lista2_2005_1

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
2a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
1o semestre de 2005 18/04/2005
1. Determine os coeficientes restantes da matriz abaixo de modo que ela forme um quadrado ma´gico
(isto significa que a a soma dos elementos de cada linha, de cada coluna e das duas diagonais sa˜o
iguais.) 
1 2 3 ∗
4 5 6 ∗
7 8 ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗

2. Resolva os sistemas abaixo; expresse a soluc¸a˜o geral do sistema (b) como a soma de uma soluc¸a˜o
particular de (b) a` soluc¸a˜o geral de (a). Interprete geometricamente.
(a)
{
2x + 3y + z = 0
x − y − z = 0 (b)
{
2x + 3y + z = 5
x − y − z = 10
3. Encontre a, b e c tais que a para´bola y = ax2 + bx+ c passe pelos pontos (1, 6), (2, 4), (3, 0).
4. Para que valores das constantes a, b, c o sistema abaixo admite soluc¸a˜o? Em tais casos, resolva o
sistema. 
2x + 3y + z = a
x − y − z = b
3x + 2y = c
5. Considere o sistema linear com paraˆmetros a e b
x+ 2y + z = 0
x+ 3y + az = −1
2x− y + 2z = b
Estude o sistema na dependeˆncia dos valores de a e b para que o sistema: (i) na˜o tenha soluc¸a˜o; (ii)
tenha soluc¸a˜o u´nica; (iii) tenha infinitas soluc¸o˜es.
6. Resolva os sistemas abaixo:
(a)

x+ 2y + 3z − w = 0
x− y + z + 2w = 4
x+ 5y + 5z − 4w = −4
x+ 8y + 7z − 7w = 6
(b)

x+ 2y + 3z = 2
x− y + z = 0
x+ 3y − z = −2
3x+ 4y + 3z = 0
(c)

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0
x1 − x2 + x3 + 2x4 = 4
x1 + 5x2 + 5x3 − 4x4 = −4
x1 + 8x2 + 7x3 − 7x4 = −8
7. Deˆ exemplo, se poss´ıvel, de:
(a) Um sistema de duas equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas que seja compat´ıvel e determinado.
(b) Um sistema de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas que seja incompat´ıvel.
8. Justifique: se a matriz dos coeficientes de um sistema tem uma coluna ideˆntica a` coluna dos termos
independentes, enta˜o o sistema e´ compat´ıvel.