Álgebra Linear: Espaços Vetoriais e Transformações Lineares

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - CCEN - A´rea II
4a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
Espac¸os Vetorias a Gram-Schmidt 03/08/2004
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Seja V um conjunto qualquer. Como mostrar que V e´ um espac¸o vetorial real? E
complexo? Exemplifique.
2. O que e´ um vetor em um espac¸o vetorial?
3. Dado um subconjunto de famı´lias de vetores S de V , como mostrar que tal subcon-
junto e´ por si um espac¸o vetorial? Como denominamos S?
4. Dados dois vetores u, v ∈ V , como efetuamos as operac¸o˜es u+ v e αu, onde α e´ um
escalar?
5. O que significa combinac¸a˜o linear de dois (ou mais) vetores? O que geramos com
tal operac¸a˜o?
6. Dado um conjunto de vetores α = {v1, v2, ...vm} ⊂ V , o que significa independeˆncia
(dependeˆncia) linear entre tais vetores? Como mostrar isto efetivamente.
7. O que e´ base de um espac¸o vetorial? Esta e´ u´nica? E quanto a sua cardinalidade,
esta e´ u´nica? Como denominamos tal nu´mero? Tome um espac¸o vetorial qualquer,
exiba uma base para tal espac¸o.
8. O que significa espac¸o vetorial ser isomorfo a outro?
9. Como efetivar o ca´lculo de mudanc¸a de bases num mesmo espac¸o vetorial? O que
aparece quando efetuamos tal mudanc¸a?
10. O que e´ uma transformac¸a˜o linear? O que podemos sempre associar a uma trans-
formac¸a˜o linear?
11. Quais sa˜o os conjuntos (ou subespac¸os) que esta˜o associados a uma transformac¸a˜o
linear? Caracterize-o.
12. Qual e´ o jeita˜o da matriz que esta´ associada a uma transformac¸a˜o linear?
13. Exiba pares de espac¸os vetoriais e exemplifique transformac¸o˜es lineares entre dois
espac¸os.
14. Apresente bases para cada espac¸o vetorial do item anterior e obtenha a matriz
de cada transformac¸a˜o linear nas base apresentadas. O que acontece a` matriz da
transformac¸a˜o linear se mudarmos as bases escolhidas para o espac¸o de sa´ıda e para
o espac¸o de chegada. Experimente nos exemplo do item anterior.
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15. O que e´ uma transformac¸a˜o linear injetiva? E sobrejetiva? Verifique estas duas
definic¸o˜es para os exemplos do item anterior. Lembre-se do princ´ıpio das caixas de
pombos.
16. Podemos compor duas (ou mais) transformac¸o˜es lineares? Exemplifique. Monte
uma cadeia que indica tal composic¸a˜o.
17. O que e´ um operador linear? Como e´ a matriz associada a um operador linear?
18. Exemplifique operadores lineares. Exiba a matriz associada a cada um deles.
19. O que e´ um autovalor? E autovetor? E auto-subespac¸o?
20. Como determinamos os autovalores e autovetores associados de um operador linear?
O que e´ polinoˆmio caracter´ıstico?
21. O que significa diagonalizac¸a˜o de um operador lienar? Todo operador linear e´ di-
agonaliza´vel? O que e´ polinoˆmio mı´nimo? Como caracterizar um operador diago-
naliza´vel a partir de seu polinoˆmio mı´nimo?
22. O que e´ um funcional linear? Exemplifique. Como e´ a matriz de um funcional
linear?
23. O que e´ uma forma bilinear? Exemplifique. Como obtemos a matriz de uma forma
bilinear?
24. O que e´ uma forma bilinear sime´trica? Exemplifique.
25. Defina produto interno. Exemplifique. Quais sa˜o as “noc¸o˜es” que aparecem quando
definimos um produto interno em um espac¸o vetorial? Defina tais “noc¸o˜es”. Um
espac¸o vetorial possui apenas um produto interno?
26. O que sa˜o vetores ortogonais? E ortonormais? Exemplifique. E base ortogonal?
O que sa˜o os coeficientes de Fourier de um vetor em relac¸a˜o a uma certa base
ortonormal?
27. Como definir uma norma em um espac¸o vetorial munido de um produto interno?
Quais as propriedades de uma norma?
28. Como e´ o algoritmo para ortonormalizar um subconjunto de vetores L.I. num espac¸o
vetorial.
29. O que e´ complemento ortogonal de um subconjunto de vetores de um espac¸o vetorial?
O que e´ soma direta de dois subespac¸os?
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