Lista de Exercícios - Ângulos e Distâncias

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LISTA DE EXERCI´CIOS DE GEOMETRIA ANALI´TICA - 25/09/12
Assunto: Aˆngulos e Distaˆncias
Prof. Fa´bio A. Matos
Exerc´ıcio 1) Encontre as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo ponto A = (3, 6, 4), intercepta
a reta r : X = (0, 0, 0) + λ(0, 0, 1) e e´ paralela ao plano pi : x− 3y + 5z − 6 = 0.
Exerc´ıcio 2) Ache as equac¸o˜es na forma sime´trica da reta t perpendicular comum as retas reversas
r :

x = 2 + α
y = α
z = −1 + α, α,∈ R
e s :
{
x+ y = 2
z = 0
Exerc´ıcio 3) Encontre o aˆngulo entre:
(a) r : X = (−5
2
, 2, 0) + λ(
1
2
) e s :
{
3x− 2 + 16 = 0
3x− z = 0
(b) x = y = z e z = 0
(c) 2x+ y − z − 1 = 0 e x− y + 3z − 10 = 0
Exerc´ıcio 4) Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi : x+ y + z = 0 e que forma
aˆngulo de 45o com o plano α : x− y = 0.
Exerc´ıcio 5) Encontre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta s :
{
x = z + 1
y = z − 1 e que forma
aˆngulo de
pi
3
rd com o plano x+ 2y − 3z + 2 = 0.
Exerc´ıcio 6) A diagonal de um quadrado ABCD esta´ contida na reta r : X = (1, 0, 0)+λ(0, 1, 1).
Conhecendo-se A = (1, 1, 0), determine os outros treˆs ve´rtices.
Exerc´ıcio 7) Calcule a distaˆncia entre:
(a) P = (1, 0, 1) e r :

x = α
y = α2
z = 1− α3 , α,∈ R
(b) r : x =
y − 3
2
= z − 2 e s : x− 3 = y + 1
2
= z − 2
(c) P = (9, 2,−2) e pi : X = (0,−5, 0) + λ(0, 5, 12) + µ(1, 0, 0), λ, µ ∈ R.
(d) x+ y = Z = 0 e x+ y + z + 2 = 0.
(e) r :
{
x = z − 1
y = 3z − 2 e s :
{
3x− 2z + 3 = 0
y − z − 2 = 0
1
(f) r :

x = 2− λ
y = 1 + λ
z = λ
e s :
{
x+ y + z = 0
2x− y − 1 = 0
(g) P = (1, 2, 3) e as retas que passam pela origem e possuem direc¸o˜es −→v = (1, 0, 0) e −→u = (0, 1, 0).
(h) pi1 : x+ y + z = 4 e pi2 : 2x+ 2y + 2z = 5
(i) r :
{
x = 3
y = 4
e os planos pi1 : x+ y − 12 = 0 e pi2 : y = 0.
(j) r :
{
x = −y − 3
z = −2y − 5 e r :
{
y = −1− 3x
z = 2x
Exerc´ıcio 8) As retas r, s e t determinam com pi um tetraedro. Calcule a altura relativa a` face
situada no plano, dados: pi : x + y − z = −1, r : x = y = z + 1, s : x − y = z + 1 = 0 e
t :
{
x− y − z = 1
x = 0
Exerc´ıcio 9) Deˆ uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos P = (1, 1,−1) e Q = (2, 1, 1)
e que dista 1 da reta r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2).
Exerc´ıcio 10) Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam 3 unidades de A = (0, 2, 1).
Exerc´ıcio 11) Ache os pontos de r : x − 1 = 2y = z que equidistam de s1 :
{
x = 2
z = 0
e
s2 : x = y = 0
Bons Estudos!!!
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