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1 PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Integral definida Seja f uma função contínua definida num intervalo [ ]b ; a . Se dividirmos o intervalo [ em n subintervalos de comprimento ]b ; a n ab Δx −= , e considerarmos bxxxxa n1n10 x 2 =<<<<<= −]b L [ ; a os extremos destes intervalos então a integral definida de f no intervalo é dada por ( ) ( )Δxxflimdxxfb a n 1i * in∫ ∑=+∞→= onde , , ... , [ ]10*1 x;xx ∈ [ ]21*2 x;xx ∈ [ ]n1-n*n x;xx ∈ Exemplo: Considere ( ) 2xxf = 2n = 4n = 8n = Para n = 40 : CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 2 Cálculo de área Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a com ( ) [ ]b;ax0,xf ∈∀≥ . A integral definida da função f no intervalo [ ]b ; a representa geometricamente a área compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b. Teorema fundamental do cálculo Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a e uma antiderivada da f em F [ ]b ; a . Chamaremos de integral definida de f em [ ]b ; a ao número real obtido da seguinte forma: ( ) ( ) ( )∫ −=b a aFbFdxxf Exemplo: ( ) ( ) ?1F2Fdx3x2 1 4 =−=∫ Sendo ( ) ∫ ∫ +=== C53xdxx3dx3xxF 5 44 Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) 5 93 5 1.3 5 2.3 5 3x1F2Fdx3x 552 1 52 1 4 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=−=∫ Cálculo via Maple > int(3*x^4,x=1..2); 935 a b A CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 3 Propriedades da integral definida ➀ 0f(x)dx a a =∫ ➁ ∫ ∫ ∫ <<+=b a c a b c bca sendo ,f(x)dx f(x)dxf(x)dx ➂ ∫ ∫−= b a a b f(x)dxf(x)dx ④ Se ∫∫ ≥∈∀≥ baba g(x)dxf(x)dxentãob][a;xg(x),f(x) Exemplos Cálculo de áreas através da integral definida. ❶ u.a. 8A = ( ) xxf = ❷ .u.a 3 32A = ( ) 4xxf 2 +−= CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 4 ❸ u.a. 3 32A = ( ) 4xxf 2 −= ❹ u.a. 5A = ( ) 2 2 xxf +−= Área da região entre duas curvas Em alguns casos a área a ser determinada envolve duas funções diferentes, conforme mostram os exemplos a seguir. Exemplos: Cálculo da área de regiões limitadas por curvas e pelos eixos coordenados através da integral definida. ❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 31 xxf = e ( ) 2xxf2 +−= . ( ) 31 xxf = ( ) 2 x-xf2 += ➥ u.a. 4 3A = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 5 ❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 21 xxf = e ( ) xxf2 = . ( ) 21 xxf = ( ) xxf2 = ➥ u.a. 3 1A = ❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xf1 = , ( ) 1xxf 22 −= e o eixo x ( ) 3xf1 = ( ) 1xxf 22 −= ➥ .u.a 3 28A = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 6 ✔ Exercícios Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados. ① ⎪⎩ ⎨ = = 0y 4x⎪ ⎧ −= x3xy 2 ➥ .u.a 3 19A = ⎪⎪⎩ = 0y 1x ② ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −= 2x 44xy 3 ➥ .u.a27A = ③ ⎪⎪⎩ = 0y ⎪⎪⎨ ⎧ = −= ++= 1x 1x 12xxy 2 ➥ .u.a 3 8A = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 7 ④ ⎪⎪⎩ ⎨ = = 0y 1x ⎪⎪ ⎧ −= −= 1x x3xy 35 ➥ .u.a 54 29A = ⎩⎨ ⎧ = =++ 0y 02y4xx 2 ⑤ ➥ .u.a 3 16A = ⎩⎨ ⎧ = = 4y xy 2 ⑥ ➥ .u.a 3 32A = ⎩⎨ ⎧ += −= 1xy x3y 2 ⑦ ➥ .u.a 2 9A = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 8 ⑧ ⎪⎩ ⎨ ≥ = 0x 5xy⎪ ⎧ −= 4xxy 3 ➥ .u.a 4 81A = ⎩⎨ ⎧ −= = x2y xy 2 ⑨ ➥ .u.a 2 9A = ⎩⎨ ⎧ = −= xy 3xxy 3 ⑩ ➥ .u.a8A = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 9 Sólidos de revolução Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução. Volume por discos perpendiculares ao eixo x Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [ ]b ; a e seja R a região limitada por , o eixo x e pelas retas e ( )xfy = ax = bx = . O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x tem volume dado por ( )[ ]∫= b a 2 dxxfπV Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de método dos discos. Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas 0ye4x,xy === em torno do eixo x. ➥ u.v.8πV = ✔ Exercícios Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 10 ① ⎩⎨ ⎧ = −= 0y x2xy 2 ➥ u.v.π 15 16V = ② ⎩⎨ ⎧ = += 4y 3xy 2 ➥ u.v.π 5 48=V ③ ⎪⎩ ⎪⎨ = = 0y 8x ⎧ =y 3 x ➥ u.v.π 5 96=V ④ ⎪⎩ = 4x⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 1x 0y x 2y ➥ u.v.π3V = Volume por discos perpendiculares ao eixo y CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 11 O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por ( )[ ]∫= d c 2 dyygπV Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas em torno do eixo y. 2yxexy2 == ➥ u.v.π 15 64V = ✔ Exercícios Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 12 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 3 2 xy xy ① ➥ u.v.π 10 1V = ② ⎩⎨ =+ 02x-y ⎧ = xy2 ➥ u.v.π 5 72=V ③ ⎪ ⎪⎨ ⎧ = = 4x xy ⎩ = 0y ➥ u.v.π 5 128=V ④ ⎪⎩⎨ = 8xy2 ⎪⎧ = xy 2 ➥ u.v.π 5 24V = Integral definida Cálculo de área Área da região entre duas curvas
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