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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
PROPRIEDADES EPROPRIEDADES E
ESTÁTICA DOS FLUIDOSESTÁTICA DOS FLUIDOS
Autor: Me. Rafaela Fi lomena Alves Guimarães
IN IC IAR
29/10/2024, 16:25 Ead.br
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introdução
Introdução
Nesta unidade, serão apresentados conceitos relativos à medição de pressão e
instrumentos de medida para podermos mensurar o escoamento dos �uidos e
depois classi�cá-los em relação, por exemplo, aos tipos de regime: se um �uido
possui regime de �uxo variado ou permanente, ou se o �uxo pode ser
classi�cado como laminar, de transição ou turbulento.
Essa classi�cação é feita por meio do número de Reynolds. Estudaremos também
os conceitos de vazão mássica e volumétrica que serão úteis para podermos
calcular a velocidade. Compreenderemos o princípio da conservação de massa e
como podemos, por meio de um tubo de Venturi, utilizar essa con�guração para
alterar a velocidade de um �uido de maneira simples e e�ciente.
Finalmente, estudaremos a equação de conservação de energia e os vários tipos
de energia que um �uido em movimento pode despender como a energia
potencial, a cinética e a energia de pressão.
O estudo será seguido de atividades práticas para que o aluno possa perceber a
vantagem da utilização dessas equações para tornar o cálculo simples e preciso.
Esses cálculos são muito empregados em líquidos incompressíveis, como a água.
Bons estudos!
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A pressão é uma das características mais importantes em se tratando de
fenômenos de transporte e escoamento de �uidos. Por isso, precisamos ter a
certeza de que estamos utilizando o medidor certo e estamos medindo
exatamente a pressão da tubulação que nos interessa.
Escalas de Pressão
Quando uma pressão é medida, em relação ao vácuo ou ao zero absoluto, temos
o que chamamos de “pressão absoluta”. Já quando uma pressão é medida, em
relação à pressão atmosférica (o nível de referência mais comum), chamamos de
“pressão efetiva”, e a relação entre essas pressões é dada por:
 (Equação 2.1)
“A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a
diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a pressão
atmosférica). Os níveis de pressão medidos em relação à pressão atmosférica
Medições eMedições e
Medidores deMedidores de
PressãoPressão
= +pabs patm pef
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são denominados de pressões manométricas” (FOX et al., 2010, p. 90). Uma
pressão negativa é também referida como vácuo.
Além disso, para sabermos se um manômetro está marcando a pressão efetiva,
basta que ele seja submetido a um teste simples: medimos a pressão
atmosférica. Se a marcação for igual a zero (ao nível do mar), ao instalarmos esse
equipamento na tubulação, esse marcará a pressão efetiva. A Figura 2.1 ilustra a
Equação 2.1:
Podemos medir pressões em várias unidades, e algumas relações entre essas
unidades é dada por:
1 kgf/cm² = 10 kgf /m² = 9,8 x 10 Pa = 0,98 bar = 14,2 psi.
1 atm = 760 mmHg = 101.230 Pa = 101,23 kPa = 10.033 kgf/m² = 1,033
kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
Figura 2.1 - Escala mostrando as pressões absoluta, efetiva e atmosférica
Fonte: Fox et al. (2010, p. 91).
4 4
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Ainda assim, é possível medir a pressão em mmHg (milímetros de coluna de
mercúrio) ou mca (metros de coluna-d’água) e transformar o valor medido para
kPa, por exemplo.
Medidores de Pressão
As pressões ou depressões (pressões negativas) são medidas pelos manômetros
que podem ser de uso industrial como os manômetros:
Metálico ou de Bourdon.
Strain-gages.
Transdutores piezelétricos.
O manômetro metálico ou de Bourdon é o mais utilizado industrialmente e
está representado na Figura 2.2. Ele mede a pressão por meio da deformação do
tubo elástico localizado no interior de (em nosso exemplo) um tubo metálico. Ao
ligarmos o manômetro, o tubo elástico é submetido à pressão que queremos
medir, deformando, assim, o tubo elástico, e, através de um sistema de
engrenagens (Figura 2.3), acionando o ponteiro, indicando a pressão da
tubulação em que o equipamento foi instalado.
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Figura 2.2 - Manômetro instalado em ambiente industrial. Esse manômetro mede
uma pressão de 0 a 1 MPa
Fonte: anita_starzycka / Pixabay.
