Aula 6 - Matemática Financeira

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<p>1</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>AULA 6</p><p>Prof. Nelson Pereira Castanheira</p><p>2</p><p>CONVERSA INICIAL</p><p>Olá pessoal. Chegamos ao nosso último encontro nessa disciplina. Agora você</p><p>já sabe distinguir com segurança a capitalização simples da capitalização composta,</p><p>ou seja, conhece comportamento sobre o dinheiro do juro simples e do juro composto.</p><p>Você verificou que na capitalização composta temos que diferenciar o juro</p><p>nominal do juro efetivo e o juro aparente do juro real. Observou que, quando pagamos</p><p>uma dívida com atraso, somos penalizados pelo que denominamos juro de mora.</p><p>Nesse caso, em períodos não inteiros (os chamados períodos fracionários), podem</p><p>sofrer juro simples ou juro composto, sendo que o juro simples é maior que o composto</p><p>nesses períodos.</p><p>Finalmente, você estudou que, quando pagamos uma dívida antecipadamente,</p><p>merecemos um desconto. Esse desconto pode ser simples ou composto, conforme o</p><p>contrato assinado no dia zero com juro simples ou composto, respectivamente.</p><p>Mas há ainda muito a aprender sobre matemática financeira e com aplicação</p><p>no nosso dia a dia. Por isso, vamos avançar nos nossos estudos ao longo desta aula.</p><p>TOP</p><p>O que temos então a estudar agora? Veremos como funciona a aplicação em</p><p>uma caderneta de poupança, certamente o investimento mais simples que o mercado</p><p>nos oferece.</p><p>Mas, quando desejamos fazer um investimento mais robusto, como abri uma</p><p>empresa, por exemplo, desejamos saber em quanto tempo o dinheiro que investimos</p><p>retornará para o nosso bolso. Nesse caso, estudaremos o que chamamos de payback.</p><p>Uma vez a empresa aberta e tendo sucesso no mercado, surge outra</p><p>preocupação: a depreciação dos bens da empresa ao longo do tempo. Precisamos,</p><p>então saber calcular essa depreciação.</p><p>Finalmente, como colocar o preço de venda nos produtos da sua empresa, em</p><p>função da margem de lucro que você deseja obter?</p><p>Esses temas e muito mais aprendermos ao longo da nossa aula.</p><p>Bons estudos!</p><p>3</p><p>ROLÊ 1: CADERNETA DE POUPANÇA</p><p>A caderneta de poupança é sem dúvida um investimento fácil e seguro, como</p><p>afirmam Castanheira e Serenato (2014, p. 172). Entretanto, ele rende pouco e, às</p><p>vezes, menos que a inflação. O que significa isso? Significa que o rendimento não</p><p>chega a recuperar o poder de compra do dinheiro que está investido. O rendimento</p><p>da poupança, por ser uma aplicação de baixo risco, é menor que o rendimento de</p><p>outros produtos onde o brasileiro pode investir. Em novembro de 2019, por exemplo</p><p>a inflação foi de 0,51% e a caderneta de poupança só rendeu 0,31%.</p><p>Apesar disso, a caderneta de poupança oferece garantias que são</p><p>interessantes, como a garantia de R$ 70 mil em depósitos por CPF em caso de</p><p>falência de determinada instituição financeira e é isenta de imposto de Renda para</p><p>pessoas físicas e PJ sem fins lucrativos.</p><p>Conforme Castanheira e Macedo (2020, p. 294), para depósitos feitos até 03</p><p>de maio de 2012 a caderneta de poupança tem rendimento de 0,5% ao mês mais a</p><p>TR – Taxa Referencial –, que hoje está zerada, para pessoas físicas, condomínio e</p><p>pessoa jurídica sem fins lucrativos; e rendimentos de 1,5% ao mês mais a TR ao</p><p>trimestre, para poupança de pessoa jurídica com fins lucrativos. Com a TR zerada,</p><p>desde 2018 o rendimento da poupança dos depósitos antigos rende 6,16% ao ano.