lista_calculo1_02

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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2013
Lista de Exerc´ıcios 2
1. Usando as propriedades de limites determine os seguintes valores:
(a) lim
x→7
(2x+ 5)
(b) lim
t→3
8(t− 5)(t− 6)
(c) lim
h→0
1√
x+ h+
√
x
(d) lim
y→−5
y2
5− y
(e) lim
h→0
3
2−√2h+ 1
(f) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
(g) lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x− 2
(h) lim
y→1
5y3 + 8y3
3y4 − 16y2
(i) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
(j) lim
y→0
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
(k) lim
v→2
v3 − 8
v4 − 16
(l) lim
x→4
4x− x2
2−√x
(m) lim
x→2
√
x2 + 5 +
√
1
x− 2
(n) lim
x→−2
x+ 2√
x2 + 5− 3
(o) lim
x→−3
sen
(
x2 − 9
x+ 3
pi
)
2. Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5 + 2x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim
x→0
f(x), por mais
complicada que possa ser f(x). (Sugesta˜o: use o teorema do confronto).
3. Seja a func¸a˜o
h(x) =

x2 se x < 2
3 se x = 2
2 se x > 2
.
Mostre que
(a) lim
x→2
h(x) 6= 4 (b) lim
x→2
h(x) 6= 3 (c) lim
x→2
h(x) 6= 2
4. Usando as propriedades dos limites, determine o valor dos seguintes limites laterais.
(a) lim
x→− 1
2
−
√
x+ 2
x+ 1
(b) lim
x→1−
(
1
x+ 1
)(
x+ 6
x
)(
3− x
7
)
(c) lim
h→0
√
h2 + 2h+ 3−√3
h
(d) lim
h→0+−
√
6−√5h2 + 11h+ 6
h
(e) lim
x→−3−
(x+ 1)
|x+ 3|
x+ 3
(f) lim
x→−3+
(x+ 1)
|x+ 3|
x+ 3
(g) lim
x→1+
√
2x(x− 1)
|x− 1|
(h) lim
x→1−
√
2x(x− 1)
|x− 1|
5. Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinitos:
(a) lim
x→∞
pi − 2
x2
(b) lim
x→∞
3− 2
x
4 +
√
2
x2
(c) lim
r→∞
r + sen(r)
2r + 7− 5 sen(r)
(d) lim
x→−∞
excos
(
1
x
)
(e) lim
x→∞
3x2 + e−x
sen(1/x)− 2x2
(f) lim
x→−∞
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x+ 6
(g) lim
x→∞
10x5 + x4 + 31
x6
(h) lim
x→∞
2 +
√
x
2−√x
(i) lim
x→∞
2x5/3 − x1/3 + 7
x8/5 + 3x+
√
x
6. Determine os seguintes limites e respectivas ass´ıntotas:
(a) lim
x→0
1
3x
(b) lim
x→7
4
(x− 7)2
(c) lim
x→0
−1
x2(x+ 1)
(d) lim
x→0−
2
x
1
5
(e) lim
x→(pi/2)−
tg(x)
(f) lim
x→0−
(1 + cossec(x))
7. Usando os limites fundamentais
lim
x→0
sen(x)
x
= 1 e lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e,
calcule:
(a) lim
x→0
sen(3x)
4x
(b) lim
x→0
tg(2x)
x
(c) lim
x→0−
x+ x cos(x)
sen(x) cos(x)
(d) lim
x→0
sen(x)
sen(2x)
(e) lim
x→0
sen(sen(x))
sen(x)
(f) lim
x→0
sen(3x) cotg(5x)
x cotg(4x)
(g) lim
n→∞
(
1 +
2
n
)n
(h) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+3
(i) lim
n→∞
(
1 +
3
n
)n+2
(j) lim
n→∞
(
n+ 7
n+ 4
)n
8. Em quais intervalos as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas?
(a) f(x) =
1
x− 2 − 3x
(b) f(x) =
x+ 4
x2 − 3x− 10
(c) f(x) = |x− 1|+ sen(x)
(d) f(x) =
2 + x
cos(x)
(e) f(x) =
√
2x+ 3
(f) f(x) =
x tg(x)
x2 + 1
9. Determine os limites infinitos e as ass´ıntotas pedidas abaixo:
(a) lim
x→3−
2
x− 3, limx→3+
2
x− 3, e a equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical,
(b) lim
x→5−
x+ 1
x− 5, limx→5+
x+ 1
x− 5, e a equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical,
(c) lim
x→∞
x3 + 5x
2x3 − x2 + 4
(d) lim
x→−∞
√
3x+ 5
x− 4
10. Dada a func¸a˜o f(x) =
3 + 2x
5− x , determine:
(a) limites laterais para x→ 5,
(b) limites no infinito,
(c) ass´ıntotas horizontal e vertical,
(d) esboc¸o do gra´fico.
11. Em um reator qu´ımico, a concentrac¸a˜o de uma substaˆncia varia no tempo de acordo
com a expressa˜o:
C(t) =
50t
200 + t
,
onde C representa a concentrac¸a˜o em mg/m3 e t representa o tempo em minutos.
Apo´s um tempo suficientemente longo, verificou-se que a concentrac¸a˜o da substaˆncia
se estabilizou. Em que valor a concentrac¸a˜o se estabilizou?
Respostas
1. (a) 19
(b) 48
(c)
1
2
√
x
(d)
5
2
(e) 3
(f)
1
10
(g) −1
(h) −1
(i) −1
2
(j) −1
2
(k)
3
8
(l) 16
(m) 2
(n) −3
2
(o) 0
2.
√
5
4. (a)
√
3
(b) 1
(c)
1√
3
(d) − 5√
6
(e) 2
(f) −2
(g)
√
2
(h) −√2
5. (a) pi (b)
3
4
(c)
1
2
(d) 0
(e) −3
2
(f)
9
2
(g) 0
(h) −1
(i) ∞
6. (a) f(x) → +∞ se x → 0+;
f(x)→ −∞ se x→ 0−; x = 0
(b) f(x)→ +∞; x = 7
(c) f(x)→ −∞; x = 0
(d) f(x)→ −∞; x = 0
(e) f(x)→ +∞; x = pi
2
(f) f(x)→ −∞; x = 0
7. (a) 3
4
(b) 2
(c) 2 (d)
1
2
(e) 1
(f)
12
5
(g) e2
(h) e
(i) e3
(j) e3
8. (a) S = {x ∈ R|x 6= 2}
(b) S = {x ∈ R|x 6= 5 ou x 6= −2}
(c) S = {x ∈ R}
(d) S = {x ∈ R|x 6= (2n+ 1)pi
2
, ∀n ∈ Z}
(e) S = {x ∈ R|x ≥ − 3
2
}
(f) S = {x ∈ R|x 6= (2n+ 1)pi
2
, ∀n ∈ Z}
9. (a) lim
x→3−
f(x) = −∞; lim
x→3+
f(x) = +∞;x = 3
(b) lim
x→5−
f(x) = −∞; lim
x→5+
f(x) = +∞;x = 5
(c) lim
x→∞ f(x) =
1
2
(d) lim
x→−∞ f(x) =
√
3
10. (a) lim
x→5+
f(x) = −∞; lim
x→5−
f(x) = +∞
(b) lim
x→∞ f(x) = −2; limx→−∞ f(x) = −2
(c) hor. y = −2; ver. x = 5
11. Estabilizou em 50mg/m3.