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MATERIAL DIDÁTICO 
 
Parte II 
 
Estatística Experimental – Medicina Veterinária 
 
 
Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias 
 
Campus de Jaboticabal – SP 
 
 
Gener Tadeu Pereira 
2º SEMESTRE DE 2017 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
AULA 7 DELINEAMENTO QUADRADO LATINO (DQL). 123 
7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL  138 
AULA 8 EXPERIMENTOS FATORIAIS 140 
8º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL  152 
AULA 9 EXPERIMENTOS FATORIAIS: ANALISANDO UM FATORIAL A X B 158 
9º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL                     170 
AULA 10 EXPERIMENTOS EM PARCELA SUBDIVIDIDA 172 
10º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL  184 
AULA 11 EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - ANÁLISE DE MEDIDAS 
REPETIDAS NO TEMPO. 186 
AULA 12 TRANSFORMAÇÃO DE DADOS 190 
 
 
123 
 
Estatística Experimental 
 
Aula 7 Delineamento Quadrado Latino (DQL). 
1 Introdução 
No delineamento Quadrado Latino os tratamentos são designados aos 
blocos de duas maneiras diferentes, geralmente designados por colunas e 
linhas. Cada coluna e cada linha é um bloco completo de todos os tratamentos. 
Portanto, em um DQL, três fontes de variação explicáveis são identificáveis: 
linhas, colunas e tratamentos. Um particular tratamento é designado somente 
uma vez em cada linha e cada coluna. Geralmente um dos blocos corresponde 
aos animais e o outro ao período. Cada animal receberá todos os tratamentos 
em diferentes períodos. O número de tratamentos (k) é igual ao número de 
linhas e colunas. O número total de observações é igual k2. Se os tratamentos 
são designados por letras maiúsculas (A, B, C e D, etc.), então exemplos de 
Quadrados Latinos 3 x 3 e 4 x 4 são: 
A C B C A B A B D C C D B A 
B A C A B C C A B D D B A C 
C B A B C A B D C A B A C D 
 D C A B A C D B 
Considere a seguinte situação (baseado em VIEIRA, 2006, pág. 18): Um 
veterinário pretende comparar o efeito de três drogas no combate a uma 
doença em suínos. Os animais disponíveis são, no entanto, diferentes em 
raças e em pesos. Para fazer o experimento, o veterinário deve, primeiro 
organizar blocos de animais de mesma raça (em coluna) e depois organizar em 
peso (em linha). Na Figura abaixo: a raça está representada pela tonalidade da 
cor preta e o peso pelo tamanho. Então foram construídos blocos em “colunas” 
e “linhas” 
 
Construído o quadrado latino, sorteiam-se os tratamentos, mas cada 
tratamento só deve aparecer uma vez em cada “coluna” e uma vez em cada 
“linha”. Assim o sorteio dos tratamentos tem duas restrições: “dentro” de linhas 
e dentro de “colunas” 
 
Os DQL não são comuns na prática devido às restrições do 
delineamento. Notem, por exemplo, que linhas, colunas e tratamentos são, 
necessariamente, iguais em números. Mais ainda, o nº de observações é igual 
ao quadrado do nº de tratamentos. 
Considere este outro exemplo, extraído de Rao, P.V. Statistical research 
methods in the life science, pg 727: Em um estudo para comparar as 
124 
 
Estatística Experimental 
tolerâncias de gatos a quatro substâncias cardíacas (A, B, C, D) foi conduzida 
utilizando-se um DQL, no qual as linhas representavam quatro combinações de 
dois períodos (A.M. , P.M.) e duas técnicas (I e II) e as colunas representam os 
dias nos quais as medidas foram feitas. A cada um dos 16 gatos foi 
administrada uma substância cardíaca a uma taxa fixada e a dose (taxa de 
infusão x tempo) na qual o efeito especificado foi observado foi anotado. 
Abaixo temos que mostra as respostas medidas em 10log(dose em μg). 
 
 
 1 2 3 4 
..iY iY 
I,AM ︶︵11 DY 
3,26 
︶︵12 BY 
4,15 
︶︵13 AY 
3,02 
︶︵14 CY 
3,67 
1Y 
14,10 
1Y 
 
I,PM ︶︵21 BY 
2,73 
︶︵22 DY 
3,38 
︶︵23 CY 
3,29 
︶︵24 AY 
4,50 
2Y 
13,90 
2Y 
 
 II,AM ︶︵31 AY 
3,45 
︶︵32 CY 
4,09 
︶︵33 BY 
2,66 
︶︵34 DY 
3,51 
3Y 
13,71 
3Y 
 
II,PM ︶︵41 CY 
3,20 
︶︵42 AY 
3,14 
︶︵43 DY 
3,48 
︶︵44 BY 
3,40 
4Y 
13,22 
4Y 
 
 jY 1Y 
12,64 
2Y 
14,76 
3Y 
12,45 
4Y 
15,08 
Y 
54,93 
 
 jY 1Y 
 
2Y 
 
3Y 
 
4Y 
 
 
Y 
 
Totais dos tratamentos: 
11,1414,345,350,402,3︶︵︶︵︶︵︶︵︶︵ 42312413  AYAYAYAYAY
94,1240,366,273,215,4︶︵︶︵︶︵︶︵︶︵ 44332112  BYBYBYBYBY
25,1420,309,429,367,3︶︵︶︵︶︵︶︵︶︵ 41322314  CYCYCYCYCY
63,1348,351,338,326,3︶︵︶︵︶︵︶︵︶︵ 43342211  DYDYDYDYDY 
Notação: 
 iY = soma das observações da i-ésima linha (i = 1, 2,..., k); 
 iY = soma das observações da j-ésima coluna (j=1,2, ..., k); 
 )( tY  = soma das observações do t-ésimo tratamento 
Organização dos arquivos: 
 No excel: ex1.xls No bloco de notas: ex1.txt 
linha coluna trat y 
TI_AM DIA1 D 3.26 
TI_AM DIA2 B 4.15 
TI_AM DIA3 A 3.02 
TI_AM DIA4 C 3.67 
TI_PM DIA1 B 2.73 
TI_PM DIA2 D 3.38 
TI_PM DIA3 C 3.29 
TI_PM DIA4 A 4.50 
TII_AM DIA1 A 3.45 
TII_AM DIA2 C 4.09 
TII_AM DIA3 B 2.66 
TII_AM DIA4 D 3.51 
TII_PM DIA1 C 3.20 
TII_PM DIA2 A 3.14 
TII_PM DIA3 D 3.48 
TII_PM DIA4 B 3.40 
 
 
 linha coluna trat y 
TI_AM DIA1 D 3,26 
TI_AM DIA2 B 4,15 
TI_AM DIA3 A 3,02 
TI_AM DIA4 C 3,67 
TI_PM DIA1 B 2,73 
TI_PM DIA2 D 3,38 
TI_PM DIA3 C 3,29 
TI_PM DIA4 A 4,50 
TII_AM DIA1 A 3,45 
TII_AM DIA2 C 4,09 
TII_AM DIA3 B 2,66 
TII_AM DIA4 D 3,51 
TII_PM DIA1 C 3,20 
TII_PM DIA2 A 3,14 
TII_PM DIA3 D 3,48 
TII_PM DIA4 B 3,40 
 
