aula-hidrodinamica

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Física Aplicada II
Vitor R. Coluci
Faculdade de Tecnologia - UNICAMP
http://www.ft.unicamp.br/vitor
Hidrodinâmica
Hidrostática
-Fluido
- Densidade e Pressão
-Lei de Stevin 
 
- Princípio de Pascal
- Princípio de Arquimedes 
Roteiro
-Atividades
- Hidrodinâmica
- Equação da continuidade
-Equação de Bernoulli
-Viscosidade
Atividades 1) Discutir por que 
um balão de Hélio 
(densidade = 0.18 kg/m3) 
começa a subir e 
atinge uma altura bem 
definida. (dica: estudar 
Princípio de 
Arquimedes e Lei de 
Halley)
Obter uma estimativa 
dessa altura.
Ar
Água
z
h
⇢(z) = ⇢0e
��z
Atividades
Ar
Água
z
h
p(z) = p0 e
��z
Lei de Halley
⇢(z) = p(z)
⇢0
p0
� ⌘ ⇢0
p0
g
Hélio (densidade = 0.18 kg/m3) 
Ar (densidade = 1.2 kg/m3) 
p0 = 1.0 105 N/m2) 
A força de empuxo vai ser 
igual ao peso do balão de 
hélio quando a densidade 
da atmosfera se igualar ao 
do hélio
⇢(z) = ⇢0e
��z
⇢(z) = 0.18 kg/m3
0.18 kg/m3
1.2 kg/m3
= e��z
ln
 
0.18 kg/m3
1.2 kg/m3
!
= �
 
1.2 kg/m3 ⇥ 9.8m/s2
1.0⇥ 105N/m2
!
z
z ' 16100m = 16.1km
Atividades
� ⌘ ⇢0
p0
g
Hélio (densidade = 0.18 kg/m3) 
Ar (densidade = 1.2 kg/m3) 
p0 = 1.0 105 N/m2
�A
�x
Água
Óleo
d
2) Testar a Lei de Stevin por meio da 
determinação indireta da densidade de um fluido
�Agh = �xg(h+ d)
pint = p0 + �Agh
pint = p0 + �xg(h+ d)
�x = �A
�
h
h+ d
⇥
�x = 916 kg/m
3
Água
Óleo
d
d = 12.3 mm
h = 135 mm
E = ⇢a´guaV gP = ⇢ovoV g
msal > (⇢ovo � ⇢a´gua)Vrecipiente
msal +ma´gua
Vrecipiente
> ⇢ovo
Água
3) Testar o princípio de Arquimedes 
Experiência envolvendo um ovo de codorna em um 
recipiente com água.
Como fazer para o ovo emergir ?
Ovo 
de 
codorna
Densidade do ovo > densidade da água
Hidrodinâmica
Descrição do movimento de um fluido
Fluido dividido em elementos de volume
Olhar para a trajetória do elemento
Difícil obter solução completa (necessidade ?? 
nanofluidos...)
~v = ~v(~r, t)
Movimento de um fluido
-Linhas de corrente
Linha tangente em cada ponto ao vetor 
velocidade nesse ponto 
(trajetória de um elemento de fluido)
Comprimento das setas indicam o valor da velocidade
Setas apontam na direção e sentido do movimento do fluido
Hipóteses
-Escoamento estacionário
(v do fluido não varia com o tempo)
Ex.: água num rio “calmo”
-Escoamento incompressível
(densidade do fluido sempre constante)
-Escoamento não-viscoso
(fluido ideal)
-Escoamento irrotacional
(sem vórtices)
http://www.niteroiparapentes.com.br/apostila_meteorologia/fig12_laminar_turbulento.jpg
http://media.efluids.com/galleries/all?medium=184
http://media.efluids.com/galleries/all?medium=153
http://alvaro.lima.vieira.50megs.com/photo.html
http://media.efluids.com/galleries/all?medium=247
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Efeito de vórtices 
na aterrisagem
de parapente 
http://niteroiparapentes.com.br/apostila_meteorologia.html
Luciano Miranda Machado, 
instrutor e inovador na 
metodologia e na terminologia 
do ensino e da técnica de se 
decolar e voar parapentes
MUITO CUIDADO!!!
