Exercicios

Prévia do material em texto

P U C R S 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
(MECÂNICA DOS SÓLIDOS) 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Almir Schäffer 
 
 
 
PORTO ALEGRE 
 
JULHO DE 2007 
 
 
 
 1 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 1 – Mar/2006 
 
 
1) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte. 
 
5,0 m
P1=4 kN
A C
2,0
BD
3,0
P2=6
P3=8
 
2) Calcular as reações vinculares da viga engastada da figura seguinte. 
 
3,0 m
CA
2,0
P1=10 kN
60
P2=5
B
 
 
 
 
 2 
3) Calcular as reações vinculares do pórtico da figura seguinte. 
 
A
3
2
1
C3 m 3
B
P1=10 kN
P3=8
P2=8
 
 
 
 
4) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte. 
 
A
a
C
b
P
B
 
5) Calcular as reações vinculares da viga do exercício 1, usando o PSE (Princípio da 
Superposição dos Efeitos) e os resultados do exercício 4. 
 
 
 
 3 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 2 – Mai/2006 
 
 
 
1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das áreas das figuras 
seguintes e localizar os mesmos nas figuras. 
Cotas em cm. 
 
 
4 2 4
10
2
8
2
2 2 2
2
2 2
Y Y
X X
a) b)
 
 
 
5
1
1 3
3
3
3
Y Y
X X
c) d)
 
 
 
 
 4 
3 1
4
2
1,5 3
4
2
1,5
2
Y Y
X X
e) f)
 
 
1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das linhas das figuras 
seguintes e localizar os mesmos nas figuras. 
Cotas em cm. 
5 5
11
10
2332X
X
Y Ya) b)
 
60
40
60
40
Y Y
X X
c) d)
 
 5 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 3 – Mar/2006 
 
 
1) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga bi-apoiada da 
figura seguinte. 
 
A
P1=4 kN
B
P2=6
P3=8
C D
S1 S2 S3
1 1 1 4 1 2
2 5 m 3
 
 
 
 
2) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga engastada da 
figura seguinte. 
 
A BC
P1=10 kN P2=5
60 S1 S2 S3
1 1 1 1 1
2 3
 
 
 
 
 6 
3) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 do pórtico da figura 
seguinte. 
 
P1=10 kN
P2=8
P3=8
A B
C
2
1
3
3 m 3
S1 S2
S3
1 1
0,5
0,5
 
 
 
 
 7 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 4 – Mar/2006 
 
 
1) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga 
engastada da figura seguinte. 
 
A
P
B
 
 
 
2) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-
apoiada da figura seguinte. 
 
A
P
BC
a b
 
 
 
3) Traçar o diagrama de forças normais para a barra da figura seguinte 
 
A C
4 m 4 m
B
8 m
P1=5 kN P2=10 kN
 
 8 
 
4) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-
apoiada da figura seguinte. 
 
A B
q = 2 kN/m
12 m
 
 
 
5) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-
apoiada da figura seguinte. 
 
A
3
C B
P=8 kN
D
P=8 kN
4 3
10 m
 
 
 
6) Traçar o diagrama de forças normais para o cabo de guerra da figura sabendo 
que o mesmo encontra-se em equilíbrio. 
 
A
0,3 kN 0,6 0,4 X 0,2
B C D E
 
 
 
 
 9 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 5 – Mar/2006 
 
 
1) Uma barra prismática de 50 m de comprimento tem seção transversal retangular 
de 3 cm por 1 cm e está submetida a um esforço de tração de 4 000 kgf. A barra é 
de aço com tensão máxima admissível de 1 400 kgf/cm2 e módulo de elasticidade 
longitudinal de 2 100 000 kgf/cm2. 
 
P P
50 m 3
1 cm
 
 
Quesitos. 
a) Verificar se a barra se encontra (ou não) em boas condições de segurança. 
b) Calcular o alongamento da barra. 
c) Calcular o alongamento específico da barra. 
d) Se a barra apresentar uma certa reserva de segurança, calcular o valor máximo 
admissível de P para a mesma. 
 
