CALCULO I - Notas de Aula - Cefet - BA

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NOTAS DE AULA 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 ERON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2006 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, o 
primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua 
pequenez; imagine o que eles são quando combinados. 
 
Galileu Galilei (1564-1642). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 3 
 
 
 
 
 Ao estudante 
 
 
Este texto é resultado da tentativa de produzir um material que ajude o aluno de um primeiro 
semestre de exatas que precisa estudar e acompanhar melhor as aulas da disciplina Cálculo Diferencial 
e Integral I. É uma seleção de “retalhos” porque juntei partes de livros, listas, textos de professores de 
matemática e algumas contribuições próprias. Mas, desde já, assumo a responsabilidade por todos os 
erros que possam conter estas notas, ainda incompletas, e agradeço a quem indicar as correções, 
críticas e sugerir melhorias. Observo também que este material não substitui a consulta, leitura e 
estudo de textos e livros de Cálculo já consagrados. Deve servir como um material de auxílio, 
principalmente no momento em que se realizam a aulas. 
 
Divisão das notas: 
 
Parte I – Limite de funções 
Parte II – Derivada 
Parte III – Derivada: aplicações 
Parte IV – Derivada: estudo das funções 
Parte V – Integral indefinida 
Parte VI – Integral definida e aplicações 
 
 
 Eron 
eron@cefetba.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE I 
 
LIMITE DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 5 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Limites – um pouco de história 
 
Introdução ao limite 
 
Limites laterais 
 
Existência e unicidade de limites 
 
Propriedades dos limites 
 
Continuidade 
 
Propriedades das funções contínuas 
 
Limites envolvendo indeterminação 0/0 
 
Limites infinitos 
 
Limites no infinito 
 
Limite envolvendo função infinitesimal e função limitada 
 
Limites fundamentais 
 
Equação de retas assíntotas 
 
Séries numéricas infinitas 
 
Definição de derivada. 
 
Exercícios de fixação 
 
Funções hiperbólicas 
 
Tabela de indeterminações 
 
Resposta dos exercícios 
 
Referências bibliográficas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 6 
LIMITES – UM POUCO DE HISTORIA 
 
Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os principais conceitos do cálculo – 
derivada, continuidade, integral, convergência/divergência – são definidos em termos de limites. 
Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais 
básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do 
desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem vir primeiro. Porém, o registro histórico 
é justamente o oposto. Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e 
algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e 
outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em 
nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século XVIII e início do 
século XIX, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram 
apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente. 
 
A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de 
Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo 
uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo (o tempo 
necessário para se mover metade da distância, em seguida o tempo necessário para se mover metade 
da distância restante, etc.) durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de 
Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384-322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de 
Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite 
resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão. 
 
Para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes, Arquimedes (287-
212 a.C.) encontrou várias séries infinitas – somas que contêm um número infinito de termos. Não 
possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos 
chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que 
agora chamamos de limites. 
 
O Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. O 
desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica por 
Pierre Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650). A geometria analítica é, essencialmente, o 
casamento da geometria com a álgebra, e cada uma melhora a outra. 
 
Fermat desenvolveu um método algébrico para encontrar os pontos mais altos e mais baixos 
sobre certas curvas. Descrevendo a curva em questão por uma equação, Fermat chamou um número 
pequeno de E, e então fez alguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal 
maneira que todos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam! Essencialmente, 
Fermat colocou de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno". Geometricamente, 
Fermat estava tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo da 
curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero. 
 
Encontrar retas tangentes a curvas é um dos dois problemas mais fundamentais do cálculo. 
Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. 
Durante o século XVII, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para 
encontrar retas tangentes a certas curvas. Descartes desenvolveu um processo que usava raízes duplas 
de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628-1704), que 
era também o prefeito de Amsterdam. René de Sluse (1622-1685) inventou um método ainda mais 
complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses cálculos, o limite deveriater sido usado 
em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de 
limite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais 
estavam corretos, mas com meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos. 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 7 
 
Determinar valores exatos para áreas de regiões limitadas, pelo menos em parte, por curvas é o 
segundo problema fundamental do cálculo. Estes são chamados freqüentemente de problemas de 
quadratura, e, intimamente relacionados a eles, estão os problemas de cubatura - encontrar volumes 
de sólidos limitados, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Eles nos levam a integrais. 
Johannes Kepler (1571-1630), o famoso astrônomo, foi um dos primeiros estudiosos dos problemas de 
cubatura. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) desenvolveu uma teoria elaborada de quadraturas. 
Outros, tais como Evangelista Torricelli (1608-1647), Fermat, John Wallis (1616-1703), Gilles 
Personne de Roberval (1602-1675), e Gregory St. Vincent (1584-1667) inventaram técnicas de 
quadratura e/ou cubatura que se aplicam a curvas e sólidos específicos ou famílias de curvas. Mas 
nenhum deles usou limites! Seus resultados eram quase todos corretos, mas cada um dependia de um 
malabarismo algébrico ou apelavam para intuição geométrica ou filosófica questionável em algum 
ponto crítico. A necessidade de limites não era reconhecida. 
 
Em quase todos os seus trabalhos que agora são considerados como cálculo, Isaac Newton 
(1642-1727), também não reconheceu o papel fundamental do limite. Para séries infinitas, Newton 
raciocinou meramente por analogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, 
então seria possível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newton 
calculou o que ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muito próximo. O 
processo que ele usou para esses cálculos era muito próximo do método de Fermat. Neste e na maioria 
dos outros trabalhos comparáveis, Newton negligenciou o limite. 
 
Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), talvez o maior trabalho em matemática e 
ciência, Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de partida para problemas 
de tangência, quadratura e afins. No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação 
precisa do conceito de limite: 
 
Quantidades, e as razões de quantidades, as quais em qualquer tempo finito convergem 
continuamente para igualdade, e antes do final daquele tempo se aproximam entre si 
por qualquer dada diferença, tornam-se iguais no final. 
 
Existiram críticas sobre esta afirmação e sobre a discussão que a seguiu, notadamente por George 
Berkeley (1685-1753). Mas a genialidade de Newton tinha descoberto o papel fundamental que o 
limite tinha que desempenhar no desenvolvimento lógico do cálculo. E, apesar de sua linguagem 
rebuscada, a semente da definição moderna de limite estava presente em suas afirmações. 
 
Infelizmente, para a fundamentação rigorosa do cálculo, por muitas décadas, ninguém 
observou estas dicas que Newton tinha fornecido. As principais contribuições ao cálculo de Gottfried 
Wilhelm Leibniz (1646-1716) foram as notações e as fórmulas básicas para as derivadas e integrais (as 
quais usamos desde então) e o Teorema Fundamental do Cálculo. Com estas ferramentas poderosas, o 
número de curvas e sólidos para os quais derivadas e integrais podiam ser facilmente calculadas se 
expandiram rapidamente. Problemas desafiadores de geometria foram resolvidos; mais e mais 
aplicações do cálculo à ciência, principalmente física e astronomia, foram descobertas; e novos 
campos da matemática, especialmente equações diferenciais e o cálculo de variações, foram criados. 
Dentre os líderes desse desenvolvimento do século 18 estavam vários membros da família Bernoulli, 
Johann I (1667-1748), Nicolas I (1687-1759) e Daniel (1700-1782), Brook Taylor (1685-1731), 
Leonhard Euler (1707-1783), e Alexis Claude Clairaut (1713-1765). 
 
O cálculo se desenvolveu rapidamente pelos seus vários sucessos no século 18, e pouca atenção 
foi dada aos seus fundamentos, muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698-1746) 
defendeu o tratamento dos fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurin reverteu 
a argumentos do século XVII similares aos de Fermat e apenas ocasionalmente usou a redução ao 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 8 
absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas intenções, Maclaurin passou por oportunidades de 
seguir a sugestão de Newton sobre limites. Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) foi o único cientista 
daquele tempo que reconheceu explicitamente a importância central do limite no cálculo. Na famosa 
Encyclopédie (1751-1776), d'Alembert afirmou que a definição apropriada da derivada necessitava um 
entendimento do limite primeiro e então, deu a definição explícita: 
 
Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a segunda puder se 
aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importa quão 
pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que ela 
aproxima. 
 
Em termos gerais, d'Alembert percebeu que, "a teoria de limites era a verdadeira metafísica do 
cálculo". 
 
A preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o Cálculo cresceu durante os últimos 
anos do século XVIII. Em 1784, a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um 
ensaio que explicasse com sucesso uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande em 
matemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para o cálculo. Embora 
este prêmio tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" de Simon L'Huilier (1750-1840) 
não foi considerado uma solução viável para os problemas colocados. Lazare N. M. Carnot (1753-
1823) produziu uma tentativa popular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação 
de erros" – mas ele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente. 
 
No final do século XVIII, o grande matemático da época, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), 
conseguiu reformular toda a mecânica em termos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução 
Francesa, Lagrange concentrou sua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, 
Funções Analíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamente pequeno ou 
quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suas outras contribuições ao 
cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora, com uma falha fatal) para tornar o 
cálculo puramente algébrico eliminando limites inteiramente. 
 
Ao longo do século XVIII, havia pouca preocupação com convergência ou divergência de 
sequências e séries infinitas; hoje, entendemos que tais problemas requerem o uso de limites. Em 
1812, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da 
convergência de sequências e séries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua 
famosa Teoria Analítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) tentou definir a 
convergência de uma série infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmou que qualquer 
função poderia ser escrita como uma de suas séries, e não mencionou a convergência ou divergência 
destasérie. 
 
No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas e descontínuas e 
funções, Bernhard Bolzano (1781-1848) olhou além da noção intuitiva da ausência de buracos e 
quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quais expressamos hoje em termos de limites. 
 
No começo do século 18, as idéias sobre limites eram, com certeza, confusas. Enquanto 
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente 
correta do cálculo para apresentar aos seus estudantes de engenharia na École Polytechnique em Paris, 
ele encontrou erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seu curso de 
cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite. Começando em 1821, ele 
escreveu as suas próprias notas de aula, essencialmente seus próprios livros, o primeiro chamado de 
Cours d'analyse (Curso de Análise). Nas suas classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 9 
princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a 
integral, e o resto do cálculo. 
 
