmente, vamos realizar o mesmo procedimento para a quarta e 
última linha. Como o coeficiente da variável que entra no conjunto das 
VBs (X1) na quarta linha é 1,5, o quadro ficará desta forma:
Nova linha 
pivô 0 1 0 0,045 0,18 0 3,18
Multiplicar por 
(-1,5) 0 -1,5 0 0,067 -0,27 0 -4,77
+ a 4ª linha 0 1,5 0 0,25 0 1 27,5
A soma = nova 0 0 0 0,317 -0,27 1 22,73
4ª linha
 12
Reescrevendo a tabela com os novos valores calculados, em busca de 
uma solução ótima, teremos:
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 0 0 1,227 0,09 0 14,09
0 0 1 0,272 -0,09 0 0,91
0 1 0 -0,045 0,18 0 3,18
0 0 0 0,317 -0,27 1 22,73
Com o novo quadro, as variáveis que apresentaram valores diferentes de 
zero foram XF1 e XF2, sendo, portanto, as variáveis não básicas (VNBs).
As demais integram o rol das variáveis básicas (VBs): X1 = 3,18, X2 = 
0,91 e xF3 = 22,73.
Nesta nova tabela, o valor de Z passou a ser de 14,09.
Observe que a função objetivo está escrita em termos das VBs X1, X2 e 
XF3, pois os coeficientes das VNBs são nulos. 
O valor de Z passou de Z = 12,5 para Z = 14,09. 
Essa solução é ótima, uma vez que os coeficientes das VNBs na função 
objetivo são todos positivos. 
Se XF1 ou XF2 entrar no conjunto das VBs, o valor de Z diminui, como 
visto no caso anterior, onde Z = 12,5.
A entrada de uma nova variável em um modelo construído para resolver 
um problema poderá fazer com que as inter-relações existentes se 
alterem, levando a soluções diferentes daquelas inicialmente imaginadas 
ou concebidas, quer seja pelo uso de estimativas iniciais diferentes da 
realidade, ou ainda pela evolução natural das condições nas quais tal 
modelo venha a ser aplicado, explicadas por outros fatores novos ou 
que não tenham sido considerados na estimativa inicial, mas que são 
relevantes para o processo em análise.
3. Mudanças nos Valores dos Recursos
Como pôde ser percebido, o Método Simplex permite a busca de uma 
solução ótima com o auxílio da compreensão das VNBs e das VBs, que, ao 
serem otimizadas, apresentam a solução ótima para um dado problema.
Para Andrade (2015), a análise de pós-otimização ou de sensibilidade da 
solução ótima tem o objetivo de determinar as condições para as quais a 
solução ótima obtida é válida. Mas caso algo mude no meio do caminho, 
como fica?
A mudança de um valor para um dado recurso pode ocorrer por conta de 
diversos fatores, como:
 ▪ o fato de os dados terem sido estimados na fase de construção do 
modelo (estimativa feita com base em dados antigos ou incompletos);
 13
 ▪ surgimento de novas possibilidades de interpretação e uso após a 
formulação do modelo (evolução do quadro).
Com isso, percebe-se que a análise de sensibilidade tem por objetivo 
verificar a validade da solução obtida, quando submetida a variações nos 
coeficientes do modelo original.
Segue um resumo com os casos mais comuns:
1. Mudanças nos valores dos recursos.
2. Variações nas quantidades de recursos.
3. Variações nos coeficientes da função objetivo.
4. Variações nos coeficientes das atividades.
5. Acréscimo de uma nova variável.
6. Acréscimo de uma nova restrição.
Ao considerar a alteração de qualquer um desses fatores anteriormente 
utilizados no modelo inicial, devemos ter em mente que os resultados 
poderão ser diferentes, quer seja pelos valores, quantidades ou 
demais variações que possam ocorrer em relação ao que havia sido 
inicialmente proposto.
Dessa forma, possíveis modificações poderão acontecer pela entrada 
de mais um veículo em operação, que permite que mais clientes sejam 
visitados e que eles tenham as suas cargas recebidas ou coletadas em 
menor tempo.
A manipulação de variáveis permite que os gestores decidam quais 
recursos precisarão ser acionados para um desempenho ótimo na 
operação ou tarefa em análise.
O mesmo raciocínio poderá ser utilizado na análise da composição de 
uma carteira de ativos, como as ações negociadas em bolsa de valores, 
nas quais a participação por grupo de risco ou por segmento de mercado 
poderá ser flexibilizada para se obter uma solução ótima, frente a um 
cenário que tenha sofrido modificações recentes.
Outro ponto possível dessa variação nos valores de uma variável se 
dá diante da inserção de um novo turno de trabalho em uma fábrica 
de automóveis.
Figura 1: Montadora de automóveis. Fonte: Dreamstime.
 14
Com tal medida, teremos, dentro da mesma instalação, as mesmas 
máquinas, equipamentos e estruturas, abrigando as mesmas operações 
inicialmente modeladas para um turno, podendo operar em dois turnos. 
Diante disso, aqueles recursos disponibilizados em nova grade de 
funcionamento poderão reduzir os custos totais, pois os custos fixos 
antes alocados em um único turno serão divididos pelas duas novas 
jornadas de operação.
Nesse capítulo, conhecemos um pouco mais sobre a análise de 
sensibilidade, que também possui outros nomes, como análise 
econômica, análise pós-otimização ou interpretação econômica, termos 
que são utilizados de modo análogo por uma diversidade de autores da 
pesquisa operacional, cujo objetivo é única e exclusivamente explicar os 
mesmos fenômenos.
Tal análise de sensibilidade serve para a busca de resultados ótimos 
que podem vir da otimização do modelo ou mesmo da modificação 
dos valores inicialmente estimados, uma vez que eles podem sofrer 
necessidade de ajuste e/ou atualização em função de terem sido 
estimados na fase de construção do modelo ou por causa do surgimento 
de novas possibilidades de interpretação e uso após a formulação do 
modelo.
Os casos mais comuns nos quais se observam tais alterações são 
decorrentes de mudanças nos valores dos recursos, variações: nas 
quantidades de recursos, nos coeficientes da função objetivo ou nos 
coeficientes das atividades, além do acréscimo de uma nova variável ou 
de nova restrição.
 15
Referências
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos 
para análise de decisões. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. 
LONGARAY, A. A. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: Saraiva, 
2013. 
 OLIVEIRA, R. L. Pesquisa operacional e otimização. Duque de Caxias, RJ: 
Unigranrio, 2019.
 
 16
	_GoBack
	Análise de Sensibilidade
	Para Início de Conversa...
	Objetivo
	1, Mudanças nos Lucros Unitários (Coeficientes da Função Objetivo)	
	2. Entrada de uma Nova Variável	
	3. Mudanças nos Valores dos Recursos
	Referências