Aula_03e04_Erros_1

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Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Centro de Tecnologia – CTEC
Curso de Engenharia Civil/Ambiental
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luciana C. L. M. Vieira
Aulas 3 e 4: Sistemas Numéricos e Erros 
Parte I
1 - INTRODUÇÃO
Modelagem e Resolução
� Definir o problema real a ser resolvido;
� Observar fenômenos, levantar efeitos dominantes e fazer
referência a conhecimentos prévios físicos e matemáticos;
�Criar modelo matemático;
�Resolver o problema matemático.
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1 – INTRODUÇÃO
Modelagem e Resolução
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1 – INTRODUÇÃO
Cálculo Numérico
� Análise de processos que resolvem problemas matemáticos por
meio de operações aritméticas;
� Uma sequência de operações que levem às respostas
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� Uma sequência de operações que levem às respostas
numéricas desejadas;
� O uso de computadores para obtenção das respostas
numéricas.
Fontes de Erro
1 – INTRODUÇÃO
você está em cima de um edifício que não sabe a altura, mas precisa
determiná-la. Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um
cronômetro. O que fazer?
Erros de Modelagem:
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Situação 1:
t = 2s
s = 19,6m
Situação 2:
t = 2,3s
s = 25,92m
Erros de Modelagem:
� Resistência do ar;
� Velocidade do vento;
� Forma do objeto, etc.
Erros de resolução:
�Precisão dos dados de entrada;
�Formas como os dados são armazenados;
�Operações numéricas efetuadas;
�Erro de truncamento.
2 – REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
Motivação
Exemplo 1: Área de uma circunferência de raio 100 metros.
Exemplo 2: Calcular,
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Por que das diferenças?
� No exemplo 1: Dependência da aproximação escolhida para π.
� No exemplo 2: As diferenças podem ter ocorrido em função da base
utilizada.
2 – REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
Representação de um Número Inteiro
Qualquer computador trabalha internamente com a base fixa β, 
onde β é um inteiro ≥ 2; e é escolhido como uma potência de 2
Um número inteiro x ≠ 0, possui uma única representação,
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onde di é um dígito da base em questão, no caso de uma base 
binária dn = 1 e dn-1, . . ., d0 são iguais a 1 ou 0 que são os 
dígitos da base binária. 
1100 numa base β = 2:
1997 numa base β =10:
2 – REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
Representação de um Número Real
Se um número real x tem parte inteira xi, sua parte fracionária 
xf = x – xi pode ser representada como uma soma de frações 
binárias:
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Como seria a representação do número 39,28 em uma base 
decimal?
3 – CONVERSÃO ENTRE AS BASES
Binária para Decimal
Exemplos:
Decimal para Binária
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Decimal para Binária
- Método das divisões sucessivas (Parte inteira do número)
� Divide-se o número (inteiro por 2);
� Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;
� Repete-se o processo até o útimo quociente ser igual a 1.
O número binário é então formado pela concatenação do
último quociente com os restos das divisões, lidos em sentido
inverso.
3 – CONVERSÃO ENTRE AS BASES
Decimal para Binária
- Método das multiplicações sucessivas (Parte fracionária do 
número)
� Multiplica-se o número (fracionário) por 2;
� Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número
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� Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número
na base binária e a parte fracionária é novamente multiplicada
por 2;
� O processo é repetido até que a parte fracionária do último
produto seja igual a zero.
3 – CONVERSÃO ENTRE AS BASES
Decimal para Binária
Exemplos:
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