Dias 
Combinações 
de tempo e 
técnicas 
125 
 
Estatística Experimental 
 
2 Modelo matemático 
colunaésimajelinhaésimaina
usadotratamentodoçãoidentificadeindiceoék
rjeriCLY kijkjikij

 ,,,,,,,
︶︵︶︵
 2121
 
sendo: 
.
;,
;
;
;
;
,
︶︵
︶︵
aleatórioerrodoefeitooé
etratamentoésimotdofixoefeitoé
colunaésimajdaefeitoéC
linhaésimaidaefeitooéL
sobservaçõeastodasacomumgeralmédiaé
colunaésimajnae
linhaésimainatratamentoésimokorecebeuqueobservaçãoay
kij
t
kk
j
j
kij



0





 
3 Suposições do modelo 
 Neste modelo, supõem-se que: 
 ︶;,0︵
2
Lj NtesindependensãoL  
 ; ︶,0︵
2
Cj NtesindependensãoC  
 ︶,︵︶︵
20  Ntesindependensãokij 
 jikij CeL ,,︶︵ são mutuamente independentes. 
 
4 Hipótese estatística 
Podemos testar 
0
0
1
0


t
k
ostodosnemH
H


:
,:
, ou jiparaH
H
ji
t




:
...:
1
210
 
Geralmente os testes de hipóteses com relação aos efeitos de linhas e 
colunas não são feitos por dois motivos: primeiro o interesse principal é testar 
os efeitos de tratamento, e o propósito usual de linhas e colunas é eliminar 
fontes estranhas de variação. 
 
5 Participação da soma de quadrados 
Do quadro de representação das observações no DQL, podemos notar os 
seguintes desvios: 
Podemos identificar os seguintes desvios: 
  yy kij ︶︵ , como o desvio de uma observação em relação à média 
geral; 
  yy kij ︶︵ , como o desvio da média do t-ésimo tratamento em 
relação à média geral; 
   yy i , como o desvio da média da i-ésimo linha em relação á 
média geral; 
   yy j como o desvio da média da j-ésima coluna em relação á 
média geral; 
Então, podemos escrever a igualdade: 
126 
 
Estatística Experimental 
︶︵︶︵︶︵︶︵︶︵ ︶︵︶︵   YYYYYYYYYYYYY kjikijkjikij 2 a qual 
representa a “ a variação de uma observação em relação à média geral 
amostral como uma soma da variaçãoda média da i-ésima linha em relação à 
média geral, com a variação da média da j-ésima coluna em relação à média 
geral, com a variação da média da j-ésima coluna em relação à média geral, 
com a variação da média do k-ésima tratamento em relação à média geral, e 
com a variação do erro experimental “. Elevando-se ao quadrado os dois 
membros da identidade acima e somando em relação aos índices i e j, 
obtemos: 
, ︶︵
︶︵︶︵︶︵︶︵
︶︵
︶︵


  







 



k
i
k
j
k
t
kjikij
k
t
k
k
j
j
k
i
i
k
i
k
j
kij
YYYYY
YYYYYYYY
1 1 1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
2
 
ou seja, a Soma de Quadrados do Total (SQT) é igual à Soma de Quadrados 
do efeito colocado nas linhas (SQL), mais a Soma de Quadrados do efeito 
colocado nas colunas (SQC), mais a Soma de Quadrados dos Tratamentos 
(SQTr), mais a Soma de Quadrados dos resíduos (SQR). Notem que existem 
k2 observações, então a SQT tem (k2 -1) graus de liberdade. Existe k – linhas, k 
– colunas e k – tratamentos, tal que cada uma das três soma de quadrados 
SQL, SQC e SQTr tem k-1 graus de liberdade. Finalmente, os graus de 
liberdade para SQR pode ser calculado pela diferença entre os graus de 
liberdade entre a SQT e soma dos graus de liberdade para linhas, colunas e 
tratamentos. ((k2-1)-(k-1)-k-1)-(k-1)=(k-1)(k-2)). 
Assim, os graus de liberdade associados a cada membro da equação 
acima fica: 
 Total Linhas Colunas Tratamentos Resíduo 
 ( k2 -1) = (k-1) + (k-1) + (k-1) + (k-1)(k-2) 
 
6 Quadrados médios 
Dividindo a SQL, SQC, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de 
liberdade, obtemos, respectivamente o Quadrado Médio das Linhas (QML), o 
Quadrado Médio das Colunas (QMC) , o Quadrado Médio de Tratamentos 
(QMTr) e o Quadrado Médio Resíduo (QMR), isto é, 
︶2︶ ︵1︵11
,
1 







kk
SQRQMRe
k
SQTrQMTre
k
SQCQMC
k
SQLQML 
7 Estatística e região crítica do teste 
A estatística para o teste é 
QMR
QMTrFc  , 
a qual, deve ser próximo de 1 se H0 for verdadeira, enquanto que valores 
grandes dessa estatística são uma indicação de que H0 é falsa. A teoria nos 
assegura que Fc tem, sob H0 distribuição F – Snedecor com (k -1) e (k-1)(k-2) 
graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. 
Resumidamente, indicamos: 
0︶︶,2︶ ︵1︵,1︵
,~ HsobFF kkkc  . 
Rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
)),)((,( 2k1k1kc FF  , 
127 
 
Estatística Experimental 
sendo, )),)((,( 2k1k1kF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-Snedecor 
com (k -1) e (k-1)(k-2) graus de liberdade no numerador e no denominador. 
 
8 Quadro da análise de variância (ANOVA) 
Dispomos as expressões necessárias ao teste na Tabela abaixo, 
denominada de Quadro de Análise de Variância (ANOVA). 
 Fonte de variação gl SQ QM F 
 
Linhas 
 
k - 1 
2
2
1
2
k
Y
k
yk
i
j
kij
︶︵︶︵ 



 
 
1k
SQL
 
 
 
Colunas 
 
k – 1 2
2
1
1
2
k
Y
k
yk
j
i
kij ︶︵︶︵ 

 

 
 
1k
SQC
 
 
 
 Tratamentos 
 
k - 1 
2
2
1
2
k
Y
k
yk
t
i
kij ︶︵︶︵ 



 
 
1k
SQTr
 
QMR
QMTr
 
 
Resíduo 
 
(k-1)(k-2) 
 
 ︶︶ ︵︵ 21  kk
SQR
 
 
 
TOTAL 
 
K2 – 1 
 

k
i
k
J
kij k
YY
1 1
2
2
2 ︶︵
︶︵
 
Pode-se provar que: 
 2QMRE )( , ou seja, QMR é um estimador não viesado da 
variância 2 ; 
 


k
i
ik
rQMTrE
1
2
︶1︵
︶︵  , ou seja, QMTr é um estimador não 
viesado da variância 2 se a hipótese 0H k210   ...: é 
verdadeira. 
 
