Cálculo III Lista 5 - Prof. José Mesquita

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Ca´lculo Diferencial e Integral III
quinta lista
17 de maio de 2013
Uma equac¸a˜o da forma y′′ + p(x)y = q(x)yn e´ chamada equac¸a˜o de
Bernoulli.
1) Resolva a equac¸a˜o de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1.
2)Mostre que, se n 6= 0, 1, enta˜o a substituic¸a˜o v = y1−n transforma a
equac¸a˜o de Bernoulli numa equac¸a˜o linear.
3) Resolva as equac¸o˜es abaixo.
a) x2y′ + 2xy − y3 = 0, x > 0
b) y′ = ry − ky2, r > 0, k > 0.
c) y′ = �y − σy3, � > 0, σ > 0.
d) dy/dx = (Γ cos x+ T ) y − y3,
onde Γ e T sa˜o constantes.
4)Coeficientes Descont´ınuos. Muitas vezes aparecem equac¸o˜es diferen-
ciais lineares com uma ou ambas as func¸o˜es p e g contendo descontinuidades
do tipo salto. Se x0 e´ um ponto de descontinuidade, enta˜o e´ preciso resolver
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a equac¸a˜o separadamente para x < x0 e x > x0. Depois as duas soluc¸o˜es
podem ser combinadas de modo a y ser cont´ınua em x0; isso e´ feito atrave´s
de uma escolha apropriada das constantes. Resolva o PVI.
y′ + 2y = g(x), y(0) = 0
onde
g(x) =
{
1, 0 ≤ x ≤ 1
0, x > 1
5) Resolva o PVI.
y′ + p(x)y = 0, y(0) = 1
onde
p(x) =
{
2, 0 ≤ x ≤ 1
1, x > 1.
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