Contudo, Cauchy perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação da sua 
definição de limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas. Niels Henrik Abel 
(1802-1829) e Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) estavam entre aqueles que desencavaram 
estes problemas delicados e não intuitivos. Nas décadas de 1840 e 1850, enquanto era um professor do 
ensino médio, Karl Weierstrass (1815-1897) determinou que a primeira etapa necessária para corrigir 
estes erros era restabelecer a definição original de Cauchy do limite em termos estritamente 
aritméticos, usando apenas valores absolutos e desigualdades. A exposição de Weierstrass é 
exatamente aquela que encontramos no livro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma 
carreira brilhante como professor de matemática na Universidade de Berlim. Lá ele desenvolveu um 
programa para trazer rigor aritmético para todo o cálculo e à análise matemática. 
 
 
Fonte: George B. Thomas Cálculo vol I e II. Pearson Education. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 10 
PARTE I – LIMITE DE FUNÇÕES 
 
INTRODUÇÃO. Informalmente, o estudo do limite de uma função visa determinar o que acontece 
(estudo do comportamento) com os valores da imagem de uma função quando, no domínio dessa 
função, tomamos valores em torno de um determinado ponto (número). 
 
Em geral, dizemos que se uma função f definida num intervalo aberto I ⊆ \ contendo o número real 
a , exceto possivelmente em a , e se à medida que x se aproxima de a , o valor de ( )f x se aproxima 
de L∈\ , escrevemos: 
( )lim
x a
f x L→ = . 
Isso significa que o ponto ( ), ( )x f x do gráfico de f se aproxima do ponto ( , )a L , quando x se 
aproxima de a . Veja as figuras abaixo. 
 
 
lim ( )
x a
f x L→ = e ( )f a L= . lim ( )x a g x L→ = e ( )g a não está 
definido. 
lim ( )
x a
h x L→ = e ( )h a b L= ≠ . 
 
 
Uma outra maneira de “percebermos” um limite é utilizando tabelas de valores. Considere uma função 
2 1( )
1
xf x
x
−= − . Esta função está definida { }1x∀ ∈ −\ . Isto significa que não podemos calcular a 
imagem quando x assume o valor 1. Vamos usar uma máquina de calcular e construir uma tabela com 
os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1. 
 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (tabela A) 
 
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 
( )f x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 
 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1: (tabela B) 
 
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 
( )f x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 
 
 
Observamos que podemos tornar ( )f x tão próximo de 2 quanto 
desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. 
Veja a figura abaixo que representa o que está acontecendo nas tabelas A e 
B. 
 
 
L 
a x 
y = f(x) 
y 
L 
a x
y = g(x)
y 
L
a x
y = h(x)
y 
b
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 11 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 
1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. 
 
∗ Quando x se aproxima de 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela 
esquerda, e denotamos simbolicamente por 1x −→ . Temos então que: 
 
( )
1
lim 2
x
f x−→ = ou 
2
1
1lim 2
1x
x
x−→
− =− 
 
 
∗ Quando x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos 
que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x → +1 . Temos 
então que: 
( )
1
lim 2
x
f x+→ = ou 
2
1
1lim 2
1x
x
x+→
− =− 
 
 
2) Podemos pensar em lim ( )
x a
f x→ como um limite “bilateral”. Temos os seguintes resultados: 
 
* O limite lim ( )
x a
f x→ existe se, e somente se, existem e são iguais os limites laterais lim ( )x a f x−→ e 
lim ( )
x a
f x+→ . De outro modo, ( ) ( ) ( )lim lim limx ax a x af x f x L f x L− + →→ →= = ⇔ = . 
 
* Quando os limites laterais tem valores diferentes, dizemos que não existe o limite “bilateral”. De 
outro modo 
( ) ( ) ( )lim lim lim
x ax a x a
 f x f x f x− + →→ →
≠ ⇒ ∃ . 
 
3) Quando os valores de x crescem ilimitadamente, escrevemos x →+∞ . Quando os valores de x 
decrescem ilimitadamente, escrevemos x →−∞ . 
 
Exemplo prático – Seja : {3,5}f − →\ \ a função definida pelo gráfico a seguir. Determine os 
limites que se pedem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) lim ( )
x
f x→+∞ b) 2lim ( )x f x→− c) 3lim ( )x f x→ d) 4lim ( )x f x→− 
 
e) 
0
lim ( )
x
f x→ f) 5lim ( )x f x→ g) lim ( )x f x→−∞ h) 4lim ( )x f x→ 
Obs: O sinal negativo 
no expoente do no 1 
simboliza apenas que 
x se aproxima do 
número 1 pela 
esquerda. 
Obs: O sinal positivo 
no expoente do no 1 
simboliza apenas que 
x se aproxima do 
número 1 pela direita. 
− 4 − 2
− 2
3 4 5 x 
y 
o 
• 2 
0 
o 
• 1 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 12 
 
DEFINIÇÃO FORMAL DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
Seja :f I → \ , I ⊆ \ um intervalo aberto, onde 0x I∈ ou 
0x I∉ . Dizemos que L é o limite de ( )f x quando x tende 
para 0x do seguinte modo 
 
0 0
0, 0 ;
lim ( ) 
0 ( ) .x x
f x L
x x f x L
ε δ
δ ε→
∀ > ∃ >⎧⎪= ⇔ ⎨ < − < ⇒ − <⎪⎩
 
 
Veja na figura ao lado: sempre que ( )0 0,x x xδ δ∈ − + 
temos que ( )( ) ,f x L Lε ε∈ − + . x
y
 0x x 0x δ− 0x δ+
 L ε−
 L ε+
 L
( )f x
 gráfico de ( )
 
y f x=
2
 
 
Com esta definição podemos demonstrar propriedades que o limite de uma função possui que facilitam 
seu cálculo. 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES DOS LIMITES. Considere lim ( )
x a
f x A→ = , lim ( )x a g x B→ = e , e A B k∈\ 
constantes reais. Então1) lim
x a
k k→ = 2) lim[ ( )] lim ( )x a x ak f x k f x kA→ →⋅ = = 
 
3) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x A B→ → →± = ± = ± 
 
Mais geral, temos que se 1 1 2 2( ) , lim ( ) , , lim ( )n nx a x a
f x A f x A f x A→ →= = =… onde 1 2, , ..., nA A A ∈\ . 
Então [ ]1 2 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n n nx a x a x a x af x f x f x f x f x f x A A A→ → → →± ± ± = ± ± ± = ± ± ±" " " . 
 
4) [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x A B→ → →⋅ = ⋅ = ⋅ 5) 
lim ( )( )lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x A
g x g x B
→
→
→
= = , com 0B ≠ 
 
6) lim ( ) lim ( ) nn n
x a x a
f x f x A→ →= = 7) lim ( ) lim ( )x a x af x f x A→ →= = 
 
8) [ ]lim ( ) lim ( ) nn n
x a x a
f x f x A→ →
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ onde n∈\ . 9) lim ( ) 0x a f x A→ − = 
 
 
Observação. Todas estas propriedades podem ser demonstradas a partir da definição (formal) de 
limite, o que não faremos aqui. Consulte as referências bibliográficas. 
 
 
TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE. Seja :f I → \ , I ⊆ \ um intervalo aberto, onde 0x I∈ ou 
0x I∉ . Se 
0
lim ( )
x x
f x L→ = e 0lim ( )x x f x M→ = ( ,L M ∈\ ) então L M= . 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 13 
Em outras palavras, se o limite existe (é um número real) então é único. 
 
Demonstração. Suponha 
0
lim ( )
x x
L f x→= e 0lim ( )x xM f x→= . Da definição de limite, temos que 
0
lim ( )
x x
L f x→= ⇒ 1 0 10, 0; 0 ( ) 2x x f x L
εε δ δ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < e 
0
lim ( )
x x
M f x→= ⇒ 
2 0 20, 0; 0 ( ) 2
x x f x M εε δ δ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < . Seja { }1 2min ,δ δ δ= . Em particular, 
( ) ( )0 0 0, { }x x I xδ δ− + ∩ − ≠ ∅ . Logo, existe z I∈ tal que 00 z x δ< − < e 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
L M L M f z f z L f z f z M L f z f z M ε ε ε− = − + − = − + − ≤ − + − < + = . 
Daí, L M ε− < , para todo 0ε > , então só podemos ter L M= . , 
 
 
LIMITES LATERAIS. Seja :f I →\ , I ⊆ \ um intervalo aberto. 
 
lim ( ) 0, 0 ; 0 ( ) .
x a
f x L x a f x Lε δ δ ε+→ = ⇔ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < 
 
lim ( ) 0, 0 ; 0 ( ) .
x a
f x L x a f x Lε δ δ ε−→ = ⇔ ∀ > ∃ > − < − < ⇒ − < 
 
 
TEOREMA DE EXISTÊNCIA DO LIMITE. lim ( )
x a
f x L→ = ⇔ lim ( ) lim ( )x a x af x f x L+ −→ →= = . 
 
Isto quer dizer que o limite “bilateral” existe e é igual a L se, e somente se, existem e são iguais a L os 
limites laterais. 
 
Demonstração. A condição necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais 
existem e lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x L+ −→ →= = , temos que dado 0ε > , existem 1 2, 0δ δ > , tais que 
1 ( )a x a f x Lδ ε< < + ⇒ − < e 2 ( )a x a f x Lδ ε− < < ⇒ − < . Note que 1δ e 2δ podem ser iguais 
ou diferentes. Caso 1 2δ δ≠ , considere { }1 2min ,δ δ δ= , então 0 ( )x a f x Lδ ε< − < ⇒ − < . , 
 
Exemplos 
 
1) Suponha o gráfico de uma função ( )f f x= na figura ao 
lado. Temos então que 
 
0
1lim ( )x x
f x L−→ = e 0 2lim ( )x x f x L+→ = . 
 
 Logo, não existe o 
0
lim ( )
x x
f x
→ . 
 
