Aula 13 – Soma Direta. Combinação Linear. Espaços e Subespaços Finitamente Gerados.

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Aula 13 – Soma Direta. Combinação Linear. Espaços e Subespaços Finitamente Gerados. 
 
 
Soma Direta 
Definição 1: Sejam um espaço vetorial real e e subespaços vetoriais de . Dizemos que o subespaço 
 é a soma direta de e se 
i) . 
ii) . 
Neste caso, escrevemos . 
 
 
Exemplo 1: Em , sejam o plano e o plano , isto é, 
 ( ) e ( ) . 
Então , mas 
 não é a soma direta de e , pois . 
 
 
Exemplo 2: Em seja o plano e o eixo- , isto é, 
 ( ) e ( ) . 
Então . 
 
 
Teorema 1: Sejam um espaço vetorial real e e subespaços vetoriais de . Então é a soma direta de 
 e se, e somente se, cada vetor pode ser escrito de maneira única como , com 
e . 
 
 
Exemplo 3: No exemplo 1, temos ( ) ( ) ( ) e também ( ) ( ) ( ). 
 
 
Exemplo 4: No exemplo 2, qualquer vetor ( ) pode ser escrito de maneira única como a soma de um 
vetor de com um vetor de , pois 
( ) ( ) ( ) 
 
 
 
Combinação Linear 
Definição 2: Seja um espaço vetorial real. Dados vetores e escalares , o vetor 
 
é chamado combinação linear de . 
 
 
Exemplo 5: Escreva os vetores ( ) e ( ) como combinação linear de ( ) e ( ). 
 
 
Exemplo 6: Escreva um vetor ( ) como linear de ( ), ( ) e ( ). 
 
 
 
 
 
 
Espaços e Subespaços Finitamente Gerados. 
Proposição 1: Sejam um espaço vetorial real e . O conjunto de todas as combinações lineares 
dos vetores , denotado por , é um subespaço vetorial de (chamado subespaço gerado 
por ). 
 
 
Exemplo 7: Seja ( ) . Determine . Interprete geometricamente. 
 
 
Definição 3: Sejam um espaço vetorial real e um subespaço de . Se existem vetores tais 
que , dizemos que é gerado por e que são geradores de . 
 
 
Exemplo 8: Verifique se o vetor ( ) é uma combinação linear dos vetores ( ), 
 ( ), e ( ), isto é, determine se pertence ou não ao subespaço gerado por . 
 
 
Exemplo 9: Determine um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo 
{
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
Exercício 1: Sejam e os subespaços de 
 definidos por ( ) 
 e 
 ( ) . Mostre que 
 . 
 
 
Exercício 2: Para qual valor de o vetor ( ) é uma combinação linear dos vetores 
 ( ) e ( ) ? 
 
 
Exercício 3: Escreva o polinômio ( ) como combinação linear dos polinômios 
 ( ) , ( ) e ( ) . 
 
 
Exercício 3: Escreva a matriz [
 
 
] como combinação linear das matrizes [
 
 
], [
 
 
] e [
 
 
]. 
 
 
Exercício 4: Mostre que ( ), ( ) e ( ) geram . 
 
 
Exercício 5: Procure uma condição sobre para que o vetor ( ) seja uma combinação linear de 
 ( ) e ( ). Determine . 
 
 
Exercício 6: Mostre que os polinômios ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) geram . 
 
 
Exercício 7: Determine vetor em que gere a intersecção , onde ( ) e 
 ( ) ( ) .