9 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
 Calcule a correção para a média 2
2
k
yCM ︶︵  ; 
 Calcule a Soma de Quadrados dos Totais (SQT) 
CMySQT
k
i
k
j
kij  
 1 1
2
︶︵
; 
 Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) 
CM
k
y
SQTr
k
t
i
kij
 

1
2
︶︵
; 
128 
 
Estatística Experimental 
 Calcule a Soma de Quadrados das Linhas (SQL) 
CM
k
y
SQL
k
i
j
kij
 

1
2
︶︵
; 
 Calcule a Soma de Quadrados de Colunas (SQC) 
CM
k
y
SQC
k
j
i
kij
 



1
1
2
︶︵
; 
 Calcule a Soma de Quadrados Residual (SQR) pela diferença, isto 
é, SQTrSQCSQLSQTSQR  ; 
 Calcule os Quadrados Médios Entre os Tratamentos (QMTr) e o 
Quadrado Médio Residual (QMR) 
︶2︶ ︵1︵1
,
1
,
1 







kk
SQRQMRe
k
SQTrQMTr
k
SQCQMC
k
SQLQML 
Calcule Fc para tratamentos, linhas e colunas, ou seja, 
QMR
QMCFe
QMR
QMLF
QMR
QMTrF CLcTr  , 
10 Exemplo 1: Vamos considerar os dados do exemplo apresentado no item1. 
Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: 
k = 4, e k2 = N =16. Então 
 Graus de liberdade: 
8242k1ks
e3141kColunas3141kLinhas
3141kTrat151161N1kTotal 2



))(())((Re
,
.;
 
 5816,188
16
︶94,54︵
2
CM 
 
6055,35816,1881871,192
︶40,3︵...︶15,4︵︶26,3︵
222

 CMSQT
 
 
2331,05816,1888147,188
4
︶63,13︵
4
︶25,14︵
4
︶94,12︵
4
︶11,14︵
2222

 CMSQTr
 
 
1065,05816,1886881,188
4
︶22,13︵
4
︶71,13︵
4
︶90,13︵
4
︶10,14︵
2222

 CMSQL
 
 
4274,15816,1880090,190
4
︶08,15︵
4
︶45,12︵
4
︶76,14︵
4
︶64,12︵
2222

 CMSQC
 
 8384,14274,11065,02331,06055,3  SQCSQLSQTrSQTSQR
 
129 
 
Estatística Experimental 
 
3015,0
6
8094,1
4758,0
3
4274,1,0355,0
3
1065,0,0771,0
3
2331,0


QMRe
QMCQMLQMTr
5530,1
3064,0
4758,0
1159,0
3016,0
0355,02899,0
3064,0
08741,0


QMR
QMCF
QMR
QMLFe
QMR
QMTrF
cC
cLcTr
 
 
 
Organizando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: 
 
Fonte de variação gl SQ QM F 
Linhas 3 0,1065 0,0355 
Colunas 3 1,4274 0,4758 
Tratamentos 3 0,2331 0,08741 0,2899 
Resíduo 6 1,8384 0,3015 
TOTAL 15 3,6055 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
789Fe764F 0106305063 ,, ),,,(),,,(  . O valor FcTr = 0,2899 é menor do que estes 
valores tabelados, então não rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
%,, 5ou050 de probabilidade e concluímos que os dados não evidenciam 
uma diferença significativa entre as quatros drogas. Os dados também não 
evidenciam uma variação significativa entre os efeitos colocados nas linhas 
(p=0,946) e nas colunas (p=0,290). Seguindo o que alguns pesquisadores 
sugerem não consideraríamos os efeitos de linhas e colunas em futuros 
experimentos, tendo em vista que o valor do nível de significância para linhas e 
colunas é superior a 0,25. 
Script no R para a obtenção dos resultados acima 
 
# entrando com os dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1 <- read.table("ex1dql.txt",header=TRUE,dec=",") 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo 
head(dados.ex1) 
 
# anexando o objeto dados.ex1 no caminho de procura 
attach(dados. ex1) 
 
# estatísticas resumo de cada nível dos tratamentos 
e.desc<- tapply(tx.inf,trat,summary) 
e.desc 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(tx.inf~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# quadro da anova 
130 
 
Estatística Experimental 
tx.inf.av<-aov(tx.inf~factor(linha)+factor(coluna)+factor(trat)) 
summary(tx.inf) 
 
# obtendo o residuo 
residuo <- resid(tx.inf.av) 
 
# teste de normalidade dos resíduos 
shapiro.test(residuo) 
 
# teste de homogeneidade das variâncias 
bartlett.test(tx.inf~factor(linha)+factor(coluna)+factor(trat)) 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# quadro da anova pelo ExpDes 
latsd(trat,linha,coluna,tx.inf,quali=T) 
 
# retirando o objeto dados.ex1 do caminho de procura 
detach(dados.ex1) 
 
Exemplo 2. Com o objetivo de estudar o efeito da idade da castração no 
desenvolvimento e produção de suínos, foi utilizado um delineamento em 
quadrado latino com 4 tratamentos envolvendo a castração aos 7 dias (C); aos 
21 dias(D); aos 56 dias (A) e suínos inteiros (B). A variação existente entre as 
leitegadas foi controlada pelas linhas do quadrado e a variação dos pesos dos 
leitões dentro das leitegadas foi isolada pelas colunas. Os ganhos de peso, em 
kg, ao final do experimento (252 dias) estão apresentados no quadro a seguir: 
 
Leitegada Classe de pesos dos leitões dentro das leitegadas 
1 2 3 4 Totais 
1 93,0 (A) 108,6 (B) 118,9 (C) 102 (D) 412,5 
2 115,4 (B) 96,5 (D) 77,9 (A) 120,2 (C) 390,0 
3 122,1 (C) 90,9 (A) 116,9 (D) 106,0 (B) 409,9 
4 117,6 (D) 124,1 (C) 118,7 (B) 95,6 (A) 448,0 
Totais 428,1 414,1 422,4 395,8 1660,4 
 
Quadro da ANOVA 
 Fonte de variação gl SQ QM F 
Leitegadas 3 436,55 49,65 0,72 
Classe 3 148,95 145,52 2,11 
Tratamentos 3 913,57 304,52 4,42 
Resíduo 6 413,00 68,83 
TOTAL 15 1912,07 
 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
789Fe764F 0106305063 ,, ),,,(),,,(  . O valor FcTr = 4,42 é menor do que estes 
valores tabelados, então não rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
131 
 
Estatística Experimental 
%,, 5ou050 de probabilidade e concluímos que a hipótese de que os 
efeitos de tratamento são todos nulos não é rejeitada, ou seja, os ganhos de 
peso dos leitões submetidos às diferentes idades de castração são todos iguais 
a 103,78. 
Script no R para a obtenção destes resultados 
# leitura dos dados pelo read.table 
dados.ex2 <- read.table("ex2dql.txt",header=TRUE) 
# imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo 
head(dados.ex2) 
 