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Também temos os manômetros chamados de transdutores de pressão, ou de
strain-gages, que funcionam por meio de um diafragma que se curva entre duas
câmaras abertas para as entradas de pressão e os transdutores piezelétricos que
funcionam de acordo com o princípio de que um potencial elétrico é gerado em
uma substância cristalina quando ela é submetida à pressão mecânica.
Os manômetros industriais são projetados para medir até ¾ ou 75% da sua
escala. Nunca devemos con�ar na leitura de um equipamento que está com o
ponteiro apontando para o fundo de escala, pois a medição pode ser dezenas de
vezes superior ao número que está no visor, simplesmente porque o aparelho
não tem capacidade de realizar a medição que queremos.
Figura 2.3 - Vista interna e partes constituintes de um manômetro metálico
Fonte: DStaiger / Wikimedia Commons.
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Já os manômetros piezométricos e com tubo em U são muito utilizados para a
realização de experimentos em laboratório ou a medição de grandes
reservatórios, em que o controle por meio de uma coluna-d’água é a melhor
forma de obtermos informações sobre um reservatório. Essa técnica utiliza
colunas de líquido verticais ou inclinadas. Os três tipos mais utilizados são:
Tubo piezométrico.
Manômetro em U.
Tubo inclinado.
Tubo Piezométrico
O manômetro de coluna piezométrica consiste em um tubo de vidro que,
ligado a um reservatório, permitindo medir diretamente a carga de pressão. Esse
manômetro é usado para medir pequenas pressões devido à limitação da altura
do tubo de vidro. Também não pode ser utilizado para medir pressões de gases
e pressões negativas.
Esse manômetro indicará uma leitura dada pela fórmula
saibamais
Saiba mais
Agora, assista ao vídeo em que se explicam as
partes constituintes de um manômetro, bem
como quais os requisitos que necessitamos
saber para especi�car esse equipamento,
desde detalhes construtivos até tipo de
conexão:
ASS IST IR
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 (Equação 2.2)
sendo que é a pressão atmosférica, é o peso especí�co e h é a altura da
coluna do �uido. “Essa equação fornece a pressão gerada por qualquer coluna
de �uido homogêneo em função da pressão de referência e da distância
vertical entre os planos que apresentam p e ” (MUNSON; YOUNG; OKIISHI,
2004, p. 45).
Manômetro com o Tubo em U
O manômetro com tubo em U é muito utilizado em laboratórios e pode ser
visto na Figura 2.4. O �uido que está em seu interior é denominado �uido
manométrico. Também podemos instalar dois recipientes com líquidos
diferentes no lugar das saídas da tubulação aberta em A e B. A equação desse
tipo de con�guraçãoé dada por:
 (Equação 2.3)
p = + γ. hp0
p0 γ
p0
p0
− = Δp = ρ. g. hPfinal(A) Pinicial(B)
Figura 2.4 - O manômetro com tubo em U
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Na Figura 2.4, temos dois �uidos diferentes (o ar e o mercúrio), então a equação
de pressão será dada por:
 (Equação 2.4)
Em que a gravidade especí�ca (SG) é dada por , temos:
 (Equação 2.5)
Em que os pontos A e A’ têm a mesma pressão.
praticar
Vamos Praticar
A �gura a seguir mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo
(densidade = SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada e possui
uma largura de 0,6 m. O módulo da força resultante que mantém a pressão relativa em
50 kPa (conforme a indicação do manômetro da �gura) é um número entre:
Dado: o tanque está exposto à atmosfera.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos �uidos.
Tradução da quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard
Blucher, 2004.
g
Fonte: Fox et al. (2010, p. 93).
= + ρHgg. hPA PB
ρ/ρágua
= S . . g. hPA GHG ρágua
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a) 0 e 10 kN.
b) 11 e 20 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN
Figura - Tanque de óleo exposto à atmosfera
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 61).
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Esse princípio é baseado no mesmo princípio da equação de Lavoisier, que nos
diz que “a quantidade de massa na natureza não pode ser criada, apenas
transformada”. Para sistemas fechados, o princípio da conservação de massa é
usado implicitamente como exigência que a massa permaneça constante
durante um processo. Para volumes de controle (sistemas abertos), a massa
pode cruzar as fronteiras do sistema, então esse princípio se transforma em “a
quantidade de massa que entra no volume de controle tem que ser igual à
quantidade de massa que dele sai”.
Em termos matemáticos, temos que:
 (Equação 2.6)
Para estudarmos o princípio de conservação de massa, devemos, primeiramente,
entender como o escoamento de um �uido pode ser classi�cado.
Comportamento de um Fluido
Temos duas maneiras de analisarmos o comportamento de um �uido:
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
=Qm1 Qm2
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O método de Lagrange.
