lista5_2005_1

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - CCEN - A´rea II
5a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
Autovalores e Autovetores 19/06/2005
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Seja V = P3 o espac¸o vetorial real dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 3. Seja
T : V → V a transformac¸a˜o linear dada por T (p(t)) = p(t + 1), para p(t) ∈ V .
Determine os autovalores e autovetores de T .
2. Assuma que uma transformac¸a˜o linear T tem dois autovetores v1 e v2 associados
a dois autovalores distintos λ1 e λ2, respectivamente. Prove que se av1 + bv2 e´
autovetor de T , enta˜o a = 0 ou b = 0.
3. Mostre que um operador na˜o-injetivo sempre possui pelo menos um autovalor. Qual
e´ este autovalor? Quem sa˜o os autovetores?
4. Afirmac¸a˜o: Todo operador linear sobre um espac¸o vetorial real de dimensa˜o ı´mpar
possui pelo menos um autovalor real. Justifique!
5. Calcule os autovalores e autovetores associados de cada uma das matrizes abaixo.
Tambe´m compute a dimensa˜o do auto-espac¸o Vλ de cada autovalor.
(a)
 1 0 0−3 1 0
4 −7 1
 , (b)
 2 1 31 2 3
3 3 20
 , (c)
 5 −6 −6−1 4 2
3 −6 −4
 ,
(d)

2 0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 1 2
 , (e)
 1 1 00 0 1
2 1 −2
 , (f)
 1 0 −40 5 4
−4 4 3

6. Determine os autovalores e autovetores associados de cada uma das matrizes abaixo.
Compute em cada caso a dimensa˜o dos auto-espac¸os associados.
(a)
[
1 0
0 1
]
, (b)
[
1 1
0 1
]
, (c)
[
1 0
1 1
]
, (d)
[
1 1
1 1
]
,
(e)
[
1 a
b 1
]
, a > 0, b > 0, (f)
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
.
1
7. Calcule os autovalores e autovetores associados de cada uma das matrizes abaixo. As
matrizes abaixo sa˜o conhecidas como matrizes de Dirac em homenagem ao f´ısico-
matema´tico ingleˆs Paul Dirac. Elas ocorrem em soluc¸o˜es das equac¸o˜es de onda
relativ´ıstica em mecaˆnica quaˆntica. voceˆ deve considerar o caso complexo!
(a)

0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
 , (b)

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 , (c)

0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
 ,
(d)

0 −i 0 0
i 0 0 0
0 0 0 −i
0 0 i 0
 , (e)

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
 .
8. Determine os autovalores e autovetores associados de cada uma das transformac¸o˜es
abaixo. Explicite os auto-espac¸os associados.
(a) S : R2 → R2, reflexa˜o em torno da reta y = 3x.
(b) R : R2 → R2, rotac¸a˜o em torno da origem de 30o.
(c) D : R2 → R2, dilac¸a˜o de todos os vetores pelo fator 3.
(c) T : R2 → R2, T (x, y) = (x, x+ y), cisalhamento.
(d) F : R2 → R2 reflexa˜o em torno da origem.
9. Para
A =
 2 −1 1−1 2 −1
1 −1 2
 ,
encontre o polinoˆmio P (λ) = det(A − λI)) e verifique diretamente que P (A) = 0.
Use este resultado para expressar A−1, A3, A4 e A5 como polinoˆmios de A de grau
menor ou igual a 2.
10. Quais sa˜o os autovalores de uma matriz triangular 3× 3? E para matriz n× n?
11. Determine os autovalores e autovetores associados de cada uma das transformac¸o˜es
abaixo. Explicite os auto-espac¸os associados.
(a) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (2x− y + z, x+ z, x+ y − 2z).
(b) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z, x+ y + z).
(c) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ z, x+ y,−z).
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