 
2) Calcular o esforço de tração 
máximo admissível num cabo de aço 
de 12 mm de diâmetro, formado por 
sete fios de 4 mm de diâmetro cada 
um e o alongamento do cabo para 
este esforço. A tensão de segurança 
do aço do cabo é de 5 000 kgf/cm2 e 
o módulo de elasticidade é de 
2 000 000 kgf/cm2. O comprimento 
do cabo é de 100 m. 
12 mm
4 mm
 10 
 
 
3) Calcular o diâmetro dos montantes 
de uma prensa (de aço) para um 
esforço máximo de 200 tf e o 
alongamento por eles sofrido com 
este esforço. 
A tensão de segurança do aço da 
prensa é de 1 000 kgf/cm2 e o 
módulo de elasticidade do aço é de 
2 100 000 kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
4) Uma viga AB é suspensa, por suas 
extremidades, por tirantes de aço. 
A viga, cujo peso G é de 2 000 kgf, 
deve suportar uma carga P de 10 000 
kgf, como se mostra na figura. 
Calcular a área mínima necessária a 
seção do tirante mais solicitado sendo 
a tensão de segurança do aço dos 
tirantes de 1 400 kgf/cm2. 
 
 
 
 
Montante
C. Prova
Êmbolo
Macaco
100
cm
Tirante Tirante
A B
A' B'
C D
G P
2,50 2,50
3,50 1,50
5,00 m
 11 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 6 – Mar/2006 
 
 
1) Uma barra, formada por três trechos prismáticos de seção retangular, está 
submetida a um esforço de tração de 10 000 kgf. 
A barra é de alumínio com tensão máxima admissível de 750 kgf/cm2 e módulo de 
elasticidade longitudinal de 800 000 kgf/cm2. 
Verificar se a barra se encontra em boas condições de segurança e, em caso 
afirmativo, calcular o alongamento da mesma. 
Cotas em cm. 
P P
2,5300 400 300
A B C D
2
6
2
m
n
Corte m-n
 
 
 
2) Uma barra prismática tem seção transversal quadrada de 8 cm de lado e é 
carregada com cargas P como se mostra na figura. 
A barra é de pinho com tensão de ruptura (à tração) de 240 kgf/cm2 e módulo de 
elasticidade longitudinal de 100 000 kgf/cm2. 
Calcular o valor máximo admissível de P para a barra, usando um coeficiente de 
segurança 4, e o alongamento da mesma para este valor de P. 
Cotas em cm. 
P P
8
250 500 250
A B C D
8
Seção
P P
 
 12 
 
 
3) Duas barras de aço (AC e BC), 
articuladas nas extremidades, 
suportam uma carga de 45 tf 
conforme a figura. Calcular a área 
mínima necessária para a seção da 
barra mais solicitada, sendo a tensão 
de escoamento do aço igual a 2 400 
kgf/cm2 e devendo-se usar um 
coeficiente de segurança 2. 
 
 
4) A comporta AB da figura, que pode 
se considerada articulada em A, tem 
largura de 3 m e está submetida à 
pressão hidrostática. Em C ela é 
presa por um tirante de aço, fixado 
numa parede, em D. 
Calcular a área mínima necessária 
para a seção do tirante, com um 
coeficiente de segurança 2, sendo a 
tensão de escoamento do aço igual a 
5 000 kgf/cm2. 
 
5) Um elevador, de 1 000 kgf de peso 
e 500 kgf de capacidade de carga, é 
suspenso por 4 cabos de aço de 0,6 
cm2 de área útil cada um. Qual o 
coeficiente de segurança dos cabos 
se a tensão de escoamento do aço 
dos cabos é de 18 000 kgf/cm2 e a 
aceleração máxima do elevador de 2 
m/s2. 
P
A B
C
3 4
34
α β
A
C
B
D
1,50
3,00
NA máx.
Tirante
P
Polia
Cabos
Elevador
 13 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 7 – Abr/2006 
 