“Aterrissar atrás de um pé de mangueira não 
expõe aos mesmos riscos do que pousar atrás 
de um edifício de quatro andares, por 
exemplo. As pontas de pedras ou de edifícios 
criam vórtices fenomenais que causarão sem 
dúvida nenhuma a queda do parapente ou asa 
delta que cruzarem os seus caminhos.”
http://niteroiparapentes.com.br/apostila_meteorologia.html
Hipóteses
-Escoamento estacionário
(v do fluido não varia com o tempo)
Ex.: água num rio “calmo”
-Escoamento incompressível
(densidade do fluido sempre constante)
-Escoamento não-viscoso
(fluido ideal)
-Escoamento irrotacional
(sem vórtices)
A
Qual a quantidade de fluido (massa) que 
passa por A num instante ?�t
v�t
Massa contida no 
cilindro de área A e 
comprimento 
v�t
�V = (v�t)A
⇢ =
�m
�V
�m = ⇢Av�t
Fluido não escapa 
A a
v
�m2 = ⇢2av2�t
�m1 = ⇢1Av1�t
⇢1Av1 = ⇢2av2
Fluido incompressível
Av1 = av2
Equação da continuidade
R = Av = constante
R = vazão volumar (m3/s)
A a
v
Menor área, 
maior velocidade do fluido
Maior velocidade quando as
linhas de corrente
http://www.folhadomate.com.br/redacao/wp-content/uploads/2012/05/redacao-água1.jpg
Exercício
 Área da aorta
(maior vaso sanguíneo que sai do coração)
A0 = 3 cm2 (pessoa em repouso)
v0 = 30 cm/s
Vaso Capilar (diametro = 6 micra)
A = 3 10-7 cm2
 v = 0.05 cm/s
Estime o número de capilares no corpo.
Exercício
 Área da aorta
(maior vaso sanguíneo que sai do coração)
A0 = 3 cm2 (pessoa em repouso)
v0 = 30 cm/s
Vaso Capilar (diametro = 6 micra)
A = 3 10-7 cm2
 v = 0.05 cm/s
Estime o número de capilares no corpo.
R = A0v0 = nAv
n =
A0v0
Av
⇥ 6� 109
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli
(conservação de energia aplicada em fluidos)
y1
y2
p2
p1
v1
v2
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2
p+
1
2
�v2 + �gy = constante
Daniel Bernoulli 
(1700-1782)
 matemático holandês
Equação de Bernoulli
(conservação de energia aplicada em fluidos)
y1
y2
p2
p1
v1
v2
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2
p+
1
2
�v2 + �gy = constante
Equação de Bernoulli
(Fluido em Repouso)
y1
y2
p2
p1
v1
v2
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2
p1 � p2 = �g(y2 � y1) Lei de Stevin
Equação de Bernoulli
(Tubo horizontal)
y1 y2
p2
p1 v1 v2
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2 y1 = y2
p1 +
1
2
�v21 = p2 +
1
2
�v22
Tubo de Venturi
v =
�
2a2�p
�(A2 � a2)
10) * O ar escoa na parte superior da asa de um avião com velocidade igual a vt. Sendo A
a área da seção reta da asa e vu a velocidade do ar embaixo da asa, usando a equação
de Bernoulli, mostre que surge uma força de sustentação dada por
L = 12�A(v
2
i � v2u),
onde � é a densidade do ar.
