TLF_Apontamentos_Erros

Prévia do material em texto

Introdução à Análise de 
Dados nas medidas de 
grandezas físicas
• www.chem.wits.ac.za/chem201/
• http://uregina.ca/~peresnep/
• www.ph.ed.ac.uk/~td/P3lab/Analysis/
• Notas baseadas nos apontamentos ‘Análise de Dados’ 
do Prof. Dr. Nuno Ayres de Campos
PRECISÃO e EXACTIDÃO
PRECISÃOPRECISÃO – Reprodutibilidade dos resultados
EXACTIDÃOEXACTIDÃO – Proximidade do valor médio 
relativamente ao «verdadeiro» valor
grande precisão
grande exactidão
grande precisão
pequena exactidão
pequena precisão
pequena exactidão
ERROS DE OBSERVAÇÃO ERROS DE OBSERVAÇÃO 
SISTEMÁTICOSSISTEMÁTICOS
• Reprodutíveis, quando se realiza a mesma 
experiência nas mesmas condições
• Se detectados, podem ser corrigidos
• Têm sempre o mesmo sinal algébrico
ExemplosExemplos
• equipamento defeituoso (e.g., mola permanentemente 
deformada)
• sistema de medida mal calibrado (e.g., o factor de 
conversão de uma tensão numa medida está errado)
• esquecimento da correcção da tara de uma balança
ERROS DE OBSERVAÇÃO ERROS DE OBSERVAÇÃO 
ALEATÓRIOS OU ACIDENTAISALEATÓRIOS OU ACIDENTAIS
• São diferentes (independentes) em cada 
realização da experiência
• Tanto podem ser positivos como negativos
• Não são susceptíveis de correcção
• Podem ser sujeitos a um tratamento estatístico
ExemplosExemplos
• flutuações aleatórias no equipamento electrónico
• erros na estimativa da divisão da escala mais 
próxima do valor a medir
• atrasos ou antecipações na utilização de um 
cronómetro
Estatística de base
Dada uma série de N medições (amostra) da 
grandeza física x, podemos definir :
• Média da amostra:
• Desvio da leitura i:
• Desvio padrão da amostra:
• Variância da amostra:
å
=
=
N
i
ixN
x
1
1
xxd ii -=
( )
1
1
2
-
-
=
å
=
N
xx
s
N
i
i
( )
1
1
2
2
-
-
=
å
=
N
xx
s
N
i
i
Com frequência, e devido aos erros aleatórios inerentes, Com frequência, e devido aos erros aleatórios inerentes, 
um conjunto de N leituras da variável x numa dada um conjunto de N leituras da variável x numa dada 
experiência apresenta uma distribuição Gaussiana: experiência apresenta uma distribuição Gaussiana: 
• Calcule-se o valor médio do conjunto das N leituras
• Verifique-se se os desvios das várias leituras 
relativamente à média seguem uma distribuição de 
probabilidades Gaussiana (curva em forma de sino 
centrada no valor médio 
Em muitos casos de experiências, os resultados Em muitos casos de experiências, os resultados 
distribuemdistribuem--se de acordo com uma curva suave ideal se de acordo com uma curva suave ideal 
chamada GAUSSIANA ou CURVA DE DISTRIBUIÇÃO chamada GAUSSIANA ou CURVA DE DISTRIBUIÇÃO 
NORMALNORMAL
Caracterizada por:
Valor médio Valor médio –– ``xx
corresponde ao centro 
da distribuição
Desvio padrão Desvio padrão –– ss
mede o ‘espalhamento’ 
da distribuição
População de dados
Para um conjunto infinito (hipotético) de dados, 
N N →→ ∞∞ `x x →→ µµ e s s →→ σσ
média da população desvio padrão da população
O resultado é tanto mais preciso 
quanto menor o desvio padrão.
No entanto… uma grande precisão não 
implica uma grande exactidão…
Os resultados experimentais exprimem-
se normalmente na forma: 
média ± desvio padrão sx
_
±
A incerteza associada à determinação da 
média decresce com N1/
22 /2)(xe
2
1y σμπσ
--=
Equação da curva Gaussiana:
πσ 2
1
= factor de normalização
Fica garantido que a área abaixo 
da curva é igual a 1
Probabilidade de medir um valor num certo 
intervalo de variação [x1, x2] = área situada 
entre a curva e o segmento x1x2 .
Intervalo Percentagem de observações
µ ± 1σ 68.3
µ ± 2σ 95.5
µ ± 3σ 99.7
O desvio padrão mede a largura da curva 
Gaussiana. 