</p><p>Para os depósitos feitos de 04 de maio de 2012 em diante, as regras são</p><p>diferentes. Quando a taxa Selic – Sistema Especial de Liquidação e Custódia – estiver</p><p>acima de 8,5% ao ano, a regra de remuneração permanece a mesma, ou seja, 0,5%</p><p>ao mês mais a TR, o que hoje é 6,16% ao ano (para ser exato, 6,167782% ao ano).</p><p>Quando a Selic for igual ou menor que 8,5% ao ano, a caderneta de poupança rende</p><p>70% da Selic.</p><p>A TR era uma taxa atualizada diariamente pelo Banco Central para servir de</p><p>base para a rentabilidade de alguns investimentos, dentre eles a caderneta de</p><p>poupança.</p><p>A Selic, por sua vez, é um dos principais indicadores do nosso mercado</p><p>financeiro, determinada também pelo Banco Central, mais precisamente pelo Comitê</p><p>de Política Monetária – Copom – que é formado pelos Diretores daquele Banco.</p><p>Quando você abre uma caderneta de poupança, esse dia é chamado de</p><p>aniversário da poupança, sendo esse aniversário comemorado todo mês. Assim, em</p><p>cada mês completo, a poupança renderá juros sobre o menor saldo daquele mês.</p><p>4</p><p>Vamos analisar um exemplo.</p><p>Suponhamos que você abriu uma caderneta de poupança no dia 01/02/2020 e,</p><p>que durante esse primeiro mês, teve os seguintes saldos:</p><p>De 01 a 08 R$ 4.250,00</p><p>De 09 a 12 R$ 3.000,00</p><p>De 13 a 25 R$ 5.240,00</p><p>De 26 a 30 R$ 5.590,00</p><p>No dia 01/03/2020, quando a caderneta fez o primeiro aniversário, ele terá um</p><p>reajuste.</p><p>Suponhamos que durante esse mês a Selic foi de 4,25%. Como você já sabe</p><p>calcular a taxa equivalente, se temos 4,25% no ano (12 meses), a taxa equivalente</p><p>mensal é de:</p><p>iq = (1 + it)q/t – 1</p><p>iq = (1 + 0,0425)1/12 – 1</p><p>iq = 0,34745 ao mês</p><p>Setenta por cento desse valor é:</p><p>0,70 . 0,34745 = 0,243215 % de</p><p>rendimento durante o mês.</p><p>Qual é então o novo saldo em 01/03/2020? Será R$ 5.590,00 (que estavam</p><p>depositados) mais 0,243215% de R$ 3.000,00 (por ter sido menor saldo do período).</p><p>Logo, teremos de saldo:</p><p>5.590,00 + (3000,00 . 0,00243215)  5.590,00 + 7,30  5.597,30</p><p>Lembrar que 0,243215% é igual a 0,243215 dividido por 100.</p><p>A partir do segundo aniversário será juro sobre juro, pois no próximo aniversário</p><p>a caderneta renderá juros sobre os R$ 7,30 de juros que estão no saldo do correntista.</p><p>iq = (1 + 0,0425)1/12 – 1</p><p>iq = 1,00347 – 1</p><p>iq = 0,00347 × 100</p><p>iq = 0,34745% ao mês</p><p>5</p><p>ROLÊ 2: PAYBACK SIMPLES (PB) E DESCONTADO (PBd)</p><p>Conforme Castanheira e Serenato (2014, p. 123), “Payback é o período de</p><p>tempo necessário para se recuperar o investimento feito, ou seja, é o tempo decorrido</p><p>entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala</p><p>ao valor desse investimento”.</p><p>Se considerarmos um fluxo de caixa com seus valores nominais, o payback é</p><p>denominado de ‘nominal’. Entretanto, se trouxermos cada valor futuro para a data</p><p>presente, o payback chama-se ‘presente líquido’”.</p><p>O Payback Simples é pouco utilizado uma vez que não considera nem uma</p><p>taxa de juros nem a inflação do período em que a análise é feita, ou seja, não corrige</p><p>o dinheiro ao longo do tempo em função da inflação do período.</p><p>O Payback é uma técnica de análise de investimento quando o risco existe e é</p><p>elevado.</p><p>Como exemplo de Payback Simples, vamos supor que você deseja montar um</p><p>negócio no qual investirá R$ 180.000,00. Ao completar um ano após o investimento</p><p>inicial, é esperado um retorno de R$ 50.000,00. No segundo ano, é esperado um</p><p>retorno de R$ 60.000,00. No terceiro ano é esperado um retorno de R$ 70.000,00. No</p><p>quarto ano, é esperado um retorno de R$ 88.000,00.