O método de Euler.
“Lagrange inventou um método de análise que acompanha a trajetória de uma
única partícula de �uido ao longo do escoamento. A trajetória é o lugar
geométrico dos pontos ocupados por uma única partícula em instantes
sucessivos começando por , seguido de + dt, + 2 dt e assim
sucessivamente” (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 147). Aqui,
acompanhamos a mesma partícula em vários instantes, conforme a Figura 2.5.
Esse método é útil para o cálculo da vazão de um �uido.
Já Euler inventou outro método de análise que estuda as propriedades de um
escoamento �uido em pontos �xos no espaço em função do tempo, conforme a
Figura 2.6. Esse método é utilizado quando escolhemos um volume de controle
(representado por partículas na �gura), que é uma quantidade de volume ou
região do espaço, através da qual há �uxo de massa como objeto de estudo.
Portanto, nesse método, as propriedades do campo de escoamento são
t0 t0 t0
Figura 2.5 - Análise do método Lagrangeano
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 112).
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descritas como sendo uma função das coordenadas espaciais e do tempo. A
maioria dos problemas de mecânica dos �uidos utiliza esse método. Esse
método é utilizado no princípio da conservação de massa, por exemplo.
Regimes de Escoamento
Os regimes de escoamento podem ser separados segundo várias formas de
classi�cação. Podemos separá-los segundo o tempo que ocorrem, ou segundo as
dimensões nos eixos x, y e z que ocupam quando um �uido está em movimento.
Segundo o tempo em que ocorrem os escoamentos, podem ser classi�cados em
regimes permanente e variado.
Regimes Variado e Permanente
Figura 2.6 - Análise do método de Euler
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 113).
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Os escoamentos podem ser separados segundo o tempo que ocorrem, e
devemos lembrar que um mesmo escoamento em um dado tempo pode ser
variado e em outro tempo ser permanente. Tudo vai depender do momento em
que estivermos fazendo nossa análise.
Escoamento em Regime Permanente
O escoamento em regime permanente pode ser de�nido como:
Regime permanente é aquele em que as propriedades do �uido são
invariáveis em cada ponto com o passar do tempo (elas podem variar
de ponto para ponto, desde que não variem com o tempo). Isto
signi�ca que apesar de um certo �uido estar em movimento, a
con�guração de suas propriedades em qualquer instante permanece
a mesma (BRUNETTI, 2008, p. 67).
Escoamento em regime variado
Segundo Brunetti (2008, p. 67), “O escoamento em regime variado é aquele em
que as condições do �uido em alguns pontos ou regiões de pontos variam com o
passar do tempo”.
O exemplo mais comum é o estudo de um reservatório, como o da Figura 2.7.
Temos que, quando a quantidade que entra no reservatório é a mesma
quantidade que sai dele, o volume do �uido é constante e o regime será
permanente. Entretanto, se interrompermos a entrada de �uido no reservatório,
seu volume vai diminuir, fazendo com que o volume do �uido varie com o tempo,
aí ele se torna um regime variado.
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Reservatórios de grandes dimensões, que mantêm o nível de água
aproximadamente constante com o passar do tempo, são considerados
reservatórios com regime permanente.
Número de Reynolds
“O número de Reynolds classi�ca o escoamento como laminar, de transição ou
turbulento” (BRUNETTI, 2008, p. 69).
Reynolds injetou uma linha de corante em um tubo transparente dentro de um
reservatório de água, conforme é mostrado na Figura 2.8.
Figura 2.7 - Reservatório de água com uma torneira e uma saída de água
Fonte: stockcrafter / 123RF.
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Para pequenas velocidades do �uido, chamadas de velocidade de descarga, o
�lete formado é reto e contínuo. Quando aumentamos a velocidade, o �lete se
tornará turbulento, aparecendo uma con�guração de transição até que ele se
dissolva totalmente na água, em um escoamento turbulento.
O escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em
lâminas individualizadas, sem trocas de massa entre elas. Já o
escoamento turbulento é aquele em que as partículas apresentam um
movimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade apresenta
componentes transversais ao conjunto do �uido (BRUNETTI, 2008, p.
69).
A classi�cação entre um escoamento e outro é dado pelo número de Reynolds
de�nido pela fórmula:
(este número é adimensional) (Equação 2.7)
Figura 2.8 - Representação da experiência feita por Reynolds para determinar se
o escoamento é laminar ou turbulento
Fonte: Brunetti (2008, p. 68).
