Resumo II Unidade Transformações 2 AVLC CIn UFPE

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Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
1 Thiago Carreiro 
 
I. Matriz de uma Transformação Linear: 
 Outro modo de representar uma transformação linear é através do uso de uma matriz 
específica e em função das coordenadas dos vetores para duas bases dadas (uma do conjunto 
de chegada e outra do conjunto de partida). 
Sejam ‘V’ e ‘W’ espaços vetoriais e 𝛼 e 𝛽 bases dos respectivos espaços, podemos representar a 
transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑊 como: 
 𝑇(𝑣) 𝛽 = 𝑇 𝛽
𝛼 . 𝑣 𝛼 
Onde 𝑇 𝛽
𝛼 representa a matriz de transformação linear em relação às bases 𝛼 e 𝛽. 
A matriz da transformação ‘pega’ as coordenadas do vetor do conjunto de partida, 𝑣, na 
base 𝛼 e retorna as coordenadas de um vetor do conjunto de chegada, 𝑇(𝑣), na base 𝛽. 
A matriz da transformação é obtida fazendo as colunas com as coordenadas dos 
transformados dos vetores da base do conjunto de partida com relação à base do conjunto de 
chegada. Ou seja, sejam 𝛼 = {𝑣1, 𝑣2 , … , 𝑣𝑛} e 𝛽 = {𝑤1,𝑤2, … , 𝑤𝑛}: 
 𝑇 𝛽
𝛼 = 𝑇 𝑣1 𝛽 𝑇 𝑣2 𝛽 ⋯ 𝑇 𝑣𝑛 𝛽 
Obs.: Se a transformação em questão for um Operador Linear, é comum representar a matriz 
como 𝐼 𝛽
𝛼 . Se 𝛼 = 𝛽, 𝑇 𝛼 ou ainda, se 𝛼 for a base canônica, 𝑇 . 
Ex.: Seja 𝑇:
2
→
3
 tal que 𝑇 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 𝑦, −𝑥, −2𝑦) e dadas as bases 𝛼 = 1,1 , 2, −1 e 
𝛽 = 1,1,1 , 1, −1,0 , (0,1, −1) : 
a) Ache a matriz da transformação linear 𝑇 𝛽
𝛼 : 
Vamos achar os transformados dos vetores da base 𝛼: 
 
i) 𝑇 1,1 = (2, −1, −2) 
Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em 𝛽: 
𝑇 1,1 = 2, −1, −2 = 𝐴. 1,1,1 + 𝐵. 1, −1,0 + 𝐶. (0,1, −1) 
 
𝐴 + 𝐵 = 2
𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = −1
𝐴 − 𝐶 = −2
 
Resolvendo o sistema, temos: 
𝐴 = − 1 3 
𝐵 = 7 3 
𝐶 = 5 3 
 
E temos: 
 𝑇 1,1 𝛽 =
 
 
 
 −
1
3 
7
3 
5
3 
 
 
 
 
 
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2 Thiago Carreiro 
 
ii) 𝑇 2, −1 = (1, −2,2) 
Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em 𝛽: 
𝑇 2, −1 = 1, −2,2 = 𝐷. 1,1,1 + 𝐸. 1, −1,0 + 𝐹. 0,1, −1 
 
𝐷 + 𝐸 = 1
𝐷 − 𝐸 + 𝐹 = −2
𝐷 − 𝐹 = 2
 
Resolvendo o sistema, temos: 
𝐷 = 1 3 
𝐸 = 2 3 
𝐹 = − 5 3 
 
E temos: 
 𝑇 2, −1 𝛽 =
 
 
 
 
1
3 
2
3 
− 5 3 
 
 
 
 
 
Então a matriz da transformação fica: 
 𝑇 𝛽
𝛼 =
 
 
 
 −
1
3 
1
3 
7
3 
2
3 
5
3 −
5
3 
 
 
 
 
b) Sendo 𝑣 = (1, −1), calcule as coordenadas desse vetor na base 𝛼, depois as coordenadas 
do transformado na base 𝛽. 
 
