FisExpI2012

Prévia do material em texto

Universidade de Taubaté
Instituto Básico de Exatas
Física Experimental I
2012
Ruy Morgado de Castro et al
Aluno:
Curso: Professor:
Autorizo a reprodução e divulgação total e parcial deste trabalho, por qual-
quer meio convencional ou eletrônico, para fins de estudo e pesquisa, desde
que citada a fonte.
Expediente
Reitor
Prof. Dr. José Rui Camargo
Vice-reitor
Prof. Dr. Marcos Roberto Furlan
Pró-reitora de Graduação
Profa. Dra. Ana Júlia Urias dos Santos
Instituto Básico de Exatas
Prof. Dr. Eurico Arruda Filho
Prefácio
A Física Experimental I é uma disciplina ministrada na primeira série dos cursos de Ciên-
cias Exatas sendo o seu conteúdo constituído de Medições Físicas, Mecânica e Termologia
que acompanham de certo modo o conteúdo próprio de Física - I. No entanto, o objetivo mais
importante em nossa opinião, numa fase inicial, é aquele relacionado com a aprendizagem do
uso das medições físicas dentro do método científico, do uso dos instrumentos de medição e
das técnicas de análise e tratamento de dados.
Esta Apostila representa parte do esforço ora empreendido no Departamento de Mate-
mática e Física da Universidade de Taubaté no sentido de se elaborar um material próprio
para o desenvolvimento das atividades de ensino. As experiências aqui apresentadas, na
sua maioria, não têm a pretensão de grande originalidade já que correspondem a adapta-
ções do que se tem feito em várias universidades (inclusive na UNITAU) durante muito tempo.
Esperamos que o trabalho iniciado em 1997, e aprimorado em 2002 e 2007, venha com o
tempo a ser devidamente aperfeiçoado pelas críticas e sugestões que devem advir do uso do
material que ora colocamos à disposição dos leitores.
A diagramação e digitação desta apostila, bem como os desenhos se deveram à dedicação
dos Professores de Física Experimental Décio Werneck Moreira, Ruy Morgado de Castro,
Claudemir Stelatti e Maria Luísa Collucci da Costa Reis e do funcionário Mauro Almeida
Marcondes.
OS AUTORES
Autores
São autores desta Apostila todos os Professores e Funcionários que contribuíram, direta
ou indiretamente, para o aprimoramento da Disciplina e da Apostila de Física Experimental I.
Em especial, podemos citar:
Professores
Abi César Castilho Gustavo Frederico Ribeiro Peão
Alex Guimarães Azevedo José Henrique Fernandez
Antonio Gelson de Oliveira Pinto José Mauro Klier Monteiro
Aurélio Moreira da Silva Neto Luiz Alberto Maurício
Claudemir Stellatti Maria Luiza Collucci da Costa Reis
Décio Werneck Moreira Paulo Quintairos
Fábio do Prado Roberto Stempniak
Fátima Cristina H. Oliveira Souza Ruy Morgado de Castro
Funcionários
Cássio Martins Marques da Cruz Juliana Gomes do Amaral Soares
Edjones Silva Alves Mauro Almeida Marcondes
José Maria Brun
Sumário
Prefácio iv
A Prática do Laboratório de Física vii
Avaliação e Frequência x
Bibliografia Recomendada xi
I Pré requisitos xii
1 Sistema Internacional de Unidades (SI) 1
2 Calculadora 10
II Tratamento de Dados 14
3 Medições de Tempo 15
4 Parâmetros Característicos 22
5 Distribuição Normal 25
6 Leitura de uma Escala Milimetrada 31
7 Incertezas 34
8 Medições de Comprimento: Régua e Paquímetro 38
9 Resultado de uma medição 43
10 Informações Complementares 50
11 Exercícios 54
III Incerteza 67
12 Incerteza Combinada 68
13 Massa Específica 72
SUMÁRIO vii
14 Exercícios 75
IV Gráficos 82
15 Escalas Lineares: Gráficos em Papel Milimetrado 83
16 Estudo do Movimento Unidimensional 99
17 Escalas Logarítmicas I: Gráficos em Papel Di-Log 102
18 Escalas Logarítmicas II: Gráficos em Papel Mono-Log 111
19 Exercícios 122
V Outras técnicas 133
20 Regressão Linear 134
21 Simulação de Fenômenos de Comportamento Exponencial 139
VI Aplicações 142
22 Estudo do Movimento Acelerado 1 143
23 Estudo do Movimento Acelerado 2 145
24 Sistema Massa-Mola. Método Estático 148
25 Sistema Massa-Mola. Método Dinâmico 151
26 Medição da Aceleração da Gravidade: Pêndulo Simples 154
27 Cordas Vibrantes 157
28 Lei de Newton do Resfriamento 161
29 Calorímetro 164
VII Apêndice 168
A Tabelas de Distâncias 169
B Incerteza Combinada - Demonstrações 170
C Síntese 174
D Relatório 177
E Alfabeto Grego 181
A Prática do Laboratório de Física
Introdução
Nas aulas em laboratório o aluno tem a oportunidade de ser mais ativo e participar
mais de todo processo do que nas aulas teóricas. Entretanto, para que essa atividade seja
produtiva é importante que o aluno esteja preparado para ela. Por isso é que o aluno,
utilizando-se da programação das aulas, deve procurar inteirar-se dos conteúdos e das
atividades a serem desenvolvidas antes da aula. Somente assim a aula terá condições de ser
produtiva. Esta preparação consiste pelo menos na leitura da apostila da disciplina, de textos
complementares e, no que diz respeito ao conteúdo teórico, do livro-texto de Física.
Atitude no Laboratório
A atitude do aluno no laboratório deve ser entendida como um dos elementos im-
portantes para o futuro trabalho profissional do aluno, seja ele engenheiro, físico, matemático
ou de outra profissão. Muito provavelmente ele poderá utilizar laboratórios de pesquisa
ou de ensino em seu trabalho profissional. Os instrumentos e todo o equipamento devem
ser manuseados com o devido cuidado, procurando compreender o seu funcionamento e
estar ciente da sua técnica de funcionamento antes de colocá-lo em operação. É frequente
encontrarmos alunos que, movidos pela curiosidade, começam a mexer em botões, agitar
substâncias, alterar a posição dos equipamentos logo ao entrar no laboratório sem primeiro
tomar conhecimento da utilidade, do uso e, principalmente, das regras de segurança do
equipamento. Também é importante que cada usuário tenha consciência das normas de
segurança no laboratório.
O laboratório é um lugar para se exercitar o trabalho em equipe. Trata-se de procurar
desenvolver aptidões para atividade conjunta, o que é uma necessidade nas mais variadas
atividades profissionais. O trabalho em equipe consiste em colaborar com os outros membros
no sentido que todos aproveitem ao máximo a atividade para atingir os objetivos da experiên-
cia e, também, como meta de crescimento profissional. Duas atitudes extremas podem ser
prejudiciais neste caso: uma imposição de liderança e uma passividade excessiva. Todos os
membros do grupo devem trabalhar no interesse de todos, muitas vezes dividindo o trabalho
e, outras vezes, revezando-se nas atividades. Todos devem ter a oportunidade de participar
da medição, evitando que sempre o mesmo aluno fique encarregado de realizar a medição
enquanto os outros simplesmente tomam nota dos valores obtidos.
ix
Este trabalho em equipe exige, muitas vezes, que os alunos troquem informações orais: há
a necessidade de se falar. Se todas as equipes se puserem a falar em voz alta, o resultado será
prejudicial ao bom andamento do trabalho. Portanto, em benefício de todos, é absolutamente
necessário falar em voz baixa procurando interferir o mínimo possível no trabalho das outras
equipes.
Dedicação à Disciplina
A dedicação à disciplina fora do horário de aula (além da leitura desta Apostila e
dos livros textos antes da aula) é essencial para o amadurecimento dos conceitos vistos
durante a aula. Assim, através de um trabalho sistemático o aproveitamento das aulas é
maximizado.
Deste modo é muito importante que os alunos dediquem, pelo menos, o mesmo
tempo de aula para atividades extra classe.
Caderno de Laboratório
Muitas vezes, o resultado de um experimento no laboratório serve para uma to-
mada de decisão e consiste num dos elementos mais importantes do estudo teórico-prático.
Assim as observações feitas no laboratório devem ser registradas e documentadas de modo
muito cuidadoso. Numa primeira fase, isto é feito num caderno próprio de laboratório,
um caderno simples é o ideal. O importante é que seja reservado exclusivamente para as
atividades de laboratório. Este caderno é de uso pessoal e não deve ser confundido com
os trabalhos que devem ser feitos a partir de suas anotações. As anotações nestecaderno
devem ser tomadas diretamente durante a experiência e não é aconselhável fazer um rascunho
para depois "passar a limpo", pois além da perda de tempo há o perigo de uma transcrição
equivocada para o caderno. Não há a necessidade de sofisticação, como por exemplo, o uso
de régua ou esquadro para desenhos. Devem ser anotações simples para uso pessoal.
As anotações no caderno de laboratório, ainda que simples, devem ser suficientes para que
o autor (aluno) possa recompor os passos e os resultados da sua experiência mesmo depois
de passados vários meses da realização da mesma. Assim deve começar sempre pela data
seguida do título da experiência. Um esboço esquemático do equipamento, os instrumentos
utilizados (marca e número), as tabelas, os cálculos feitos e outras observações que o aluno
julgar importantes devem estar presentes. O caderno deve ser anotado de preferência com
caneta e não se deve apagar informações equivocadas: usa-se apenas um traço e se escreve a
informação correta ao lado. Isto é importante porque algumas vezes a informação equivocada
pode ser relevante numa revisão posterior.
x
Folha de Dados
Para facilitar ainda mais o registro dos dados obtidos, deve-se, ao final de cada
experimento, entregar uma folha contendo todos os dados obtidos pela equipe (se a expe-
riência foi realizada em equipe) ou pelo aluno (se a experiência foi realizada individualmente).
Calculadora Científica
Muito embora não seja um item obrigatório é interessante que o aluno tenha sem-
pre a mão uma Calculadora Científica (com funções estatísticas), pois a sua utilização nas
aulas é bastante frequente.
Além do uso no laboratório, a utilização da calculadora nas provas1 permite uma economia
de tempo significativa na execução dos cálculos.
Entretanto, não é suficiente “levar” a calculadora na aula, é muito importante saber como
utilizá-la corretamente. Deste modo sugerimos que os alunos leiam com atenção o manual da
calculadora, seguindo e executando os exemplos apresentados.
Para quem pretende comprar uma calculadora (principalmente no dia da prova), é impor-
tante lembrar que não adianta possuir uma “supercalculadora” se não sabe como utilizá-la
corretamente. Por isso é bom avaliar criteriosamente as várias opções de calculadora, levando
em consideração, até mesmo, o tempo necessário para ler o manual e aprender a utilizar os
recursos mais importantes.