 
2) Consideremos a função 
2
2 1, 1
( ) 6, 1
 , 1
x x
f x x
x x
⎧ − <⎪= =⎨⎪ >⎩
. Verifique a existência de 
1
lim ( )
x
f x→ . 
L2 
L1 
x
y 
xo 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 14 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES. Considere :f I →\ e a I∈ . Dizemos que f é contínua em a I∈ se 
as seguintes condições são satisfeitas 
 
i) lim ( )
x a
f x→∃ [ou seja, lim ( ) lim ( )x a x af x f x− +→ →= ] ii) lim ( ) ( )x a f x f a→ = 
 
 
lim ( )
x a
f x L→ = e ( )f a L= . lim ( )x a g x L→ = e ( )g a não está 
definido. 
lim ( )
x a
h x L→ = e ( )h a b L= ≠ . 
 
 
Exemplos: Verifique a continuidade de cada função no ponto indicado: 
a) 
5 se 5
( )
 0 se 5
x x
f x
x
⎧ − ≠⎪= ⎨ =⎪⎩
 b) 
2 2 3 se 1( ) 1
 3 se 1
t t tg t t
t
⎧ − − ≠⎪= ⎨ +⎪ =⎩
 c) 
2
2
3 se 2
( ) 0 se 2
1 se 2
x x
h x x
x x
⎧ + < −⎪= = −⎨⎪ + > −⎩
 
 
Observações: 
1) A definição de continuidade pode ser expressa em função de ε e δ . De fato, lim ( ) ( )
x a
f x f a→ = 
significa que: para todo 0ε > existe 0δ > tal que, se Dom( )x f∈ e x a δ− < , então 
( ) ( )f x f a ε− < . 
 
2) As funções polinomiais 1 21 2 1 0( ) ...
n n
n np x a x a x a x a x a
−
−= + + + + + onde 0 1, ,..., na a a ∈\ são 
funções contínuas em \ , ou seja, lim ( ) ( )
x a
p x p a→ = , a∀ ∈\ . 
3) Dizemos que uma função ( )f x é racional se é do tipo ( )( )
( )
p xf x
q x
= onde ( ) e ( )p x q x são 
polinômios. Toda função racional é contínua exceto nos pontos onde seu denominador é zero. 
 
4) Dizemos que f é contínua num conjunto I ⊆ \ se f é contínua em todo ponto de I . 
 
5) Mostra-se, também, que as funções elementares: exponenciais, logarítmos, trigonométricas, raízes 
n-ésimas, módulo, hiperbólicas são contínuas em seu domínio. 
 
 
Propriedades das funções contínuas. Sejam f e g funções contínuas num ponto a . Então 
1) k f⋅ é contínua em a . 2) f g± é contínua é continua em a . 
3) f g⋅ é contínua em a . 4) f
g
 é contínua nos pontos onde 0g ≠ . 
L 
a x 
y = f(x) 
y 
L 
a x
y = g(x)
y 
L
a x
y = h(x)
y 
b
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 15 
 
A demonstração de cada uma destas propriedades decorre diretamente da definição de continuidade. 
 
Exercícios 
 
1) Das funções f e g definidas em \ , sabe-se que: 
1
lim ( ) 3
x
f x→ = , (1) 5f = , 1lim ( ) 10x g x→ = e (1) 8g = . 
Responda o que se pede: 
 
a) A função ( ) ( ) ( )S x f x g x= + , x∀ ∈\ é contínua em 0 1x = ? 
 
b) A função ( ) ( ) ( )M x f x g x= ⋅ , x∀ ∈\ , é contínua em 0 1x = ? 
 
 
2) Determine as constantes m e n de modo a função dada seja 
contínua em 0 0x = 1 1x = . 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
≥−
≠<−
=
0 , 
1 , 
0 e 1 , 1
)( 2
3
xmn
xmx
xxmx
xf 
 
 
Teorema (continuidade da composta). Se a função g é contínua em a e a função f é contínua em 
( )g a então a função composta f gD é contínua em a . 
 
Demonstração. Considerando que g é contínua em a , isto é, lim ( ) ( )
x a
g x g a→ = e f é contínua em 
( )g a , temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )x a x a x af g x f g x f g x f g a f g a→ → →= = = =D D , o que prova que 
f gD é contínua em a . , 
 
Exemplos: Sendo :f I → \ contínua, f , n f , ( )nf , ln f , cos f , senf , 
 vezes
n
n
f f f f= D D"D���	��
 
também são contínuas. 
 
 
 
Teorema (valor intermediário). Se :[ , ]f a b →\ é uma 
função contínua em [ , ]a b e ( ) ( )f a d f b< < (ou 
( ) ( )f b d f a< < ), então existe ( , )c a b∈ tal que ( )f c d= . 
 
Uma das possibilidades do significado geométrico deste 
teorema está na figura ao lado. 
 
 
 
Exemplo: Considere a função 
2 1( ) xf x
x
+= . Determine o valor que satisfaz o Teorema do Valor 
Intermediário para 3d = em [ ]1,6 . 
 
Muito utilizado para garantir a existência de raízes de equações, o teorema seguinte é um resultado 
imediato do anterior (corolário). 
f(c)=d 
X
Y
f(b) 
f(a) 
c baCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 16 
 
 
Teorema de Bolzano. Seja :[ , ]f a b →\ uma função 
contínua em [ , ]a b . Se ( )f a e ( )f b tem sinais opostos, ou 
seja, ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , então existe ( , )c a b∈ tal que ( ) 0f c = . 
 
Seu significado geométrico no gráfico ao lado. 
 
 
Exemplos: 
 
1 – Uma aplicação deste corolário mostra que a função 
2( ) 2xf x x= − (gráfico ao lado) possui um zero em cada um dos 
intervalos: [ 1,0]− , [0,3] e [3,5] . 
 
 
2 – Se 4( ) 5 3f x x x= − + , localizar um intervalo onde tenha uma 
raiz real. 
 
x
y
 2
 
( ) 2xf x x= −
2
 
 
 
Observação: Este corolário também pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio 
de grau ímpar. De fato, seja 1 21 2 1 0( ) ...
n n
nf x x a x a x a x a
−
−= + + + + + , ia ∈\ uma função polinomial 
de grau n ímpar. Para os 0x ≠ , escrevemos: 1 02 12 1( ) 1 ...n n n n n
a aa af x x
x x x x
−
− −
⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Então 
lim ( )
x
f x→+∞ = +∞ e lim ( )x f x→−∞ = −∞ , pois n é impar. Logo, existem 1 2x x< tais que 1( ) 0f x < e 
2( ) 0f x > , como f é contínua em 1 2[ , ]x x ; pelo corolário anterior, existe ( )1 2,c x x∈ tal que 
( ) 0f c = . Note que, se n é par a conclusão é falsa, por exemplo, o polinômio 2( ) 3p x x= + não 
possui raízes reais. 
 
Exercício – Para cada uma das funções determine um inteiro n tal que ( ) 0f x = para algum 
[ ], 1x n n∈ + : 
a) 3( ) 3f x x x= − + b) 5 4( ) 5 2 1g x x x x= + + + c) 5( ) 1h x x x= + + 
 
 
LIMITES “DIRETOS”. Considere a no domínio de f . Então se f é uma função contínua em a temos 
lim ( ) ( )
x a
f x f a→ = . Isto significa que podemos calcular o limite x a→ de uma função ( )f x contínua 
em a “diretamente” da função, calculando a imagem de a por f. 
 
 
Exemplos: 
a) 2 2
3
lim ( 5 2) ( 3) 5( 3) 2 22
x
x x→− − − = − − − − = b) 4lim cosh 2a
a
a→
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
 
X
Y
f(b)
f(a)
c b a
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 17 
c) 
2 1
21
3 1lim log
4
z
z
z +
→
⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 d) 
3
lim sen arctg(4 )
1α
π αα→−
⎡ ⎤⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦ 
 
 
Exercícios – Calcule os limites a seguir: 
a) 5 4
1
lim ( 3 2)
y
y y→− − − b) 
12
3
4
lim
4 2
x
x
x x x
− +
→
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 c) 2
2 1
1
3 1lim log
4
x
x
x +
→
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
d) 
2
3
32
2lim arcsen
p
p p
p→−
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e) 
5
1
2 1lim tg
3 5a
a a
a
π→
⎛ ⎞− +⎜ ⎟+⎝ ⎠
 f) 3lim 2 ln( )
k e
k k→
⎡ ⎤− +⎣ ⎦ 
g) 
0
2
lim
u
u u
u u−→
−
− 
h) ( )
1
lim senh cosh
x
x x→− + 
i) ( )
3
lim sec cosec
x
x xπ→−
+ 
 
Respostas: ) 6a − ) 1/ 238328b − ) 3c − ) 3 / 2d π ) 1e ) 2 3f e− + ) 1/ 2g − ) 1/h e ) 2(3 3) / 3i . 
 
 
LIMITES ENVOLVENDO A INDERTERMINAÇÃO 0
0
 
 
Exemplo prático. Determine 
2
lim ( )
x
f x→ , onde 
2 4( )
2
xf x
x
−= − . 
Observamos que 
2
2
4 0lim
2 0x
x 
x→
− =− ?? 
A expressão que aprece acima – 0
0
 - é uma indeterminação matemática!. Portanto, devemos então 
simplificar a expressão e depois fazer a substituição direta. 
Observe que ( ) ( )( )2 2 24 2, 2.
2 2
x xxf x x x
x x
+ −−= = = + ∀ ≠− − Então: 
 
( )( )2
2 2 2 2
2 24lim ( ) lim lim lim( 2) 4.
2 2x x x x
x xxf x x
x x→ → → →
+ −−= = = + =− − Logo, 
2
2
4lim 4
2x
x 
x→
− =− . 
 
x
y
 2 4gráfico de ( ) 2
xf x x
−= −
 2
 4
 
x
y
 2
 4
 gráfico de ( ) 2f x x= +
 
 
 
Para resolver limites deste tipo, utilizaremos o seguinte teorema. 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 18 
TEOREMA. Se ( ) ( )h x f x= para todo { }x I a∈ − então lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x A→ →= = . 
 
Demonstração. A verificação é imediata. 
 
 
O algoritmo da divisão de Euclides, o processo de Briott-Ruffini e o conhecimento (lembrança) de 
alguns produtos notáveis podem ajudar a resolver mais rapidamente os limites do tipo 0
0
 envolvendo 
funções racionais. 
 