</p><p>Sabemos que o resultado do fluxo deo caixa é igual ao Retorno menos o</p><p>Investimento. Assim sendo, vamos montar uma planilha mostrando esse investimento</p><p>e os retornos esperados.</p><p>Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4</p><p>Investimento 180.000 0 0 0 0</p><p>Retorno 0 50.000 60.000 70.000 88.000</p><p>Fluxo de caixa –180.000 50.000 60.000 70.000 88.000</p><p>Acumulado –180.000 –130.000 –70.000 0 88.000</p><p>Observe que o Payback Simples foi de 3 anos pois somente após três anos foi</p><p>recuperado o investimento inicial. Entretanto, na prática, o Payback é maior quando</p><p>se considera a taxa de juros para correção do capital ao longo do tempo. Para tal,</p><p>utiliza-se o Payback Descontado (PBd).</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Investimento</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Lucro</p><p>6</p><p>Caso você não tenha em mãos os R$ 180.000,00 necessários, no todo ou em</p><p>parte, para montar o seu negócio, precisará buscar esse capital no mercado</p><p>financeiro, que cobra juros.</p><p>Além disso, os valores</p><p>futuros são estimativas que poderão ser maiores ou</p><p>menores que os valores esperados.</p><p>Agora você deverá praticar resolvendo o exercício a seguir.</p><p>Suponhamos que você pretende abrir uma loja e necessitará, no total, de R$</p><p>240.000,00. Pela sua estimativa, no primeiro ano a loja lhe permitirá um faturamento</p><p>líquido de R$ 44.000,00, no segundo ano de R$ 62.000,00, no terceiro ano de R$</p><p>84.000,00 e no quarto ano R$ 100.000,00. Assim sendo, monte uma planilha</p><p>mostrando esse investimento e os retornos esperados. Informe qual foi o Payback</p><p>simples.</p><p>Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4</p><p>Investimento 240.000 0 0 0 0</p><p>Retorno</p><p>Fluxo de caixa</p><p>Acumulado</p><p>TRILHA 1: DEPRECIAÇÃO PELO MÉTODO LINEAR</p><p>Primeiramente é importante que você saiba que depreciação significa a</p><p>desvalorização dos bens de uma empresa. Sabemos que os bens de uma empresa</p><p>podem desvalorizar pelo uso (desgaste) ou pelo desuso (obsoletismo). Equipamentos</p><p>envelhecem ou sofrem desgastes, máquinas ficam obsoletas devido ao avanço</p><p>tecnológico, alguns setores como a informática estão sujeitos a rápida depreciação.</p><p>Não significa que os bens de uma, após sua vida útil, não valham nada. Sempre</p><p>valerão alguma coisa, por menor que seja e esse valor é o que denominamos de valor</p><p>residual. Há casos, entretanto, que o valor residual é igual a zero.</p><p>A depreciação real é difícil de ser calculada, mas podemos fazer uma</p><p>depreciação teórica. Para isso, precisamos saber o preço de aquisição de cada bem</p><p>da empresa, o seu valor residual e a sua vida útil. Para essa depreciação teórica temos</p><p>7</p><p>alguns métodos, dos quais estudaremos dois. O primeiro deles é o chamado método</p><p>linear. Para o seu entendimento, vamos analisar um exemplo.</p><p>Suponhamos que uma pessoa adquiriu um automóvel para utilização como taxi.</p><p>O valor de aquisição foi de R$ 50.000,00 e sua vida útil é de cinco anos. Supõe-se</p><p>hoje que esse automóvel, uma vez terminada a sua vida útil, valerá R$ 20.000,00</p><p>(esse é o valor residual). Vamos então montar uma planilha mostrando a depreciação</p><p>desse automóvel durante a sua vida útil, pelo método linear.