Re = =
ρ velocidade D
μ
 velocidade D
ν
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Em que = densidade (kg/m³), = viscosidade (kg/m.s), - viscosidade
cinemática (m²/s) e D = diâmetro do tubo (m).
Reynolds de�niu que, para valores de Re:
Re 2.400 - Escoamento turbulento.
O escoamento turbulento é variado por natureza, devido às alterações, por
exemplo, no formato de um rio, por quedas, estreitamentos ou alargamentos
feitos pelo homem. A maioria dos aparelhos não indicará essa variação na
velocidade do escoamento com precisão.
Ops! Este vídeo não está
mais disponível.
Desculpe-nos
ρ μ ν
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Variação de Escoamento nos Eixos x, y
e z
Os escoamentos também podem ser classi�cados segundo sua variação nos
eixos de coordenadas x, y e z. É claro que, na maioria das vezes, os escoamentos
serão fenômenos tridimensionais (como tudo que nos cerca). Mas, muitas vezes,
podemos realizar nossos cálculos somente com uma coordenada e, ainda assim,
obtermos um valor bem preciso.
Escoamento unidirecional
Quando utilizamos uma única coordenada (eixo x) para descrever as
propriedades do �uido, temos um escoamento unidimensional.
Escoamento bidirecional
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Os escoamentos bidirecionais precisam de duas coordenadas (eixos x e y) para
descrever a variação de sua velocidade.
Escoamento tridirecional
Escoamentos tridimensionais (eixos x, y e z) utilizam as três coordenadas para
obter a velocidade e são de difícil resolução matemática.
Taxas de Escoamento: Vazão
Volumétrica e Vazão Mássica
Agora, vamos de�nir os conceitos de vazão em massa e volume para que
possamos calcular a velocidade do �uxo. Também utilizamos a vazão para o
cálculo do tempo que um reservatório leva para encher ou esvaziar.
De�nimos vazão em volume pela letra Q como: o volume do �uido que atravessa
uma seção de escoamento por unidade de tempo, ou seja:
 (Equação 2.8)
Com a aplicação dessa fórmula, podemos calcular o tempo de enchimento de um
reservatório, para um volume V conhecido a partir de uma vazão especi�cada.
A vazão (Q) também pode ser calculada utilizando a velocidade média e a área:
 (Equação 2.9)
onde é a velocidade média (m/s) e A é a área (m).
A vazão mássica ( ) é obtida pela multiplicação da vazão volumétrica pela
massa especí�ca do �uido, dada por
 (Equação 2.10)
Para casos especiais em que a velocidade não é uniforme na seção (escoamentos
turbulentos ou de transição), temos que usar o cálculo da integral de área, dado
por
Q = ( /s,L/s, /h,L/min)V
t
m3 m3
Q = AVm
Vm
Qm
= ρQ = ρ AQm Vm
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 (Equação 2.11)
O cálculo da vazão é de extrema importância para o cálculo da velocidade e para
podermos traçar os per�s de velocidade de um �uido. A vazão também será
muito empregada no aumento ou na diminuição de velocidade de um �uido por
meio da diminuição ou aumento da área de tubulação, como no caso dos bocais
utilizados nas mangueiras de jardim.
praticar
Vamos Praticar
Os reservatórios da �gura a seguir são cúbicos. Eles são enchidos pelos tubos
bifurcados, respectivamente, em 100 e 500 segundos. Dado: o diâmetro do condutor
nessa seção é de 1 m. A velocidade da água na seção (A) em m/s é um número que
varia entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Q = V elocidade .  dA∫
A
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a) Entre 0 e 1 m/s.
b) Entre 1,1 e 2 m/s.
c) Entre 2,1 e 3 m/s.
d) Entre 3,1 e 4 m/s.
e) Entre 4,1 e 5 m/s.
Figura -Reservatórios (1) e (2) sendo enchidos por um tubo com diâmetro .
Fonte: Brunetti (2008, p. 80).
DA
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Já estudamos que a vazão em massa na seção de entrada dada por tem de
ser igual à vazão em massa na seção de saída dada por , conforme está
ilustrado na Figura 2.9:
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
Qm1
2Qm
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Em termos matemáticos, temos que:
 ou ou (Equação 2.12)
“Essas equações são de�nidas como as equações da continuidade para um
�uido em regime permanente” (BRUNETTI, 2008, p. 75).
