Cálculo de Esforços e Tensões em Vigas

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PEF 2308 – Fundamentos de Mecânica das Estruturas – Lista de Exercícios P2-B 
(E4) Para a viga da figura abaixo com A = 36 cm2, Iy = 204 cm4, Iz = 135 cm4, 
Determine: 
a)Os esforços solicitantes na seção mais solicitada; 
b)A expressão das tensões normais; 
c)A posição da linha neutra; 
d)As tensões normais extremas (máxima e mínima). 
 
 
 
a) No engastamento temos: 
 
 
2c
m
 
6c
m
 
5c
m
 
9cm 
G 
5 kN
200 kN
10 kN 
N = - 200 kN 
Vy = -10 kN 
Vz = -5 kN 
My = 250 kN.cm 
Mz = -500 kN.cm
T = 0 
Vz 
Vy N 
500 kN.cm 
250 kN.cm 
 
 
 
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b) A tensão normal é dada por: 
 
yz
z y
MMN= - y+ z
A I I
σ 
200 -500 250= - - y+ z
36 135 204
σ = -5,56 + 3,70 y+1, 23zσ 
 
 
c) A linha neutra é dada por: 
 
= 0σ -5.56 + 3,70 y+1, 23z = 0 z = -3,01y+ 4,52 
 
 
 
d) As tensões normais extremas são nos pontos A e (B ou C): 
 
(TRAÇÃO) 
( )y=4,5;z=3 -2
A = -5,56 + 3,70.4,5 +1,23.3 = +14,78 kN.cmσ 
 
(COMPRESSÃO) 
( ) ( )y=-4,5;z=1 -2B = -5,56 + 3,70. -4,5 +1,23.1 = -20,98 kN.cmσ 
( ) ( ) ( )y=-1,5;z=-5 -2C = -5,56 + 3,70. -1,5 +1,23. -5 = -17,26 kN.cmσ 
A(4,5;3)
C(-1,5;-5) 
B(-4,5;1) 
linha neutra 
y 
z 
 
 
 
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(E5) Para a viga da figura abaixo, determine: 
a)Os esforços solicitantes extremos; 
b)Na seção mais solicitada, a posição da linha neutra; 
c)As tensões normais extremas (máxima e mínima). 
 
 
 
a) No engastamento temos: 
 
y
z 
2c
m
 
2c
m
 
20
cm
 
3cm 6cm 3cm 
0,4m 
0,6m 
20 kN 
30 kN 
25 kN 
30 kN 20 kN 
25 kN 
2500 kN.cm 
2000 kN.cm 
1800 kN.cm 
N = 0 kN 
|Vy|= 25 kN 
|Vz|= 50 kN 
My = 3800 kN.cm 
Mz = -2500 kN.cm
T = 0 
 
 
 
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b) Características da seção: 
3 3 3
4
y
total-buraco
b.h 12.24 6.20I = = - = 9 824 cm
12 12 12
 
 
  
 
3 3 3
4
z
total-buraco
h .b 24.12 20.6I = = - = 3 096 cm
12 12 12
 
 
  
 
 
A tensão normal é dada por: 
 
yz
z y
MMN= - y+ z
A I I
σ 
 
2500 3800= 0 - y+ z
3096 9824
σ = 0,81y+ 0,39 zσ 
 
 
A linha neutra é dada por: 
 
= 0σ 0,81y+ 0,39 z = 0 z = -2,08 y 
 
 
y 
z 
linha neutra 
A(6;12) 
B(-6;-12) 
 
 
 
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c) As tensões normais extremas são nos pontos A e B: 
 
(TRAÇÃO) 
( )y=6;z=12 -2
A = 0,81.6 + 0,39.12 = +9,54 kN.cmσ 
 
(COMPRESSÃO) 
( ) ( ) ( )y=-6;z=-12 -2B = 0,81. -6 + 0,39. -12 = -9,54 kN.cmσ