Exercícios de Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
A´LGEBRA LINEAR EXERCI´CIOS - 2o¯SEM/94.
COMO COMPLEMENTO AOS EXERCI´CIOS DO TEXTO SUGERIDOS PARA A
SEGUNDA UNIDADE PROPOMOS OS SEGUINTES:
1 - Deˆ exemplo, quando poss´ıvel, de um operador linear T : IR2 7−→ IR2 tal que:
a) Im(T ) seja a reta x+ y = 0.
b) N(T ) seja a reta x = y e Im(T ) seja a reta y = 2x.
c) T transforme a reta x+ y = 0 na reta x− y = 1.
d) T transforme a faixa 0 < y < 4 na faixa −2 < y < 0.
e) O triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (3, 0) e (0, 1) seja transformado, por T , no
triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (3, 2), e (2, 1).
2 - Determine a imagem pela transformac¸a˜o linear T (x, y) = (x − 2y, x + 3y) dos
seguintes subconjuntos:
a) Reta horizontal, b) Faixa horizontal, c) Semi-plano x ≥ 1,
d) Circunfereˆncia de raio r com centro em (0, 0).
3 - a) Ache os autovalores e os autovetores das matrizes
[
1 0
−1 2
]
e
[
1 0
0 2
]
,
e compare os resultados.
b) Repita para
 2 0 0−1 2 0
0 0 3
 e
 2 0 00 2 0
0 0 3
 .
4 - Identifique como contrac¸a˜o , dilatac¸a˜o , rotac¸a˜o , reflexa˜o, cisalhamento, ou suas
composic¸o˜es as transformac¸o˜es lineares definidas pelas matrizes:[
1 −1
1 1
]
,
[
0 −1
1 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
1 0
2 1
]
e
[
2 −1
1 0
]
.
5 - Denotemos por pi1 e pi2 os planos dados pelas equac¸o˜es x−y−z = 0 e 2x+y+z = 0
respectivamente, e por r a reta dada por x = z = −y. Determine, quando poss´ıvel,
um operador linear T : IR3 7−→ IR3 tal que:
a) T seja injetor e transforme pi1 em pi2, b) N(T ) = r e Im(T ) = pi2,
c) N(T ) = pi1 e Im(T ) = pi2, d) Im(T ) = r e N(T ) = pi2,