Alguns produtos notáveis 
 
222 2)( BABABA +±=± ))((22 BABABA −+=− ))(( 2233 BABABABA ++−=− 
))(( 2233 BABABABA +−+=+ ))(( 212 xxxxACBxAx −−=++ 32233 33)( BABBAABA ±+±=±
 
Se um limite envolve a expressão 0
0
, dizemos que este limite possui uma indeterminação matemática 
e, para resolver o limite, é preciso “eliminar” a indeterminação. 
 
 
Exemplos – Elimine a indeterminação para resolver cada limite. 
 
a) 
2
23 3
9 ( 3)( 3)lim lim 2
( 3)3x x
x x x
x xx x→ →
− − += =−− b) 
2
3 21 1
6 7 ( 7)( 1) 8lim lim
31 ( 1)( 1)u u
u u u u
u u u u→− →−
− − − + −= =+ + − + 
 
c) 
2
22 2
4 ( 2)( 2) 2lim arccos arccos lim arccos
2 2 43 4 4 3 ( 2)
3
t t
t t t
t t t t
π
→− →−
⎛ ⎞− − += = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞+ − ⎝ ⎠− +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 
Exercícios – Calcule os limites: 
 
a)
3
22
6lim
 2 10x
x x
x x→
− −
+ − b) 
4
21
lim sen
21t
t t 
t
π
→
⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠
 c) 
2
35
9 20lim
125h
h h
h→
− +
− d) 23
3
lim
4 3z
z
z z−→
−
− + 
e) 
3 2
21
2 5 6lim
5 2 3n
n n n
n n→−
+ − −
+ − f) 21
1lim
2 3y
y 
y→
−
− +
 g) 
9
3lim
9x
x 
x→
−
− h) 
2
21
1 2lim
3 3u
u
u u→
+ −
− 
 
Respostas: ) 11/ 9a ) 2 / 2b ) 0, 4c ) 1/ 2d − ) 3e ) 2f ) 1/ 6g ) 2 / 6h . 
 
 
2) Estude a continuidade da função f definida ao lado, 
nos pontos 0 2t = − e 1 0t = . 
 
Justifique sua resposta. 
 
3 2
2
2
2
4 4 , 0 e 2
2
( ) 4 , 2 
log ( 4) , 0 
t t t t t
t t
f t t
t t
⎧ + − − < ≠ −⎪ + −⎪⎪= = −⎨⎪ + ≥⎪⎪⎩
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 19 
Além de 0
0
, existem indeterminações matemáticas envolvendo o infinito. Por exemplo: ∞−∞ , 0∞⋅ e 
∞
∞ são algumas que surgem no estudo de limites. Veja tabela na página 
 
LIMITES INFINITOS 
 
Dado 0, 0 ;
lim ( ) 
0 ( ) .x a
M
f x
x a f x M
δ
δ→
> ∃ >⎧⎪= +∞ ⇔ ⎨ < − < ⇒ >⎪⎩
Dado 0, 0 ;
lim ( ) 
0 ( ) .x a
M
f x
x a f x M
δ
δ→
< ∃ >⎧⎪= −∞ ⇔ ⎨ < − < ⇒ <⎪⎩
 
 
Exemplos: a) 
0
1lim
x x→
 b) 20
1lim
x x→
 c) 
0
lim ln
t
t+→
 d) 
2
lim tg
πθ
θ+
→
 
 
 
TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL. Se lim ( ) 0
x a
f x L→ = ≠ então existe um intervalo aberto I 
contendo a tal que ( )x D f I∀ ∈ ∩ tem-se { }x I a∀ ∈ − , ( )f x tem o mesmo sinal de L . 
 
Demonstração. Pelo fato de que lim ( ) 0
x a
f x L→ = ≠ temos que 0, 0 ;ε δ> ∃ > 0 x a δ< − < implica 
que ( ) <f x L ε− , ou seja, a x aδ δ− < < + implica que ( )L f x Lε ε− < < + . Suponha 0L > (fixo), 
como ε pode assumir qualquer valor positivo, tomamos Lε < (ou seja, 0 L ε< − ), logo, existirá 
1 0δ > tal que 1 1a x aδ δ− < < + implicando em 0 ( )L f x Lε ε< − < < + e assim ( )1 1,x a aδ δ∀ ∈ − + 
temos ( ) 0f x > . Do mesmo modo, se fizermos 0L < temos ( ) 0f x < em algum intervalo. , 
 
 
Como conseqüência do Teorema da conservação do sinal, podemos generalizar uma regra para 
resolver limites infinitos que envolvem 
0
k , onde { }0k∈ −\ . Então, para resolver 
( )lim , 0
( ) 0x a
f x k k
g x→
= ≠ onde ( ) 0g a = devemos “estudar” o sinal de 
( )
k
g x
 em torno de x a= . Assim, 
 
, 0 e , 0.
0 0
, 0 e , 0.
0 0
k kk k
k kk k
+ +
− −
⎧= +∞ > = −∞ <⎪⎪⎨⎪ = −∞ > = +∞ <⎪⎩
 
( )f x
a a δ− a δ+ 
x 
Y
M
X
( )f x 
a a δ−
 
a δ+ 
x X
Y 
M 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 20 
 
Exercícios – Resolva os limites: 
 
a) 22
3 5lim
4x
x
x+→
−
− b) 
3
63
2lim
( 3)
t
t
t
t
e +
→− + c) 
4
0
log (2 )lim
senx
x
x x→
−
⋅ d) 
3
2
2
lim n
n
e −−→ 
 
e) 
0,3 1
3 22
4lim
6
x
x x x x
+
→− − − f) 
1
lim
ln 1
x
x e
x
x
−
−→ − g) 0
1lim
senhu u→
 
 
Respostas: )a +∞ )b −∞ )c +∞ ) 0d ) e ∃/ )f −∞ ) g ∃/ . 
 
 
LIMITES NO INFINITO. Seja :[ , [f a +∞ →\ (ou :] , ]f a−∞ →\ ) 
 lim ( ) (ou ou ) Dado 0, 0 ; Dom( )
x
f x L N x fε→±∞ = ±∞ ∃ ⇔ > ∃ > ∀ ∈/ tem-se 
 
 ( )x N f x L ε> ⇒ − < . ( )x N f x L ε< − ⇒ − < . 
 
 
 
Exercícios – Resolva os limites: 
a) 2
6lim
x x→+∞
 b) lim senh
x
x→+∞ c) 4
3lim
x x→−∞
− d) 6 1lim
2x
x
x→+∞
−
+ e) limx x→+∞ 
f) lim x
x
a→−∞ e lim
x
x
a→+∞ g) lim lnx x→+∞ h)
1 2lim
2 3
n
nn→+∞
+
+ i) ( )lim 1x x x→+∞ + − 
 
Respostas: ) 0a )b +∞ ) 0c ) 6d )e +∞ ) ou 0f +∞ )g +∞ ) 0h ) 0i . 
 
 
LIMITES NO INFINITO (E INFINITOS) PARA POLINÔMIOS E FUNÇÕES RACIONAIS 
Considere n∈` , temos os seguintes resultados: 
i) lim n
x
x→±∞ = ±∞ ii)
1lim 0nx x→±∞
= 
 
iii) [ ] 1 21 2 1 0lim ( ) lim ... limn n nn n nx x xP x a x a x a x a x a a x−−→±∞ →±∞ →±∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
iv) 
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...( )lim lim lim
( ) ...
n n n
n n n
m m m
m m mx x x
a x a x a x a x a a xP x
Q x b x b x b x b x b b x
−
−
−
−→±∞ →±∞ →±∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ + + + + += =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
X
Y
x N−
( )f x
L
L ε+
L ε−
( )f x 
X
Y 
x N 
L 
L ε+ 
L ε− 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 21 
 
 
Exemplos – Determinar cada limite: 
 
a)) 
3 2 3
24 2 9 4lim lim 2 lim 2( )
2 8 2x x x
x x x x
x x→−∞ →−∞ →−∞
− − = = ⋅ = +∞ = +∞+ 
 
b) 
3 3
5 3 5 2
2 1 2 2 1 2lim lim lim 0 0
3 2 3 3 3q q q
q q q
q q q q q→+∞ →+∞ →+∞
− − + − − −= = ⋅ = ⋅ =+ − 
 
c) 
2 2
2 2
5 3 1 5 5lim lim
4 2 4 4t t
t t t
t t→−∞ →−∞
+ − = =− 
 
 
Exercícios: 1) Calcular os limites: 
 
a) 
4
2
15 40lim
60 0,7z
z
z z→+∞
− +
− − 
b) 
23 13lim 5 p p
p
− + +
→−∞ 
c) ( )20,3lim log 5 200 13t t t→−∞ − + 
d) 
5 3
5
2 5 1lim sen
6 2r
r r
r
π
→−∞
⎛ ⎞− −⎜ ⎟+⎝ ⎠
 e) 
42 3 1,5lim
7x
x x
x→+∞
− − f) 
2
5 2
3 1lim cos
4n
n n
n n→+∞
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
Respostas: )a −∞ ) 0b )c −∞ ) 1/ 2d )e +∞ ) 1f . 
 
2) Mostre que não existe o lim ( )
n
f n→+∞ quando ( ) ( 1)
nf n = − com n∈` . 
 
 
FUNÇÃO INFINITESIMAL. Dizemos que uma função ( )f x é infinitesimal para (resp. )x a x→ →±∞ 
se lim ( ) 0
x a
f x→ = (resp. lim ( ) 0x f x→±∞ = ). 
 
Exemplos: 
a) ( ) xf x e= é infinitesimal quando x →−∞ . b) 1( )g x
x
= é infinitesimal para x →+∞ . 
 
c) 3( ) ( 1)h t t= − é infinitesimal para 1t → . d) 2( ) xf x e−= é infinitesimal quando x →+∞ . 
 
 
FUNÇÃO LIMITADA. Dizemos que uma função 
:f I → \ é limitada em I se existem ,M N ∈\ 
tais que ( )M f x N≤ ≤ , x I∀ ∈ . 
 