11) * Aplicando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade nos pontos 1 e 2 de
um medidor de Venturi (figura 4), mostre que a velocidade de escoamento na entrada
é dada por
v =
⇤⇥⇥� 2a2�p
�(A2 � a2)
Figura 4:
Exercício
Tubo de Pitot
(medição de velocidade de um fluido em movimento)
Tubo de Pitot
(medição de velocidade de um fluido em movimento)
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2
1 2
y1 � y2 v1 � 0 v2 = v
p1 =
1
2
�v2 + p2
p1 � p2 = �lgh
v =
�
2gh
�l
�
mas por Stevin
Hipóteses
-Escoamento estacionário
(v do fluido não varia com o tempo)
Ex.: água num rio “calmo”
-Escoamento incompressível
(densidade do fluido sempre constante)
-Escoamento não-viscoso
(fluido ideal)
-Escoamento irrotacional
(sem vórtices)
Viscosidade
Hidrodinâmica clássica: fluidos perfeitos 
(sem viscosidade)
Fluido real ocorre o escoamento 
rotacional (vórtices)
Viscosidade é uma força volumétrica de 
atrito interno que aparece no deslizamento 
de camadas de fluido umas sobre as outras 
dando origem à tensões tangenciais
~F
Um fluido real em contato com um sólido permanece em 
repouso em relação à superfície de contato
Perfil de velocidades num tubo cilindríco
⌘
coeficiente de viscosidade (N s/m2)
~Ff = �K⌘~v
Objeto em repouso
Fluido em Movimento
Objeto em repouso
Fluido em Movimento
Objeto em repouso
Fluido em Movimento
Camada Limite
(> visc > CL)
Ação da viscosidade 
confinada na camada 
limite no caso de baixa 
viscosidade
(camada muito pequena 
comparada ao tamanho 
do objeto)
Turbulento
Camada Limite
Variação da velocidade 
dentro da camada limite 
leva a um escoamento 
rotacional
Re =
⇢vD
⌘
Velocidades baixas: camada fica “colada” ao objetoVelocidades altas: “deslocamento” da camada
Velocidades ainda mais altas: vórtices se destacam (fileira 
de vórtices)
Número de Reynolds
(Tubo)
Re < 2000 : laminar
Re > 3000 :turbulento
Razão da força inercial 
pela força viscosa
http://www.wfis.uni.lodz.pl/edu/Proposal.htm
Re=104 - 105
Re= 4x105
Sem viscosidade
Re =
⇢vD
⌘
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Formato do objeto
Leituras
Cap. 16 “Fluidos” Livro do Halliday (3a Edição)
Sugestão de Leitura adicional
 “A dinâmica dos fluidos complementada e 
a sustentação da asa”, Weltner et. al (2001)
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v23_429.pdf
Exercícios
Exercícios
1) Converta a densidade de 1.0 g/cm3 para kg/m3.
Exercícios
2) Num posto de gasolina, você enche os pneus de um carro 
com 28 “libras” (psi). A leitura de sua pressão sanguínea é 
de 120 mmHg (contração-sístole) / 80 mmHg (relaxamento-
diástole). 
Em quase todos os países do mundo que adotam o SI estas 
pressões devem ser expressas em kPa (quiloPascal). 
Converta em kPa: 
(a) a pressão do pneu; 
(b) a pressão sanguínea mencionadas.
Exercícios
3) A figura mostra a confluência de duas correntes que formam 
um rio. Um das correntes mede 8.2 m de largura e 3.4 m de 
profundidade e sua velocidade é igual a 2.3 m/s. A outra corrente 
tem largura igual a 6.8 m, profundidade igual a 3.2 m e flui a 2.6 
m/s. A largura do rio é igual a 10.5 m e a velocidade de sua água é 
igual a 2.9 m/s.
Calcule a profundidade do rio.
densidade gelo = 0.917 g/cm3
densidade água do mar = 1.025g/cm3
4) Qual a relação entre o 
volume submerso de um 
iceberg e seu volume total ?
Exercícios
5) Um tanque grande contém água 
até a altura H. É feito um pequeno 
orifício, na sua parede, à profundidade 
h abaixo da superfície da água. 
(a) Mostre que a distância x da base 
da parede até onde o jato atinge o 
solo é dada por 
(b) Você poderia ter perfurado em outra extremidade de modo 
que este segundo jato tivesse o mesmo alcance ? Em caso 
afirmativo, em que profundidade? 
(c) Calcule a profundidade do buraco para que o jato emergente 
atinja o solo a uma distância máxima da base do tanque.
x = 2
p
h(H � h)
-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1R(h)
h
H=1
6) Obter a velocidade de escoamento do fluido na entrada do 
tubo (V1).
Atividade para nota
Um recipiente contém 15 copos de 
cerveja. 
Quando abrimos a torneira no 
fundo do recipiente, levamos 12 s 
para encher um copo com cerveja. 
Se você deixar a torneira aberta, 
quanto tempo será necessário para 
encher os 14 copos restantes e 
desta maneira esvaziar o recipiente ?
Atividade para nota
Dicas: 
1) Utilizar a Eq. de Bernoulli para obter a velocidade do fluido 
no final do recipiente em função da altura do líquido
2) Utilizar a eq. da continuidade para obter equação que 
envolve a evolução da altura do líquido em função do tempo.
3) Resolva a eq. obtida em termos do volume do recipiente
4) Imponha as condições iniciais para obter parâmetros 
desconhecidos (área do recipeinte, área da torneira, etc)
5) Obtenha o tempo para esvaziar o recipiente impondo que 
o volume nesse caso é zero.