</p><p>Para a depreciação linear, a fórmula a utilizar é:</p><p>DL =</p><p>𝐶−𝑅</p><p>𝑛</p><p>onde:</p><p>DL = depreciação linear</p><p>C = valor de aquisição do bem</p><p>R = valor residual do bem</p><p>n = vida útil do bem</p><p>Temos então que:</p><p>DL =</p><p>50000 −20000</p><p>5</p><p>DL = 6.000,00 ao ano</p><p>Investimento Depreciação Valor residual</p><p>Ano 0 50.000,00</p><p>Ano 1 0 6.000,00 44.000,00</p><p>Ano 2 0 6.000,00 38.000,00</p><p>Ano 3 0 6.000,00 32.000,00</p><p>Ano 4 0 6.000,00 26.000,00</p><p>Ano 5 0 6.000,00 20.000,00</p><p>Agora é você. Resolva o exercício a seguir.</p><p>Uma metalúrgica adquiriu hoje um torno no valor de R$ 800.000,00 cuja vida</p><p>útil está estimada para 6 anos. Após esse tempo, estima-se que o torno deverá ser</p><p>vendido por R$ 200.000,00. Montar uma planilha mostrando a depreciação desse</p><p>torno durante a sua vida útil.</p><p>8</p><p>TRILHA 2: DEPRECIAÇÃO PELO MÉTODO DA TAXA CONSTANTE</p><p>Outro método para realizarmos a depreciação teórica dos bens de uma</p><p>empresa é chamado método da taxa constante. Como o próprio nome já sugere,</p><p>iremos determinar uma taxa (porcentual) de depreciação de um bem ao longo da sua</p><p>vida útil. A fórmula ser utilizada é:</p><p>(1 – i)n =</p><p>𝑅</p><p>𝐶</p><p>onde:</p><p>C = valor de aquisição do bem</p><p>R = valor residual do bem</p><p>n = vida útil do bem</p><p>i = taxa de depreciação do bem ao longo de sua vida útil</p><p>Como exemplo, suponhamos que uma pessoa adquiriu um automóvel para</p><p>utilização como taxi. O valor de aquisição foi de R$ 50.000,00 e sua vida útil é de cinco</p><p>anos. Supõe-se hoje que esse automóvel, uma vez terminada a sua vida útil, valerá</p><p>R$ 20.000,00 (esse é o valor residual). Vamos então montar uma planilha mostrando</p><p>a depreciação desse automóvel durante a sua vida útil, pelo método da taxa constante.</p><p>(1 – i)n =</p><p>𝑅</p><p>𝐶</p><p>(1 – i)5 =</p><p>20000</p><p>50000</p><p>(1 – i)5 = 0,4</p><p>Vamos extrair a raiz quinta dos dois lados da igualdade. Teremos:</p><p>(1 – i) = √0,45</p><p>(1 – i) = 0,8325532074</p><p>I = 1 – 0,8325532074</p><p>i = 0,1674467926</p><p>Então, o automóvel irá depreciar 16,74468% ao ano.</p><p>Para a montagem da tabela de depreciação, multiplique 50.000,00 por</p><p>0,1674467926 e obterá como resultado 8.372,34.</p><p>Esse é o valor da depreciação no primeiro ano. Logo, ao final do primeiro ano</p><p>o automóvel valerá 50.000,00 – 8.372,34 = 41.627,66.</p><p>E assim por diante.</p><p>9</p><p>Investimento Depreciação Valor residual</p><p>Ano 0 50.000,00</p><p>Ano 1 0 8.372,34 41.627,66</p><p>Ano 2 0 6.970,42 34.657,24</p><p>Ano 3 0 5.803,24 28.854,00</p><p>Ano 4 0 4.831,51 24.022,49</p><p>Ano 5 0 4.022,49 20.000,00</p><p>Agora é você. Resolva o exercício a seguir.</p><p>Uma metalúrgica adquiriu hoje um torno no valor de R$ 800.000,00 cuja vida</p><p>útil está estimada para 6 anos. Após esse tempo, estima-se que o torno deverá ser</p><p>vendido por R$ 200.000,00. Montar uma planilha mostrando a depreciação desse</p><p>torno durante a sua vida útil.</p><p>ELO: MARK UP</p><p>De forma simples, o MARK UP pode ser definido como o lucro desejado sobre</p><p>o preço de venda. O MARK UP é fornecido na forma de porcentagem.</p><p>Vamos definir MARK UP como:</p><p>MARK UP = LUCRO DESEJADO</p><p>PREÇO DE VENDA</p><p>Simplificadamente, M =</p><p>𝐿</p><p>𝑃𝑉</p><p>onde:</p><p>M = MARK UP</p><p>L = lucro desejado</p><p>PV = preço de venda</p><p>O preço de venda, por sua vez, deverá ser igual ao preço de custo (PC) mais o</p><p>lucro desejado (L). Simplificadamente, temos:</p><p>PV = PC + L</p><p>onde:</p><p>PC = preço de custo</p><p>L = lucro desejado</p><p>10</p><p>Vamos analisar alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Uma mercadoria tem um mark up de 60% e o seu preço de venda é R$ 300,00.