Caso o �uido seja incompressível, temos que a massa especí�ca na entrada e na
saída do volume V deverá ser a mesma. Dessa forma, a Equação 2.13 �ca:
 ou (Equação 2.13)
“A equação nos diz que a vazão em volume de um �uido incompressível é a
mesma em qualquer seção do escoamento ou que as velocidades médias e as
áreas são inversamente proporcionais” (BRUNETTI, 2008, p. 75), isto é, a uma
diminuição de área corresponde um aumento da velocidade média proporcional,
conforme está ilustrado na Figura 2.10, no tubo conhecido por tubo de Venturi. A
parte onde o tubo se estreita é chamada de garganta do tubo.
Figura 2.9 - Escoamento de um �uido por um tubo de corrente
Fonte: Brunetti (2008, p. 75).
=Qm1 Qm2 =ρ1Q1 ρ2Q2 =ρ1v1A1 ρ2v2A2
ρ = ρ ⇒ =Q1 Q2 Q1 Q2 =v1A1 v2A2
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 (Equação 2.14)
O tubo de Venturi é utilizado em variadas áreas, como para espalhar fertilizantes
na agricultura, para aumentar o nível de oxigênio para peixes criados em
cativeiro, até mesmo para dar sustentabilidade a aviões voando a altitudes de
cruzeiro.
=v1
v2
A2
A1
Figura 2.10 - Tubo de Venturi
Fonte: letindor / 123RF.
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Per�il de Velocidade e Velocidade
Média
Os �uidos aderem à superfície sólida com o qual estão em contato, de forma
que, em um escoamento, uma película do �uido que está em contato direto com
uma superfície sólida possui a mesma velocidade que essa superfície, ou seja,
não ocorre deslizamento do �uido sobre uma superfície sólida.
Em algumas ocasiões, podemos dividir o campo de escoamento em duas regiões
principais:
Junto às superfícies sólidas onde existe uma região com gradientes de
velocidade de escoamento, havendo, assim, tensões de cisalhamento.
Na região fora da camada limite, em que não existem estas tensões de
cisalhamento.
saibamais
Saiba mais
Assista ao vídeo que utiliza o tubo de Venturi
para montar uma experiência bastante simples
simulando como um avião utiliza esse princípio
para se sustentar voando em altitudes de
cruzeiro. No vídeo, é utilizado com um
envelope, 3 clipes de papel, um secador de
cabelo e um suporte para reproduzir a asa de
um avião:
ASS IST IR
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A primeira região é chamada camada limite e a segunda região de região, de
escoamento ideal ou livre, respectivamente.
A Figura 2.11 mostra um esquema simpli�cado da formação de uma camada
limite para o escoamento de um �uido sobre uma placa plana. O escoamento
atinge a placa com um per�l de velocidade . Como os �uidos possuem a
propriedade de aderência às superfícies sólidas, uma �na película adere à placa,
exercendo uma força retardadora sobre o escoamento, desacelerando o �uido
na vizinhança da superfície sólida. A in�uência da placa cria uma regiãono
escoamento com gradientes de velocidade em que existem tensões de
cisalhamento. O escoamento não sofre a in�uência da placa fora da camada
limite.
O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. Para
escoamentos sobre uma placa �na, a fórmula para o cálculo do número de
Reynolds é dada por:
v0
Figura 2.11 - Esquema simpli�cado da formação de uma camada limite sobre
uma superfície sólida
Fonte: Livi (2017, p. 71).
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 (Equação 2.15)
em que a coordenada x é a medida a partir do bordo de ataque da placa, na
direção do escoamento sobre a placa na qual a camada limite se desenvolve. O
tipo de escoamento na camada limite depende do número de Reynolds.
=Rex
ρ   xV0
μ
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reflita
Re�ita
Os escoamentos, na maioria das vezes,
são turbulentos, como em rios e nos
sistemas de tubulação pressurizados.
Essas turbulências ou vórtex fazem com
que a água não �que parada, que dois
líquidos diferentes se misturem mais
rapidamente ou que um produto
chegue ao seu destino �nal no menor
tempo possível em uma linha de
montagem.
No entanto, essas turbulências também
trazem prejuízos à tubulação porque
causam cavitação e perdas de carga.
Durante a noite, o consumo de água
diminui e as vazões deveriam ser
diminuídas para que a perda por
vazamentos seja mínima.
Você já pensou como seria se nosso
sistema tivesse um consumo constante?
