lista6_2005_1

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - CCEN - A´rea II
6a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
Ortogonalidade e Gram-Schmidt 01/07/2005
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Aplique o processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt em cada caso:
(a) V = R3, com produto interno canoˆnico, v1 = (3, 0, 0), v2 = (−1, 3, 0) e v3 = (2, 5, 1).
(b) V = R3, com produto interno canoˆnico, v1 = (−1, 1, 0), v2 = (5, 0, 0) e v3 = (2,−2, 3).
(c) V = R4, com produto interno canoˆnico, v1 = (1, 0, 2, 1), v2 = (1, 1, 0, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e
v4 = (2, 2, 0,−1).
2. Encontre uma base ortonormal para
(a) V = R4, com produto interno canoˆnico, contendo v1 = 15 (3, 0, 4, 0).
(b) V = R4, com produto interno canoˆnico, contendo um mu´ltiplo de v1 = (2,−3, 1, 4).
3. Como podemos utilizar o processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para mostrar que um
conjunto de vetores e´ linearmente independente? Use esta observac¸a˜o para decidir se os vetores-
linha da matriz abaixo sa˜o vetores linearmente independentes. Determine a partir da´ı, o posto de
A.
A =

1 2 2 1 −1
0 2 3 1 0
1 2 3 5 1
2 4 2 5 0
1 4 6 6 1

4. Seja V =M2×2(R) munido do produto interno
〈A,B〉 = tr(BTA), A,B ∈ V.
Seja W ⊂ V o subespac¸o gerado pelas matrizes
A1 =
[
1 0
−1 1
]
A2 =
[
0 1
0 1
]
(a) Encontre uma base ortonormal de W .
(b) Determine W⊥ e encontre uma base ortonormal deste subespac¸o.
(c) Defina T : V → V um operador cujo nu´cleo e´ W e imagem e´ W⊥. Determine a lei da
transformac¸a˜o T .
(d) Determine os autovalores e autovetores de T .
(e) A transformac¸a˜o T e´ u´nica?
5. Seja V = P3, espac¸o dos polinoˆmios de grau ≤ 3, munido do seguinte produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(t)q(t)dt, p, q ∈ V.
(a) Determine uma base ortonormal de V que contenha o polinoˆmio p1(t) ≡ 1.
(b) Seja W = [1 + t, 1− t2 + 2t3]. Determine uma base de W⊥.
(c) Aplique o processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt a` base de V definida como unia˜o
das bases de W e W⊥.
6. FAC¸A MAIS EXERCI´CIOS!!!!
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