</p><p>Qual foi o preço de custo dessa mercadoria?</p><p>PV = 300,00</p><p>M = 60% = 0,60</p><p>PV = PC + L</p><p>M =</p><p>𝐿</p><p>𝑃𝑉</p><p>L = M . PV</p><p>L = 0,60 . 300</p><p>L = 180,00</p><p>Então:</p><p>PV = PC + L</p><p>PC = PV – L</p><p>PC = 300,00 – 180,00</p><p>PC = 120,00</p><p>Exemplo 2:</p><p>Vamos analisar outro exemplo. Uma mercadoria cujo preço de custo foi de R$</p><p>400,00 estava sendo vendida com um MARK UP de 30%. Qual o preço de venda</p><p>dessa mercadoria? Caso aumentemos o MARK UP em 10%, qual o correspondente</p><p>porcentual de aumento no preço de venda?</p><p>Temos então:</p><p>M = 30% = 0,30</p><p>PC = 400,00</p><p>M =</p><p>𝐿</p><p>𝑃𝑉</p><p>0,30 =</p><p>𝐿</p><p>𝑃𝑉</p><p>L = 0,30 . PV</p><p>PV = PC + L</p><p>PV = 400,00 + 0,30 . PV</p><p>PV – 0,30 . PV = 400,00</p><p>11</p><p>0,70 . PV = 400,00</p><p>PV = 571,43</p><p>Vamos chamar o novo preço de venda de PV1, o novo lucro de L1 e o novo</p><p>MARK UP de M1. Temos então:</p><p>M1 =</p><p>𝐿1</p><p>𝑃𝑉1</p><p>M1 = 40% = 0,40</p><p>L1 = 0,40 . PV1</p><p>PV1 = PC + L1</p><p>PV1 = PC + 0,40 . PV1</p><p>PV1 – 0,40 . PV1 = PC</p><p>0,60 . PV1 = PC</p><p>0,60 . PV1 = 400,00</p><p>PV1 = 666,67</p><p>Ou seja, porcentualmente, o preço de venda subiu 16,67% para um aumento</p><p>de 10% no MARK UP.</p><p>Resumindo, para cada 10% que o lojista ganha a mais, o cliente paga a mais</p><p>16,67%.</p><p>Chegou a sua vez. Resolva o exercício a seguir.</p><p>Uma loja que trabalha com um MARK UP de 50%, comprou uma mercadoria</p><p>por R$ 345,00. Qual será o preço de venda dessa mercadoria?</p><p>12</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial e</p><p>financeira. 2. ed. Curitiba: Editora Ibpex, 2008.</p><p>CASTANHEIRA, Nelson Pereira; Macedo, Luiz Roberto Dias de. Matemática</p><p>financeira aplicada. 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2020.</p><p>CASTANHEIRA, Nelson P.; SERENATO, Verginia S. Matemática financeira &</p><p>análise financeira para todos os níveis. 3. ed. Curitiba; Editora Juruá, 2014.</p><p>13</p><p>RESPOSTAS</p><p>ROLÊ 2</p><p>Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4</p><p>Investimento 240.000 0 0 0 0</p><p>Retorno 0 44.000 62.000 84.000 100.000</p><p>Fluxo de caixa –240.000 44.000 62.000 84.000 100.000</p><p>Acumulado –240.000 –196.000 –134.000 –50.000 50.000</p><p>O Payback simples foi de três anos e meio.</p><p>TRILHA 1</p><p>DL =</p><p>800000 −200000</p><p>6</p><p>DL = 100.000,00 ao ano</p><p>Investimento</p><p>Depreciação Valor residual</p><p>Ano 0 800.000,00</p><p>Ano 1 0 100.000,00 700.000,00</p><p>Ano 2 0 100.000,00 600.000,00</p><p>Ano 3 0 100.000,00 500.000,00</p><p>Ano 4 0 100.000,00 400.000,00</p><p>Ano 5 0 100.000,00 300.000,00</p><p>Ano 6 0 100.000,00 200.000,00</p><p>TRILHA 2</p><p>(1 – i)6 =</p><p>200000</p><p>800000</p><p>(1 – i)6 = 0,25</p><p>Extraindo a raiz sexta dos dois lados da igualdfade:</p><p>(1 – i) = 0,7937</p><p>i = 1 – 0,7937</p><p>i = 0,2063 ao ano (ou seja, 20,63% ao ano)</p><p>Investimento Depreciação Valor residual</p><p>Ano 0 800.000,00</p><p>Ano 1 0 165.040,00 634.960,00</p><p>14</p><p>Ano 2 0 130.992,25 503.967,75</p><p>Ano 3 0 103.968,55 399.999,20</p><p>Ano 4 0 82.519,83 317.479,37</p><p>Ano 5 0 65.495,99 251.983,38</p><p>Ano 6 0 51.984,17 199.999,21</p><p>O resultado final não foi o valor de R$ 200.00,00 redondo porque trabalhamos</p><p>com poucas casas após a vírgula no valor da taxa. O valor real é i = 0,206299474.</p><p>Isso não deve preocupar você.</p><p>ELO</p><p>PV = 690,00</p>