# anexando o objeto dados.ex3 no caminho de procura 
attach(dados.ex2) 
 
# estatísticas resumo dos dados do arquivo dados.ex2 
e.desc<- tapply(peso,trat,summary) 
e.desc 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(peso~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# fazendo a análise diretamente pelo ExpDes 
# requerendo o ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# quadro da anova 
latsd(trat,leitegada,classe,peso,quali=T,mcomp="tukey") 
 
# retirando o objeto dados.ex2 do caminho de procura 
detach(dados.ex2) 
 
11 Como contornar o problema do pequeno número de graus de liberdade 
do resíduo? 
Um problema que surge quando usamos o delineamento em quadrado 
latino com um número pequeno de tratamentos, é que o resíduo passa a ser 
estimado com um número pequeno de graus de liberdade. No quadro a seguir, 
apresentamos o número de graus de liberdade do resíduo no DQL para 
diferentes números de tratamentos: 
Número de tratamentos g.l. do resíduo 
3 2 
4 6 
5 12 
6 20 
7 30 
8 42 
 
RESPOSTA: Planejar mais de uma repetição do quadrado latino para 
conseguir um número satisfatório de graus de liberdade para o resíduo. Por 
exemplo, se k = 4 tratamentos e queremos um número de g.l. para o resíduo 
superior a 12, devemos fazer pelo menos r = 2 repetições do Q.L. original. 
Solução 1: usar as mesmas linhas e mesmas colunas; 
 
132 
 
Estatística Experimental 
QL1 C1 C2 C3 C4 
 
 
 
 
QL2 C1 C2 C3 C4 
L1 A B C D L1 D A B C 
L2 B C D A L2 C D A B 
L3 C D A B L3 B C D A 
L4 D A B C L4 A B C D 
 
Quadro da ANOVA resultante 
 
Causas de variação gl 
QL r – 1 = 1 
Tratamentos k – 1 = 3 
Linhas k – 1 = 3 
Colunas k – 1 = 3 
Resíduo (k – 1)[ r (k + 1) – 3] = 21 
Total r k2 – 1 = 31 
 
Solução 2: usar as mesmas linhas com as colunas diferentes (ou 
mesmas colunas com linhas diferentes); 
QL1 C1 C2 C3 C4 
 
 
 
 
QL2 C5 C6 C7 C8 
L1 A B C D L1 D A B C 
L2 B C D A L2 C D A B 
L3 C D A B L3 B C D A 
L4 D A B C L4 A B C D 
 
Quadro da ANOVA resultante 
Causas de variação gl 
QL r – 1 = 1 
Tratamentos k – 1 = 3 
Linhas k – 1 = 3 
Colunas (QL) r ( k – 1 ) = 6 
Resíduo (k – 1)(r k – 2 )= 18 
Total r k2 – 1 = 31 
 
Solução 3: usar linhas e colunas diferentes. 
QL1 C1 C2 C3 C4 
 
 
 
 
QL2 C5 C6 C7 C8 
L1 A B C D L5 D A B C 
L2 B C D A L6 C D A B 
L3 C D A B L7 B C D A 
L4 D A B C L8 A B C D 
 
Quadro da ANOVA resultante 
Causas de variação gl 
QL r – 1 = 1 
Tratamentos k – 1 = 3 
Linhas (QL)* r ( k - 1) = 6 
Colunas (QL)** r ( k - 1) = 6 
Resíduo (k – 1) [ k (k – 1) –1]=15 
Total r k2 – 1 = 31 
(*) lê-se “Efeito de linhas dentro de quadrado latino” 
(**) lê-se “Efeito de colunas dentro de quadrado latino” 
 
133 
 
Estatística Experimental 
Suponha que um experimentador esteja interessado em estudar os 
efeitos da atividade da estimulação hormonal folicular (follicle-stimulation 
hormone - FSH). Em vacas é medido em bio ensaios pesando-se o ovário (mg) 
de ratos imaturos. Duas variáveis conhecidas que influenciam no peso de 
ovários de ratos são: a constituição genética e o peso corporal. Acredita-se que 
o peso corporal é independente das diferenças genéticas, assim o 
delineamento quadrado latino (DQL) é adequado. Dois quadrados latinos 4 x 4 
foram usados com as linhas = ninhadas de ratos e colunas = classes de peso 
corporal. O pesquisador considerou a diferença nos pesos corporais nos dois 
quadrados para preservar os graus de liberdade do erro experimental, dado 
que a amplitude do peso corporal era consistente de ninhada para ninhada, ou 
seja, o pesquisador repetiu o experimento considerando as mesmas classes de 
peso corporal. 
 
(Solução 2). 
QL1 C1 C2 C3 C4
Totais 
 
 
 
 
 
QL2 C1 C2 C3 C4 
Totais
L1 (D) 44 (C) 39 (B) 52 (A) 73 
208 L5 (B) 51 (C) 74 (A) 74 (D) 82 
281 
L2 (B) 26 (A) 45 (D) 49 (C) 58 
178 L6 (D) 62 (A) 74 (C) 75 (B) 79 
290 
L3 (C) 67 (D) 71 (A) 81 (B) 76 
295 L7 (A) 71 (D) 67 (B) 60 (C) 74 
272 
L4 (A) 77 (B) 74 (C) 88 (D) 100 
339 L8 (C) 49 (B) 47 (D) 58 (A) 68 
222 
Totais 214 229 270 307 1020 233 251 267 303 1065 
Totais dos tratamentos: 563 (A), 465 (B), 524 (C), 533 (D) 
Cálculos: 
 694891
32
10651020
4
222178208
SQL
2222
,
)(...




 ; 
 ;,
)()(...)(
091819
32
10651020
8
303307233214
SQC
222




 
 ;,
)(...
59631
32
10651020
8
533563
SQTr
222




 
 ;,
)(
... 227788
32
10651020
6844SQT
2
22 

 
 ;,56382SQLSQCSQTrSQTSQR  
O quadro da ANOVA fica 
Causas de variação gl SQ QM F P 
QL 1 63,28 63,28 
Tratamentos 3 631,59 210,53 9,91 0,0004 
Linhas (QL) 6 4891,69 815,28 38,26 
Colunas 3 1819,09 606,36 28,53 
Resíduo 18 292 16,22 
Total 31 7730 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
095Fe163F 010186050183 ,, ),,,(),,,(  . O valor Fctr = 9,91 é maior que estes 
valores tabelados, então rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
%,, 1ou010 de probabilidade e concluímos que a hipótese de que os 
efeitos de tratamento são todos nulos é rejeitada, ou seja, nos pesos dos 
ovários de ratos imaturos (bio-ensaio para vacas) existe pelo menos dois 
tratamentos que diferem entre si quanto ao peso de ovários. 
134 
 
Estatística Experimental 
Podemos usar o teste de Tukey para compararmos as médias dos 
tratamentos (note que temos 4 tratamentos e cada um deles aparece 8 vezes). 
Então, 
 
 
51,6
8
25,21
997,3... )05,0,18,4(  rk
QMR
qsmd 
 
 
 
