Apostila Translação de Eixos

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TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS
Prof. Margareth da Silva Magalhães
Universidade do Estado da Bahia
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1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
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1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Um ponto P do plano tem coordenadas:
 x e y em relação ao sistema xOy.
 x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y‘.
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1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
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EXEMPLO
Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.
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RESOLUÇÃO:
Fórmulas de translação
x = x’ + 3
y = y’ + 4
Substituição
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0
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RESOLUÇÃO:
Fórmulas de translação
x = x’ + 3
y = y’ + 4
b) Substituição
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0
x’² + y’² = 4
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1. ROTAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Mantendo-se fixa a origem O, faz-se uma rotação nos eixos x e y de um mesmo ângulo, no sentido anti-horário. Obtemos assim um novo sistema x’O’y’ por uma rotação de xOy.
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1. ROTAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Fórmulas de rotação
x = x’cosθ – y’sen θ 
y = x’sen θ + y’cos θ
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EXEMPLO
A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação de eixos de amplitude θ = 45°.
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Fórmulas de rotação
x = x’cosθ – y’sen θ 
y = x’sen θ + y’cos θ
θ = 45°
RESOLUÇÃO
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Fórmulas de rotação
Substituição
5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0
4x’² + y’² - 4 = 0
RESOLUÇÃO
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COORDENADAS POLARES NO PLANO
Até agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um ponto do plano é representado por um par de números reais que representam as distâncias entre um ponto e os eixos coordenados
P(x, y)
x
y
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COORDENADAS POLARES NO PLANO
P(r, θ)
r
θ
O (Polo)
Eixo polar
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COORDENADAS POLARES NO PLANO
Coordenadas Retangulares ou Cartesianas
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COORDENADAS POLARES NO PLANO
Coordenadas Polares
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COORDENADAS POLARES NO PLANO
P(r, θ)
r
θ
O
Eixo polar
P(-r, θ) = P(r, θ + ) 
-r
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TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS - POLARES
x
y
r
θ
O
x = r.cosθ
y = r.senθ
x² + y² = r²
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Exercícios
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Exercícios
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ESTUDO DAS CÔNICAS
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Considere-se, em um plano , um ponto F e uma reta d que não contém F. Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos pontos do plano  que eqüidistam de d e F.
PARÁBOLA
Definição
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PARÁBOLA
Aplicações Práticas
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PARÁBOLA
Aplicações Práticas
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PARÁBOLA
Aplicações Práticas
Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA) 
Lançamento de um projétil. 
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F: foco;
d: diretriz;
V: vértice;
p: parâmetro que representa a distância do foco a diretriz ( p 0);
Reta VF: eixo de simetria da parábola. 
AA’: corda focal mínima (LACUS RECTUM)
PARÁBOLA
Elementos da Parábola
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Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:
PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
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PARÁBOLA
P = (x,y)
F = (p/2,0)
P’ = (-p/2, y)
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x
y’² = 2px’
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
( y- yo )² = 2p(x - xo)
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x
( y- yo )² = 2p(x - xo)
Desenvolvendo e isolando x:
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
P = (x, y)
F = (0, p/2)
P’ = (x, -p/2)
Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz tem equação: y = -p/2
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y
x’² = 2py’
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
( x- xo )² = 2p(y - yo)
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PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y
( x- xo )² = 2p(y - yo)
Desenvolvendo e isolando x:
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PARÁBOLA
Equações da Parábola (geral):
Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x = ay² +by + c
y = ax² +bx + c
Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
a > 0 (p > 0) 
a < 0 (p < 0) 
p = 1/(2a) 
a > 0 (p > 0) 
a < 0 (p < 0) 
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ELIPSE
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª), onde 2a > d(F1F2).
Definição
d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
d(Q , F1) + d(Q, F2) = 2a
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ELIPSE
a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.
Aplicações Práticas
a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).
a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor 156 m.
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ELIPSE
Elementos da Elipse
F1 e F2 : focos;
2c: distância focal (distância entre os focos = d(F1F2));
O: centro da elipse;
A1, A2, B1, B2 : vértices da elipse;
2a: eixo maior (distância entre os vértices = d(A1A2));
2b: eixo menor (distância entre os vértices = d(B1B2)).
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ELIPSE
Elementos da Elipse
Excentricidade:
0 < ε < 1
a² = b² + c²
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ELIPSE
Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
 1. O eixo maior coincide com o eixo x
Sejam:
P = (x,y) um ponto qualquer da elipse.
F1 = (-c,0);
F2 = (c,0)
Por definição:
d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
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ELIPSE
Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
 1. O eixo maior coincide com o eixo x
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ELIPSE
Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
 1. O eixo maior coincide com o eixo y
Sejam:
P = (x,y) um ponto qualquer da elipse;
F1 = (0, c) e F2 = (0, -c)
Por definição e de forma análoga: d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
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ELIPSE
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
 1. O eixo maior é paralelo ao eixo x
Equações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados 
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ELIPSE
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
 1. O eixo maior é paralelo ao eixo y
Equações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados 
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ELIPSE
Equações da Elipse (reduzida):
Eixo maior é paralelo ao eixo x:
(x – xo)² + (y – yo)² = 1
 a² b²
Eixo maior é paralelo ao eixo y:
(x – xo)² + (y – yo)² = 1
 b² a²