1 É conveniente lembrar que o empréstimo de material nas provas, principalmente de calculadoras é proibido.
Avaliação e Frequência
Avaliação
A avaliação na Disciplina de Física Experimental I pode ser realizada por meio de
provas, relatórios e sínteses. Consequentemente a nota final poderá ser composta pela média
ponderada destas avaliações.
Prova
A prova poderá/deverá envolver todo o conteúdo estudado, do início da disciplina até
a realização da mesma e, geralmente, é feita com consulta à apostila e/ou caderno 2 (daí a
importância de boas anotações).
Sínteses e Relatório
São descritos com mais detalhes nos Apêndices C e D, desta apostila.
Frequência
A frequência do aluno é controlada no início (por meio da lista de chamada) e no final
da aula (com a entrega da Folha de Dados e/ou Síntese).
2Lembramos, que o empréstimo de material (Calculadoras, Cadernos, Relatórios e Sínteses) é proibido du-
rante a realização da prova.
Bibliografia Recomendada
Muito embora a maioria das informações necessárias para a disciplina esteja contida nesta
apostila, ela foi desenvolvida como um material para apoio das atividades da disciplina de
Física Experimental, servindo apenas como um guia para as experiências e de apoio didático.
Para complementar o conteúdo necessário para o desenvolvimento da disciplina é
necessário que o aluno consulte alguns dos livros de referência. Os livros de Física Básica
são bastante numerosos e a maioria destes livros é adequada. Em especial podemos citar os
seguintes livros:
• Princípios de Física, Volume 1 - Mecânica Clássica, Editora Thomson, 2004
Raymond Serway e John W. Jewett Jr.
• Princípios de Física, Volume 2 - Movimento Ondulatório e Termodinâmica, Editora
Thomson, 2004
Raymond Serway e John W. Jewett Jr.
Já os livros sobre Física Experimental, são raros e alguns deles não possuem a mesma
proposta de trabalho utilizada nesta disciplina. A seguir listamos alguns livros sobre Trata-
mento Estatístico de Dados que são úteis para o desenvolvimento da disciplina.
• Fundamentos da Teoria de Erros, Editora Edgard Blücher Ltda, 1996
José H. Vuolo
• Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, Editora Edgard Blücher Ltda,
1991
Otaviano A. M. Helene e Vito R. Vanin
Além da bibliografia citada, em alguns tópicos e quando oportuno, serão apresentadas
outras referências, mais adequadas ao assunto em estudo.
Parte I
Pré requisitos
Capítulo 1
Sistema Internacional de Unidades (SI)
1.1 Introdução
A tendência moderna em Ciência e Tecnologia é adotar, para representar os resultados de
medições, um sistema de unidades coerente denominado Sistema Internacional de Unidades
ou SI. Muitos, porém, não se dão conta de que o uso deste sistema envolve um conjunto de
regras que devem ser observadas e sem as quais a qualidade da informação científica ficará
prejudicada. Vamos a seguir comentar alguns aspectos importantes do Sistema Internacional
de Unidades.
O Sistema Internacional é composto de duas classes de unidades: unidades de base e
unidades derivadas.
1.2 Unidades de Base
As unidades de base são estabelecidas não só pelas suas definições, mas também pelo
estabelecimento de padrões primários. Atualmente são sete as unidades de base.
Nome da Unidade Símbolo
metro m
segundo s
quilograma kg
ampére A
kelvin K
candela cd
mol mol
Tabela 1.1: Nome e símbolo das Unidades Base do SI.
1.2 Unidades de Base 2
Cada uma dessas unidades tem a sua definição:
• “um metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz, no vácuo, durante um inter-
valo de tempo de 1/299 792 458 de segundo”
• “um segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à
transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133”
• “um quilograma é igual à massa do protótipo internacional do quilograma”
• “um ampére é a corrente elétrica invariável que, mantida em dois condutores retilíneos
e paralelos de comprimento infinito e de área de seção transversal desprezível e situados
no vácuo a 1 metro de distância um do outro produz entre esses condutores uma força
igual a 2 · 10−7 newton por metro de comprimento desses condutores”
• “um kelvin é a fração 1/ 273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da
água”
• “uma candela é a intensidade luminosa, numa direção dada, de uma fonte que emite
uma radiação monocromática de frequência 540 · 1012 hertz e cuja intensidade energé-
tica naquela direção é 1/683 watt por esterradiano”
• “um mol é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas unidades elemen-
tares quantos são os átomos contidos em 0,012 quilograma de carbono”
Essas definições foram estabelecidas por estudos feitos por organismos internacionais e
são frequentemente revisadas no propósito de se obter um sistema de medições que seja o
mais acessível e permita obter medições com melhor qualidade. A definição do metro evoluiu
desde a sua proposta inicial na época da Revolução Francesa quando se pretendia que o
metro representasse uma fração do meridiano terrestre que passa por Paris, passando para o
comprimento de uma barra de platina e irídio, modificada, depois para ser um certo número
de comprimento de onda de uma radiação emitida pelos átomos de criptônio até chegar à
definição atual em 1983. Outras unidades tiveram, também, a sua evolução.
A leitura das definições pode dar a impressão de terem apenas interesse teórico e que na
prática não há necessidade de tal sofisticação. Isto, porém, não é a verdade. É a partir de
tais definições que os institutos de metrologia passam à chamada realização do padrão com
grandes cuidados de exatidão e reprodutibilidade,os quais servirão para a obtenção de outros
padrões secundários a serem utilizados em todas as aplicações de metrologia. Essas definições
refletem, ainda, a preocupação de que cada padrão deve ser, tanto quanto possível, invariável
no tempo e acessível nos mais diferentes lugares. E não se trata apenas de servir à Ciência:
as aplicações tecnológicas da indústria, do comércio e de todas as atividades modernas estão
a exigir critérios metrológicos cada vez mais restritos na busca da melhor qualidade dos pro-
dutos e serviços. Estas preocupações fazem com que as definições das unidades e a própria
escolha das unidades de base sejam modificadas de tempo em tempo.
1.3 Unidades Derivadas 3
1.3 Unidades Derivadas
As unidades derivadas são definidas de modo que possam ser expressas em função das
unidades de base. Por exemplo, a unidade de força é o newton que é “a força que comunica
à massa de um quilograma a aceleração de 1 metro por segundo por segundo”. A unidade de
pressão é o pascal que é a “a pressão exercida por uma força de 1 newton, uniformemente
distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à sua
direção”. E assim por diante.
Devemos observar que para cada unidade temos: um nome, um símbolo e uma definição.
Temos, além disso, certas regras que devem ser seguidas e que serão comentadas no próximo
tópico. Exemplos de algumas das unidades derivadas do SI são apresentadas a seguir:
Grandeza Nome da Unidade Símbolo Equivalente a
Ângulo plano radiano rad m/m = 1
Ângulo Sólido esterradiano sr m2/m2 = 1
Velocidade m/s
Aceleração m/s2
Velocidade angular rad/s
Aceleração angular rad/s2
Frequência hertz Hz s−1
Força newton N kg·m/s2
Pressão pascal Pa N/m2
Trabalho e Energia joule J N·m ou kg·m2/s2
Potência watt W J/s
Temperatura Celsius grau Celsius oC (K - 273,16)
Tensão elétrica volt V J/C ou W/A
Resistência Elétrica ohm Ω V/A
Indução magnética tesla T Wb/m2 ou N/(A·m)
Fluxo magnético weber Wb V·s
Tabela 1.2: Algumas Unidades Derivadas do SI.
1.4 Outras Unidades em uso com o SI 4
1.4 Outras Unidades em uso com o SI
Muito embora o SI seja um sistema consistente de unidades, que está sendo utilizado
cada vez mais, existem algumas unidades que por tradição e facilidade ainda possuem muita
importância em diversas atividades. Na Tabela 1.3 são apresentadas as unidades que podem
ser utilizadas juntamente com o SI, sem restrição de prazo. Já na Tabela 1.4 são apresentadas
as unidades admitidas apenas temporariamente.
Grandeza Nome Símbolo Equivalência
volume litro l ou L 0,001 m3
ângulo plano grau ◦ π/180 rad
ângulo plano minuto ´ π/10800 rad
ângulo plano segundo ´´ π/648000 rad
massa tonelada t 1000 kg
tempo minuto min 60 s
tempo hora h 3600 s
velocidade angular rotação por minuto rpm π/30 rad/s
Tabela 1.3: Unidades fora do SI, sem restrição de prazo.
Grandeza Nome Símbolo Equivalência
pressão atmosfera atm 101 325 Pa
pressão bar bar 105Pa
pressão milímetro de mercúrio mmHg ∼ 133,322 Pa
quantidade de calor caloria cal ∼ 4,1868 J
área hectare ha 104 m2
força quilograma-força kgf ∼ 9,806 65 N
comprimento milha marítima 1852 m
velocidade nó (1852/3600)m/s
Tabela 1.4: Unidades fora do SI, admitidas temporariamente.
1.5 Prefixos 5
1.5 Prefixos
O SI define, ainda, um conjunto de prefixos à serem utilizados em conjunto com as
unidades para representar valores muito grandes ou muito pequenos, sem a necessidade de
escrever zeros à esquerda ou à direita ou potência de dez. Aliás, a questão de se escrever zeros
para representar medições muito pequenas ou grandes deve levar em conta os algarismos
significativos. Os prefixos de SI são apresentados na Tabela 1.5.
Nome Símbolo Fator
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 10
deci d 10−1
centi c 10−2
mili m 10−3
micro µ 10−6
nano n 10−9
pico p 10−12
femto f 10−15
atto a 10−18
zepto z 10−21
yocto y 10−24
Tabela 1.5: Prefixos do SI.
1.6 Legislação Brasileira 6
1.6 Legislação Brasileira
O Brasil como praticamente todos os outros países, adota como base do seu sistema legal
de medidas o Sistema Internacional de Unidades, permitindo, porém algumas outras unidades
não pertencentes ao SI. Vejamos alguns exemplos:
• a unidade de ângulo plano é o radiano, mas permite-se a utilização do grau minuto e
segundo.
• a unidade de tempo é o segundo, permitindo-se, também, a hora e o minuto.
• a unidade de volume é o m3 permitindo-se o litro = 0,001 m3. O símbolo reservado para
o litro é a letra éle minúscula (l). Podemos utilizar, também, o símbolo L para evitar
confusão com o número 1 ou a letra i.
Existem algumas outras unidades também aceitas em conjunto com o SI. Nos trabalhos
técnicos científicos, porém, recomenda-se, tanto quanto possível o uso mais amplo do SI.
No uso do sistema legal de unidades há algumas regras que devem ser estritamente
observadas. Vejamos algumas delas associadas a erros muito frequentes:
1. Grafia de nomes das unidades: os nomes das unidades são escritos com inicial minús-
cula. Exemplos: metro, newton, volt, joule, segundo. A grafia dos símbolos, quando se
tratar de unidade com nome de cientista o símbolo leva inicial maiúscula: N, V, J.