1) Um tubo de ferro fundido, para água, de 20 cm de diâmetro interno, deve ser 
submetido à uma pressão interna de 14 kgf/cm2. Qual deve ser a espessura mínima 
da parede do tubo, para que não seja ultrapassada a tensão admissível à tração, do 
ferro fundido, de 245 kgf/cm2? 
t di t
de
p
 
 
2) Qual a máxima pressão com a qual se pode armazenar um gás num reservatório 
esférico de aço de 20 m de diâmetro interno e 1 cm de espessura de parede? A 
tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2. 
p
 
 14 
3) O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas 
extremidades por calotas semi esféricas. O diâmetro interno do cilindro é de 60 cm e 
a pressão interna, do ar, é de 35 kgf/cm2. O material, de que é feito o cilindro, é aço 
com limite de escoamento de 2 400 kgf/cm2e o coeficiente de segurança à utilizar é 
4. Pede-se determinar a espessura da parede do cilindro. 
p
 
 
4) Um cilindro de ar comprimido, para laboratório, está, normalmente, com a pressão 
de 160 kgf/cm2 por ocasião da entrega. A espessura da parede do cilindro deve ser 
de 16 mm. O aço de que é feito o cilindro tem limite de escoamento de 2 500 
kgf/cm2. Adotando um coeficiente de segurança 2,5, qual o máximo diâmetro 
externo para o cilindro? 
 
5) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o êmbolo de um macaco hidráulico 
para uma força P de 5 000 kgf. O macaco é alimentado por um tubo de cobre de 9,5 
mm de diâmetro externo e de 1,5 mm de espessura de parede. A tensão de 
segurança do cobre é de 600 kgf/cm2. 
p
P
Êmbolo
Macaco
Óleo
Tubo
D
 
 
 15 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 8 – Abr/2006 
 
 
1) Um fio é suspenso de dois pontos num mesmo nível, afastados de 100 m, com 
uma flecha de 5 m. O fio pesa 0,613 kgf/m. Calcular a força de tração (H) no fio. 
l/2 /2l
f
C
A B
g
V
H
V
H
 
 
 
2) Qual a mínima flecha com a qual se pode lançar um cabo pesando 4 kgf/m, entre 
dois apoios em nível, afastados de 200 m, se a força horizontal nos apoios não deve 
ultrapassar 2 000 kgf. 
 
 
3) Um fio deve ser estendido entre dois pontos com uma flecha de 8% do 
afastamento entre os mesmos. O fio pesa 0,900 kgf/m e a força de tração no fio não 
deve ultrapassar 395 kgf. Estando os dois pontos num mesmo nível, qual o máximo 
afastamento que pode ser usado entre os mesmos. 
 
 
 16 
 
4) Um fio de cobre, de 5 mm de diâmetro, pesando 0,167 kgf/m, é suspenso de dois 
pontos num mesmo nível, afastados de 400 m, com uma flecha de 25 m. 
Quesitos: 
a) calcular as forças, vertical e horizontal, exercidas pelo fio sobre os apoios; 
b) calcular os valores, exato e aproximado, da força de tração máxima no fio; e 
c) verificar se o fio se encontra (ou não) em boas condições de segurança, 
considerando uma tensão máxima admissível para o cobre de 600 kgf/cm2. 
 
 
5) Um cabo de uma rede de transmissão de energia elétrica é lançado entre duas 
torres, A e B, afastadas de 400 m, com uma flecha de 40 m. 
Qual deve ser a flecha do cabo entre as torres B e C, afastadas de 300 m, se for 
desejado que não surja nenhuma força horizontal produzida pelo peso próprio do 
cabo no topo da torre B? 
ll
A
g
f
B
f '
'
C
 
 
 
6) Com uma flecha de 100 cm e uma tensão de segurança de 600 kgf/cm2, qual o 
maior vão que se pode admitir entre dois postes de uma linha de transmissão de 
cobre. O peso específico do cobre é de 8 500 kgf/m3. 
 