Se todas as instalações tivessem caixas-
d’água com softwares que soubessem a
melhor hora para acionarem as
bombas? As perdas de carga e custos
com manutenção seriam menores
porque os escoamentos turbulentos
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Os escoamentos internos em dutos podem ser classi�cados como de entrada ou
estabelecido. Um escoamento interno em um duto de seção circular constante é
mostrado na Figura 2.12. Antes da entrada da tubulação, tem-se um escoamento
livre com per�l uniforme de velocidade . Na região com comprimento , a
camada limite está em formação e temos o escoamento de entrada. Após a
camada limite está totalmente desenvolvida e o escoamento é estabelecido.
poderiam se transformar em
escoamentos laminares.
Fonte: Tardelli Filho (2016, on-line).
v0 Le
Le
Figura 2.12 - Esquema simpli�cado dos escoamentos de entrada e estabelecido
em um duto
Fonte: Livi (2017, p. 71).
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Depois do comprimento da entrada, no escoamento estabelecido o per�l da
velocidade �ca invariante ao longo de um duto de seção constante, e a forma da
distribuição real de velocidade depende de o regime ser laminar ou turbulento.
Para um escoamento laminar em um duto de seção transversal circular, o per�l
de velocidade numa seção parabólica é dado por:
 (Equação 2.16)
em que é a velocidade de escoamento no centro da seção.
Teorema de Transporte de Reynolds
Muitas vezes, estamos interessados no que acontece numa região particular do
escoamento e, em outras vezes, estamos interessados no efeito do escoamento
num objeto que interage com o escoamento.
O teorema de transporte de Reynolds é uma ferramenta que transforma a
abordagem dos sistemas (considerando uma massa �xa de um �uido) em
volume de controle (considerando um dado volume).
Sistema é uma quantidade �xa de massa identi�cável que se move com o �uido,
e volume de controle é um volume no espaço.
A maioria das leis que descrevem o movimento dos �uidos envolve a taxa de
variação temporal de uma propriedade extensiva (como a taxa de variação da
quantidade de movimento de um sistema). Assim, sempre existirão termos
representados por:
 Equação 2.17)
onde B é um parâmetro físico e b = V (quantidade de movimento por unidade de
massa).
Na abordagem do volume de controle, precisamos obter uma expressão para a
taxa de variação de uma propriedade extensiva no volume de controle, , e
não em um sistema. Isso pode ser escrito do seguinte modo
V (r) = [1  − ]Vmáx   ( )r
R
2
Vmáx
=dBsis
dt
d( ρ b dQ)∫sis
dt
cBv
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(Equação 2.18)
onde os limites de integração, denotados por você, cobrem o volume de controle
em que estamos interessados.
O teorema de transporte de Reynolds fornece uma relação entre a taxa de
variação temporal de uma propriedade extensiva para um sistema e aquela para
um volume de controle, ou seja, a relação entre as equações (2.17) e (2.18).
Vamos estudar melhor esse teorema por meio de um exemplo:
Um �uido escoa do extintor de incêndio mostrado na Figura 2.13. Vamos ver as
diferenças entre e , considerando que B representa a massa do �uido.
Como B = m, a massa do sistema, segue que b = 1 e as Equações 2.17 e 2.18
podem ser reescritas como:
=dBvc
dt
d( ρ b dQ)∫vc
dt
dBsis
dt
dBvc
dt
Figura 2.13 - Extintor de incêndio. Em a) o extintor está cheio e em b) em uso
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 165).
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 e (Equação 2.19)
Essas equações representam a taxa de variação temporal da massa no sistema e
a taxa de variação temporal da massa no volume de controle. Vamos escolher o
�uido contido no extintor no instante inicial, dado por t = 0 como sistema e o
tanque (recipiente) como volume de controle (a superfície de controle será a
parede interna do extintor). Um instante após a abertura da válvula, uma parte
do sistema escoa para fora do volume de controle, como mostra a Figura 2.13,
item b. O volume de controle permanece imóvel. Os limites de integração são
�xos para o volume de controle, e eles são uma função do tempo para o sistema.
Se a massa deve ser conservada, a massa de �uido do sistema é constante, ou
 (Equação 2.20)
Do outro lado, é claro que uma certa quantidade de �uido deixou o volume de
controle por meio da válvula do tanque durante o processo. Assim, a quantidade
de massa no tanque (o volume de controle) decresce ao longo do tempo, ou
 (Equação 2.21)
O valor numérico real da taxa com que a massa no volume decresce dependerá
da taxa com que o �uido escoa na válvula do extintor. Esse princípio também é
usado para aerossóis, como desodorantes, secadores de unha etc.
= =dBsis
dt
dmsis
dt
d( ρ  dQ)∫sis
dt
= =dBvc
dt
dmvc
dt
d( ρ  dQ)∫vc
dt
= 0
d( ρ  dQ)∫sis
dt
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a) Entre 0 e 10 kN.
b) Entre 11 e 20 kN.
c) Entre 21 e 30 kN.
d) Entre 31 e 40 kN.
e) Entre 41 e 50 kN.