2. O plural dos nomes das unidades se faz com as seguintes regras:
• os nomes recebem um “s” no final da palavra sem desfigurar o nome da unidade:
metros, candelas, volts, mols, decibels, pascals;
• exceto quando terminam por s, x ou z: hertz, siemens, lux, etc.
3. O símbolo não admite plural (nunca!): 1 m, 10 m, 1 V, 23 V, etc;
4. Não se coloca ponto depois do símbolo: kg e não “kg.”;
5. O símbolo do prefixo quilo (103) é k (minúscula) e não K (maiúscula): 10 kg e não
10 Kg;
6. a separação da parte decimal em um número, no Brasil, é feita utilizando-se vírgula e
não ponto. É errado, pois, dizer que uma temperatura é de trinta e seis “ponto” cinco
graus Celsius, ou escrever 36.5 ◦C. O certo é 36,5 ◦C que se lê como trinta e seis graus
celsius e cinco décimos ou, ainda, trinta e seis vírgula cinco graus celsius;
7. Está também excluída a possibilidade de representar frações decimais menores do que
um pela expressão “ponto tal”. Exemplo: “a capacitância de um capacitor é .51 µF”. O
certo é 0,51 µF;
1.6 Legislação Brasileira 7
8. Os símbolos ’ e ” são reservados para minuto e segundo de ângulo plano, nunca
para indicar tempo;
9. Não se usa a unidades “mícron”, nem o plural “micra”, para indicar 0,000 001 m que é
igual a 1 micrometro (1 µm);
10. A pronúncia dos prefixos SI tem a sílaba tônica no nome da unidade e não no prefixo.
Falamos de micrometro (pronunciado “micrométro”). Exceto nos casos consagrados
pelo uso: quilômetro, decímetro, centímetro, milímetro;
11. Os símbolos devem ser grafados corretamente. Às vezes são utilizadas deturpações do
tipo “seg” para representar segundo, cujo símbolo correto é s;
12. A unidade de temperatura recomendada é o kelvin (não é “graus Kelvin”). Existe,
porém uma unidade também utilizada que é derivada do kelvin e que se denomina grau
celsius, dada por:
t = T − T0 , com T0 = 273,15 K
onde t é a temperatura em graus celsius e T a temperatura em kelvins.
Nota: não existe, na legislação, a denominação “grau centrígrado”!
1.7 Informações Complementares 8
1.7 Informações Complementares 1
Símbolo - Não é abreviatura
O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a
escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto.
Certo Errado
segundo s s. ; seg.
metro m m. ; mtr.
quilograma kg Kg. ; kgr.
hora h h. ; hr.
Símbolo - Não tem plural
O símbolo é invariável; não é seguido de “s”.
Certo Errado
cinco metros 5 m 5 ms
dois quilogramas 2 kg 2 kgs
oito horas 8 h 8 hs
Unidade Composta
Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.
Certo Errado
quilômetro por hora quilômetro/h
km/h km/hora
metro por segundo metro/s
m/s m/segundo
O Grama
O grama pertence ao gênero masculino. Por isso, ao escrever e pronunciar essa unidade,
seus múltiplos e submúltiplos,faça a concordância corretamente.
Exemplos:
dois quilogramas
quinhentos miligramas
duzentos e dez gramas
oitocentos e um gramas
1Obtidas no site do Inmetro no endereço: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp, aces-
sado em 10/01/2006.
1.7 Informações Complementares 9
O Prefixo Quilo
O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto,
não pode ser usado sozinho.
Certo Errado
quilograma; kg quilo; k ; Kg
Use o prefixo quilo da maneira correta.
Certo Errado
quilômetro kilômetro
quilograma kilograma
quilolitro kilolitro
Medidas de Tempo
Ao escrever as medidas de tempo, observe o uso correto dos símbolos para hora, minuto
e segundo.
Certo Errado
9 h 25 min 6 s 9:25 h
9h 25’ 6”
Obs: Os símbolos ’ e ” representam minuto e segundo em unidades de ângulo plano e
não de tempo.
Capítulo 2
Calculadora
2.1 Introdução
Uma das dificuldades encontradas ao longo dos anos nas Disciplinas de Física Experi-
mental é a falta de familiaridade do aluno com a utilização de calculadoras. Este fato pode ser
verificado nos trabalhos e provas, onde grande parte dos erros encontrados estão diretamente
relacionados a utilização da calculadora, mesmo em contas simples. Percebe-se também, que
este problema vem se agravando, devido aos vários tipos de calculadoras que permitem a
realização “simultânea” de várias operações .
Para tentar minimizar este problema, é recomendado que o aluno, para fins de treina-
mento, realize uma série de cálculos que envolvam operações algébricas do programa do
Ensino Médio.
Inicialmente os cálculos devem ser efetuados “a mão” e depois com a calculadora. Os
resultados obtidos devem ser comparados com as respostas apresentados no final do capítulo.
Havendo alguma divergência entre estes resultados (“a mão”, com a calculadora e o da
Apostila), recomendamos que o aluno releia o manual da calculadora e revise o conteúdo da
disciplina de Matemática, do Ensino Médio.
É importante lembrar que tanto o conhecimento da álgebra do programa do Ensino Médio
quanto à utilização da calculadora é de inteira responsabilidade do aluno.
2.2 Exercícios 11
2.2 Exercícios
2.2.1 Exercícios 1
Dados os valores:
a = 3 b = 4 c = 5 d = −7
Calcule.
l = a · b+ c m = a · (b+ c) n = (b+ c) · (b− c)
r =
a+ b
d
s =
(a+ b)
d
t =
a− c
c + d
x = (b+ c)2 y =
√
a2 + b2 z =
√
d2 + 15
2
2.2.2 Exercícios 2
Dados os valores:
a = 3, 33 b = 4, 25 c = 0, 568 d = −27, 5
Calcule.
l = a · b+ c m = a · (b+ c) n = (b+ c) · (b− c)
r =
a+ b
d
s =
(a+ b)
d
t =
a− c
c + d
x = (b+ c)2 y =
√
a2 + b2 z =
√
d2 + 15
200
2.2.3 Exercícios 3
Dados os valores:
a = 3 b = 4 c = −5
Calcule.
l = 10a m = 10c n = a · 10b
r = 10a · 10b s = 1
10b
t =
10a
10c
x = (10a)b y =
√
10b z = 10a + 10b
2.2 Exercícios 12
2.2.4 Exercícios 4
Dados os valores:
a = 3, 33 · 104 b = 4, 25 · 10−2 c = 0, 568 · 10−2 d = −2, 750 · 103
Calcule.
l = a · b+ c m = a · (b+ c) n = (b+ c) · (b− c)
r =
a+ b
d
s =
(a+ b)
d
t =
a− c
c + d
x = (b+ c)2 y =
√
a2 + b2 z =
√
d2 + 15
2
2.2.5 Exercícios 5
Dados os valores:
a = 3 b = 6 c = 3 · 10−2 d = 300 e = 3, 654 · 103
Calcule.
l = log (a) m = log (a · b) n = log (a) + log (b)
r = log (c) s = log (d) t = log (e)
2.2.6 Exercícios 6
Dados os valores:
a = 3 b = 6 c = 3 · 10−2 d = 300 e = 3, 654 · 103
Calcule.
l = ln (a) m = ln (a · b) n = ln (a) + ln (b)
r = ln (c) s = ln (d) t = ln (e)
2.2.7 Exercícios 7
Dados os valores:
a = pi
4
rad b = pi
6
rad c = 45◦ d = 30◦
Calcule.
l = cos(a) m = sen(b) n =
sen(a)
cos(b)
r = cos(c) s = sen(d) t =
sen(c)
cos(d)
2.3 Respostas dos Exercícios 13
2.3 Respostas dos Exercícios
Exercício 1:
l = 17 m = 27 n = −9
r = −1 s = −1 t = 1
x = 81 y = 5 z = 4
Exercício 2:
l = 14, 72 m = 16, 044 n = 17, 74
r = −0, 276 s = −0, 276 t = −0, 103
x = 23, 213 y = 5, 399 z = 0, 139
Exercício 3:
l = 1 · 103 m = 1 · 10−5 n = 3 · 104
r = 1 · 107 s = 1 · 10−4 t = 1 · 108
x = 1 · 1012 y = 1 · 102 z = 1, 1 · 104
Exercício 4:
l = 1, 415 · 103 m = 1, 604 · 103 n = 1, 774 · 10−3
r = −12, 109 s = −12, 109 t = −12, 109
x = 2, 321 · 10−3 y = 3, 330 · 104 z = 1, 375 · 103
Exercício 5:
l = 0, 477 m = 1, 255 n = 1, 255
r = −1, 523 s = 2, 477 t = 3, 563
Exercício 6:
l = 1, 099 m = 2, 890 n = 2, 890
r = −3, 507 s = 5, 704 t = 8, 204
Exercício 7:
l = 0, 707 m = 0, 500 n = 0, 816
r = 0, 707 s = 0, 500 t = 0, 816
Parte II
Tratamento de Dados
Capítulo 3
Medições de Tempo
3.1 Introdução
Esta experiência tem por objetivo ilustrar o conceito de incerteza e como avaliá-la através
de métodos estatísticos. Além disso, ilustra a importância do procedimento adotado para
realizar medições em laboratório, sendo que o método desenvolvido pode ser estendido para
outras experiências que envolvam medições de tempo.
Particularmente, nesta aula o evento a ser estudado experimentalmente é o movimento
oscilatório de um pêndulo simples. A grandeza a ser obtida é o período de pequenas oscilações
do referido pêndulo.
3.2 Pêndulo Simples
Um pêndulo simples de comprimento, L, é um sistema constituído de uma massa, m,
acoplada a uma das extremidades de um fio inextensível com a outra extremidade fixa. O
desenho de um pêndulo simples está mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1: Desenho esquemático de um Pêndulo Simples. Neste arranjo m corresponde a massa, L
ao comprimento e θ ao ângulo de oscilação, do Pêndulo.
3.3 Medição de Tempo 16
Num movimento periódico de uma partícula, o período é definido como o intervalo
de tempo entre dois instantes sucessivos e tais que a partícula tenha a mesma posição e
velocidade. Portanto, o período do pêndulo corresponde ao intervalo de tempo de um
movimento de ida e volta da massa pendular.
O movimento de oscilação para pequenas amplitudes (15 graus) é conveniente, pois as
velocidades são pequenas de forma que o atrito com o ar pode ser desprezado. O fato de não
existir um amortecimento significativo favorece a realização de várias medições sucessivas
do período de oscilação do pêndulo. Procedimento importante para o método de medição de
tempo que se pretende ilustrar.