Drogas 
Peso médio* 
(mg) 
A 70,37 a 
D 66,63 a 
C 65,50 a 
B 58,13 b 
(* Médias seguidas pelas mesmas letras na coluna não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%). 
Com base nos resultados apresentados na tabela anterior pode-se 
afirmar que os pesos de ovários tratados com as drogas A, D e C não diferem 
entre si e os pesos dos ovários tratados com as drogas C e B também não 
diferem entre si. As diferenças nos pesos de ovários estão entre as drogas A, D 
e C quando comparadas, individualmente, com a droga B. 
Organizando o arquivo de dados no Excel e no bloco de notas 
Arquivo de dados .xls (peso.xls) Arquivo de dados . txt (peso.txt) 
ql linha coluna trat put 
q1 l1 c1 D 44 
q1 l2 c1 B 26 
q1 l3 c1 C 67 
q1 l4 c1 A 77 
q1 l1 c2 C 39 
q1 l2 c2 A 45 
q1 l3 c2 D 71 
q1 l4 c2 B 74 
q1 l1 c3 B 52 
q1 l2 c3 D 49 
q1 l3 c3 A 81 
q1 l4 c3 C 88 
q1 l1 c4 A 73 
q1 l2 c4 C 58 
q1 l3 c4 B 76 
q1 l4 c4 D 100 
q2 l5 c1 B 51 
q2 l6 c1 D 62 
q2 l7 c1 A 71 
q2 l8 c1 C 49 
q2 l5c2 C 74 
q2 l6 c2 A 74 
q2 l7 c2 D 67 
q2 l8 c2 B 47 
q2 l5 c3 A 74 
q2 l6 c3 C 75 
q2 l7 c3 B 60 
q2 l8 c3 D 58 
ql linha coluna trat put 
q1 l1 c1 D 44 
q1 l2 c1 B 26 
q1 l3 c1 C 67 
q1 l4 c1 A 77 
q1 l1 c2 C 39 
q1 l2 c2 A 45 
q1 l3 c2 D 71 
q1 l4 c2 B 74 
q1 l1 c3 B 52 
q1 l2 c3 D 49 
q1 l3 c3 A 81 
q1 l4 c3 C 88 
q1 l1 c4 A 73 
q1 l2 c4 C 58 
q1 l3 c4 B 76 
q1 l4 c4 D 100 
q2 l5 c1 B 51 
q2 l6 c1 D 62 
q2 l7 c1 A 71 
q2 l8 c1 C 49 
q2 l5 c2 C 74 
q2 l6 c2 A 74 
q2 l7 c2 D 67 
q2 l8 c2 B 47 
q2 l5 c3 A 74 
q2 l6 c3 C 75 
q2 l7 c3 B 60 
q2 l8 c3 D 58 
q2 l5 c4 D 82 
q2 l6 c4 B 79 
q2 l7 c4 C 74 
q2 l8 c4 A 68 
135 
 
Estatística Experimental 
q2 l5 c4 D 82 
q2 l6 c4 B 79 
q2 l7 c4 C 74 
q2 l8 c4 A 68 
 
 
Script no R para a obgtenção dos resultados acima 
# leitura dos dados pelo read.table 
dados.ex3 <- read.table("ex2dql.txt",header=TRUE) 
 
# imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo 
head(dados.ex3) 
# anexando o objeto dados.ex3 no caminho de procura 
attach(dados.ex3) 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(peso~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# quadro da anova 
put.av <-aov(put~factor(ql)+factor(linha)+factor(coluna)+factor(trat)) 
summary(put.av) 
 
# usando os recursos do pacote agricolae 
require(agricolae) 
put.tu <-HSD.test(put.av,"trat") 
 
# gráfico de barras com as letras do teste de Tukey 
bar.group(put.tu,ylim=c(0,90),density=20, 
col="brown", xlab="Tratamentos",ylab="Peso do Utero", 
main="Teste de Tukey") 
 
# retirando o objeto dados.ex3 do caminho de procura 
detach(dados.ex3) 
 
12 Casualização dos tratamentos 
Suponha que queremos dispor os tratamentos A, B, C, e D sobre um 
quadrado latino 4 x 4 
 
 escolhemos aleatoriamente um dos quadrados padrões de 
tamanho 4. Suponha 
 
 1 2 3 4 
1 A B C D 
2 B C D A 
3 C D A B 
4 D A B C 
 
 selecionemos uma das permutações de 1, 2, 3, e 4. suponha 2, 4, 
1, 3. Então 
 
 
136 
 
Estatística Experimental 
 1 2 3 4 
2 B C D A 
4 D A B C 
1 A B C D 
3 C D A B 
 
 selecionemos uma outra das permutações de 1, 2, 3, e 4. suponha 
1, 3, 4, 2. Então 
 
 1 3 4 2 
2 B D A C 
4 D B C A 
1 A C D B 
3 C A B D 
 
Este é o delineamento escolhido. 
 
13 Exemplos em qua as unidades experimentais são animais 
Neste tipo de experimento os próprios animais servem como um critério 
de classificação (linhas) e o tempo (colunas) é o outro, ou seja, medidas 
repetidas não aleatórias são obtidas de cada animal (pessoa) distribuídos a 
uma seqüência de tratamentos. 
Exemplo 4 O objetivo deste experimento foi testar o efeito de quatro diferentes 
suplementos (A, B, C, D) adicionados ao feno na engorda de novilhos. O 
experimento foi delineado em um experimento Quadrado Latino com quatro 
animais em quatro períodos de 20 dias. As ovelhas foram mantidas isoladas 
individualmente. Cada período consistia de 10 dias de adaptação e de 10 de 
medidas. Os dados apresentados abaixo são as médias de 10 dias. 
 Novilhos 
Período N1 N2 N3 N4 
1 10,0 (B) 10,2 (C) 8,5 (D) 11,8 (A) 
2 9,0 (C) 11,3 (A) 11,2 (B) 11,4 (C) 
3 11,1 (C) 11,2 (B) 12,8 (A) 11,7 (D) 
4 10,8 (A) 11,0(D) 11,0 (C) 11,0 (B) 
Script no R para resolver este exemplo 
 
# leitura dos dados pelo read.table 
dados.ex4 <- read.table("ex4dql.txt",header=TRUE) 
 
# imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo 
head(dados.ex4) 
 
# anexando o objeto dados.ex4 no caminho de procura 
attach(dados.ex4) 
 
# estatísticas resumo dos tratamentos do arquivo dados.ex4 
e.desc<- tapply(peso,trat,summary) 
e.desc 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
137 
 
Estatística Experimental 
boxplot(peso~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# fazendo a análise diretamente pelo ExpDes 
# requerendo o ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# quadro da anova 
latsd(trat,periodo,novilho,peso,quali=T,mcomp="tukey") 
 
# retirando o objeto dados.ex4 do caminho de procura 
detach(dados.ex4) 
 
 
 
RESUMO: 
 
