consiga resolver DCCXXVI

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B) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x + C \) 
C) \( \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
D) \( \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{2}x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \)** 
**Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \), \( \int -3x \, dx 
= -\frac{3}{2}x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral é \( \frac{1}{2}x^4 - 
\frac{3}{2}x^2 + x + C \). 
 
75. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 4 
D) Não existe 
**Resposta: C) 4** 
**Explicação:** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, temos 
\( \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x - 1)}{x - 1} \), que simplifica para \( (x^2 + 1)(x + 1) \). Portanto, \( 
\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)(x + 1) = 4 \). 
 
76. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \)? 
A) \( 2\tan(x)\sec^2(x) \) 
B) \( 2\tan^2(x) \) 
C) \( \sec^2(x) \) 
D) \( 2\tan(x) \) 
**Resposta: A) \( 2\tan(x)\sec^2(x) \)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: a derivada de \( u^2 \) é \( 2u \cdot u' \), onde \( 
u = \tan(x) \) e \( u' = \sec^2(x) \). Portanto, \( f'(x) = 2\tan(x)\sec^2(x) \). 
 
77. Calcule a integral definida \( \int_0^1 (x^2 + x) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{3} \) 
B) \( \frac{1}{2} \) 
C) \( \frac{2}{3} \) 
D) \( \frac{1}{4} \) 
**Resposta: C) \( \frac{2}{3} \)** 
**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + x) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( [\frac{1}{3}(1^3) + \frac{1}{2}(1^2)] - [0] = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} 
= \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \). 
 
78. Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
A) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
B) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
C) \( \frac{3}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
D) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
**Resposta: A) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: a derivada de \( \sqrt{u} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{u}} 
\cdot u' \), onde \( u = x^3 + 1 \) e \( u' = 3x^2 \). Portanto, \( f'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 
1}} \). 
 
79. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** Usamos a propriedade do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \). 
Aqui, \( k = 2 \), então o limite é 2. 
 
80. Qual é a integral de \( \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx \)? 
A) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
B) \( x^3 - 2x^2 + 4 + C \) 
C) \( x^3 - 4x + 5 + C \) 
D) \( x^3 - 2x + 5 + C \) 
**Resposta: A) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \)** 
**Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -4x \, dx = -2x^2 \), 
e \( \int 5 \, dx = 5x \). Portanto, a integral é \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \). 
 
81. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 7 
D) Não existe 
**Resposta: C) 7** 
**Explicação:** Usamos a propriedade do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). 
Aqui, \( k = 7 \), então o limite é 7. 
 
82. Qual é a derivada de \( f(x) = 5x^4 - 2x^3 + 3x^2 \)? 
A) \( 20x^3 - 6x^2 + 6x \) 
B) \( 20x^3 - 6x^2 + 3 \) 
C) \( 20x^3 - 2x^2 + 3 \) 
D) \( 20x^3 + 6x \) 
**Resposta: A) \( 20x^3 - 6x^2 + 6x \)** 
**Explicação:** Usamos a regra do poder: \( f'(x) = 20x^3 - 6x^2 + 6x \). 
 
83. Calcule a integral definida \( \int_0^2 (x^2 - 1) \, dx \). 
A) \( \frac{4}{3} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( \frac{2}{3} \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta: B) 0** 
**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x + C \). Avaliando de 0 a 
2, temos \( [\frac{1}{3}(2^3) - 2] - [0] = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3} \). 
 
84. Qual é a integral de \( \int (x^3 + 2x^2 + 3x) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
B) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + 3x + C \) 
C) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{3}x + C \) 
D) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \)** 
**Explicação:** Integramos cada termo: \( \int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 \), \( \int 2x^2 \, dx 
= \frac{2}{3}x^3 \), e \( \int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2 \). Portanto, a integral é \( \frac{1}{4}x^4 + 
\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \). 
 
85. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(3x)} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) Não existe 
**Resposta: A) 0** 
**Explicação:** Usamos a propriedade do limite \( \tan(3x) \) se comporta como \( 3x \) 
quando \( x \) se aproxima de 0. Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} 
\frac{x^2}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3} = 0 \). 
 
86. Qual é a derivada de \( f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x \)? 
A) \( 12x^2 - 6x + 2 \) 
B) \( 12x^2 + 6x + 2 \) 
C) \( 12x^2 - 3x + 2 \) 
D) \( 12x^2 + 3x + 2 \) 
**Resposta: A) \( 12x^2 - 6x + 2 \)** 
**Explicação:** Usamos a regra do poder: \( f'(x) = 12x^2 - 6x + 2 \). 
 
87. Calcule a integral de \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \) 
B) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C \) 
C) \( \frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 4 + C \) 
D) \( x^4 + x^3 - 4 + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)** 
**Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \), \( \int 3x^2 \, 
dx = x^3 \), e \( \int -4 \, dx = -4x \). Portanto, a integral é \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \). 
 
88. Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \)? 
A) 0