3.3 Medição de Tempo
O procedimento sugerido, para se medir o período de oscilação de um pêndulo, consiste
basicamente em obter o tempo de 10 oscilações completas (movimentos de ida e volta) e,
determinar o período médio dividindo-se esse valor por 10. Este procedimento permite redu-
zir os erros envolvidos na partida e na parada do cronômetro, que são bastante significantes
quando se realiza a medição do tempo de uma única oscilação.
3.4 Organização e Redução dos Dados
Quando repetimos uma medição, geralmente, encontramos uma variação entre as
medições. Repetindo as medições várias vezes obtemos um conjunto de dados, que deve
representar a grandeza medida.
A questão que surge a partir do conjunto de dados é: Mas afinal, qual é o resultado
correto 1 da grandeza? Para responder a esta pergunta, devemos saber como apresentar o
conjunto de dados, para que em seguida seja possível extrair as informações sobre a grandeza.
Inicialmente devemos apresentar os dados em uma Tabela. Geralmente os dados são
colocados na ordem em que foram obtidos, pois a informação “temporal” pode ser importante
na identificação de um eventual problema durante a medição.
Geralmente a simples apresentação dos dados brutos não é adequada, pois em uma tabela
com muitos dados é difícil de perceber uma regularidade/tendência da medição. Para tentar
identificar esta tendência é interessante construir uma Tabela de Frequências, que contém as
informações resumidas dos dados brutos. No entanto, antes de iniciar a elaboração da tabela
devemos ter bem claro qual a informação que desejamos passar com a tabela.
1Deve-se ter em mente que uma experiência está sujeita a fatores de influência que afetam o resultado da
medição. Desta forma, o valor verdadeiro de uma grandeza é, por natureza, indeterminado, pois não existe
medição perfeita. O termo que se adota para o valor atribuído à uma grandeza, por meio de medição, é “valor
verdadeiro convencional”.
3.4Organização e Redução dos Dados 17
A tabela de frequências é obtida a partir do agrupamento dos dados em determinadas
faixas de valores (ou classes) da grandeza estudada. Assim, estabelecendo uma faixa de
valores, determina-se com que frequência foram obtidas medições neste intervalo2.
Através da tabela de frequência podemos apresentar graficamente, através de um Histo-
grama, os resultados obtidos. O histograma é um gráfico, bastante comum no nosso dia a dia,
que representa por barras a frequência dos dados em uma determinada faixa de valores.
Exemplo
Como ilustração do processo de organização e redução dos dados vamos utilizar como
exemplo a medição da massa de barras de chocolate, produzidas de forma artesanal. Foram
efetuadas medições de massa para 100 barras de chocolate. O resultado das medições é
apresentado na Tabela 3.1.
Apenas estudando a Tabela, verificaremos que existe certa dificuldade em obter alguma
informação precisa sobre a massa da barra de chocolate.
Massa (g)
100,2 104,1 99,9 98,2 94,9 103,7 100,1 102,6 99,8 98,3
87,0 105,6 93,7 92,8 104,0 99,8 97,8 102,7 102,2 98,4
100,2 94,1 101,5 93,5 95,3 98,5 101,6 96,8 106,1 105,4
96,7 105,2 103,1 100,9 99,9 92,0 97,3 95,2 93,4 96,1
99,8 94,4 106,5 102,1 98,7 96,2 96,1 97,5 98,1 100,9
98,5 99,0 95,3 97,6 96,3 96,1 104,3 102,9 95,6 95,1
100,0 97,9 100,6 106,6 93,2 99,3 93,6 102,8 99,0 98,4
107,1 99,3 95,2 102,4 101,4 98,9 98,2 100,3 100,8 91,8
99,7 102,6 89,6 105,2 102,6 104,5 97,7 102,1 102,7 95,9
104,9 98,1 99,2 106,0 101,9 99,1 100,9 98,9 104,3 100,9
Tabela 3.1: Resultados obtidos na medição da massa de 100 barras de chocolate. A massa foi obtida
através de uma balança com menor divisão de décimos de grama.
Portanto, para facilitar a interpretação dos dados, podemos criar uma tabela de frequência
que mostre de maneira mais direta, a distribuição dos mesmos.
A elaboração dessa tabela envolve inicialmente a determinação das faixas de valores ou
classes. O número de intervalos 3 não deve ser muito grande e nem muito pequeno, pois
nesses casos não nos transmitiriam qualquer tipo de informação mais relevante. Além disto,
2A frequência obtida pode ser apresentada de duas maneiras: absoluta, quando é apresentado o número de
medições em um intervalo, ou relativa, quando é apresentado o número de dados em um intervalo dividido pelo
número total de dados.
3Não existe uma regra clara para o número de intervalos.
3.4 Organização e Redução dos Dados 18
devemos levar em consideração o maior e o menor valor da tabela e utilizar valores exatos 4
na escolha dos intervalos.
Deste modo, a partir da Tabela 3.1, verifica-se que o menor e o maior valor encontrados
são 87,0 e 107,1 g, respectivamente. Escolhendo um intervalo de 5 g e iniciando a tabela em
85 g (escolhido, neste caso, por ser um número “redondo” inferior a 87), teremos 5 intervalos:
o primeiro intervalo vai de 85 a 90 g, o segundo de 90 a 95 g, e assim por diante. Para
representar o intervalo de massa na tabela utilizamos o símbolo 7→, que indica a variação do
intervalo. Assim o intervalo que vai de 90 a 95 pode ser representado por 90 7→ 95. Neste
caso, o traço vertical indica que intervalo é fechado em 90, ou seja, se houver um valor
igual a 90,0 na tabela ele será atribuído ao intervalo de 90 7→ 95 e não ao intervalo de 85 7→ 90.
Terminada a elaboração dos intervalos da tabela, o próximo passo é determinar a
frequência com que os dados se distribuem. Para isto basta verificar na tabela quantos dados
estão contidos em cada intervalo. Deve-se tomar muito cuidado nesta etapa, pois os erros de
atribuição são bastante comuns.
Na Tabela 3.2 podemos observar as frequências obtidas para as massas das barras de cho-
colates. Com estes dados podemos, mais facilmente, perceber que as massas das barras de
chocolate estão mais concentradas entre 95 e 100 g. Podemos verificar também que a medição
apresentada na 6a Linha da 1a coluna da Tabela 3.1, cujo valor é de 100,0 g, foi levado em
consideração no 4◦ intervalo da Tabela 3.2.
Intervalo Massa (g) Frequência
1 85 7→ 90 2
2 90 7→ 95 11
3 95 7→ 100 44
4 100 7→ 105 34
5 105 7→ 110 9
Tabela 3.2: Resultados obtidos a partir das medições das massas de 100 barras de chocolates na forma
de tabela de frequência.
A construção do histograma basicamente será “colocar” a tabela de frequência em um
gráfico cartesiano. Neste gráfico o eixo horizontal representará os intervalos da grandeza e, o
eixo vertical representará a frequência. Sendo que, cada intervalo será representado por uma
barra e, esta com um tamanho proporcional a sua frequência.
O Histograma, como qualquer gráfico, deve ter claramente indicados nos seus eixos as
grandezas, unidades e escalas. A construção de gráfico será descrita com maiores detalhes no
decorrer da disciplina.
4Para que seja fácil agrupar os dados recomenda-se que o intervalo inicie-se com valores exatos e o seu
tamanho seja “múltiplo” de 1, 2 ou 5.
3.5 Erro grosseiro 19
Na Figura 3.2 é mostrado o histograma das medições das massas de 100 barras de cho-
colate. Pode-se perceber através do histograma, que as massas das barras estão concentradas
entre 95 e 100g.
Figura 3.2: Histograma obtido a partir da medição da massa de 100 barras de chocolate.
3.5 Erro grosseiro
Nesta etapa de aquisição e compilação dos dados devemos ficar atentos quanto à
existência de erros grosseiros, que comprometem a qualidade do trabalho bem como os
resultados obtidos. Os erros grosseiros são constituídos por equívocos realizados durante a
medição, provenientes do manuseio inadequado de um instrumento de medida, desatenção
do observador. Eles também podem ser provenientes de enganos na anotação das medições,
erros de cálculo, arredondamentos, etc.
A identificação de um erro grosseiro é, geralmente, muito difícil, sendo que a sua
existência só pode ser confirmada por meio de testes estatísticos5. No entanto, quando
são realizadas muitas medições de uma mesma grandeza a identificação de alguns tipos de
erros grosseiros, torna-se mais fácil. Pois, a existência de valores muito discrepantes na
tabela de dados é evidente (ficando, ainda, mais evidente com a construção de um histograma).
Em geral, quando existe a suspeita que um dado obtido seja um erro grosseiro, ele não
pode ser modificado ou descartado. A maneira mais indicada para “trabalhar” com este dado
é, inicialmente, realizar a sua identificação na Tabela de Dados (apresentando a hipótese
que justifique a eventual suspeita do erro grosseiro), para que em seguida sejam realizados
5Ver o Apêndice D de J. H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros.
3.6 Parte Prática 20
testes que comprovem a sua existência. Comprovado o erro grosseiro, ele deve permanecer
na Tabela de Dados (devidamente identificado). Entretanto, o dado não pode ser utilizado em
cálculos posteriores. Eventualmente ele pode ser apresentado em algum gráfico, desde que
devidamente identificado.
Além disso, quando um dado apresenta um comportamento distinto do conjunto de
dados da amostra, pode indicar que o processo está fora da normalidade. Sendo que, o
experimentador deve procurar as causas que provocaram a presença de valores fora dos
limites de controle e repetir todo o experimento.
Portanto, quando são efetuadas várias medições de uma mesma grandeza é importante
que seja realizada uma revisão completa, tanto dos dados obtidos quanto do tratamento destes
dados. Além disso, quando for possível, toda medição (suspeita ou não) deve ser verificada
por alguma observação independente e os resultados obtidos devem ter a sua consistência
analisada.
3.6 Parte Prática
3.6.1 Objetivos
Desenvolver um procedimento experimental para determinar o período de oscilação de
um pêndulo simples. Discutir o resultado da medição verificando a dispersão dos dados por
meio de um histograma.
3.6.2 Procedimento
1. Obter o período do pêndulo para um dado comprimento L cronometrando o tempo de
uma oscilação completa;
2. Obter o período médio do pêndulo cronometrando o tempo de 10 oscilações completas;
3. Repetir 50 vezes asmedições do item 2., anotando os resultados obtidos na Tabela 3.3;
4. Construir o histograma das medições do tempo de 10 oscilações;
5. Discutir, baseado na forma do histograma, se existe(m) algum(s) parâmetro(s) que
possa(m) caracterizar o histograma;
6. Discutir, analisando os resultados finais, qual é o melhor procedimento para se medir o
período de oscilação do pêndulo.
3.6 Parte Prática 21
Tempo (s)
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35 45
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29 39 49
10 20 30 40 50
Tabela 3.3: Dados obtidos para o tempo de 10 oscilações de um pêndulo.