𝑣 = 1, −1 = 𝐴. 1,1 + 𝐵. (2, −1) 
 
𝐴 + 2𝐵 = 1
𝐴 − 𝐵 = −1
 
Resolvendo o sistema, temos: 
𝐴 = −1 3 
𝐵 = 2 3 
 
E temos: 
 𝑣 𝛼 = 
− 1 3 
2
3 
 
Aplicando a relação 𝑇(𝑣) 𝛽 = 𝑇 𝛽
𝛼 . 𝑣 𝛼 , temos: 
 𝑇(𝑣) 𝛽 =
 
 
 
 −
1
3 
1
3 
7
3 
2
3 
5
3 −
5
3 
 
 
 
. 
− 1 3 
2
3 
 
 𝑇(𝑣) 𝛽 =
 
 
 
 
1
9 +
2
9 
− 7 9 +
4
9 
− 5 9 −
10
9 
 
 
 
=
 
 
 
 
1
3 
− 1 3 
− 5 3 
 
 
 
 
 
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II. Autovalores, autovetores e autoespaços: 
 Alguns operadores lineares pegam um vetor e transformam em um outro vetor paralelo (ou 
LD) ao primeiro. Portanto a transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑉 pode ser representada por: 
𝑇 𝑣 = 𝜆. 𝑣 
Onde 𝜆 ∈ e 𝑣 ∈ 𝑉. 
 
 Quando lidamos com esse caso, dizemos que 𝑣 é um autovetor associado ao autovalor 
𝜆. 
 Autoespaços são espaços vetoriais que possuem uma base de autovetores (ou seja, 
achado um autovalor, acha-se os autovetores associados a ele e estes formam um autoespaço). 
III. Polinômio característico: 
 Seja I a matriz identidade e A a matriz da transformação, é correto escrever 𝐴. 𝑣 = 𝜆. 𝑣 =
𝜆. 𝐼. 𝑣 sem alterar nada (faça no papel). Então estamos procurando uma matriz diagonal, 𝜆. 𝐼, que 
faça a mesma transformação da matriz A. 
 Podemos escrever 𝐴. 𝑣 = 𝜆. 𝐼. 𝑣 como 𝐴. 𝑣 − 𝜆. 𝐼. 𝑣 = 𝐴 − 𝜆. 𝐼 . 𝑣 = 0. 
 Nomeamos a função 𝑃 𝜆 = det⁡(𝐴 − 𝜆. 𝐼) de polinômio característico da matriz A. E os 
autovalores da transformação são as raízes desse polinômio. 
 
Para achar os autovalores da transformação, segue: 
 Passo-a-passo: 
1) Subtrair 𝜆 da diagonal da matriz de transformação; 
2) Tirar a determinante da matriz obtida (será o polinômio característico); 
3) Achar as raízes do polinômio (que serão os autovalores). 
 
 
Ex.: Sendo 𝑇:
2
→
2
 onde 𝑇 𝑣 = 𝐴. 𝑣 sendo: 
𝐴 = 
4 3
3 −4
 
Queremos achar a matriz 𝜆. 𝐼: 
𝜆. 𝐼 = 𝜆. 
1 0
0 1
 = 
𝜆 0
0 𝜆
 
Então ficamos com: 
𝐴 − 𝜆. 𝐼 = 
4 3
3 −4
 − 
𝜆 0
0 𝜆
 = 
4 − 𝜆 3
3 −4 − 𝜆
 (subtrair 𝝀 da diagonal) 
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E o polinômio característico é: 
𝑃 𝜆 = det(𝐴 − 𝜆. 𝐼) = 4 − 𝜆 . −4 − 𝜆 − 9 = 𝜆² − 25 (tirar determinante da matriz) 
As raízes: 
𝑃 𝜆 = 𝜆² − 25 = 0 
 𝜆1 = 5 𝑒 𝜆2 = −5 São os autovalores da transformação. (raízes do polinômio) 
Para achar o autoespaço de cada autovalor da transformação, segue: 
 Passo-a-passo: 
 Fazer para cada 𝜆: 
1) Substituir em 𝐴 − 𝜆. 𝐼 e igualar à matriz-coluna nula; 
2) Resolver o sistema; 
3) Achar os vetores de cada autoespaço na forma mais geral; 
4) Ache uma base para o autoespaço. 
 