138 
 
Estatística Experimental 
7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Nos experimentos que tratam da produção de vacas leiteiras, a enorme variação entre os 
indivíduos exige um grande número de animais para a avaliação de diferenças moderadas. 
Qualquer esforço de aplicar vários tratamentos sucessivamente numa mesma vaca se complica 
pela diminuição do fluxo de leite, pela forma da curva de lactação e por uma correlação entre 
os erros eijk. Estas dificuldades são controladas com o uso de vários pares de quadrados 
latinos ortogonais onde as colunas representam as vacas e as linhas os períodos sucessivos 
da lactação, e os tratamentos são aplicados as vacas nos vários estágios. Num experimento 
procurou-se verificar o efeito de diferentes tipos de tratamentos, e é apresentado somente um 
quadrado latino, sem nos preocuparmos com os efeitos correlacionados. 
Os tratamentos (1,0 kg para cada 3,0 kg de leite produzido) foram os seguintes: 
A = Ração comum 
B = 75% de ração comum + 25% de rolão de milho. 
C = 50% de ração comum + 50% de rolão de milho. 
D = 75% de ração comum + 25% de farelo de soja. 
E = 25% de ração comum + 75% de farelo de soja. 
Os valores da tabela correspondem a produção de leite (kg) por um período de seis semanas. 
Linhas Colunas (Vacas) Total 
(Período) 1 2 3 4 5 
1 B 318 E 416 A 420 C 424 D 330 1908 
2 D 325 A 435 E 418 B 438 C 333 1949 
3 E 342 B 441 C 395 D 418 A 380 1976 
4 A 353 C 403 D 410 E 395 B 375 1936 
5 C 310 D 381 B 422 A 432 E 314 1859 
Total 1648 2076 2065 2107 1732 9628 
a) Formule as hipóteses estatísticas para os tratamentos e monte o quadro da análise de 
variância de acordo com um delineamento quadrado latino e conclua 
b) Aplique o teste de Tukey para localizar as diferenças entre as médias dos tratamentos. 
Represente as diferenças com as médias (média±se), seguidas de letras. 
d) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. 
e) Defina os contrastes abaixo e teste-os através da técnica de decomposição dos graus de 
liberdade dos tratamentos (teste F planejado) e complemente o quadro da anova do item b) 
com estes contrastes: 
c1) Existe efeito dos complementos adicionados à ração comum?; 
c2) Qual complemento adicionado à ração comum é melhor: rolão de milho ou farelo de 
soja?; 
c3) Qual percentual de rolão de milho é melhor ?; 
c4) Qual percentual de farelo de soja é melhor ?; 
f) Calcular e interpretar os coeficiente de variação (CV) do experimento e o de determinação R2 
do experimento. 
g) Com base nestas observações e nos resultados do item a) a utilização do delineamento em 
DQL é plenamente justificada? 
 
 
139 
 
Estatística Experimental 
2) Avaliação do efeito de anestésicos sobre o metabolismo animal é imprescindível ao 
cirurgião. Neste experimento são considerados 5 anestésicos e analisar variáveis como: 
frequência cardíaca,respiratória, pressão sanguínea, tempo efetivo de anestesia. Estas 
variáveis são muito instáveis com c.v. > 35,0 %. Existe uma reação muito diferente de animal 
para animal o que exigiria um número muito grande destes ( de 13 a 49 animais) para cada 
anestésico. Por outro lado estas respostas são de fluxo contínuo. Podemos testar todos os 
anestésicos, em ocasiões diferentes com intervalos de 2 a 3 dias, no mesmo animal. Se um 
animal recebe todos os anestésicos, em sequência controlada, todos os demais deverão 
também recebê-los, mas cada um dos cachorros deverá estar submetido a um anestésico 
diferente, de modo que, em um mesmo dia, todos os cães e todos os anestésicos estejam 
sendo testados. Com este procedimento, o eventual efeito de dia poderá estar controlado. 
A maneira mais simples de se controlar o efeito de dia de experimentação (ou período) e o 
efeito de cães, é o efeito de controle local (blocos). Uma solução prática que leva em conta os 
dois tipos de blocagem (período e animal) é o croqui do delineamento quadrado latino (DQL) 
onde as letras representam um anestésico específico com os seguintes resultados sobre tempo 
efetivo de anestesia:Período 
Animal I II III IV V 
 1 A(8,92) E(4,77) B(6,29) D(9,99) C(6,93) 
2 D(4,88) B(7,53) A(12,29) C(8,95) E(8,51) 
3 C(7,32) A(10,16) E(8,50) B(4,83) D(7,08) 
4 E(6,67) C(5,00) D(5,40) A(11,54) B(8,62) 
5 B(4,40) D(7,15) C(8,95) E(7,85) A(13,68) 
a) Formule as hipóteses estatísticas para os tratamentos e monte o quadro da análise de 
variância de acordo com um delineamento quadrado latino e conclua 
b) Aplique o teste de Tukey para localizar as diferenças entre as médias dos tratamentos. 
Represente as diferenças com as médias (média±se), seguidas de letras. 
d) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. 
e) Calcular e interpretar os coeficiente de variação (CV) do experimento e o de determinação 
R2 do experimento. 
f) Com base nestas observações e nos resultados do item a) a utilização do delineamento em 
DQL é plenamente justificada? 
140 
 
Estatística Experimental 
Aula 8 Experimentos fatoriais 
1 Introdução 
Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos ou níveis de 
um único fator, considerando que todos os demais fatores que possam interferir 
nos resultados obtidos se mantenham constantes. Por exemplo: quando 
comparamos tipos de drogas em animais experimentais, os demais fatores, 
como raça, idade, sexo etc., se mantêm constantes, isto é, devem ser os 
mesmos para todas as drogas estudadas. Entretanto, existem diversos casos 
em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente. Nesses casos, 
utilizamo-nos dos experimentos fatoriais, que “são aqueles nos quais são 
estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de fatores ou 
tratamentos”. Entenda-se por fator “uma variável independente cujos valores 
(níveis do fator) são controlados pelo experimentador”. Cada subdivisão de um 
fator é denominada de nível do fator e os tratamentos nos experimentos 
fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos 
fatores nos seus diferentes níveis. 
Por exemplo: num experimento fatorial podemos combinar 2 doses de 
um antibiótico com 3 diferentes níveis de vitamina B12. Neste caso teremos um 
fatorial 2 x 3, com os fatores Antibióticos (A) e Vitamina (V), que ocorrem em 
2 níveis (A1 e A2) e 3 níveis (V1, V2 e V3), respectivamente, e os 2 x 3 = 6 
tratamentos são: 
A1V1 A1V2 A1V3 
A2V1 A2V2 A2V3 
Outro exemplo: num experimento fatorial 3 x 2 podemos combinar 3 
Doses de uma droga (D1, D2 e D3), 2 Idades (I1 e I2) e teremos 3x2 = 6 
tratamentos, que resultam de todas as combinações possíveis dos níveis dos 3 
fatores, ou seja, 
D1I1 D1I2 
D2I1 D2I2 
D3I1 D3I2 
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental 
e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de 
tratamentos e podem ser instalados em qualquer um dos delineamentos 
experimentais já estudados (DIC, DBC e DQL, por exemplo). 
Em um experimento fatorial nos podemos estudar não somente os 
efeitos dos fatores individuais, mas também, se o experimento foi bem 
conduzido, a interação entre os fatores. Para ilustrar o conceito de interação 
vamos considerar os seguintes exemplos: 
Suponha que as médias dos 3 x 2 = 6 tratamentos deste último exemplo 
são apresentadas na tabela abaixo: 
 