Figura: Gradiente de velocidade
Fonte: Brunetti (2008, p. 15).
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Da mesma forma que foi feito para as massas que entram e saem de um �uido,
pela lei de conservação de Lavoisier podemos deduzir uma equação para o
balanço de energias armazenados em um �uido.
Essa equação será extremamente útil para determinamos a potência de
máquinas hidráulicas, determinação das perdas em escoamento e para
transformamos a energia potencial hidráulica de uma queda em energia elétrica.
Tipos de Energias Mecânicas
Associadas a um Fluido
Os tipos de energia mecânicos associados a um �uido são (BRUNETTI, 2008, p.
85):
Energia potencial.
Energia cinética.
Energia de pressão.
Balanço Global deBalanço Global de
Energia MecânicaEnergia Mecânica
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Energia Potencial ( )
É a energia que um corpo acumula devido à sua posição no campo de gravidade
em relação a um plano horizontal de referência (PHR). É a energia de uma queda
livre, conforme Figura 2.14 (BRUNETTI, 2008, p. 85):
Como Trabalho = Força x Deslocamento temos que:
 (Equação 2.22)
onde: é a força peso em N, m é a massa em kg, g é a aceleração da gravidade
igual a 9,81 m/s² e z é a altura em metros.
Energia Cinética ( )
Ep
Figura 2.14 - Corpo com Centro de Gravidade (CG) em queda livre de uma altura
z.
Fonte: Brunetti (2008, p. 86).
W = . z = m. g. zFp
Fp
Ec
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É o estado de energia determinado pelo movimento do �uido. Seja um sistema
de massa m e velocidade v, a energia cinética é obtida por (BRUNETTI, 2008, p.
86):
 (Equação 2.23)
Energia de Pressão ( )
É a energia que corresponde às forças de pressão exercida por uma superfície
dentro de um líquido, conforme a Figura 2.15, que mostra um tubo de corrente
(BRUNETTI, 2008, ps. 86 e 87).
Vamos admitir que a pressão seja uniforme em um tubo de corrente conforme
está ilustrado na Figura 2.15. Então, a pressão aplicada pelo meio externo no
�uido do tubo de corrente, na interface A, será F = p . A. Ao considerarmos o
intervalo de tempo dt, o �uido terá se deslocado uma distância ds, sob a ação da
força F, produzindo um trabalho dado por:
=Ec
m v2
2
rEp
Figura 2.15 - Figura de um tubo de corrente
Fonte: Brunetti (2008, p. 86).
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 (Equação 2.24)
Também podemos calcular a energia de pressão pela integral de volume dada
por:
 (Equação 2.25)
A energia mecânica total de um �uido será dada pela soma das energias
potenciais, cinemáticas e de pressão:
 (Equação 2.26)
Os diferentes tipos de energia serão úteis no cálculo da equação de Bernoulli.
Equação Integral de Conservação de
Energia
A termodinâmica estuda as relações entre as propriedades de um sistema e as
trocas de calor e trabalho com a vizinhança. Convencionamos que o calor que
entra no sistema e o trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança são
positivos, assim como o calor que sai do sistema e o trabalho realizado pela
vizinhança sobre o sistema são representados pelo sinal negativo.
Considerando um sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança, mostrado
na Figura 2.16, onde foram representados o �uxo de calor e a potência (taxa de
realização de trabalho como positivo), a 1ª Lei da Termodinâmica pode ser
escrita como:
 (Equação 2.27)
A taxa de variação da energia total do sistema é igual ao �uxo líquido de calor
que entra no sistema menos a taxa líquida de trabalho realizado pelo sistema
sobre a vizinhança.
dW = F . ds = p.A. ds = p. dV
= p. dVEpr ∫
V
E = + +Ep Ec Epr
= −dEsist
dt
δQ
dt
δW
dt
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Agora que nos lembramos conceitualmente da 1ª Lei da Termodinâmica, vamos
aplicá-la aos �uidos. A 1ª Lei da Termodinâmica aplicável a um volume de
controle pode ser obtida a partir da equação básica da formulação de volume de
controle dada por
 (Equação 2.28)
Na dedução da equação básica da formulação de controle, consideramos que o
sistema e o volume de controle são coincidentes no instante t, de modo que:
 (Equação 2.29)
resultando
 (Equação 2.30)
sendo e a energia total especí�ca (por unidade de massa) do �uido dada por
Figura 2.16 - Sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança
Fonte: Livi (2017, p. 96).