 
Dizer que uma função f é limitada significa, 
geometricamente, que o gráfico de f está 
plenamente contido numa “faixa” horizontal. 
X
Y
gráfico de ( )
 
f x
2
N
M
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 22 
Exemplos: a) :[1, )f +∞ → \ , definida por 2
1( )
1
f x
x
= + é limitada em [1, )+∞ , pois 2
1 10
21 x
< ≤+ , 
[1, )x∀ ∈ +∞ logo 10 ( )
2
f x< ≤ . 
 
b) cosy x= e siny x= são limitadas em \ pois, 1 cos 1x− ≤ ≤ e 1 sin 1x− ≤ ≤ , x∀ ∈\ . 
 
c) :f →\ \ , 2( ) xf x e−= é limitada em \ . 
 
d) :f →\ \ , ( ) arctgf x x= é uma função limitada em \ . 
 
 
TEOREMA. Suponha que ( )f x é infinitesimal para x a→ e que ( )g x é uma função limitada num 
intervalo I que contém a . Então [ ]lim ( ) ( ) 0
x a
f x g x→ ⋅ = . 
 
Demonstração. Seja ( )f x é infinitesimal para x a→ , então lim ( ) 0
x a
f x→ = , ou seja, 
0, 0; 0 ( ) 0x a f xε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − < . Assumimos 0N > e podemos tomar (sem perda de 
generalidade) ( )f x
N
ε< . Como ( )g x é uma função limitada no intervalo I ,temos ( )M f x N≤ ≤ , 
x I∀ ∈ . Logo, ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x N
N
ε ε⋅ − = ⋅ = < = , o que significa que 
[ ]lim ( ) ( ) 0
x a
f x g x→ ⋅ = . , 
 
Exercício – Calcule cada limite, justificando sua resposta: 
a) senlim
lnx
x
x→+∞
 b) lim cos(2 1)x
x
xe→−∞ + c) 
35
1
lim ( 1) sen
1t
t
t
π−
→ +
⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
d) 
3
3
2 ( )3
3lim ln cos 35
x x
x
x x x
x
e − +→−∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟+ +⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e) 
3 32 2
sen( 2)lim
2 u
u
u u→−∞
+
+ +
 
 
 
LIMITES FUNDAMENTAIS. Alguns tipos de limites podem ser usados para resolver outros limites, por 
isso são chamados de limites fundamentais. Para estudá-los precisamos do seguinte 
 
TEOREMA DO CONFRONTO (OU DO SANDUÍCHE). Considere ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ , Dom( )x f∀ ∈ . Se 
lim ( ) lim ( )
x a x a
g x h x L→ →= = então lim ( )x a f x L→ = . 
Demonstração. Como lim ( ) lim ( )
x a x a
g x h x L→ →= = temos que 
1 10, 0; 0 ( )x a g x Lε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − < e 
2 20, 0; 0 ( )x a h x Lε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − < . 
Tomemos { }1 2min ,δ δ δ= , como ( )L g x Lε ε− < < + , 
( )L h x Lε ε− < < + e ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ , temos que 
( ) ( ) ( )L g x f x h x Lε ε− < ≤ ≤ < + , ou seja, ( )L f x Lε ε− < < + . 
Logo, ( )f x L ε− < , o que significa lim ( )
x a
f x L→ = . , 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 23 
 
Exemplo: Considere 
2
2
2 3 2 5( )x x xf xx x
− +< < , 0x∀ > . Determine lim ( )
x
f x→+∞ . 
 
 
Limite Fundamental Trigonométrico: 
0
senlim 1θ
θ
θ→ = . 
 
Demonstração. Vamos demonstrar que 
0
senlim 1θ
θ
θ→ = 
utilizando a figura ao lado, onde med( ) tg
med( )
TA
OA
θ= , 
med( ) 1OA = , então med( ) tgTA θ= . Tomemos 0
2
πθ< < . 
Da figura, temos: 
 
área( ) área do setor( ) área( )OAP OAP OATΔ < < 
⇓ 
med( ) med( ) arco raio med( ) med( )
2 2 2
OA QP OA AT⋅ ⋅ ⋅< < 
⇓ 
 
 
1 sen 1 1 tg tg sen 1 1 1
2 2 2 sen sen cos
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
⋅ ⋅ ⋅< < ⇒ < < ⇒ > > . 
 
Assim, 
0 0 0 0
sen 1 senlim 1 lim lim 1 lim 1
cosθ θ θ θ
θ θ
θ θ θ+ + + +→ → → →> > ⇒ > > . Pelo teorema do confronto, temos 
0
senlim 1
θ
θ
θ+→ = . Seguimos a mesma idéia construindo a figura de modo a termos 02
π θ− < < e 
mostrando que 
0
senlim 1
θ
θ
θ−→ = . Assim, 0
senlim 1θ
θ
θ→ = . , 
 
 
 
Ao lado, o gráfico da função senθθ . 
 
 
 
 
Exemplos: a) 
0
sen( )lim kθ
θ
θ→ b) 0
sen( )lim
sen( )x
x
x
α
β→ c) 0
1 coslimϕ
ϕ
ϕ→
− 
 
 
 
Existem algumas indeterminações matemáticas que ainda não apareceram em nossos estudos. Do tipo: 
00 , 1∞ , 0∞ , 0∞ , 0 ⋅∞ . 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IERON 24 
Limites Fundamentais Exponenciais: 
i) lim 1
x
x x
eαα→±∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ , onde α ∈\ . ii) 0
1lim ln
x
x
a a
x→
− = , para 0a > . 
 
Exemplos: a) 2lim 1
x
x x→+∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ b) 
23lim
t
t
t
t
−
→−∞
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ c) 
1lim
1
n
n
n
n→+∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
 
d) 
0
2 1lim
x
x x→
− e) 
0
ln(1 )lim
z
z
z→
+ f) 
( )
0
1lim
b a x
x x
e −
→
− com b a≠ . 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES 
 
Retas assíntotas 
 
1. Dizemos que a reta y k= , k∈\ é uma assíntota 
horizontal do gráfico de ( )f x se uma das condições é 
satisfeita: 
lim ( )
x
f x k−∞→ = ou lim ( )x f x k+∞→ = . 
 
Exemplo: Ao lado, o gráfico de ( ) 3 sin(4 ) 1,5xf x xe−= + e 
sua reta assíntota horizontal 1,5y = . 
 
 
Observe que, neste exemplo, a reta assíntota intercepta o 
gráfico da função em vários pontos. 
x
y
 gráfico de
( ) 3 sin(4 ) 1,5xf x xe−= +
 1,5y =
 
 
Exercício – Determine, se houver, retas assíntotas horizontais do gráfico de cada função: 
a) 3( ) 2f x x x= − b) ( ) tanhg x x= c) 
2
2
7 1( )
3 4
xh x
x x
−= + 
 
 
2. Dizemos que a reta 0x x= é uma assíntota vertical do 
gráfico de ( )f x se uma das condições é satisfeita: 
 
0
lim ( )
x x
f x−→ = ±∞ ou 
0
lim ( )
x x
f x+→
= ±∞ . 
 
Exemplo: Ao lado, o gráfico de 1( ) 1
1
f x
x
= + − , uma 
assíntota vertical 1x = e uma assíntota horizontal 1y = . 
 
x
y gráfico de
1( ) 1 1f x x= + −
 1x← =
 1y =
2
 
 
Exercício – Determine, se houver, retas assíntotas verticais do gráfico de cada função: 
a) 2 5( ) 5f x x x= − b) 2
3( )
2
xg x
x
= − c) 
2
3
1( )
3 4
x xh x
x x
− += − d) ( )1( ) 1 tf t t−= + 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 25 
Observação. Está claro então que assíntotas verticais envolvem limites infinitos enquanto assíntotas 
horizontais envolvem limites no infinito. Existem também as assíntotas oblíquas. 
 
 
3. Dizemos que a reta y ax b= + é uma assíntota oblíqua do 
gráfico de ( )f x se [ ]lim ( ) 0
x
f x y±∞→ − = . Desse modo, temos 
que: 
( )lim
x
f xa
x→±∞
= e [ ]lim ( )
x
b f x ax→±∞= − . 
 
Se o coeficiente 0a = , não existe assíntota oblíqua. 
 
Exemplo: Ao lado: o gráfico de 
22 3( )
7 4
xf x
x
−= + , 
4
7
x −= 
uma assíntota vertical e 14 8
49
xy −= uma assíntota oblíqua. 
x
y
 4
7x
−= →
 
2
 gráfico de
2 3( ) 7 4
xf x x
−= +
 
 
14 8
49
xy −=
2
 
 
 
Exercícios – Determine, se houver, todas as retas assíntotas do gráfico de cada função: 
a) 2 6( ) 3f t t t= + b) 
2
( )
2
xg x
x
= − c) 
2
2
1( )
3 4
x xh x
x x
− += − d) ( )
tf t t e−= + 
e) 
22 7 1
2
x xy
x
− += − f) 
3 2 2 2 0y x y y− + + = (sugestão: “isole” x ) 
 
 
Derivada de uma função num ponto. Sabe-se que, se existir 
0
0
0
( ) ( )lim
x x
f x f x
x x→
−
− (finito), então 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
x x
f x f xf x
x x→
−′ = − onde 0( )f x′ significa a derivada da função f no ponto de abscissa 0x . 
 
Exercícios – Baseando-se neste conhecimento, determine o que se pede em cada ítem: 
 
a) (3)f ′ para 2( ) 2 1f x x x= + − . b) (0)g′ para ( )g x x= . 
 
c) ( )h a′ para 2( ) 1h t t= + . d) Mostre que (0)f ′∃/ quando 3( )f z z= . 
 
e) Considere ( ) log
a
xf x = , 0 1a< ≠ e 0 0x > . Mostre que 0
0
1( )
ln
f x
x a
′ = . 
 
f) Considere a função ( ) senf x x= e 0x ∈\ . Mostre que 0 0( ) cosf x x′ = . 
 
