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A´LGEBRA LINEAR
2a LISTA DE EXERCI´CIOS (16-04-2008)
(1) Sejam V o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ 2, e W = R2.
Seja k um nu`mero real, e seja T : V →W a func¸a˜o definida por
T (a0 + a1X + a2X2) = (3a2, 2a0 − a1 + k).
Determine todos os k tais que T seja uma transformac¸a˜o linear.
(2) Sejam V,W como no item (1). Seja T : V → W a transformac¸a˜o linear
definida por
T (a0 + a1X + a2X2) = (2a1, 3a0 − a2).
(a) Determine uma base de Ker(T ).
(b) Determine uma base de Im(T ).
(3) Sejam V o espac¸o das matrizes 2× 2 reais, e W = R3. Seja T : V → W a
transformac¸a˜o linear definida por
T
([
a b
c d
])
= (2a+ 3d, b+ c− 2d, a+ b).
Sejam
v1 =
[
1 1
0 1
]
,v2 =
[
0 1
0 1
]
,v3 =
[
1 0
0 1
]
,v4 =
[
0 0
1 0
]
e
w1 = (0, 1, 1),w2 = (1, 1, 0),w3 = (1, 0, 2).
(a) Determine a matriz [T ]ββ′ , onde β = {v1,v2,v3,v4} e β′ = {w1,w2,w3}.
(b) Seja v =
[
3 −5
4 5
]
.Determine as coordenadas [T (v)]β′ do vetor T (v).
(4) Sejam V = R3 e W o espac¸o dos polinoˆmios de grau ≤ 3. Seja T : V →W
a transformac¸a˜o linear tal que:
T ((1, 1, 0)) = X + 2X2;
T ((0, 1, 1)) = 1−X2;
T ((0, 0, 1)) = 1 +X − 3X3.
(a) Determine T ((2,−1, 6)).
(b) Determine uma base de Im(T ).
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