 
 
 17 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 9 – Abr/2006 
 
 
1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço como se indica na figura. Se 
o rebite tem diâmetro de 3/4" e a carga P é de 3 tf, qual a tensão de cisalhamento no 
rebite? 
P
P
A
B
rebite
 
 
 
2) O dispositivo da figura é empregado para determinar a resistência ao 
cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é de 1 100 
kgf, qual a tensão de ruptura, por cisalhamento, da junta? 
P
1,5
4,0 cm
A
B C
 
 
 
 18 
3) Considere-se o pino de 1,27 cm de diâmetro da junta da figura. A força P é de 
3 400 kgf. Calcular a tensão de cisalhamento nas seções do pino. 
P P
pino
A B
 
 
 
4) Em estruturas de aço é comum 
empregar o dispositivo da figura com a 
finalidade de transmitir as cargas das 
vigas para os pilares. Se a reação da 
viga é de 10 000 kgf, se são usados 
quatro rebites na ligação e se a tensão 
de segurança do aço dos rebites ao 
cisalhamento é de 1 100 kgf/cm2, qual o 
diâmetro mínimo necessário para a 
seção dos rebites. 
 
 
 
5) O aço de baixo teor de carbono 
usado em estruturas tem um limite de 
resistência ao cisalhamento da ordem 
de 3 160 kgf/cm2. Calcular a força P 
necessária para fazer um furo circular 
de 2,5 cm de diâmetro numa chapa 
desse aço de 1 cm de espessura. 
Calcular também a tensão de 
compressão no punção. 
P
pilar
canto-
neira
rebite
d=2,5
t=1 cm
P
punção
chapa
 19 
 
6) As polias são, em geral, ligadas aos 
eixos através de chavetas como se 
mostra na figura. Seja M = 11 500 
kgf.cm o momento de torção aplicado à 
polia, sejam 1 x 1 x 8 cm as dimensões 
da chaveta que liga a polia ao eixo e 
seja 5 cm o diâmetro do eixo. Calcular a 
tensão de cisalhamento na chaveta. 
 
 
 
 
7) Calcular o número de rebites necessários para fixar a viga nos pilares. A força P 
aplicada na viga é de 11,5 tf e o peso próprio da viga, neste caso, pode ser 
desprezado. Os rebites devem ter 1,27 cm de diâmetro e a tensão de segurança ao 
cisalhamento do aço dos rebites é de 800 kgf/cm2. 
P
A B
3 2
5 m
pilar
viga
cant.
reb. C C
Corte C-C
reb.
cant.
 
 
 
 
1
1
chaveta
polia
eixo
O
M
M
B
A
 20 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 10 – Mai/2006 
 
1) Calcular a máxima tensão de flexão no poste da figura e verificar se o mesmo se 
encontra (ou não) em boas condições de segurança. A tensão máxima admissível no 
aço do poste é de 1 400 kgf/cm2, tanto na tração como na compressão. 
H1 = 300 kgfH2 = 200 kgf
Fio
8,00 m
C
B
A
C
Corte CC
de = 20 cm
di = 18 cm
 
 
 
2) Calcular o lado “a” mínimo necessário para a prancha de madeira de pinho da 
figura. A tensão de segurança do pinho, na flexão, é de 80 kgf/cm2. 
P = 160 kgf 
P
A C B
2,50 2,50
5,00 m
C
C
Corte CC
30 cm
a
 
 21 
 
3) Calcular o valor máximo admissível de P para o feixe de molas da figura. As 
lâminas do feixe, num total de 5, têm seção retangular de 10 cm x 1 cm. A tensão de 
escoamento do aço é de 6 000 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança a utilizar é 3. 
Cotas em cm. 
A
B
A'
rodaeixo
Seção do
feixe em B
P P
2.P
20 20 20 20 20
200
100
10
5
 
 
 
4) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o eixo do vagão de trem da figura. A 
tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2. 
P = 10 000 kgf. 
Cotas em cm. 
P P
R R
20 80 20
Seção
do eixo
Eixo
Mancal
Roda
Trilho
d
 
 
 22 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 11 – Mai/2006 
 
 
1) Um eixo de aço, de 5 cm de diâmetro, está submetido à um momento de torção 
de 19 000 kgf.cm. A tensão de segurança do aço do eixo, ao cisalhamento, é de 800 
kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e verificar se o mesmo 
se encontra (ou não) em boas condições de segurança. 
Mt
d
 