(quanto maior σ, mais larga a curva)
No caso de uma só medição 
experimental
No caso da medição directa de uma grandeza física numa montagem
experimental simples, como a medição do comprimento de um objecto com
uma régua, da temperatura de um gás com um termómetro, da massa de um
corpo com uma balança, um só valor experimental será suficiente. Basta para
isso que os erros sistemáticos tenham sido eliminados e a leitura da escala do
instrumento tenha sido feita com cuidado.
Nesse caso, o erro associado será o erro devido à precisão (finita) do
instrumento. No caso da régua ou do termómetro de mercúrio, essa
precisão é limitada pelo espaçamento entre as marcas mais próximas da
escala. No caso de um termómetro digital ou de uma balança, essa
precisão é fornecida com as características do instrumento.
Tipicamente, o erro da medição de um valor numa escala como a da
régua ou do termómetro de mercúrio é igual a ½ da subdivisão mais
pequena da escala. É esse valor que se utiliza como desvio padrão
associado ao valor medido. Como exemplo, se se mediu um comprimento
de 1,003 m com uma régua que tem como subdivisão mais pequena o
intervalo de 1 mm, o resultado a apresentar é 1,003 ± 0,0005 m.
Propagação de erros
Suponhamos que se pretende determinar uma quantidade
Z, a partir da medida directa das grandezas A, B, C,…,
com as quais se relaciona através de Z = f(A,B,C,…).
Se os erros associados a A, B, C, ... forem independentes
(não houver correlação entre eles) então:
• melhor estimativa para Z é :
• melhor estimativa para o erro em Z é :
,...),,( CBAfZ =
( ) ( ) ( ) ( ) ...2222 +÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
= C
A
B
A
A
A
Z sC
Zs
B
Zs
A
Zs
iii
2 2 2
Ajuste de uma recta a dados 
experimentais (regressão linear)
Ajuste de um 
modelo linear aos dados: ordenada 
na origem
declive resíduo
iii bxay e++=
εi = yi - ŷi
y
xxi
yi
ŷi
bxay ii +=ˆ
valor previsto
Pressupostos de uma regressão linear
1. A relação funcional entre as variáveis x e y 
é linear.
2. Os erros associados à medição de x são 
desprezáveis.
3. Se fizermos várias observações de y para 
cada valor de x, obtemos uma distribuição 
normal dos desvios.
y
xxi
2σi
barra de erro
A probabilidade do verdadeiro valor da grandeza y para o 
correspondente valor xi da grandeza x estar dentro do intervalo 
definido pela barra de erro é de 68%.
= ŷ, valor previsto
ε
ε = erro residual
= y i , valor observado
valor previsto
bxay ii +=ˆ
• Os «melhores» valores para os coeficientes 
a e b são tais que
• Método dos Mínimos Quadrados: o critério para definir «a melhor» 
recta é que seja mínima a soma dos quadrados dos desvios entre os 
dados yi e os correspondentes pontos da recta, i,.e., ŷi
( )[ ]
2
1
å
=
+-=
N
i
ii baxyD
0
0
=
¶
¶
=
¶
¶
b
D
a
D
Caso mais simples: Os desvios padrão σi(yi) são todos iguais
Seja
Após alguma álgebra chegamos a
yNNiiii yyy e yx ssssss ====<< )()()()()( 2211 K
( )
( )
( )
( )
( )22
22
22
22
2
22
22
2
22
2
1 å
å å
å å
å
å å
å å å å
å å
å å å
--
-
=
-
=
-
=
-
-
=
-
-
=
baxy
N
xxN
N
xxN
x
xxN
yxxyx
b
xxN
yxyxN
a
iiy
ii
ya
ii
i
yb
ii
iiiii
ii
iiii
s
ss
ss
Teste diagnóstico para a regressão linear
Distribuição dos resíduos no caso do modelo 
linear ser o mais adequado para traduzir a 
dependência funcional y=f(x)
x
ε
0
Distribuição dos resíduos no caso de um 
modelo não linear traduzir melhor a 
dependência funcional y=f(x) (exemplos)
x
ε
0
x
ε
0
Algarismos significativos e 
arredondamentos
Um observador deve apresentar o seu resultado com o número de
algarismos significativos apropriados à incerteza no valor obtido. Não
faz sentido apresentar algarismos significativos para lá do algarismo
em que se espera que ocorra o erro, como por exemplo no caso
x = 2,36 ± 0,1. O resultado deve antes apresentar-se x = 2,4 ± 0,1.
É prática corrente trabalhar-se com mais algarismos
significativos nos cálculos intermédios e fazer os arredondamentos
necessários apenas no resultado final.