Capítulo 4
Parâmetros Característicos
4.1 Redução dos dados
Dos histogramas obtidos na aula anterior, podemos perceber que existe certa regularidade
na forma como os dados se distribuem, sendo que a Figura 4.1 representa esquematicamente
este comportamento. Dada uma série de medições, de uma mesma grandeza, é importante
obter parâmetros que possam caracterizá-la corretamente.
Figura 4.1: Representação esquemática do comportamento dos dados.
Um destes parâmetros é o valor representativo da grandeza, isto é, o valor que mais se
aproxima do valor verdadeiro (à princípio, desconhecido). O outro é a dispersão dos dados,
que ocorre devido a presença de efeitos aleatórios durante a realização das medições.
4.2 Média 23
4.2 Média
Dada uma série de N observações de uma grandeza qualquer (x1, x2, x3, ... xn), cuja
distribuição é simétrica, o valor mais provável da grandeza é o valor médio, definido por:
x¯ =
1
N
·
N∑
i=1
xi (4.1)
onde xi representa cada uma das observações.
Reescrevendo a equação (4.1) temos:
x¯ =
(x1 + x2 + x3 + ...+ xN )
N
(4.2)
4.3 Desvio padrão
A qualidade de uma medição está associada a sua repetitividade, isto é, tanto melhor
quanto menor a dispersão dos valores em torno do valor médio. A dispersão estatística de
uma série limitada (pequena) de observações é dada pelo desvio padrão amostral σp:
σp =
√√√√ 1
N − 1 ·
N∑
i=1
(xi − x¯)2 (4.3)
Ou ainda:
σp =
√√√√√√
N∑
i=1
d2i
N − 1 =
√
(d21 + d
2
2 + ... + d
2
N)
N − 1 (4.4)
onde di = xi − x¯ são chamados resíduos ou desvios das medidas.
O desvio padrão amostral não corresponde à incerteza do valor mais provável (valor
médio); este fornece apenas o número de dados compreendidos num determinado intervalo.
Segundo a Estatística, na maioria dos casos, pode-se mostrar que 68,27 % dos dados se
encontram dentro do intervalo x¯ ± σp e 95,45 % dos dados dentro do intervalo x¯ ± 2 · σp 1,
ver Secção 5.3.
1Veremos, mais tarde, que estes valores somente são válidos, rigorosamente, se a distribuição for do tipo
denominada Normal (ou Gaussiana).
4.4 Desvio padrão do valor médio 24
4.4 Desvio padrão do valor médio
O desvio padrão (σm) de uma série de valores médios (x¯1, x¯2, x¯3, ...., x¯N ), obtida por
várias repetições de uma série de observações, estabelece a dispersão dos valores médios em
relação ao valor verdadeiro. O desvio padrão do valor médio é menor que o desvio padrão
amostral das observações individuais.
O desvio padrão do valor médio pode ser calculado a partir de uma única série de medições,
se a distribuição é gaussiana, por mmeio da expressão:
σm =
σp√
N
(4.5)
Como mostrado anteriormente, o valor médio de uma única série de observações,
distancia-se no máximo de σm do valor verdadeiro (xv), com um grau de confiabilidade de
68,27 %, isto é, temos a probabilidade de 68,27 % de encontrar o valor médio no intervalo
xv ± σm. Da mesma maneira, temos a probabilidade de 95,45 % de encontrá-lo no intervalo
xv ± 2 · σm.
4.5 Parte Prática
4.5.1 Objetivos
Calcular a média, desvio padrão amostral e o desvio padrão da média de uma série de
medições e comparar os valores com o respectivo histograma.
4.5.2 Procedimento
Levando em consideração os resultados da Experiência realizada no Capítulo 3:
1. Calcular o tempo médio para 10 oscilações do pêndulo;
2. Calcular o desvio padrão amostral do tempo de 10 oscilações do pêndulo;
3. Representar no histograma o valor médio encontrado e discutir se ele é compatível com
as medições realizadas;
4. Representar no histograma os valores x¯ + σp e x¯ − σp , verificar se ∼ 68 % dos dados
estão neste intervalo;
5. Representar no histograma os valores x¯ + 2 · σp e x¯ − 2 · σp, verificar se ∼ 95 % dos
dados estão neste intervalo.
Capítulo 5
Distribuição Normal
5.1 Introdução
Nas aulas anteriores, pudemos perceber que existe certa regularidade na forma dos vários
histogramas obtidos em sala. Este comportamento dos dados será descrito por uma distribui-
ção Normal ou Gaussiana1. Dois parâmetros caracterizam essa distribuição, são eles: a média
e o desvio padrão.
5.2 Gaussiana
A forma da curva gaussiana pode ser observada na Figura 5.1. Além de ser caracterizada,
como já foi mencionado, pela média e desvio padrão; a gaussiana tem como característica ser
unimodal (possuir apenas um pico) e simétrica (se dividida ao meio, o lado esquerdo deve ser
igual ao lado direito).
Figura 5.1: Representação esquemática de uma curva gaussiana.
1Este comportamento foi descrito por Carl Friedrich Gauss e, por isso esta distribuição também é chamada
de Gaussiana.
5.3 Nível de Confiança 26
5.3 Nível de Confiança
Uma das características da curva gaussiana é a sua dispersão. Esta dispersão é avaliada
pelo desvio padrão. Como uma gaussiana representa o conjunto de dados, logo podemos
determinar a quantidade dos dados contidos num intervalo do histograma. Esta quantidade
de dados pode ser expressa por uma probabilidade. Esta probabilidade é chamada de nível
de confiança. Desta maneira, podemos dizer que um dado tem, por exemplo, um nível de
confiança de 20 % de estar dentro do intervalo entre x1 e x2.
Assim, o nível de confiança para se obter um dos dados contidos no intervalo entre x¯− σp
e x¯ + σp, ou de maneira mais compacta x¯ ± σp é de aproximadamente 68 %. Os níveis de
confiança mais utilizados em Física Experimental são mostrados na Tabela 5.1. Na Figura 5.2
são representados na curva gaussiana os níveis de confiança com seus respectivos intervalos
de confiança.
Intervalo Nível de confiança
x¯− σp ≤ x ≤ x¯+ σp 68,3 %
x¯− 2 · σp ≤ x ≤ x¯+ 2 · σp 95,5 %
x¯− 3 · σp ≤ x ≤ x¯+ 3 · σp 99,7 %
Tabela 5.1: Níveis de confiança, e seus respectivos intervalos de confiança, mais utilizados em Física
Experimental.
Figura 5.2: Indicação, na curva gaussiana, dos níveis de confiança e seus respectivos intervalos de
confiança, apresentados na Tabela 5.1.
5.4 Construção da Gaussiana 27
5.4 Construção da Gaussiana
A gaussiana é calculada pela expressão (5.1), abaixo:
g (x) =
1
σp ·
√
2π
e
−
1
2
·
(
x−x¯
σp
)
2
(5.1)
Onde:
x é o valor da grandeza;
x¯ é a média; e
σp é o desvio padrão
Muito embora a expressão (5.1) descreva uma curva gaussiana, se faz necessário levar em
consideração as particularidades do conjunto de dados e do histograma obtido, tais como: a
Largura do canal e o número de dados, para representar a curva gaussiana diretamente sobre
o histograma. Sendo assim, temos que reescrever a equação (5.1) como sendo:
G (x) =
N ·∆x
σp
· 1√
2π
e
−
1
2
·
(
x−x¯
σp
)2
(5.2)
Onde:
N é o número de dados; e
∆x é a largura do canal do histograma.
A construção da curva gaussiana é razoavelmente simples, bastando substituir os valores
de N , σp, x¯ e x na equação para obter G(x) e com isto elaborar o gráfico. Entretanto, durante
os cálculos para a construção da curva, existe uma possibilidade significativa de se cometer
algum erro devido ao grande número de operações envolvidas.
Para simplificar estes cálculos, podemos obter G(x) para alguns valores pré-determinados
de x, reduzindo o número de contas e facilitando a construção da gaussiana. Estes valores
pré-determinados são apresentados na Tabela 5.2.
5.4.1 Tabela Simplificada
A Tabela 5.2, contém valores de x entre (x¯− 3 · σp) e (x¯+ 3 · σp), foi elaborada para que
a gaussiana possua um bom contorno.
O preenchimento da coluna x (segunda coluna) da Tabela é realizado substituindo osvalores da média e desvio padrão nas equações indicadas na primeira coluna.
Para obter o coluna G(x) é necessário multiplicar a coluna P (x) por uma constante de
normalização, Norm, dada pela equação:
5.4 Construção da Gaussiana 28
x P (x) G(x)
x¯− 3, 0 · σp 0,004432
x¯− 2, 5 · σp 0,017528
x¯− 2, 0 · σp 0,053991
x¯− 1, 5 · σp 0,129518
x¯− 1, 0 · σp 0,241971
x¯− 0, 5 · σp 0,352065
x¯ 0,398942
x¯+ 0, 5 · σp 0,352065
x¯+ 1, 0 · σp 0,241971
x¯+ 1, 5 · σp 0,129518
x¯+ 2, 0 · σp 0,053991
x¯+ 2, 5 · σp 0,017528
x¯+ 3, 0 · σp 0,004432
Tabela 5.2: Tabela simplificada para a construção da gaussiana.
Norm =
N ·∆x
σp
(5.3)
Com isto:
G (x) = P (x) ·Norm
Completada a tabela, os pontos devem ser plotados diretamente sobre o histograma, onde
os valores de x são colocados no eixo das abscissas (eixo horizontal) e G(x) é apresentado no
eixo das ordenadas (eixo vertical). O contorno da gaussiana é obtido unindo-se os pontos do
gráfico e respeitando o seu formato característico.
5.4.2 Exemplo
Novamente vamos utilizar o exemplo das medições da massa de barras de chocolates,
apresentado no Capítulo 3, para construir a curva gaussiana que represente o conjunto de
dados.