 
Ex.: Sendo os mesmos dados do exemplo anterior, calcule os autoespaços de cada autovalor da 
transformação: 
Para 𝜆1 = 5: 
i) Substituir 𝜆 em 𝐴 − 𝜆. 𝐼 para cada autovalor: 
 
4 − 5 3
3 −4 − 5
 . 
𝑥
𝑦 = 
0
0
 
 
−1 3
3 −9
 . 
𝑥
𝑦 = 
0
0
 
 
−𝑥 + 3𝑦 = 0
3𝑥 − 9𝑦 = 0
 
ii) Resolvendo o sistema: 
 
−𝑥 + 3𝑦 = 0
3𝑥 − 9𝑦 = 0
 → 
𝑥 = 3𝑦
𝑦 = 𝑦
 
iii) Na forma mais geral, temos: 
𝑣 = 𝑥, 𝑦 = 3𝑦, 𝑦 
Então definimos que: 
𝑉𝜆1 = {(3𝑡, 𝑡) ∈
2
/ 𝑡 ∈ } 
(Parametrizei o y, note que não faz diferença). 
iv) Então uma base para 𝑉𝜆1 é (colocando t em evidência): 
 3𝑡, 𝑡 = 𝑡. (3,1) 
𝛼1 = 3,1 é uma base (de autovetores) de 𝑉𝜆1 . 
 
 
 
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Para 𝜆2 = −5: 
i) Substituir 𝜆 em 𝐴 − 𝜆. 𝐼 para cada autovalor: 
 
4 + 5 3
3 −4 + 5
 . 
𝑥
𝑦 = 
0
0
 
 
9 3
3 1
 . 
𝑥
𝑦 = 
0
0
 
 
9𝑥 + 3𝑦 = 0
3𝑥 + 𝑦 = 0
 
ii) Resolvendo o sistema: 
 
9𝑥 + 3𝑦 = 0
3𝑥 + 𝑦 = 0
 → 
𝑥 = 𝑥
𝑦 = −3𝑥 
iii) Na forma mais geral, temos: 
𝑣 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥, −3𝑥 
Então definimos que: 
𝑉𝜆2 = {(𝑠, −3𝑠) ∈
2
/ 𝑠 ∈ } 
(Parametrizei o x, note que não faz diferença). 
iv) Então uma base para 𝑉𝜆2 é (colocando s em evidência): 
 𝑠, −3𝑠 = 𝑠. (1, −3) 
𝛼2 = 1, −3 é uma base (de autovetores) de 𝑉𝜆2 . 
 
Após achar os autoespaços, automaticamente achamos os autovetores. Estes serão os 
vetores (na forma mais geral) das bases dos autoespaços. Para o exemplo anterior, os 
autovetores da transformação são: 3𝑡, 𝑡 𝑒 𝑠, −3𝑠 
IV. Diagonalização de operadores: 
 Dizemos que a transformação é diagonalizável quando podemos substituir a matriz de 
transformação por uma matriz diagonal (os cálculos ficam bem mais fáceis). Na prática, isso é 
possível se nós tivermos uma base para o espaço vetorial formada exclusivamente por 
autovetores. 
 Os autoespaços são, na realidade, subespaços do espaço maior (o que está envolvido na 
transformação, no caso anterior 𝑇:
2
→
2
, então o espaço maior é 
2
), logo, a soma das 
dimensões dos autoespaços deve ser menor que ou igual à dimensão do espaço maior. 
 A transformação será diagonalizávelunicamente se a soma das dimensões dos 
autoespaços for IGUAL à dimensão do espaço maior. 
 A matriz diagonal será dada tendo os autovalores como as entradas da diagonal, ou seja, 
tendo a transformação os autovalores 𝜆1,𝜆2, …𝜆𝑛 , a matriz diagonal será: 
 𝐷 = 
𝜆1 0 ⋯ 0
0 𝜆2 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 𝜆𝑛
 
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No exemplo anterior: 
dim 𝑉𝜆1 = 1 
dim 𝑉𝜆2 = 1 
dim 
2
 = 2 
 Então: 
dim 
2
 = dim 𝑉𝜆1 + 𝑉𝜆2 
Logo, a transformação é diagonalizável e a matriz diagonal será: 
 
𝜆1 0
0 𝜆2
 = 
5 0
0 −5