Calc2-P1-Gabarito

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CEFET/RJ - Engenharia - Ca´lculo a Va´rias Varia´veis
Professor: Roberto Carlos Antunes Thome´
e-mail: rthome@cefet-rj.br
homepage: www.rcthome.pro.br
PROVA 01
Nome do Aluno(a):
[5,0 pontos] (1) Suponha que voceˆ esta´ subindo uma montanha cuja forma e´ dada pela
equac¸a˜o 0, 005x2 + 0, 01y2 + z = 1000, onde x, y e z sa˜o medidos em metros e voceˆ esta´ em um
ponto P com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para Leste e o eixo y positivo
aponta para o Norte.
(a) Qual e´ a forma dessa montanha? Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie dessa montanha.
(b) Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie da montanha no ponto P .
(c) Se voceˆ andar exatamente para o Sul, comec¸ara´ a subir ou a descer? Com que taxa?
(d) Se voceˆ caminhar em direc¸a˜o ao Noroeste, comec¸ara´ a subir ou a descer? A que taxa?
(e) Em que direc¸a˜o a inclinac¸a˜o e´ maior? Qual e´ a taxa de elevac¸a˜o nessa direc¸a˜o?
[1,0 ponto] (2) Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
5x2y3
(x + 2y3)2 + 3x2y3
na˜o existe.
[2,0 pontos] (3) Suponha que f seja uma func¸a˜o diferencia´vel nas varia´veis x e y, onde
g(u, v) = f(eu + sen v , eu + cos v). Use a tabela de valores abaixo para calcular gu(0, 0) e
gv(0, 0).
f g fx fy
(0, 0) 3 6 4 8
(1, 2) 6 3 2 5
[2,0 pontos] (4) Um pacote com o formato de uma caixa retangular pode ser enviado como
encomenda postal se a soma do comprimento e cintura (per´ımetro da secc¸a˜o transversal ortogonal
ao comprimento) for de, no ma´ximo, 108 polegadas (1 polegada = 2,54 cent´ımetros). Determine
as dimenso˜es do pacote de maior volume que pode ser enviado como encomenda postal.