Respostas: ) 3a ) (0)b g′∃/ 
2
) ( )
1
ac h a
a
′ =
+
. 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 26 
Convergência de uma série infinita. Uma série numérica infinita é uma expressão que pode ser 
escrita na forma 1 2 3
1
n n
n
a a a a a
+∞
=
= + + + + +∑ " " . 
Seja nS a soma dos n primeiros termos da série. Veja ao 
lado. 
Dizemos que 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge se lim nn S L→+∞ = (um número), 
caso contrário, a série ∑∞
=1n
na diverge. 
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3 1
 
n n n n
S a
S a a
S a a a
S a a a a S a−
=
= +
= + +
= + + + + = +
#
"
 
 
Exemplo: 
1
1 1 1 1 1 1
( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6n n n
+∞
=
= + + + + ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ " . Assim, 
 
1 1
2 1 2
3 1 2 3
4 3 4
1
2
1 1 2
2 6 3
2 1 3
3 12 4
3 1 4
4 20 5
 
1n
S a
S a a
S a a a
S S a
nS
n
= =
= + = + =
= + + = + =
= + = + =
= +
#
 
Com a “fórmula” 
1n
nS
n
= + podemos calcular a soma de uma 
quantidade qualquer de termos da série, por exemplo, a soma dos 
100 primeiros termos é dada por 100
100 100 0,9901
100 1 101
S = = ≈+ . 
 
Como queremos a soma dos infinitos termos, ou seja, n = ∞ , temos 
lim lim 1
1nn n
nS S
n∞ →+∞ →+∞
= = =+ . 
Isto significa que 
1
1 1 1 1 1 1
( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5n n n
+∞
=
= + + + + =+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ " . 
 
Exercícios: 1 – Para cada série dada, determine os seis primeiros termos da série, uma expressão para 
nS e verifique se a série converge ou diverge. 
b) 
1
1
(2 1)(2 1)n n n
+∞
= − +∑ c) 1ln 1n
n
n
+∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ d) 1[1 ( 1) ]
n
n
+∞
=
+ −∑ 
 
2 – Suponha uma série do tipo 1 2 3
1
n
n
a r a ar ar ar
+∞ −
=
⋅ = + + + +∑ " , onde 0 ,a r≠ ∈\ . Este tipo de série 
recebe o nome de série geométrica (por quê ?). Mostre que 1
1
n
n
rS a
r
−= − e que lim 1nn
aS
r→+∞
= − 
quando 1r < . 
 
3 – Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a 
quicar ao atingir o solo, como indica a figura ao lado. A altura 
máxima atingida pela bola após cada batida no solo é igual a 
três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a 
distância vertical total percorrida pela bola até parar. 
 
Sugestão: Utilize série geométrica. 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 27 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – LIMITE DE FUNÇÕES 
 
 
Esboços de gráficos de funções elementares, limites, limites laterais e continuidade. 
 
1. Esboce o gráfico das funções abaixo, determine ( )lim
x a
f x−→ , ( )limx a f x+→ e, caso exista, ( )limx a f x→ . 
a) ( ) ( )
3 2, 1
2, 1 1
4 1, 1
x x
f x x a
x x
− >⎧⎪= = =⎨⎪ + <⎩
 b) ( ) ( )
2 1, 1 e 2
1, 2 2
1 , 1
x x x
f x x a
x x
⎧ − ≥ ≠⎪= = =⎨⎪ − <⎩
 
c) ( ) ( )2 , 0 0
, 0
x x xf x a
x x
⎧ − ≥⎪= =⎨− <⎪⎩
 d) ( ) ( )2 22
xf x a
x
+= = −+ 
 
2 – Considere a função de domínio \ , 
definida por 
2 , 1 
( ) 1 , 1 1
log , 1
x x
f x x x
x x
⎧ < −⎪= − + − ≤ <⎨⎪ ≥⎩
. 
2.1) Esboce o gráfico de f . 
 
2.2) Determine: a) )(lim
 
xf
x ∞−→
 b) )(lim
 
xf
x ∞+→
 
c) )(lim
1 
xf
x −→
 d) )(lim
0 
xf
x→
 e) )(lim
1 
xf
x→
. 
 
 
3. Determine, se possível, a∈\ para que exista 
0
lim ( )
x x
f x→ , sendo: 
a) ( ) ( )0
3 2, 1
3, 1 1
5 , 1
x x
f x x x
ax x
− > −⎧⎪= = − = −⎨⎪ − < −⎩
 b) ( ) ( )( ) ( )012 4 2 , 2 2
, 2
x x x
f x x
a x
−⎧ − − ≠⎪= =⎨ =⎪⎩
 
 
 
4. Considere as funções dos itens a), b) e c) do exercício 1. Verifique se f é contínua em ax = . 
Justifique. 
 
 
5. Potencial. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é dado por 
( )
( )
2 2
2 2
2 se 0
( )
2 se 0
x a x x
x
x a x x
πσ
φ
πσ
⎧ + − ≥⎪= ⎨⎪ + + <⎩
 onde, , 0a σ > são constantes. A função φ é contínua ? 
 
 
6. Determine, se possível, as constantes e a b∈\ de modoque f seja contínua em 0x , sendo: 
 
a) ( ) ( )2 03 2, 1 12, 1
ax xf x x
x x
⎧ + <⎪= =⎨ − ≥⎪⎩
 b) ( ) ( )2 02 2, 1 1, 1
bx x
f x x
b x
⎧ + ≠⎪= =⎨ =⎪⎩
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 28 
c) ( ) ( )0
2
3 3, 3
, 3 3
1, 3
x x
f x ax x x
bx x
⎧ − > −⎪= = − = −⎨⎪ + < −⎩
 d) ( )
( )
( )0
2
2 .cos 1, 0
7 3 , 0 0
2 , 0
a x x
f x x a x x
b x x
π⎧ + + <⎪= − = =⎨⎪ − >⎩
 
 
 
7. Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas: ( )Dom f = \ , 
( )
0
lim 1
x
f x→ = , ( )1lim 0x f x→ = mas f é descontínua em 1 e 0 == xx . 
 
 
8. Para cada um dos seguintes itens, exiba o esboço gráfico de uma função que satisfaz às condições: 
 
a) Lxf
ax
=
→
)(lim
 
 e ).( fDa∉ 
b) f é contínua em \ , ∞+=
∞−→
 )(lim
 
xf
x
 e 0)(lim
 
=
∞+→
xf
x
. 
c) ∞−=
−→
 )(lim
 
xf
ax
, 0)(lim
 
>=
+→
Lxf
ax
 e 0)( <af . 
d) f de domínio \ que seja descontínua em dois pontos. 
 
9. Seja 
3
( ) sen( ) 3
4
xf x xπ= − + . A função f atinge o valor 7
3
 no intervalo [ ]2, 2− ? Justifique sua 
resposta. 
 
10. Seja [ ] [ ]: 0,1 0,1f → contínua. Mostre que existe [ ]0 0,1x ∈ tal que 0 0( )f x x= . Note que isto 
significa que o gráfico da função f , obrigatoriamente, “corta” a primeira bissetriz. 
 
 
11. Função sinal. A função sinal de x é definida por 
1 se 0
sgn( ) 0 se 0
1 se 0
x
x x
x
>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩
 
Verifique se ( ) sgn( )f x x= e ( ) sgn( )G x x x= são funções 
contínuas. 
x
y gráfico de sgn( )x
 1
 1−
 0
 
 
 
12. Suponha que existe um conjunto (intervalo) ( ),a r a r− + ⊆ \ e um número real 0M > tal que 
satisfaz a condição: ( ) ( )f x f a M x a− ≤ − , para todo ( ),x a r a r∈ − + . Mostre que f é contínua em 
x a= . 
 
 
13. Suponha que ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + para todos os ,x y∈\ e que f é contínua em 0 . Mostre 
que f é contínua a∀ ∈\ . 
 
 
14. Calcule os limites a seguir: 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 29 
a) ( )5 4 2
1
lim 3 12
x
x x x→− − − + b) 
2
3
4
lim
4 2x
x xx→
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 c) 
2
1
1lim tg
1x
x
x→−
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
d) ( )3
1
lim 2 4x
x
x→ − e) 
2
senlim
1 cosx
x 
xπ→ +
 f) ( )
3 5
cos1
3lim
2
x
xx π
+
→− 
g) 
2
2
9lim
2x
x
x→
−
+ 
h) 
1
5lim
2x
x
x−→
− i) 
2
1
2 1lim
10x
x
x→−
−
+ 
j) ( )2
0
lim 3 sgn 1 1
x
x x→
⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ k) ( )2 22lim 5 sgn 1 1x x x→ ⎡ ⎤+ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
Limites infinitos e limites no infinito 
 
15. Calcule ( )lim
x
f x→−∞ e ( )limx f x→+∞ para as funções do exercício 1. 
 
 
16. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: (Obs.: Use o Winplot para 
visualizar os gráficos) 
 
a) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+−
≤≤−
−<+
=
1 3
12
2 124
2
2
x,x
x,x
x,x
xf 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2
2 2
lim , lim , lim , lim , lim , 
lim , lim , lim
x x x x x
x x x
f x f x f x f x f x
 f x f x f x
− + −
+
→−∞ → → → →−
→− →− →+∞
 
Intervalos onde f é contínua. 
 
b) ( ) ( )1 2 , 01 , 0
x x
f x
x
x
⎧ >⎪= ⎨ <⎪⎩
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 1
1
lim , lim , lim , lim , lim ,
 lim , lim
x x x x x
x x
f x f x f x f x f x
 f x f x
− +→−∞ → → → →
→− →+∞
 
 
 
c) ( )
1 2log , 0
0, 0
1 , 0
x x
f x x
x x
⎧ >⎪⎪= =⎨⎪− <⎪⎩
 
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
lim , lim , lim , lim
x x x x
f x f x f x f x→−∞ →+∞ → → 
 
Estude a continuidade de f em 0=x . 
 
 
17. Campo elétrico. Uma esfera de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A 
intensidade de um campo elétrico ( )E E x= num ponto P localizado a x unidades do centro da esfera 
é determinada pela função dada abaixo. Verifique se a função E contínua e esboce seu gráfico. 
 
