Transformada - Lista 3 - Prof. José Mesquita

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Transformada de Laplace III
11 de julho de 2013
1) Esboce o gra´fico da func¸a˜o dada no intervalo t ≥ 0.
a) u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t)
b) (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t)
c) f(t− pi)upi(t), onde f(t) = t2
d) f(t− 3)u3(t), onde f(t) = sin t
2) Encontre a transformada de Laplace da func¸a˜o dada.
a) f(t) =

0, t < 2
(t− 2)2, t ≥ 2
b) f(t) =

0, t < 1
t2 − 2t+ 2, t ≥ 1
c) f(t) =

0, t < pi
t− pi, pi ≤ t < 2pi
0, t ≥ pi
i
d) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t)
e) f(t) = (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t)
f) f(t) = 1− u1(t)(t− 1), t ≥ 0
3) Encontre a transformada de Laplace inversa da func¸a˜o dada.
a) F (s) = 3!
(s−2)4 b) F (s) =
e−2s
s2+s−2
c) F (s) = 2(s−1)e
−2s
s2−2s+2 d) F (s) =
2e−2s
s2−4
e) F (s) = (s−2)e
−s
s2−4s+3 f) F (s) =
e−s+e−2s−e−3s−e−4s
s
4) Suponha que F (s) = L{f(t)} existe para s > a ≥ 0.
a) Mostre que, se c e´ uma constante positiva enta˜o
L{f(ct)} = 1
c
F
(
s
c
)
, s > a.
b) Mostre que, se k e´ uma constante positiva, enta˜o
L−1 {F (ks)} = 1
k
f
(
t
k
)
c) Mostre que, se a e b sa˜o constantes, com a > 0, enta˜o
L−1 {F (as+ b)} = 1
a
e−bt/af
(
t
a
)
ii
5) Use os resultados do problema 4 para encontrar a transformada de
Laplace inversa da func¸a˜o dada.
a) F (s) = 2
n+1n!
sn+1
b) F (s) = 2s+1
4s2+4s+5
c) F (s) = 1
9s2−12s+3 d) F (s) =
e2e−4s
2s−1
6) Suponha que f satisfac¸a f(t+T ) = f(t) para todo t ≥ 0 e para algum
nu´mero positivo fixo T ; f e´ dita perio´dica com per´ıodo T em 0 ≤ t < ∞.
Mostre que
L{f(t)} =
∫ T
0 e
−stf(t)dt
1− e−sT
7) Resolva os PVI’s
a)

y′′ + 2y′ + 2y = δ(t− pi);
y(0) = 1,
y′(0) = 0.
b)

y′′ + 4y′ = δ(t− pi)− δ(t− 2pi);
y(0) = 0,
y′(0) = 0.
8) Prove a comutatividade, a distributividade e a associatividade da con-
voluc¸a˜o. Isto e´,
f ∗ g = g ∗ f
f ∗ (g1 + g2) = f ∗ g1 + f ∗ g2
f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h.
iii