exatidao 53E

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B) \( \frac{k}{s + k} \) 
C) \( \frac{1}{s^2 + k^2} \) 
D) \( \frac{1}{s + k} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{k}{s^2 + k^2} \) 
**Explicação:** A transformada de Laplace de \( \sin(kt) \) é dada por \( 
\mathcal{L}\{\sin(kt)\} = \frac{k}{s^2 + k^2} \). 
 
**17.** Encontre a derivada de \( h(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
B) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
C) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
D) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
**18.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 2}{2x^2 + 1} \) 
A) \( \frac{5}{2} \) 
B) \( 5 \) 
C) \( 2 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( \frac{5}{2} \) 
**Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \): 
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2}. \] 
 
**19.** Resolva a equação diferencial: \( \frac{dy}{dx} = 4y + 2 \) 
A) \( y = Ce^{4x} - \frac{1}{2} \) 
B) \( y = Ce^{-4x} + \frac{1}{2} \) 
C) \( y = Ce^{4x} + \frac{1}{2} \) 
D) \( y = Ce^{2x} - 2 \) 
**Resposta:** A) \( y = Ce^{4x} - \frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral 
é \( y = Ce^{4x} - \frac{1}{2} \). 
 
**20.** Calcule a integral: \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \) 
A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
B) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
C) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
D) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
**Explicação:** Usamos a substituição \( u = \frac{x}{2} \rightarrow du = \frac{1}{2}dx \). A 
integral se torna \( \int \frac{1}{4(u^2 + 1)} \, du = \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + C = \frac{1}{2} 
\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 
**21.** Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 2) \, dx \)? 
A) \( 0 \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \frac{2}{3} \) 
**Resposta:** A) \( 0 \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^3 - 2x \right]_0^1 = (1 - 2) - (0 - 0) = -1 
\). 
 
**22.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \) 
A) 0 
B) 1 
C) \( -1 \) 
D) Infinito 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 
Derivando o numerador e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1 
\). 
 
**23.** Determine a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
B) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
C) \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \) 
D) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
**Resposta:** A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = (x^3)' \ln(x) + x^3 (\ln(x))' = 3x^2 \ln(x) 
+ x^2 \). 
 
**24.** Qual é a integral de \( \int e^{-x^2} \, dx \)? 
A) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
B) Não tem uma forma fechada 
C) \( e^{-x} \) 
D) \( x e^{-x^2} \) 
**Resposta:** B) Não tem uma forma fechada 
**Explicação:** A integral de \( e^{-x^2} \) não tem uma solução em termos de funções 
elementares, mas é frequentemente representada pela função erro \( \text{erf}(x) \). 
 
**25.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) \) 
A) 0 
B) \( \frac{1}{2} \) 
C) \( -\frac{1}{2} \) 
D) 1 
**Resposta:** C) \( -\frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Multiplicamos por \( \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \) para 
eliminar a raiz: 
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = -\frac{1}{2} \]. 
 
**26.** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
A) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
B) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
C) \( -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
D) \( \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
**Resposta:** A) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
**Explicação:** Usamos a regra do quociente: \( f'(x) = \frac{(0)(x^2 + 1) - (1)(2x)}{(x^2 + 
1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
**27.** Calcule a integral: \( \int \sin^2(x) \, dx \) 
A) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
B) \( \frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
C) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
D) \( -\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
**Resposta:** C) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
**Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), então a integral 
se torna \( \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \). 
 
**28.** Determine o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ -\cos(x) \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-
\cos(0)) = 1 + 1 = 2 \). 
 
**29.** Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \) 
A) 0 
B) 1 
C) \( e \) 
D) Infinito 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 
Derivando o numerador e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 \). 
 
**30.** Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 e^x \).