2
2
0 se 0
1( ) se 
3
 se 
x R
E x x R
x
x x R−
⎧ < <⎪⎪= =⎨⎪⎪ >⎩
 
x
y
 
2
1
3R
 0 R
 
2
1
R
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 30 
18. Função de Heaviside. A função de Heaviside é utilizada no 
estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de 
corrente elétrica ou de voltagem quando uma chave é 
instantaneamente ligada e, é definida por 
 
0 se 0
( )
1 se 0
t
H t
t
<⎧= ⎨ ≥⎩ 
x
y
 1
 0
 
a) Discuta a continuidade de 2( ) ( 1)f t H t= + e de ( )( ) sen( )g t H tπ= . Esboce os respectivos 
gráficos no intervalo [ 4,4]− ; 
 
b) A função ( ) ( )R t ct H t= ⋅ ( 0)c > é chamada rampa e representa o crescimento gradual na 
voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de R e esboce o gráfico 
para 1, 2, 3.c = 
 
 
Limites do tipo 0/0 envolvendo fatorações 
 
19. Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
2
22
4lim
2x
x
x x→
−
− b) 
2
22
2 8lim
3 4 4x
x
x x→
−
− − c) 
2
31
2 1lim
1x
x x
x→
− +
− 
 
d) 
2
31 2
2 3 2lim
8 1x
x x
x→
+ −
− e) 
3
2
8lim
2x
x
x→
−
− f) 
2
22
4lim
3 4 4x
x
x x→−
−
+ − 
 
g) 
2 2
2 2lim 03 2x a
x a a
x ax a→
− ≠− − h) 
( )2
3 3
1
lim 0
x a
x a x a
a
x a→
− + + ≠− i) 
3
62
3 24lim log
2x
x
x→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
j) ( ) ( ) 13
2
lim en 8 2
x
s x xπ −→ ⎡ ⎤− ⋅ −⎣ ⎦ l) ( )( )
14 316 8
2
lim 2 x x
x
−− −
→ m) 
3
25
2 250lim
6 5x
x
x x→
−
− + 
 
 
Limites do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais 
 
20. Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
1
1lim
1x
x
x→
−
− b) 0
1 1lim
3x
x x
x→
+ − − c) 
2
1
1lim
2x
x
x x→−
−
+ + d) 31
2 3lim
1x
x
x→
+ −
− 
 
e) 
4
3 5lim
1 5x
x
x→
− +
− − f) 4
2lim
4x
x
x+→
−
− g) 4
3 5lim
2x
x x
x→
− − −
− h) 364
8lim
4x
x
x→
−
− 
 
i) lim , 0
x a
x a a
x a→
− >− j) 27
2 3lim
49x
x
x→
− −
− l) 2
2 2lim
4 2x
x
x→
+ −
− + 
m) 
2 2
lim ; 0
x a
x a x a a
x a→
− + − >
−
 
 
 
Limites do tipo k/0, onde k é constante e k≠0 
 
21. Calcule os seguintes limites: 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 31 
 
a) 
2
0
1lim
senx
x
x→
+ b) 20
1lim senh
x
x
x+→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 c) ( )
2
25
2 3lim
5x
x
x→
+
− 
d) 21
5lim
5 4x
x
x x→
+
− + 
 
e) 
2
5 4lim
2x
x
x→
−
− f) 
( )
0
cos 3
lim
x
x
x→
 g) 
0
coslim
senx
x
x x→ ⋅ h) 3
3 11lim
3x
x
x→
−
− 
 
 
22. Verifique, justificando, se f é contínua em oxx = . 
 
a) ( ) ( )( ) ( )13 0125 5 , 5 5
75, 5
x x x
f x x
x
−⎧ − − ≠⎪= =⎨ =⎪⎩
 b) ( ) ( ) ( )1 03 12 4 , 4 4
4, 4
x x xf x x
x
−⎧ + ⋅ + ≠ −⎪= = −⎨ = −⎪⎩
 
 
23. Calcule as constantes de modo que: 
 
a) 
2
lim 4
x b
x a
x b→
− =− b) 
2
3
lim 5
3x
x ax b
x→
− + =− c) 
3lim 5
1x
bxax
x→+∞
+⎡ ⎤− =⎢ ⎥+⎣ ⎦ 
 
d) ( ) ( )
2
lim 3 e lim 1
x x
f x f x→+∞ →−= = sendo ( ) ( )
3 2
24 2
ax bx cx df x
x x
+ + += + − 
 
24. Sabe-se que 31
( )lim 4
1x
f x
x→
=− e 21
( )lim 6
1x
g x
x→
= −− . Mostre que 1
( )lim 1
( )x
f x
g x→
= − . 
 
 25. Sabendo que 
2
( 2)lim 8
2 2x
f x
x−→
+ =− − e 22
( 2)lim 3
4x
g x
x−→
+ =− . Mostre que 0
( ) 1lim
( ) 3x
f x
g x→
= . 
 
 
26. Contração de Lorentz.Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento de um objeto 
é função de sua velocidade: 
2
0 2( ) 1
vL v L
c
= − , onde 0L é o comprimento do objeto em repouso e c é 
a velocidade da luz. A velocidade da luz é de aproximadamente 830 10 m/s⋅ . Da teoria da relatividade 
é conhecido que nenhum objeto pode ir além da velocidade da luz; logo v c−→ ; lim ( ) 0
v c
L v−→ = . Isto 
significa que para um observador parado o objeto desaparece. 
 
 
27. Massa relativística. Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua 
velocidade: 
1
22
0 2( ) 1
vM v m
c
−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Onde 0m é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. Logo, lim ( )v c
M v−→ = +∞ , em 
outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em relação à sua massa 
inicial 0m . 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 32 
 
Indeterminações do tipo ∞ ∞ 
 
28. Calcule os limites a seguir: 
 
a) 
2
3 2
2 4 25lim
18 9x
x x
x x→+∞
− −
− b) 
( )( )
( )( )( )
3 2 5
lim
1 3 4 2x
x x x
x x x→−∞
− +
− + − c) 
2
2
2lim sen
12 4x
x x
x x
π
→+∞
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
d) 
2
4
2 3 4lim
1x
x x
x→+∞
− −
+ 
e) ( )( )
11 3 2lim 2 x x
x
−− −
→−∞ f) 
( ) 13 2 11lim
x x
x π
−−
→+∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
g) ( ) ( )3 31 2 1 2lim log 2 log 2x x x x x→+∞ ⎡ ⎤− − +⎣ ⎦ h) ( )lim ln 2 ln 3 1xx x→+∞ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦ i) 2 33 23 5 9lim 5 9 9x x x xx x→+∞ − −+ − 
 
j) ( 2)! ( 1)!lim
( 3)!n
n n
n→+∞
+ + +
+ k) ( )2
1lim 1 2 3
n
n
n→+∞
⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦" l) 
4 4
4 4
(2 1) ( 1)lim
(2 1) ( 1)n
n n
n n→+∞
+ − −
+ + − 
 
m) 1 2 3lim
2 2n
n n
n→+∞
+ + + +⎡ ⎤−⎢ ⎥+⎣ ⎦
" n) 
2 2 2
3
1 2 3lim
n
n
n→+∞
+ + + +" o) ( )limx x x x x→+∞ + − − 
 
 
Indeterminações do tipo ∞−∞+ 
 
29. Calcule os limites a seguir: 
 
a) ( )lim 2
x
x x→+∞ + − b) ( )lim 3t t t→+∞ − − c) ( )2lim 2x x x→+∞ + − d) ( )2lim 4x x x x→+∞ + − 
 
 
Limites envolvendo funções limitadas 
 
30. Calcule os limites a seguir: 
 
a) 
0
1lim sen
x
x
x→
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b) 
senlim
x
x
x→+∞
 c) lim sen
x
x
xe→−∞ 
 
d) 3 2
0
lim 4 cos( )
x
x
ex x
x+
−
→
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤− +⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
 e) ( )372 5lim cos ln1 3x
x x
x→+∞
+
− f) 
3cos 2lim
2
x
xx
x
→+∞
+ 
 
 
Limites envolvendo o limite fundamental trigonométrico 
 
31. Calcule os seguintes limites: 
 
a) ( )
0
sen 7
lim
x
x
x→
 b) ( )
0
tg 3
lim
2x
x
x→
 c) 20
1 coslim
x
x
x→
− 
 
d) 20
1 seclim
x
x
x→
− e) 
0
1 coslim
senx
x
x x→
− f) 
2
20
7 7 coslim
3x
x
x→
− 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 33 
g) senlim
x
x
xπ π→ − h) 0
1 sen 1 senlim
x
x x
x→
+ − − i) ( ) ( )
0
sen sen
lim
x
x a a
x→
+ −
 
j) 
0
tglim
tgx
x x
x x→
−
+ k) 
2
20
tglim
secx
x
x x→
 l) 0
1 cos(1 cos )lim
x
x
x→
− − 
 
m) 
0
arcsenlim
x
x
x→
 n) 
0
arctglim
x
x
x→
 
 
 
 
Limite fundamental exponencial 
 
32. Calcule os seguintes limites: 
 
a) 2lim 1
x
x
x→−∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ b) 
3lim 1
x
x
x→−∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ c) 
31lim 1
x
x
x→+∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ d) 
1lim 1
x
x
x→+∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
e) lim
x
xx a
x a→+∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ f) 0
1lim , 0
x
xa a
x→
− > . g) 
0
lim , 0
h x h
x
a a a
x
+
→
− > . h) 
2
0
1lim
x
x
x
e
→
− 
 
i) 
3
0
1lim
x
x
e
x→
− j) 20
3 1lim
x
x x→
− k) 
0
lim ; , 0
sen( ) sen( )
ax bx
x
a b
ax bx
e e
→
− ≠− 
l) lim , 1
x x
x xx
a a a
a a
−
−→+∞
⎡ ⎤− >⎢ ⎥+⎣ ⎦
 
 
 
33. Calcule as constantes de modo que: 
 
a) 
1
3 1lim
1 6x
b x a
x→
+ − =− 
 
b) 
2
1
2 8 2lim
1 3x
x b
x→−
+ − = −+ 
c) ( )
2 9 , 3
3
, 3
3 1, 3
x ax x
x
f x bx x
x x
⎧ − + < −⎪ −⎪⎪= = −⎨⎪ + > −⎪⎪⎩
 seja contínua em 0 3x = − . 
 
d) 2lim 1 0
x
x x ax b→+∞
⎡ ⎤− + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦ e) 
3
2
2
1lim 2 0
1x
x x ax
x→+∞
⎡ ⎤+ + + − =⎢ ⎥+⎣ ⎦
 
 
34. Verifique se f é contínua em 0x : 
a) ( ) ( )
3
0
1 1, 0 0
3, 0
x xf x xx
x
⎧ + − ≠⎪= =⎨⎪ =⎩
 b) ( ) ( )0
2 , 4
4 4
233 , 4
4
x x
xf x x
x x
⎧ − >⎪⎪ −= =⎨⎪ − ≤⎪⎩
 
 
 
35. Estude a continuidade da função f 
definida abaixo em \ , justificando. 
 ( )
3
2 , 2 e 13 2
2, 1
10, 5
ln 5 , 2 e 5
x x x x
x x
xf x
x
x x x x
⎧ − < ≠⎪ − +⎪⎪− == ⎨⎪ =⎪ − ≥ ≠⎪⎩
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 34 
36. Fractal de Koch. A Curva de Koch (floco de neve) é obtida em estágios pelo processo seguinte: 
 
i) no estágio 0, ela é um triangulo equilátero de lado 1 ; 
ii) o estágio 1n + é obtido a partir do estágio n , dividindo cada lado em três partes iguais, construindo 
externamente sobre a parte central um triangulo eqüilátero e suprimindo então a parte central (veja na 
figura). 
 
Denote por nA a área compreendida pela linha poligonal após n passos; logo, 0
3
4
A = , 1 33A = , 
2
10 3
27
A = , em geral 3 3 41 1
4 5 9
n
nA
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
 para 0n ≥ . Então, 2 3lim
5nn
A A+∞ →+∞= = . O que 
significa o resultado deste limite ? 
 
Agora, denote por nP o perímetro da linha poligonal após n passos. Logo, 0 3P = , 1 4P = , 2 163P = , 
em geral, 43
3
n
nP
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , 0n ≥ . Então, lim nnP P+∞ →+∞= = +∞ . O que significa este resultado ? 
 
 
37. Paradoxo de Zenão. Na Grécia Clássica, foi travada uma disputa entre Aquiles e uma tartaruga, 
sob o júdice do sofista Zenão. Era conhecida a lentidão da tartaruga, de modo que enquanto Aquiles 
corria 1 m, a tartaruga percorria apenas 110 m. Zenão afirmava categoricamente naquela época, que se 
a tartaruga largasse 1m na frente de Aquiles, ele nunca a ultrapassaria e seu argumento foi o seguinte: 
enquanto Aquiles percorria 1 m, a tartaruga percorrerá 10 cm, de modo que a sua liderança é 
indiscutível. Quando Aquiles vencer os 10 cm que a tartaruga já percorreu, esta por sua vez, estará a 1 
cm a sua frente, e assim por diante. É óbvio que nenhuma tartaruga ganhou do maior corredor grego 
da antiguidade. Porém ninguém conseguiu refutar Zenão satisfatoriamente. Então: 
 
a) Encontre as funções que determinam a distancia percorrida por Aquiles e pela tartaruga, 
respectivamente, em função do tempo. 
 
b) Explique porque Aquiles ultrapassa a tartaruga, refutando o argumento de Zenão, utilizando o 
conceito de limites, que não era conhecido na naquela época. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 35 
DEFINIÇÕES E GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS. Utilizando as funções exponencial e 
logaritmo natural podemos definir outras funções. As funções trigonométricas hiperbólicas utilizam 
apenas a exponencial em suas definições. As inversas das funções trigonométricas hiperbólicas 
utilizam o logaritmo. 
 
As funções trigonométricas hiperbólicas são definidas por: 
 
cosh
2
x x
y x e e
−+= = senh
2
x x
y x e e
−−= = senhtgh
cosh
x x
x x
xy x
x
e e
e e
−
−
−= = = + 
coshcotgh
senh
x x
x x
xy x
x
e e
e e
−
−
+= = = − 
1 2sech
cosh x x
y x
x e e−
= = = +1 2cosech
senh x x
y x
x e e−
= = = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
arcsenhy x= 
 
 
 
Algumas relações fundamentais entre funções hiperbólicas. 
 
1. 2 2cosh senh 1x x− = 2. 2 21 sech tghx x− = 3. 2 2cotgh 1 cosechx x− = 
 
4. senh( ) senh cosh cosh senhx y x y x y+ = ⋅ + ⋅ 5. cosh( ) cosh cosh senh senhx y x y x y+ = ⋅ + ⋅ 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 36 
6. senh(2 ) 2senh coshx x y= ⋅ 7. 2 2cosh(2 ) cosh senhx x x= + 
 
8. 2 cosh(2 ) 1cosh ( )
2
xx += 9. 2 cosh(2 ) 1senh ( )
2
xx −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 37 
 
 
 
Tabela de indeterminações matemáticas 
 
 
 lim ( )f x = lim ( )g x = ( )h x = lim ( )h x Simbolicamente 
 
01 ∞± ∞± f (x) + g (x) ∞± ±∞=∞±∞± 
02 ∞+ ∞+ f (x) - g (x) ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação. 
03 ∞+ K f (x) + g (x) ∞+ +∞=+∞+ k 
04 ∞− K f (x) + g (x) ∞− −∞=+∞− k 
05 ∞+ ∞+ f (x) . g (x) ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+ 
06 ∞+ ∞− f (x) . g (x) ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+ 
07 ∞+ k > 0 f (x) . g (x) ∞+ ( ) 0, >+∞=⋅∞+ kk 
08 ∞+ k < 0 f (x) . g (x) ∞− ( ) 0, <−∞=⋅∞+ kk 
09 ∞± 0 f (x) . g (x) ? 0⋅∞± é indeterminação. 
10 k ∞± f (x) / g (x) 0 0/ =∞±k 
11 ∞± ∞± f (x) / g (x) ? ∞±∞± / é indeterminação. 
12 k > 0 0+ f (x) / g (x) ∞+ 0,0/ >+∞=+ kk 
13 ∞+ 0+ f (x) / g (x) ∞+ +∞=∞+ +0/ 
14 k > 0 0- f (x) / g (x) ∞− 0,0/ >−∞=− kk 
15 ∞+ 0- f (x) / g (x) ∞− −∞=∞+ −0/ 
16 0 0 f (x) / g (x) ? 0
0
 é indeterminação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 38 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
1) a) ( ) ( )lim , lim
x x
f x f x
→ →− +
= =
1 1
5 1 , não existe 
( )lim
x
f x→1 
 
b) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x x x
f x f x f x
→ → →− +
= = =
2 2 2
3 
 
 
 
c) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x x x
f x f x f x
→ → →− +
= = =
0 0 0
0 
 
 
d) ( ) ( )lim , lim
x x
f x f x
→− →−− +
= − =
2 2
1 1 , não existe 
( )lim
x
f x→−2 . 
 
 
2.1) 
2.2) a) +∞ , b) +∞ , c) ∃ , d) 1, e) 0. 
 
3) a) –10 b) ( )lim
x
f x→2 existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real 
qualquer. 
 
4) a) Não é contínua em x = 1 pois não existe ( )lim
x
f x→1 . b) Não é contínua em x = 2 pois 
( ) ( )lim
x
f x f→ ≠2 2 . 
 c) É contínua em zero pois ( ) ( )lim
x
f x f→ = =0 0 0 . 
5) 
6) a) a = −1 . b) b b= − =1 2 ou . c) a b= = −4 13 9 e d) 3 e 1 =−= ba 
 
7) 
 
8) 
 
9) Note que a função é contínua e observe seu conjunto imagem. 
 
10) Utilize a função [ ] [ ]: 0,1 0,1g → definida por ( ) ( )g x f x x= − e os teoremas de continuidade. 
 
11) 
 
12) Utilize a definição formal de continuidade em um ponto. 
 
13) 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 39 
14) 
 
15) a) − ∞ ∞, + b) ∞∞+ +, c) + ∞ ∞, + d) -1, 1 
 
16) a) 
 
b) 
 
c) 
 
 a) ,,, 2 1 ∞− não existe, { }4, 4, 4, , 1−∞ −\ . 
 b) 0 1, , , − ∞ não existe, 1 2 1 0, , − . 
 c) 0 0, , , − ∞ + ∞ , não é contínua em zero porque 
0
lim ( ) (0)
x
f x f→ ≠ . 
 
17) 
 
18) 
 
19) 
 
20) 
 
21). a) Não existe pois lim
senx
x
x→ −
+ = −∞
0
2 1 e lim
senx
x
x→ +
+ = +∞
0
2 1 . b) −∞ c) +∞ 
 d) Não existe pois lim
x
x
x x→ −
−
− + = +∞1 2
5
5 4
 e lim
x
x
x x→ +
−
− + = −∞1 2
5
5 4
 . e) +∞ 
 f) Não existe pois lim cos
x
x
x→ −
= −∞
0
3 e lim cos
x
x
x→ +
= +∞
0
3 . g) +∞ 
 h) Não existe pois +∞=−
−
−→ 3x
11x3lim
3x
 e −∞=−
−
+→ 3x
11x3lim
3x
 . 
 
22) a) é contínua. b) f não é contínua em xo = −4 pois não existe ( )limx f x→−4 . 
 
23) a) a b= =4 2, b) a b= = −1 6, c) a b= = −0 5, d) a b c d= = = =0 12 36 24, , , 
 
24) 
 
25) 
 
26) 
 
27) 
 
28) a) 0 b) - 2/3 c) 2 2 d) 0 e) 502 ,− f) 0 g) –1 h) −∞ i) -1 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 40 
 
29) a) 0 b) 0 c) 0 d) 2 
 
30) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞+ e) 0 f) 1 
 
31) a) 7 b) 3/2 c) ½ d) -1/2 e) 1/2 f) 7/3 g) -1 h) 1 i) cos(a) 
 
32) a) e2 b) e-3 c) e3 d) 1/e e) e2a f) ln(a) g) ah.ln(a) 
 
33) a) a b= =4 3 2 3, b) b = 6 c) a b= =10 8 3, 
 
34) a) f não é contínua em 0xo = . b) f não é contínua em 4xo = . 
 
35) f é contínua { }2,5x∀ ∈ −\ . 
 
36) 
 
37) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 41 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
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