 
 
2) Um eixo de aço, de seção circular oca de 8 cm de diâmetro externo e 6 cm de 
diâmetro interno, está submetido a um momento de torção de 54 000 kgf.cm. O aço 
do eixo tem tensão de segurança ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de 
elasticidade transversal de 800 000 kgf/cm2. Verificar se o eixo se encontra em boas 
condições de segurança e calcular o ângulo de torção unitário do mesmo. 
di de
 
 
 
 23 
 
3) Num eixo de aço, de seção circular cheia, atua um momento torsor de 250 m.kgf. 
A tensão limite de proporcionalidade ao cisalhamento do aço do eixo é de 1 600 
kgf/cm2, em relação à qual deve-se usar um coeficiente de segurança 2. Calcular o 
diâmetro mínimo necessário para a seção do eixo. 
d
 
 
 
4) Um eixo de aço, com 2 m de comprimento e 4,5 cm de diâmetro, está submetido à 
um momento de torção de 10 000 kgf.cm. O aço do eixo tem tensão de segurança 
ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de elasticidade transversal de 800 000 
kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção do 
mesmo. Verificar se o eixo se encontra (ou não) em boas condições de segurança. 
(Nash, p. 86, ex. 5). 
 
d
 
 
 
 24 
 
5) Um eixo de aço tem 3 m de comprimento e transmite um momento de torção de 
250 tf.cm. O módulo de elasticidade transversal do aço é de 840 000 kgf/cm2 e a 
tensão máxima admissível ao cisalhamento é de 840 kgf/cm2. Qual o diâmetromínimo que se pode dar ao eixo se o ângulo de torção unitário do mesmo deve ser 
limitado a 0,5o/m. (Nash, p. 88, ex. 8). 
 
d
 
 
 
6) Dois eixos, A e B, de mesmo comprimento, são feitos com um mesmo aço 
(mesmo G e mesmo τ ). O eixo A tem seção circular cheia com diâmetro de 6 cm e o 
eixo B tem seção circular oca com diâmetros externo e interno de 10 e 8 cm, 
respectivamente. 
Comparar: 
a) os volumes de aço gastos na fabricação dos dois eixos; 
b) as resistências dos dois eixos; e 
c) os ângulos de torção unitários para um mesmo Mt. 
 
d di de
A B
 
 
 
 25 
PUCRS - FENG 
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer 
Aula 12 – Jun/2007 
 
 
1) Um veículo, com potência de 60 HP, alcança, no plano, uma velocidade máxima 
de 120 km/h. Calcular a resistência oferecida pelo ar ao deslocamento do veículo 
nessa velocidade. 
v R = a.v + b.v 2
F
F'
 
 
 
2) Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de aço de 6 cm de diâmetro, pode 
transmitir com a velocidade angular de 250 rpm. A tensão de segurança do aço, ao 
cisalhamento, é de 800 kgf/cm2. (Nash, p. 98, ex. 22). 
d
 
 
 
 26 
 
3) Um eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com G = 0,84E06 
kgf/cm2. Determinar a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos trechos de 
seção constante e os giros das seções B e A. (~ Nash, p. 93, ex. 13). 
A B C
0,6 tf 0,9 tf
80 120 cm
100 cm
d = 7,5 d = 10
0,6 tf 0,9 tf
 
 
 
4) O eixo da figura compõem-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60 
cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante e igual à 6 cm. O limite de 
proporcionalidade ao cisalhamento do latão é de 1 000 kgf/cm2 e o do alumínio 
1 550 kgf/cm2. Adota-se um coeficiente de segurança 2 em relação à essas tensões. 
Se o deslocamento angular (giro) da extremidade direita do eixo è limitado à 1o, qual 
o máximo momento que pode ser aplicado ao eixo? Os valores de G, para o latão e 
para o alumínio, são 350 000 e 280 000 kgf/cm2, respectivamente. (~ Nash, p. 94, 
ex. 14). 
Latão Alumínio
F
F
b
CBA
6060 cm
d = 6 cm