 Fator B - Idade 
Fator A-(Dose da Droga) I0 I1 
D0 5 10 
D1 10 15 
D2 15 25 
 
 
141 
 
Estatística Experimental 
 
Os seguintes aspectos importantes dos dados na Tabela acima devem 
ser destacados: 
 Para ambos os níveis do fator B, a diferença entre as médias para 
quaisquer níveis do fator A é a mesma; 
 Para todos os níveis do fator A, a diferença entre as médias para 
os dois níveis de B é a mesma; 
 Uma terceira característica é notada por meio do gráfico. Notamos 
que as curvas correspondentes aos diferentes níveis de um fator 
são todas paralelas. 
Quando os dados da população possuem estas três características 
listadas acima, dizemos que não existe interação presente entre os fatores. A 
presença de interação entre os fatores pode afetar as características dos dados 
de várias formas dependendo da natureza da interação. Vamos ilustrar o efeito 
de um tipo de interação modificando os dados da tabela apresentada 
anteriormente 
 Fator B: Idade 
Fator A: Dose da Droga I0 I1 
D0 5 15 
D1 10 10 
D2 20 5 
Os seguintes aspectos importantes dos dados na Tabela acima devem 
ser destacados: 
 A diferença entre as médias para qualquer dos dois níveis de A não 
é a mesma para ambos os níveis de B; 
 A diferença entre as médias para ambos os níveis do fator B não é 
o mesmo nos níveis do fator A; 
 As curvas dos fatores não são paralelas, como é mostrado nos 
gráficos abaixo; 
 
 
142 
 
Estatística Experimental 
Quando os dados da população exibem as características acima, 
dizemos que existe interação entre os dois fatores. Enfatizamos que o tipo de 
interação ilustrada acima é somente uma das dos muitos tipos de interação que 
podem ocorrer entre dois fatores. 
Em resumo, podemos afirmar que “existe interação entre dois fatores se 
uma modificação em um dos fatores produz uma modificação na resposta em 
um dos níveis do outro fator diferente dos produzidos nos outros níveis deste 
fator”. 
As vantagens de um experimento fatorial são: 
 A interação dos fatores pode ser estudada; 
 Existe uma economia de tempo e de esforço. Nos experimentos 
fatoriais todas as observações podem ser usadas para estudar o 
efeito de cada um dos fatores investigados. A alternativa, quando 
dois fatores são investigados, seria o de conduzir dois diferentes 
experimentos, cada um para estudar cada um dos dois fatores. Se 
isto é feito, as observações somente produzirão informações sobre 
um dos fatores, e o outro experimento somente fornecerá 
informação sobre o outro fator. Para se obter o nível de precisão 
dos experimentos fatoriais, mais unidades experimentais seriam 
necessárias se os fatores fossem estudados por meio de dois 
experimentos. Isto mostra que 1 experimento com dois fatores é 
mais econômico que 2 experimentos com 1 fator cada um. 
 Visto que os vários fatores são combinados em um experimento, os 
resultados têm uma grande amplitude de aplicação. 
 
2 Definições iniciais 
Vamos considerar um experimento fatorial 2x2, com os fatores 
Antibiótico (A) e Vitamina B12 (B) nos níveis: a0 (sem antibiótico) e a1 (com 
antibiótico); b0 (sem Vitamina B12) e b1 (com vitamina B12), respectivamente, 
adicionados a uma dieta básica e os seguintes valores médios de ganho de 
peso (g) para os 2x2 = 4 tratamentos: 
 
 Fator B: Vitamina B12 
Fator A: Dose do antibiótico b0 b1 Médias 
a0 14 23 18,5 
a1 32 53 42,5 
Médias 23,0 38,0 30,5 
A representação gráfica fica: 
 
 
143 
 
Estatística Experimental 
Definições: 
 Efeito simples de um fator: como a medida da variação que 
ocorre com a característica em estudo (ganho de peso, neste 
exemplo) correspondente às variações nos níveis desse fator, em 
cada um dos níveis do outro fator. 
 Efeito simples do antibiótico no nível 0 de vitamina B12 : 
1814320001︶︵ 0  babaA bdedentro 
 Efeito simples do antibiótico no nível 1 de vitamina B12: 
3023531011︶︵ 1  babaA bdedentro 
 Efeito simples da vitamina B12 no nível 0 de antibiótico : 
1914230010︶︵ 0  babaB adedentro 
 Efeito simples da vitamina B12 no nível 1 de antibiótico : 
2132530011︶︵ 1  babaB adedentro 
 
 Efeito principal de um fator: é uma medida da variação que 
ocorre com a característica em estudo, correspondente às 
variações nos níveis desse fator, em média, de todos os níveis do 
outro fator. 
15
2
219
2
BB
BdeprincipalEfeito
24
2
3018
2
AA
AdeprincipalEfeito
10
10
adedentroadedentro
bdedentrobdedentro










)()(
)()(
 
 
 Efeito da interação entre os dois fatores: é uma medida da 
variação média que ocorre com a característica em estudo, 
correspondente às variações nos níveis de um fator, ao passar de 
um nível a outro do outro fator. 
,6
2
921
2
int
,,6
2
1830
2
int
︶︵︶︵︶︵︶︵
01
01










adedentroadedentro
bdedentrobdedentro
BB
AxBdeeraçãodaEfeito
aindaou
AA
BxAeraçãodaEfeito
 
isto é, tanto faz calcular a interação A x B como a interação B x A 
As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são: 
 O número de tratamentos aumenta muito com o aumento do 
número de níveis e de fatores, tornando praticamente impossível 
distribuí-los em blocos casualizados, devido à exigência de 
homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. 
 A análise estatística é mais trabalhosa (efeitos principais e 
interação de todos os fatores) e a interpretação dos resultados se 
torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e 
de fatores no experimento. 
 
3 O modelo matemático 
O modelo de um experimento fatorial com dois fatores, num 
delineamento inteiramente casualizado com r repetições, pode ser escrito 
como: 
ijkijjiijky   ︶︵ 
Sendo: 
144 
 
Estatística Experimental 
 
;

fatordonível
ésimojoefatordonívelésimoiorecebeuquerespostaésimakaéyikj 
;)(tan sobservaçõeastodasacomummédiateconsumaé 
 ;..,., a1icomfatordonívelésimoidoefeitooéi   
 ;...,,1 bjcomfatordonívelésimojdoefeitooéj   
 
;
int


fatordonívelésimoj
doefeitoocomfatordonívelésimoidoeraçãodaefeitooéij


r1kcomyobservaçãoàassociadoerimentalerrooé ijkijk ...,,exp 
 
4 Suposições do modelo 
As suposições associadas ao modelo; 
 As observações de cada célula ab constituem uma amostra 
aleatória de tamanho r retirada de uma população definida pela 
particular combinação dos níveis dos dois fatores; 
 Cada uma das ab populações é normalmente distribuída; 
 Todas as populações têm a mesma variância; 
 ),(~ 2ijk oN  ; 
 
.0︶︵︶︵0
︶︵,
1111
 

b
j
ij
a
i
ij
b
j
j
a
i
i
ijji
e
condiçõesassatisfazemeparâmetrosose


 
Vale observar que “a” é o número de níveis do fator A, “b” é o número de 
níveis do fator B e “r” é o número de repetições de cada um dos “ab” 
tratamentos. No total temos “abr” unidades experimentais. 
 