= ∫ βρ (  .   ) dA + ∫ ∫ βρ d ∀dEsist
dt
∫
S.C.
V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
=  (   −  )δQ
dt
δW
dt sistema
(   −  )δQ
dt
δW
dt volume de controle
  − = ∫ e ρ (  .   ) dA + ∫ ∫ eρ d ∀
δQ
dt
δW
dt
∫
S.C.
V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
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 (Equação 2.31)
em que: g. y é a energia potencial especí�ca, é a energia cinética especí�ca e
u é a energia interna especí�ca.
A Equação 2.31 é uma expressão da 1ª Lei da Termodinâmica (princípio da
conservação de energia) na formulação de volume de controle e ela fornece um
balanço global de energia, para um volume de controle (V. C.) que pode ser
escrito da seguinte forma:
ou
 (Equação 2.32)
onde:
 é o trabalho realizado pelo �uido dentro do volume de controle e
transmitido para a vizinhança por meio de um eixo que atravessa a superfície de
controle, normalmente esse trabalho é realizado por turbinas ou bombas.
 é o trabalho realizado pelo �uido ao escoar através de superfícies
de controle, resultante das forças devidas às tensões normais , ou seja, é o
trabalho realizado pelas forças de pressão.
 é o trabalho realizado pelo �uido contra as tensões cisalhantes
(atrito viscoso) conhecido também como perda de carga.
praticar
Vamos Praticar
e = g. y + + uV 2
2
V 2
2
= + +δW
dt
δWeixo
dt
δWescoamento
dt
δWcisalhamento
dt
Weixo
Wescoamento
σ
Wcisalhamento
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Um dos métodos para se produzir vácuo em uma câmara é descarregar água por um
tubo convergente-divergente, como é mostrado na �gura a seguir. Temos que produzir
uma depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da �gura. Dados: as perdas de carga
devem ser desprezadas. = 104 N/m³, = 1,36 x 105 N/m³, g = 9,81 m/s², D =
72 mm e D = 36 mm. A vazão em massa de água pelo convergente-divergente deve ser
um número situado entre:
a) Entre 0 e 1,99 kg/s.
b) Entre 2 e 3,99 kg/s.
c) Entre 4 e 5,99 kg/s.
d) Entre 6 e 7,99 kg/s.
e) Entre 8 e 9,99 kg/s.
γ água γ Hg 1
2
Figura: Tubo convergente-divergente
Fonte: Brunetti (2008, p. 109).
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações
Editora: McGraw Hill
Autores: Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
ISBN: 978-85-86804-58-8
Comentário: você encontrará inúmeras aplicações da
equação de Bernoulli explicadas passo a passo (p. 169 a
175). Esse livro apresenta exemplos reais para ajudar os
alunos a resolverem problemas de forma intuitiva e
analítica.
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FILME
Sob pressãoAno: 2015
Comentário: a 160 km da costa da Somália, uma equipe é
designada para descer e realizar a manutenção corretiva
em um oleoduto de petróleo. O problema é que o navio
que daria suporte ao módulo de descida afunda por
causa de uma tempestade e quatro trabalhadores �cam
presos no fundo do mar com o oxigênio acabando. Trata-
se de uma emocionante história de como esses operários
lutaram para retornar à superfície, e sobreviver a
pressões extremas é retratado de uma maneira muito
verídica.
TRA ILER
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, aprendemos a diferenciar os tipos de escoamento em laminar, de
transição e turbulento por meio do cálculo do número de Reynolds, assim como
a reconhecer se um escoamento é uni, bi ou tridimensional.
Também estudamos o cálculo da vazão em função do tempo e da massa para
determinarmos o tempo de enchimento de um reservatório ou sua velocidade
de enchimento. Vimos que a velocidade é inversamente proporcional à área para
líquidos incompressíveis.
Também estudamos o princípio da conservação de massa que pode ser utilizado
em um tubo de Venturi. Por esse tubo, podemos alterar a velocidade de um
�uido de maneira simples, razão pela qual ele é utilizado na agricultura e no
projeto de aeronaves.
Finalmente, compreendemos o princípio da conservação de energia, as energias
acumuladas em quedas-d’água, no movimento dos �uidos, e a energia de
pressão.
referências
Referências
Bibliográ�cas
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2008.
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Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão Técnica de F. Saltara, J. L. Baliño
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FOX. R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Tradução e
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Edgard Blucher, 2004.
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http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf