Exercícios de Álgebra Linear

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Universidade Federal de Pernambuco - CCEN
A´lgebra Linear 2a. Lista de Exerc´ıcios
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino 23/10/2004
Questo˜es
1. Usando linha-equivaleˆncia a uma matriz escada compute as inversas das seguintes
matrizes:
A =
 1 3 31 3 4
1 4 3
 e B =

2 1 −1 2
1 3 2 −3
−1 2 1 −1
2 −3 −1 4

2. Resolva o sistema:  x + 2y + 3z = k1,2x + 4y + 5z = k2,3x + 5y + 6z = k3,
onde
(a) k1 = k2 = k3 = 1;
(b) k1 = 1, k2 = −3, k3 = 5,
(c) k1 = 0, k2 = 2, k3 = −2,
3. Mostre que se A e´ na˜o singular e sime´trica, enta˜o A−1 e´ sime´trica.
4. Encontre uma matriz na˜o singular P tal que PA = B, onde
A =
 2 3 44 3 1
1 2 4
 e B =
 1 2 −1−1 1 2
2 −1 1

5. Encontre a inversa de
T =

1 0 0 0
1 2 0 0
2 1 3 0
1 2 1 4

6. Mostre que se T e´ triangular inferior e na˜o singular, enta˜o tambe´m T−1 sera´ trian-
gular inferior.
7. Mostre que se [A
...B] ∼L [I
...C], enta˜o C = A−1B. Esta e´ uma maneira eficiente de
computar A−1B. Use para computar:
(a)
[
1 2
3 4
]−1 [
2 5
3 −2
]
1
(b)

1 0 1 1
2 1 −1 0
4 4 1 0
8 12 −1 1

−1 
3 0 0 0
1 3 0 0
0 1 4 0
0 0 1 3

8. Expresse as matrizes a seguir como produto de matrizes elementares:
A =
[
2 1
1 2
]
, B =
 1 0 13 1 0
1 0 0
 C =

1 0 0 0
−3 2 0 0
4 1 3 0
2 3 5 4

9. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 sa˜o subespac¸os
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = 0 e z − t = 0};
(b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x+ y − t = 0 e z = 0};
(c) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = 0 e t = 0};
10. Sejam F1 e F2 subespac¸os de E. F1 ∪ F2 e´ um subespac¸o de E? E F1 ∩ F2?
11. O conjunto N =
{[
a b
c d
]
∈M2×2(R) : b = c+ 1
}
e´ subespac¸o de M2×2(R)?
12. Sem resolver, decida se o conjunto de soluc¸o˜es das equac¸o˜es a seguir formam um
espac¸o vetorial.
(a) x
d2y
dx2
− ex dy
dx
+ sen(x) = 0;
(b) 3x2y + yx3
dy
dx
= 0;
(c) 2y
d2y
dx2
= 1 +
(
dy
dx
)2
.
13. FAC¸A MAIS EXERCI´CIOS!!!
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