Recuperando os parâmetros do conjunto de dados e do histograma, temos:
Média = 99,3 g
Desvio padrão = 4,0 g
Largura do canal do histograma = 5,0 g
Número de dados = 100
5.4 Construção da Gaussiana 29
Calculando os valores de x:
x¯ = 99,3 = 99,3 g
x¯+ 0, 5 · σp = 99,3 + 0,5 · 4,0 = 101,3 g
x¯+ 1, 0 · σp = 99,3 + 1,0 · 4,0 = 103,3 g
x¯+ 1, 5 · σp = 99,3 + 1,5 · 4,0 = 105,3 g
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Calculando o valor da constante multiplicativa, Norm:
Norm =
N ·∆x
σp
=
100 · 5
4
= 125
Obtendo G(x):
G( 99,3) = 0,398942 ·Norm = 0,398942 · 125 = 49,9
G(101,3) = 0,352065 ·Norm = 0,352065 · 125 = 44,0
G(103,3) = 0,241971 ·Norm = 0,241971 · 125 = 30,2
G(105,3) = 0,129518 ·Norm = 0,129518 · 125 = 16,2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Completando a tabela simplificada, temos:
x P (x) G(x)
x¯− 3, 0 · σp 87,3 0,004432 0,6
x¯− 2, 5 · σp 89,3 0,017528 2,2
x¯− 2, 0 · σp 91,3 0,053991 6,7
x¯− 1, 5 · σp 93,3 0,129518 16,2
x¯− 1, 0 · σp 95,3 0,241971 30,2
x¯− 0, 5 · σp 97,3 0,352065 44,0
x¯ 99,3 0,398942 49,9
x¯+ 0, 5 · σp 101,3 0,352065 44,0
x¯+ 1, 0 · σp 103,3 0,241971 30,2
x¯+ 1, 5 · σp 105,3 0,129518 16,2
x¯+ 2, 0 · σp 107,3 0,053991 6,7
x¯+ 2, 5 · σp 109,3 0,017528 2,2
x¯+ 3, 0 · σp 111,3 0,004432 0,6
Tabela 5.3: Tabela simplificada para a construção da gaussiana para a medição da massa de barras de
chocolate.
Com os pontos fornecidos pela tabela podemos graficar a curva gaussiana sobre o
histograma da massa das barras de chocolates, ver Figura 5.3.
5.5 Parte Prática 30
Figura 5.3: Histograma da massa de barras de chocolate com a curva gaussiana.
A partir do gráfico, podemos verificar que a gaussiana representa, em média, o comporta-
mento do conjunto de dados (É claro que, por flutuação estatística, ela deve passar “acima” e
“abaixo” das barras do histograma).
5.5 Parte Prática
5.5.1 Objetivos
Calcular e construir a gaussiana que representa um conjunto de dados e verificar o seu
comportamento.
5.5.2 Procedimento
Levando em consideração os resultados obtidos na Secção 3.6, pede-se:
1. Verificar se 68 % dos dados estão no intervalo (x¯− σp) e (x¯+ σp);
2. Verificar se 95 % dos dados estão neste intervalo (x¯− 2 · σp) e (x¯+ 2 · σp);
3. Elaborar a Tabela Simplificada para o conjunto de dados.
4. Graficar os valores de G(x) em função de x no histograma; e
5. Verificar se a gaussiana representa o conjunto de dados.
Capítulo 6
Leitura de uma Escala Milimetrada
6.1 Introdução
Uma das dúvidas que surge ao se fazer uma leitura de um instrumento analógico é aquela
associada à melhor leitura que se pode fazer com este instrumento. Existem na literatura
algumas “regras práticas” associadas ao senso comum e que nem sempre servem de guia
seguro para tais leituras. Uma delas diz que a leitura de um instrumento deve ser feita até o
valor da menor leitura graduada. Por exemplo, no caso de uma régua graduada em milímetros,
a leitura seria de até tantos milímetros. Outra regra diz que a leitura deve ser feita até a metade
da menor divisão, que no caso da escala citada seria até 0,5 mm.
O objetivo desta experiência é fazer uma análise a respeito de tais leituras com base em
uma experiência bastante simples. Deve-se ter em conta que qualquer instrumento de medição
apresenta uma leitura que está associada a vários fatores: calibração, condições ambientais,
acuidade visual do operador, qualidade da graduação (espessura e uniformidade dos traços),
definição do mensurando (que é o que está sendo medido) 1, etc.
6.2 Leitura de uma Escala Milimetrada
Evidentemente a resposta mais adequada para a dúvida discutida na introdução somente
pode ser dada em função de uma análise da qualidade da medição efetuada. No nosso caso
essa verificação de qualidade será feita em confronto com valores dos mensurandos obtidos a
partir de outros métodos mais confiáveis.
Serão utilizadas várias barras de metal nas quais estão gravados dois traços próximos
das extremidades. Utilizando uma escala milimetrada de boa qualidade deve-se fazer a
1A definição de mensurando, de acordo com o Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM), é:
Mensurando: Objeto de medição; Grandeza específica submetida à medição.
Exemplo: Pressão de vapor de uma dada amostra de água a 20 ◦C.
Observação: A especificação de um mensurando pode requerer informações de outras grandezas como tempo,
temperatura ou pressão.
6.2 Leitura de uma Escala Milimetrada 32
medição da distância entre os dois traços até a melhor leitura possível, isto é, até décimos de
milímetro. Evidentemente estes décimos de milímetro serão estimados. Um exemplo pode
ser observado na Figura 6.1. Após anotarmos os valores correspondentes a cada uma das
barras, serão fornecidos os valores de comparação que foram obtidos com um instrumento
de muito melhor resolução e qualidade de calibração do que a régua que foi utilizada para as
medições.
Atenção: As barras metálicas devem ser manipuladas com muito cuidado e
não devem ser submetidas a esforços em colisões ou quedas. As observações
devem ser feitas com a barra apoiada sobre a mesa de trabalho e as leituras feitas
perpendicularmente à região da escala que está sendo observada para evitar efeitos
de paralaxe.
Figura 6.1: Representação esquemática das medições de comprimento. Pode-se observar que a marca
está localizada entre 182 e 183 mm, e deste modo é necessário estimar o décimo de milímetro (próxima
casa), para realizar a medição de maneira correta.
De posse dos valores de comparação pode-se construir uma tabela com os seguintes dados:
Xi → valor obtido na leitura da barra i
Xri → valor de referência da barra i
δi = Xi −Xri (6.1)
A diferença δi corresponde ao desvio entre o valor obtido com a escala milimetrada e o
valor de comparação. Deve-se observar que estes desvios podem ser positivos, indicando que
foi obtido um valor maior que o valor de comparação ou negativos, quando o valor obtido é
menor que o valor de comparação.
Pode-se, agora, construir um histograma do número de vezes que apareceu cada um dos
valores δi para cada valor de desvio.
6.3 Parte Prática 33
6.3 Parte Prática
6.3.1 Objetivos
Aprender a fazer medições de comprimento com uma régua e avaliar a sua respectiva
incerteza.
6.3.2 Procedimento
1. Realizar a leitura da distância, entre as duas marcas, de cada uma das barras.
2. Calcular o valor de δ para cada uma das barras.
3. Fazer o histograma dos valores de δ.
4. Calcular a média, desvio-padrão e desvio-padrão da média para os valores de δ.
5. Construir a gaussiana que representa o conjunto de dados.
6. Verificar se ∼ 68 % dos dados estão no intervalo (x¯− σp) e (x¯+ σp).
6.4 Resultados
Deve-se observar que, eventualmente, o máximo do histograma não corresponde ao zero,
ou seja, não há simetria entre as leituras com desvio negativo e as leituras com desvio po-
sitivo. Isto é uma indicação de existência de um efeito sistemáticono processo. Este efeito
sistemático pode ter várias origens: calibração da escala, efeitos do ambiente (a escala foi ca-
librada numa temperatura diferente daquela do laboratório), etc. Este efeito sistemático pode
ser corrigido em cada uma das futuras observações realizadas com esta escala milimetrada.
6.5 Questões
Com auxílio do histograma, responder as perguntas abaixo:
Qual é a leitura, nas condições da experiência, com uma confiança de 68 e 95 %?
Quais seriam as possíveis causas de um eventual efeito sistemático?
Como se pode associar uma incerteza à leitura de um instrumento de medição analógico?
E sobre as leituras de um instrumento digital?
Capítulo 7
Incertezas
7.1 Introdução
Nesta aula, discutir-se-á a forma de se estimar a incerteza final de uma medida, baseando-
se no tratamento estatístico de dados.
7.2 Incertezas Tipo A e Tipo B
Até agora a incerteza foi avaliada através de métodos estatísticos (ver Capítulo 4),
envolvendo várias medições de uma mesma grandeza. No entanto, podemos perceber que
esta avaliação é insuficiente, pois a incerteza final de uma medida pode ser uma combinação
das várias fontes de incerteza. Por isso a incerteza leva em consideração, além da flutuação
estatística dos dados, os aspectos experimentais da medição.
Com isto, podemos dividir a avaliação das incertezas em dois tipos:
Tipo A
São as incertezas avaliadas por processos estatísticos. Portanto a incerteza Tipo A está
associada ao desvio-padrão da média de uma série de medições.
σm ⇒ σA
Tipo B
São as incertezas avaliadas por qualquer método não estatístico. As incertezas Tipo B
são, geralmente, obtidas a partir da análise das condições experimentais, levando-se em
consideração os instrumentos e os procedimentos utilizados nas medições.
7.3 Incerteza Final 35
7.3 Incerteza Final
A partir da avaliação das incertezas Tipo A e B, pode-se obter a incerteza final por meio
expressão 7.1, abaixo.
σf =
√
(σA)
2 + Σ(σB)
2 (7.1)
Onde σA é o desvio padrão da média de uma série de medições e Σ (σB)2 é a somatória
quadrática de todas as incertezas com avaliação Tipo B.
Assim, em um determinado experimento, foram realizadas várias medições de uma mesma
grandeza, sendo calculada a média, o desvio padrão e o desvio padrão da média da série
de medições. Além disso, no experimento, várias fontes de incerteza foram avaliadas por
métodos não estatísticos (ou seja, com avaliação Tipo B). Com isto a incerteza final será:
σf =
√
(σA)
2 + (σB1)
2 + (σB2)
2 + (σB3)
2 + · · · (7.2)
Como podemos observar, existe um comprometimento entre as diversas fontes de
incertezas. Com isto, a avaliação destas incertezas, estatísticas ou não, deve ser realizada com
muito cuidado. Elas devem ser analisadas caso a caso, envolvendo um criterioso estudo do
arranjo e procedimento experimentais, bem como dos instrumentos utilizados nas medições.
Além disso, é importante lembrar que, em experimentos típicos, existe apenas uma com-
ponente de incerteza do Tipo A. Entretanto em experimentos mais elaborados pode-se admitir
a existência várias fontes de incerteza que podem ser avaliadas estatisticamente. Com isto as
várias incertezas estatísticas devem ser somadas quadraticamente, da mesma maneira que a
realizada para a incerteza do Tipo B.
7.3.1 Casos Comuns
Muito embora os experimentos possuam muitas fontes de incerteza, são frequentes
os casos onde uma fonte de incerteza tenha predominância sobre as demais, sendo ela a
responsável pela incerteza no resultado obtido. Sabendo identificar corretamente estas fontes
de incerteza, pode-se planejar melhor o experimento para que se obtenha um melhor resultado
e com mais eficiência.
Por meio da expressão (7.1) para a incerteza final, podemos estudar alguns casos que
ocorrem em Física Experimental.
