Exercícios de Álgebra Linear

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Departamento de Matema´tica - CCEN -A´REA II - UFPE
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2009
2a. LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Mostre que os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os do espac¸o vetorial das matrizes n×n:
(i) O conjunto das matrizes n× n que sa˜o triangulares superiores.
(ii) O conjunto das matrizes sime´tricas n× n de trac¸o zero.
(iii) O conjunto das matrizes m× n cujas primeira e segunda linhas coincidem.
2. Determine quais dos seguintes subconjuntos do espac¸o vetorial F [0, 1] das func¸o˜es
f : [0, 1]→ R sa˜o subespac¸os de F [0, 1]:
(a) O subconjunto das func¸o˜es cont´ınuas.
(b) O subconjunto das func¸o˜es cujo gra´fico esta´ acima do eixo dos x.
(c) O subconjunto das func¸o˜es que assumem o valor 0 no ponto 1.
(d) O subconjunto das func¸o˜es que assumem o valor 1 no ponto 0.
3. Seja Pn o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ n. Verifique que o conjunto
de polinoˆmios de grau ≤ n que teˆm 1 como raiz forma um subespac¸o de Pn. Idem para
o conjunto de polinoˆmios de grau ≤ n que teˆm 1 e 2 como ra´ızes.
4. Verifique se (1, 0, 1) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear de:
(i) (1, 1, 1) e (2, 2, 1); (ii) (5, 4,−3) e (1, 4,−7).
5. (a) Escreva o vetor (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 como combinac¸a˜o linear de v1 = (1, 0, 1, 1),
v2 = (0, 1, 1, 1), v3 = (1, 1, 1, 1) e v4 = (1, 0, 1, 0). Observe que qualquer vetor de R4 pode
ser escrito como uma tal combinac¸a˜o linear - isto e´, v1, v2, v3, v4 geram R4.
6. (a) Determine os vetores (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 que sa˜o combinac¸o˜es lineares de (1, 2, 1, 2)
e (2, 1, 2, 1). Para tais vetores, escreva explicitamente os coeficientes da combinac¸a˜o lin-
ear.
(b) Determine os vetores (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 que sa˜o combinac¸o˜es lineares de (1, 2, 3, 4),
(1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1). Para um tal vetor, os coeficientes da combinac¸a˜o linear sa˜o unica-
mente definidos? Justifique.
7. Verifique em cada caso se os vetores de R3 seguintes sa˜o LI:
(i) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1);
(ii) (1, 1, 1), (1, 3, 2), (−1, 1, 0);
(iii) (1, 1, 1), (1, 0, 1), (5, 1,−1), (2,−1, 4).
8. Seja W o subespac¸o gerado pelas matrizes A1 =
( −1 3
2 1
)
, A2 =
(
3 1
−8 7
)
e
A3 =
(
1 2
−3 4
)
no espac¸o vetorial das matrizes 2×2 . Extraia do conjunto de geradores
{A1, A2, A3} uma base para W ; justifique. (Atenc¸a˜o: a base deve ser um subconjunto do
conjunto de geradores dado.)
9. Seja V um espac¸o vetorial. (a) Prove que se u, v ∈ V sa˜o LI, enta˜o u+v, u−v tambe´m
sa˜o LI. (b) Prove que se a ∈ R e u, v ∈ V sa˜o LI, enta˜o u+ v, u+ av sa˜o LI se a 6= 1.
10. Sejam v, u, w treˆs vetores LI de uma espac¸o vetorial V .
(a) Verifique se os vetores v + u, v + u+ w, v − u+ w sa˜o LI.
(b) Do mesmo modo, verifique se v + 5u+ w, v + u+ w, v − u+ w sa˜o LI.
Tanto em (a) como em (b), se sua resposta for afirmativa, prove sua afirmac¸a˜o; se for
negativa, deˆ exemplo de uma relac¸a˜o linear na˜o-trivial entre estes vetores.
11. Deˆ exemplo de uma base para o espac¸o de soluc¸o˜es da equac¸a˜o x+ y + z + w = 0.
12. Para cada um dos sistemas homogeˆneos abaixo, calcule a dimensa˜o do espac¸o de
soluc¸o˜es S e exiba uma base para S.
(a)

x+ 2y + 3z − w = 0
x− y + z + 2w = 0
x+ 5y + 5z − 4w = 0
x+ 8y + 7z − 7w = 0
(b)

x+ 2y + 3z = 0
x− y + z = 0
x+ 3y − z = 0
3x+ 4y + 3z = 0
(c)

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0
x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0
x1 + 5x2 + 5x3 − 4x4 = 0
x1 + 8x2 + 7x3 − 7x4 = 0
13. Calcule a dimensa˜o e exiba uma base para os seguintes espac¸os vetoriais:
(a) O espac¸o de matrizes sime´tricas 3× 3 de trac¸o zero.
(b) O espac¸o das matrizes 3× 2 cujas primeira e segunda linhas coincidem.
(c) O espac¸o das matrizes 2× 3 tais que a soma dos elementos da primeira linha coincide
com a soma dos elementos da segunda coluna.
14. Seja V = R4, e sejamW, U os subespac¸os de V definidos porW = [(1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 3)]
e U = [(0, 1,−3,−10), (2, 3,−1, 0)].
(a) Exiba uma base para W + U .
(b) Exiba uma base para W ∩ U .
(c) Verifique que dim(W + U) = dim(W ) + dim(U)− dim(U ∩W ).
15. Ache uma base para o espac¸o de polinoˆmios P (x) de grau ≤ 3 tais que P (2) = 0 e
P ′(1) = 0. Qual e´ a dimensa˜o deste espac¸o vetorial?
16. Determine a dimensa˜o dos subespac¸os de Pn descritos no exerc´ıcio 3 desta lista.
17. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e suponha que W1 e W2 sa˜o subespac¸os
de V de dimensa˜o n − 1. Quais sa˜o as possibilidades para a dimensa˜o de W1 ∩W2? Deˆ
exemplos correspondentes a cada uma destas possibilidades.
18. Qual a menor dimensa˜o poss´ıvel para a intersec¸a˜o de dois subespac¸os tridimen-
sionais de R4?
19. (a) Verifique que o conjunto de func¸o˜es {1, cosx, senx} e´ linearmente independente.
(b) Idem para {1, cosx, senx, cos 2x, sen 2x}.
20. Calcule [I]α� onde α e´ a base do R2 dada por α = {(1, 2), (−2, 1)} e � = {(1, 0), (0, 1)}
e´ a base canoˆnica do R2. Agora calcule [I]�α; qual a relac¸a˜o entre estas duas matrizes?
21. Verifique que β = {1, 1 − x, 2 − 4x + x2} e´ uma base para P2. Calcule as coor-
denadas de x2 em relac¸a˜o a esta base. Sendo α = {1, x, x2}, determine as matrizes de
mudanc¸a de base de β para α e de α para β. Verifique que [x2]β = [I]
α
β [x
2]α .