Cálculo III Lista 4 - Prof. José Mesquita

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Ca´lculo Diferencial e Integral III
quarta lista
17 de maio de 2013
1) Determine se cada uma das equac¸o˜es abaixo e´ exata. Se for exata,
encontre a soluc¸a˜o.
a) (2x+ 3) + (2y − 2)y′ = 0 b) (2x+ 4y) + (2x− 2y)y′ = 0
c) (3x2 − 2xy + 2)dx+ (6y2 − x2 + 3)dy = 0
d) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y′ = 0
e)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
f)
dy
dx
= −ax− by
bx− cy
g) (ex sin y − 2y sinx) dx+ (ex cos y + 2 cosx) dy = 0
h) (ex sin y + 3y) dx− (3x− ex sin y) = 0
i) (yexy cos 2x− 2exy sin 2x+ 2x) dx+ (xexy cos 2x− 3) dy = 0
j) (y/x+ 6x) dx+ (lnx− 2) dy = 0, x > 0
k) (x ln y + xy) dx+ (y lnx+ xy) dy = 0; x > 0, y > 0.
l)
xdx
(x2 + y2)3/2
+
ydy
(x2 + y2)3/2
= 0
2) Encontre o valor de b para o qual a equac¸a˜o dada e´ exata e, enta˜o,
resolva-a usando o valor de b encontrado.
a)
(
xy2 + bx2y
)
dx+ (x+ y)x2dy = 0
b)
(
ye2xy + x
)
+ bxe2xydy = 0
1
3) Encontre um fator integrante e resolva a equac¸a˜o.
a)
(
3x2y + 2xy + y3
)
dx+
(
x2 + y2
)
dy = 0
b) y′ = e2x + y + 1
c) dx+ (y/x− sin y) dy = 0
d) ydx+
(
2xy − e−2y
)
dy = 0
e) exdx+ (ex cot y + 2y csc y) dy = 0
f)
[
4
(
x3/y2
)
+ (3/y)
]
dx+
[
3
(
x/y2
)
+ 4y
]
dy = 0
4) Mostre que, se (Nx −My)/(xM − yN) = R, onde R depende apenas
da quantidade xy, enta˜o a equac¸a˜o diferencial
M +Ny′ = 0
tem um fator integrante da forma µ(xy). Encontre uma fo´rmula geral para
esse fator integrante.
5) Use o problema 4 para resolver a equac¸a˜o.(
3x+
6
y
)
+
(
x2
y
+ 3
y
x
)
dy
dx
= 0
2