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Integrais Definidas

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1
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
 
Integral definida 
Seja f uma função contínua definida num intervalo [ ]b ; a . 
Se dividirmos o intervalo [ em n subintervalos de comprimento ]b ; a
n
ab
Δx −= , e 
considerarmos bxxxxa n1n10 x 2 =<<<<<= −]b
L
[ ; a
 os extremos destes intervalos então a 
integral definida de f no intervalo é dada por 
( ) ( )Δxxflimdxxfb
a
n
1i
*
in∫ ∑=+∞→= 
onde , , ... , [ ]10*1 x;xx ∈ [ ]21*2 x;xx ∈ [ ]n1-n*n x;xx ∈ 
 
Exemplo: 
Considere ( ) 2xxf =
 
2n = 4n = 8n = 
 
 
 
Para n = 40 : 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 2
Cálculo de área 
Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a com ( ) [ ]b;ax0,xf ∈∀≥ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral definida da função f no intervalo [ ]b ; a representa geometricamente a área 
compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b. 
 
Teorema fundamental do cálculo 
Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a e uma antiderivada da f em F [ ]b ; a . 
Chamaremos de integral definida de f em [ ]b ; a ao número real obtido da seguinte forma: 
( ) ( ) ( )∫ −=b
a
aFbFdxxf 
Exemplo: 
( ) ( ) ?1F2Fdx3x2
1
4 =−=∫ 
 
Sendo ( ) ∫ ∫ +=== C53xdxx3dx3xxF
5
44 
 
 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )
5
93
5
1.3
5
2.3
5
3x1F2Fdx3x
552
1
52
1
4 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=∫ 
 
Cálculo via Maple 
> int(3*x^4,x=1..2); 935 
 
a b
A 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 3
 
Propriedades da integral definida 
 
➀ 0f(x)dx
a
a
=∫
➁ ∫ ∫ ∫ <<+=b
a
c
a
b
c
bca sendo ,f(x)dx f(x)dxf(x)dx
➂ ∫ ∫−=
b
a
a
b
f(x)dxf(x)dx
④ Se ∫∫ ≥∈∀≥ baba g(x)dxf(x)dxentãob][a;xg(x),f(x)
 
Exemplos 
Cálculo de áreas através da integral definida. 
❶ u.a. 8A =
 ( ) xxf = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❷ .u.a
3
32A = 
 ( ) 4xxf 2 +−= 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 4
❸ u.a.
3
32A = 
( ) 4xxf 2 −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
❹ u.a. 5A =
( ) 2
2
xxf +−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área da região entre duas curvas 
Em alguns casos a área a ser determinada envolve duas funções diferentes, conforme mostram os 
exemplos a seguir. 
 
Exemplos: 
Cálculo da área de regiões limitadas por curvas e pelos eixos coordenados através da integral 
definida. 
❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 31 xxf = e ( ) 2xxf2 +−= . ( ) 31 xxf = 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 2 x-xf2 += 
 
➥ u.a. 
4
3A = 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 5
 
❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 21 xxf = e ( ) xxf2 = . 
 
 ( ) 21 xxf = 
 
 
 
 
( ) xxf2 = 
 
 
 
 
 
➥ u.a. 
3
1A = 
 
 
 
❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xf1 = , ( ) 1xxf 22 −= e o eixo x 
 
 ( ) 3xf1 = 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 1xxf 22 −= 
➥ .u.a
3
28A = 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 6
✔ Exercícios 
Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações 
são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados. 
① 
⎪⎩
⎨
=
=
0y
4x⎪
⎧ −= x3xy 2
 
➥ .u.a
3
19A =
⎪⎪⎩ = 0y
1x
 
 
② ⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
−=
2x
44xy 3
 
➥ .u.a27A =
 
 
③ 
⎪⎪⎩ = 0y
⎪⎪⎨
⎧
=
−=
++=
1x
1x
12xxy 2
 
➥ .u.a
3
8A =
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 7
 
④ 
⎪⎪⎩
⎨
=
=
0y
1x
⎪⎪
⎧
−=
−=
1x
x3xy 35
 
➥ .u.a
54
29A =
⎩⎨
⎧
=
=++
0y
02y4xx 2
 
 
⑤ 
 
➥ .u.a
3
16A =
⎩⎨
⎧
=
=
4y
xy 2
 
 
⑥ 
 
➥ .u.a
3
32A =
⎩⎨
⎧
+=
−=
1xy
x3y 2
 
 
⑦ 
 
➥ .u.a
2
9A =
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 8
⑧ 
⎪⎩
⎨
≥
=
0x
5xy⎪
⎧ −= 4xxy 3
 
➥ .u.a
4
81A =
⎩⎨
⎧
−=
=
x2y
xy 2
 
 
⑨ 
 
➥ .u.a
2
9A =
⎩⎨
⎧
=
−=
xy
3xxy 3
 
 
⑩ 
 
➥ .u.a8A =
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 9
Sólidos de revolução 
Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma 
reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução. 
 
 
Volume por discos perpendiculares ao eixo x 
Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [ ]b ; a e seja R a região limitada por 
, o eixo x e pelas retas e ( )xfy = ax = bx = . O sólido de revolução gerado pela rotação da 
região R em torno do eixo x tem volume dado por 
 
( )[ ]∫= b
a
2 dxxfπV 
 
Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de 
método dos discos. 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas 
0ye4x,xy === em torno do eixo x. 
 
 
➥ u.v.8πV =
 
 
✔ Exercícios 
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da 
região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 10
 
① 
⎩⎨
⎧
=
−=
0y
x2xy 2
 
➥ u.v.π
15
16V =
 
 
② 
⎩⎨
⎧
=
+=
4y
3xy 2
 
➥ u.v.π
5
48=V
 
 
③ 
⎪⎩
⎪⎨
=
=
0y
8x
⎧ =y 3 x
 
 
➥ u.v.π
5
96=V
 
④ 
⎪⎩ = 4x⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
1x
0y
x
2y
 
 
➥ u.v.π3V =
 
 
Volume por discos perpendiculares ao eixo y 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 11
O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por 
 
( )[ ]∫= d
c
2 dyygπV 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas 
 em torno do eixo y. 2yxexy2 ==
 
 
➥ u.v.π
15
64V = 
✔ Exercícios 
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da 
região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
12
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
3
2
xy
xy
① 
 
➥ u.v.π
10
1V =
 
② 
⎩⎨ =+ 02x-y
⎧ = xy2
 
➥ u.v.π
5
72=V
 
③ 
⎪
⎪⎨
⎧
=
=
4x
xy
⎩ = 0y
 
 
➥ u.v.π
5
128=V
 
④ ⎪⎩⎨ = 8xy2
⎪⎧ = xy 2
 
➥ u.v.π
5
24V =
 
	Integral definida
	Cálculo de área
	Área da região entre duas curvas

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