Uma medição
No caso de uma medição, os procedimentos estatísticos não podem ser aplicados. Com
isto a incerteza final é:
σf =
√
Σ (σB)
2
7.4 Exemplo 36
Várias medições com mesmo valor
Algumas vezes realizamos medições de uma grandeza em que os resultados obtidos são
sempre os mesmos. Neste caso o desvio padrão da média é zero e a incerteza final é
novamente:
σf =
√
Σ (σB)
2
7.3.2 Dependência da incerteza com o número de dados
Uma implicação muito importante da combinação das incertezas Tipo A e B é a possi-
bilidade de estimar (ou, pelo menos, ter uma ideia) a incerteza final no resultado, antes de
realização do experimento.
Esta possibilidade decorre de dois fatos:
• Sabendo que a incerteza do Tipo A diminui com o aumento do número de medições
(pois ela corresponde ao desvio padrão da média), podemos, em alguns casos, deixá-la
tão pequena quanto necessário, reduzindo o seu “peso” na incerteza final. Deste modo,
com um número adequado de medições, pode-se fazer com que a incerteza do Tipo A
seja desprezível em relação à do Tipo B.
• Como as incertezas do Tipo B dependem do arranjo, dos instrumentos e procedimentos
utilizados, que a princípio são conhecidos, pode-se estabelecer um incerteza para cada
um deles.
Levando em consideração estes fatos, podemos atribuir uma incerteza para cada uma das
fontes de incertezas e, com isto, obter uma estimativa para a incerteza final.
É claro que a incerteza final de um experimento só pode ser obtida, corretamente, após a
realização do experimento, onde as incertezas serão devidamente conhecidas e avaliadas.
7.4 Exemplo
Em um experimento para determinar a atividade radioativa (por unidade de massa) de uma
amostra contendo 134Cs, foram utilizados 2 métodos: A) Contagem absoluta com detetores
4πγ de NaI e B) Medições de coincidência. Os resultados para a atividade pelos Métodos A e
B foram, respectivamente, 3174 e 3194 kBq/g. A avaliação das diversas fontes de incerteza
existentes, são apresentadas nas Tabelas 7.1 e 7.2, para os Métodos A e B, respectivamente.
Utilizando a expressão (7.1) e levando em consideração as incertezas apresentadas na
Tabela 7.1, podemos obter a incerteza final do Método A como:
σf =
√
(σA)
2 + (σB1)
2 + (σB2)
2 + (σB3)
2 + (σB4)
2 + (σB5)
2
7.4 Exemplo 37
Componente Tipo Valor
(kBq/g)
Contagens A 2,22
Extrapolação B 4,76
Preparação da amostra B 3,17
Dados Nucleares B 1,27
Simulação de Monte Carlo (modelo) B 15,87
Simulação de Monte Carlo (Secção de choque) B 15,87
Tabela 7.1: Determinação da atividade por unidade de massa pelo método de contagens com detetores
4piγ de NaI.
Componente Tipo Valor
(kBq/g)
Contagens e extrapolação da eficiência A 11,74
Preparação da amostra B 3,17
Correção de tempo morto B 0,32
Coincidências acidentais B 0,32
Tabela 7.2: Determinação da atividade, por unidade de massa, por meio de medições de Coincidência
com detetores 4piβ − γ.
Substituindo os valores da Tabela 7.1:
σf =
√
(2, 22)2 + (4, 76)2 + (3, 17)2 + (1, 27)2 + (15, 87)2 + (15, 87)2
Com isto:
σf =
√
4, 94 + 22, 67 + 10, 07 + 1, 61 + 251, 86 + 251, 86 =
√
543, 01
Finalmente:
σf = 23,3 kBq/g
Seguindo o exemplo apresentado para o Método A, determine a incerteza para o Método B.
Capítulo 8
Medições de Comprimento: Régua e
Paquímetro
8.1 Introdução
A avaliação das incertezas, estatísticas ou não, deve ser realizada com muito cuidado. As
fontes de incerteza devem ser analisadas caso a caso, envolvendo um criterioso estudo do
arranjo e procedimento experimentais, bem como dos instrumentos utilizados nas medições.
Para exemplificar a avaliação das incertezas estaremos, nesta experiência, comparando os
resultados obtidos a partir de dois instrumentos de medição de comprimentos: a régua e o
paquímetro.
8.2 Régua
O instrumento de medição mais simples para medir comprimentos em laboratório é a
régua. Analisando medições realizadas com uma régua podemos discutir aspectos importantes
a respeito da qualidade de uma medição.
Nesta primeira análise, será mostrado o procedimento para se estimar um valor que repre-
sente com certa segurança a incerteza de uma única observação. É evidente que neste caso,
não há condições de se aplicar as técnicas estatísticas de cálculo de incertezas apresentadas
no Capítulo4 e de maneira geral, tal estimativa apoia-se no bom senso do operador uma vez
que não existe uma teoria formulada. Quanto menor o valor dessa incerteza estimada melhor
o resultado da medição.
Muitas vezes, a incerteza é obtida a partir da informação cedida pelo próprio fabricante.
Na ausência dessa informação, como regra geral, utiliza-se como incerteza da medição o valor
da metade da menor divisão (menor escala). Para uma medição realizada com uma boa régua
milimetrada a resolução é da ordem de 0,5 mm (0,05 cm). Portanto, ao se fazer uma medição
com uma régua, devem ser anotados os milímetros e os décimos de milímetros, que podem
ser estimados visualmente. No exemplo ilustrado na Figura 8.1, a leitura da medição feita
8.3 Paquímetro 39
com uma régua é: 13, 2± 0, 5 mm. A resolução da régua faz com que possa haver um erro de
leitura de 0,5 mm para mais ou para menos, isto é, o algarismo após a vírgula é estimado.
Como já foi dito, não há uma teoria suportando tal critério. O bom senso na questão das
incertezas experimentais pode ser aplicado no seguinte caso: não tem sentido afirmar que a
medição com régua da posição do centro de uma mancha pouco definida com cerca de 20 mm
de diâmetro tem uma resolução de 0,5 mm.
Figura 8.1: Exemplo de leitura de uma régua milimetrada.
Outros cuidados devem ser tomados ao se realizar uma medição de comprimento com
uma régua. Quando se utiliza uma régua de má qualidade (régua de plástico) a incerteza é
superior a de uma régua de melhor qualidade (metálica).
Um defeito de observação que influencia a leitura de qualquer escala, em particular uma
régua, é a paralaxe. Verifica-se durante a observação de um comprimento com uma régua que
conforme o observador move sua cabeça para esquerda ou para direita é medido em sua escala
um valor maior ou menor que o valor correto que deveria ser medido quando sua cabeça está
posicionada perpendicularmente à ela. Consequentemente, para diminuir o chamado efeito
de paralaxe, deve-se aproximar a régua o máximo possível do objeto medido e a cabeça do
observador deve estar posicionada o mais perpendicularmente possível da escala da régua.
Finalmente, deve-se evitar usar as extremidades da régua, uma vez que podem estar
danificadas devido ao uso ou pelo próprio processo de fabricação. Pode-se usar como
referência a divisão de 1 cm, por exemplo, e o subtrair dos valores obtidos.
Observação: Uma régua de boa qualidade pode, eventualmente, permitir uma leitura com
resolução menor que 0,5 mm. O valor ± 0, 5 mm é uma referência baseada no bom senso
quando não se tem outra informação.
8.3 Paquímetro
8.3.1 Descrição
O paquímetro é usado com finalidade de se obter com melhor resolução dimensões ex-
ternas, internas e profundidades de objetos pequenos. É constituído de um aparelho metálico
com: mandíbulas para medidas externas, orelhas para medidas internas (cavidades) e uma
haste para medidas de profundidades. O modelo analógico possui uma escala graduada fixa,
8.3 Paquímetro 40
como uma régua, e uma escala graduada móvel denominada nônio (ou vernier), permitindo
leituras em milímetros (escala milimetrada inferior) ou polegadas (escala superior). Na Fi-
gura 8.2 pode ser observado o desenho de um paquímetro analógico.
Figura 8.2: Desenho de um paquímetro analógico.
A escala fixa fornece o número de milímetros inteiros que se lê no zero do nônio e o nônio
fornece uma fração do milímetro (décimos e centésimos do milímetro), através do traço que
mais coincidir com um traço da escala fixa.
A resolução do paquímetro depende do número de divisões do nônio. Se o nônio tiver
20 divisões para representar um milímetro (como no paquímetro ilustrado na Figura 5.3), sua
resolução é dada por:
1
20
(1 mm) = 0,05 mm ;
e se o nônio tiver 50 divisões (como também é comum em paquímetros comerciais) sua reso-
lução é dada por:
1
50
(1 mm) = 0,02 mm .
Portanto, se o nônio tiver 20 divisões, o último algarismo da leitura (centésimo do milíme-
tro) é 0 ou 5; e se tiver 50 divisões, o último algarismo é um número par, ou seja, 0, 2, 4, 6 ou
8.
8.3.2 Leitura de um paquímetro
Considere o exemplo ilustrado na Figura 8.3 onde o nônio do paquímetro tem 20 divisões
e, portanto, a resolução instrumental é p = 0,05 mm.
A Figura 8.3 apresenta o caso onde o zero do nônio cai entre a 35a e 36a divisões da escala
principal e o sexto traço do nônio é o que mais coincide com um traço da escala principal.
A leitura direta é feita através da relação:
L = 35 + 6 · p (mm).
8.4 Parte Prática 41
Figura 8.3: Exemplo de leitura de um paquímetro.
O critério para se estimar a incerteza em uma leitura no paquímetro, como em qualquer
outro um instrumento dotado de nônio, é o de utilizar o valor da menor leitura, que depende
do número de divisões do nônio.
Portanto para o caso ilustrado o resultado final da medição é:
L = (35, 30± 0, 05) mm
8.4 Parte Prática
8.4.1 Objetivos
Aprender a fazer medições de comprimento com um paquímetro, explorar suas aplicações
e saber avaliar a qualidade das medições realizadas segundo um tratamento estatístico dos
dados experimentais.
8.4.2 Procedimento
1. Obter, com uma régua, dez vezes o diâmetro, φ, e o comprimento, h, de um cilindro,
conforme ilustrado na Figura 8.4. Estas observações devem ser tomadas variando pontos
de medição.
2. Obter, com um paquímetro, dez vezes o diâmetro, φ, e o comprimento, h, de um cilindro,
conforme ilustrado na Figura 8.4. Estas observações devem ser tomadas variando pontos
de aplicação das mandíbulas do paquímetro no cilindro, de modo a obter diferenças nos
valores.
3. Calcular o valor médio, desvio padrão amostral, σp, desvio padrão do valor médio, σm,
e a incerteza final para cada série de medidas.
8.4 Parte Prática 42
4. Determine a incerteza final para as medições realizadas nos itens 1 e 2.
5. Discutir os resultados: qual das medições dos diâmetros apresenta melhor exatidão?
Figura 8.4: Desenho de um cilindro.
Capítulo 9
Resultado de uma medição
9.1 Introdução
A partir das informações obtidas com a média e a incerteza final, podemos determinar o
resultado de uma medição. No entanto, devemos saber corretamente como apresentar este
resultado. Para isso são apresentadas aqui algumas regras e convenções que são muito úteis
para essa finalidade.
9.2 Representação do resultado de uma medição
Para representar o resultado de uma medição, o melhor que se pode fazer será representar
a grandeza, indicando o intervalo onde ela se encontra, com uma certa probabilidade.
Portanto, a forma correta de escrever o resultado de uma medição de uma grandeza
qualquer será escrever o valor obtido com sua respectiva incerteza, seguido da unidade e do
nível de confiança com que conhecemos estes valores.
Com isto, o resultado de uma medição de uma grandeza, para o intervalo de confiança de
68,3 %, pode ser representado por:
No entanto, quando a incerteza possui um intervalo de confiança diferente de 68,3 % é
obrigatório que se faça a indicação do nível de confiança utilizado. Assim o resultado da
grandeza deverá ser apresentado como:
x = (x¯± 2 · σ) u com 95 % de confiança
É importante lembrar que na literatura técnica existem outras maneiras de representar o
resultado de uma medição. No entanto, nesta apostila utilizamos a maneira convencional.
9.2 Representação do resultado de uma medição 44
9.2.1 Algarismos Significativos
Quanto ao número de algarismos significativos que é utilizado para representar a incerteza
na expressão final de uma medição, é consenso que a incerteza não deve ser escrita com
mais de dois algarismos significativos. Também é usual utilizar a seguinte regra prática:
A incerteza deve ser escrita com dois algarismos significativos quando o
primeiro algarismo, diferente de zero, da incerteza for 1 ou 2. Quando o
primeiro algarismo, diferente de zero, da incerteza for maior ou igual a 3, a
incerteza deve ser escrita com apenas um algarismo significativo.
Esta regra prática não é uma norma e, em processos mais detalhados, desenvolvidos em cen-
tros de pesquisa metrológica,é possível estimar incertezas com maior número de algarismos
significativos.
Uma vez definido o número de algarismos significativos da incerteza, o valor da grandeza
deve ser escrito, obedecendo às regras de arredondamento, com o mesmo número de casas
decimais que sua incerteza.
Neste procedimento, os algarismos à direita daquele(s) afetado(s) pela incerteza não são
levados em consideração, pois não possuem uma grande probabilidade de serem corretos e,
por isso, não tem sentido escrever o valor da grandeza com muitos algarismos (geralmente,
obtidos por manipulações puramente matemáticas).
Assim os algarismos obtidos, no valor da grandeza e na sua incerteza, estão divididos em
significativos e excedentes. Além disso, os algarismos significativos do valor da grandeza
podem ser chamados de corretos, quando não são “afetados” pela incerteza, ou duvidoso(s),
quando são “afetados” pela incerteza.
Exemplo: O valor obtido para uma série de observações do comprimento, L, de uma barra
metálica é de 8,762134 cm e sua incerteza, σL , é 0,027104 cm. Pela regra acima temos a
seguinte classificação para os algarismos:
Com isto, a representação final do resultado da medição é:
L = (8, 762± 0, 027) cm
Onde os algarismos significativos da grandeza são classificados como:
9.2 Representação do resultado de uma medição 45
9.2.2 Arredondamento
Depois de verificado o número de algarismos significativos na representação de uma
grandeza, é geralmente necessário fazer arredondamentos, no valor da grandeza e na incerteza
obtidos, já que eles vêm (e devem vir) com alguns algarismos excedentes.
Para efetuar estes arredondamentos é utilizada a seguinte regra:
Verificação do Procedimento
1◦ algarismo excedente (no ultimo algarismo significativo)
Maior que 5 Acrescenta-se 1.
Menor que 5 Permanece como está.
Igual a 5 e seguido por zeros Se o algarismo anterior for par ele fica como está.Se o algarismo anterior for impar acrescenta-se 1.
Igual a 5 e seguido por qualquer
acrescenta-se 1
outro algarismo diferente de zero
Tabela 9.1: Regras de arredondamento.
Exemplos:
Algarismos
Significativos Excedentes Resultado
5 , 4 7 6 2 0 = 5,48
2 2 1, 6 7 2 4 1 = 221,67
3 8 , 1 9 6 = 38
1 , 4 4 9 7 8 = 1,45
6 5 , 1 9 3 5 0 6 = 65,194
3 4 , 8 6 4 5 0 0 = 34,864
3 6 7 , 9 0 7 5 0 0 = 367,908
1 9 , 9 9 5 1 3 = 20,00
3 , 9 9 4 5 3 = 3,99
0 , 0 1 0 2 3 3 1 = 0,0102
9.2 Representação do resultado de uma medição 46
9.2.3 Notação científica e Prefixos do SI
Em muitos casos, para exprimir uma grandeza (cujo valor é muito grande, ou muito
pequeno), pode ser conveniente utilizar a notação científica ou os prefixos associados às
unidades SI.
Na notação científica, os valores obtidos são apresentados por meio de potência de dez.
Assim o valor é escrito da seguinte maneira:
Sendo que a mantissa é, geralmente, um número maior que um e menor que dez. Uma
consequência da utilização deste tipo de notação é que tanto o valor da grandeza quanto a in-
certeza devem ser apresentados com o mesmo expoente e conservando o número de algarismos
significativos. Assim, em uma medição, podemos ter:
t = (0, 0002345± 0, 0000015) s = (2, 345± 0, 015) · 10−4 s
Na representação com os prefixos do SI (apresentados na Secção 1.5), é realizada a asso-
ciação do prefixo com a unidade do SI, formando um múltiplo ou submúltiplo desta unidade.
Neste caso, tanto o valor da grandeza quanto a incerteza devem ser apresentados com o prefixo
e conservando o número de algarismos significativos. Nesta notação, o exemplo anterior pode
ser apresentado como:
t = (0, 0002345± 0, 0000015) s = (0, 2345± 0, 0015) ms = (234, 5± 1, 5)µs
Também pode ser interessante utilizar uma combinação destas duas notações, lembrando
sempre de apresentar o valor da grandeza e a incerteza da mesma maneira e conservar o nú-
mero de algarismos significativos. Com a combinação destas duas notações podemos ter:
t = (0, 0002345± 0, 0000015) s = (2, 345± 0, 015) · 102µs
A utilização destas notações é praticamente obrigatória no caso onde a incerteza é muito
grande, ver exemplo 2 (na próxima secção).
9.3 Exemplos 47
9.3 Exemplos
Considerando os resultados (valores, incertezas e unidades) de várias grandezas vamos
exemplificar o uso completo das regras apresentadas.
9.3.1 Exemplo 1 - Comprimento de uma fibra óptica
O resultado do comprimento, L, de uma fibra óptica foi:
L = 323,7567 m
σL = 0,3210 m
Aplicando a regra para determinar os algarismos signi-
ficativos, verificamos que o primeiro algarismo diferente de
zero da incerteza é o número 3. Assim a incerteza deve ser
representa com apenas um algarismo significativo, ou seja,
permanecendo o próprio 3, já que o algarismo excedente é
menor que 5. Com isto a incerteza fica sendo:
σL = 0,3 m
A partir deste resultado, temos que escrever o valor da gran-
deza. Neste caso, como a incerteza foi escrita até o primeiro
algarismo depois da vírgula, o valor da grandeza também
deve ser escrito até o primeiro algarismo depois da vírgula.
Escrevendo o valor da grandeza, verifica-se que o primeiro
algarismo excedente é igual a 5 (seguido por algarismos dife-
rentes de zero), tornando necessário que o último algarismo
significativo seja arredondado para 8. Assim o valor da gran-
deza é dado por:
L = 323, 8 m
Com isto, grandeza será apresentada por:
L = (323, 8± 0, 3) m
9.3 Exemplos 48
9.3.2 Exemplo 2 - Massa da carga de um caminhão.
O resultado obtido para a massa, M , da carga de um caminhão
foi:
M = 6783,7 kg
σM = 102,3 kg
Analisando a incerteza, verificamos que o primeiro algarismo
diferente de zero é o número 1. Assim a incerteza deve ser
apresentada com dois algarismos significativos, ou seja, os dois
primeiros algarismos (diferentes de zero), que são o 1 e o 0 (pois
o primeiro algarismo excedente é menor que 5). A dificuldade
em representar este número pode ser resolvida facilmente com a
utilização da notação científica. Com isto temos:
σM = 10 · 101 kg
A partir deste resultado, temos que escrever o valor da grandeza.
Como a incerteza foi escrita até o primeiro algarismo antes da vír-
gula, o valor da grandeza também deve ser escrito até o primeiro
algarismo antes da vírgula. Para o arredondamento, verifica-se que
o primeiro algarismo excedente é menor que 5, fazendo com que
o último algarismo significativo seja o próprio 8. Para representar
o valor da grandeza, também é necessário utilizar a notação cien-
tífica. No entanto, é importante lembre que o valor da grandeza
quanto a incerteza devem ser escritos da mesma maneira, ou seja,
com a mesma potência de dez. Assim o valor da grandeza é dado
por:
M = 678 · 101 kg
Para apresentar a grandeza, podemos colocar a potência em evi-
dência. Com isto, obtemos:
M = (678± 10) · 101 kg
9.4 Exercício 49
9.4 Exercício
Apresente, na forma correta, o resultado das medições das diversas grandezas apresentadas
na Tabela 9.2.
Grandeza valor incerteza final unidade
V 123,4567 8,3214 m/s
t 123,4567 0,0778 s
m 123,4567 0,0178 g
T 123,4567 0,9891 ◦C
F 123,4567 1,4455 N
E 1234567 8 J
I 1234,567 35,456 cd
L 123456,7 549,9 m
I 0,000012345 0,000000123 A
T 1,234567 2,3831 K
s 0,123456 3,569 m
Tabela 9.2: Resultados obtidos para diversas grandezas.
Capítulo 10
Informações Complementares
10.1 Média e Desvio Padrão obtidos pela Tabela de
Frequência e Histograma
Como, algumas vezes, os resultados de uma série de medições são apresentados por meio
de uma Tabela de Frequência ou diretamente pelo histograma, torna-se necessário saber avaliar
a média e o desvio padrão amostral para estes tipos de representação.
10.1.1 Tabela de Frequência
Quando os dados já são apresentados em uma tabela de frequências. A média será:
x¯ =
1
N
·
M∑
j=1
nj · x∗j (10.1)
onde:
N é o número de dados;
M é o número de intervalos;
j representa cada um dos intervalos;
nj é o número de ocorrências em cada um dos intervalos;
x∗j é o valor de x no meio de cada intervalo.
Deste modo, para o desvio padrão temos:
σP =
√√√√√ 1
N − 1 ·
M∑
j=1
nj ·
(
x∗j − x¯
)2 (10.2)
10.1 Média e Desvio Padrão obtidos pela