5 Hipóteses estatísticas 
As seguintes hipóteses podem ser testadas nos experimentos fatoriais. 
 A hipótese de que não existe ou existe interação AB é equivalente 
às hipóteses 
b1jea1icom0Hvs0H ijAB1ijAB0 ...,,...,,)(:)(:   ; 
 De maneira análoga as hipóteses de que não existe efeito principal 
do fator A e B é a mesma que as hipóteses 
b1jcom0Hvs0H
a1icom0Hvs0H
jB1jB0
iA1iA0
...,,::
...,,::




, 
 respectivamente. 
 
6 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
O quadro abaixo mostra um possível arranjo dos dados de um 
experimento com os tratamentos em um arranjo fatorial 2 x 2 
 
 
 
 
 
 
145 
 
Estatística Experimental 
a1 a2
b1 b2 b1 b2
111y 121y 211y 221y 
112y 122y 212y 222y 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 . 
. 
. 
. 
. 
r11y r12y r21y r22y 
 
Pode-se montar o seguinte quadro auxiliar dos totais 
(r) b1 b2 Totais 
a1 11Y 12Y 1Y 
a2 21Y 22Y 2Y 
TOTAL 1Y 2Y Y 
 
Assim os cálculos do quadro da análise de variância são dados pelas 
seguintes expressões: 
 
 Soma de Quadrados do Total (SQT) 
;,
)(
,
)(
2be2asendo
abr
Y
CMsendo
abr
Y
YSQT
22r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk 

  
 
 Soma de Quadrados do fator A, SQ(A) CMY
br
ASQ
a
i
i  


1
21)( ; 
 Soma de Quadrados do fator, B SQ(B) CMY
ar
BSQ
b
j
j  


1
21)( ; 
 Soma de Quadrados da interação AxB, SQ(AxB)=SQ(A,B)-SQ(A)-
SQ(B) ou CMY
r
1
AxBSQ
a
1i
b
11j
2
ij   
 
)( , sendo a SQ(A,B) a soma de 
quadrado conjunta, que nos fatoriais com dois fatores é igual à 
SQTr; 
 Soma de Quadrados do Resíduo (SQR) SQR=SQT-SQ(A)-SQ(B)-
SQ(AxB) ou 


  

r
1k
2
ij
r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk YYSQR 
7 Quadro da anova 
Calculadas as SQ podemos montar o seguinte Quadro da ANOVA: 
 
 Fonte de Variação g.l. SQ QM F 
Fator A a-1 SQ(A) QM(A)=SQ(A)/(a-1) QM(A)/QMR 
Fator B b-1 SQ(B) QM(B)=SQ(B)/(b-1) QM(B)/QMR 
Int A xB (a-1)(b-1) SQ(AxB) QM(A)=SQ(AxB)/(a-1)(b-1) QM(AxB)/QMR 
Tratamentos ab-1 SQTr QMTr=SQTr/(ab-1) QMTr/QMR 
Resíduo ab(r-1) SQR QMR+SQR/ab(r-1) 
TOTAL abr-1 SQT 
 
 
146 
 
Estatística Experimental 
8 Estatística e região crítica do teste 
As estatísticas para os testes F da ANOVA são 
QMR
AxBQM
Fe
QMR
BQM
F
QMR
AQM
F cABcBcA
)()(
,
)(
 , 
a qual, deve ser próximo de 1 se H0 for verdadeira, enquanto que valores 
grandes dessa estatística são uma indicação de que H0 é falsa. A teoria nos 
assegura que FcA tem, sob H0 distribuição F – Snedecor com (a -1) e ab(r-1)) 
graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. 
Resumidamente, indicamos: 
01rab1acA HsobFF ,~ )),(,(  . 
Rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
)),(,( 1rab1acA FF  , 
sendo, )),(,( 1rab1aF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-Snedecor 
com (a -1) e ab(r-1) graus de liberdade no numerador e no denominador. 
De modo análogo temos FcB . Para a interação A x B a 
01rab1b1acAB HsobFF ,~ )),(,))(((  
e rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
,)),(,))((( 1rab1b1acAB FF  , 
sendo, )),(,))((( 1rab1b1aF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-
Snedecor com (a -1)(b-1) e ab(r-1) graus de liberdade no numerador e no 
denominador respectivamente. 
 
9 Exemplo 1 Considere o esquema fatorial 2 x 2 ( dois níveis de antibiótico, 
dois níveis de vitamina B12) para estudar o aumento de peso (Kg) diário em 
suínos. 
a0 – sem antibiótico; a1 – com 40 g de antibiótico 
b0 – sem vitamina B12 ; b1 – com 5 mg de vitamina B12 
Repetição
a0 a1 
b0 b1 b0 b1 
1 1,30 1,26 1,05 1,52 
2 1,19 1,21 1,00 1,56 
3 1,08 1,19 1,05 1,55 
Totais 3,57 3,66 3,10 4,63 
 
Formato do arquivo .txt Formato no Excel 
anti vitb12 trat g.peso 
ao b0 t1 1.30 
ao b0 t1 1.19 
ao b0 t1 1.08 
ao b1 t2 1.26 
ao b1 t2 1.21 
ao b1 t2 1.19 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b0 t3 1.00 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b1 t4 1.52 
a1 b1 t4 1.56 
a1 b1 t4 1.55 
anti vitb12 trat g.peso 
ao b0 t1 1.30 
ao b0 t1 1.19 
ao b0 t1 1.08 
ao b1 t2 1.26 
ao b1 t2 1.21 
ao b1 t2 1.19 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b0 t3 1.00 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b1 t4 1.52 
a1 b1 t4 1.56 
a1 b1 t4 1.55 
147 
 
Estatística Experimental 
Notem que neste caso o delineamento experimental foi o inteiramente 
casualizado com os tratamentos num esquema fatorial 2 x 2, com 3 repetições 
Outra forma de apresentação dos dados 
Trat. Repetição Totais 
a0b0 1,30 1,19 1,08 3,57 
a0b1 1,26 1,21 1,19 3,66 
a1b0 1,05 1,00 1,05 3,10 
a2b2 1,52 1,56 1,55 4,63 
Calculo das Soma de Quadrados: 
e então, podemos construir um primeiro quadro de análise de variância: 
 
Fonte de variação gl SQ QM F 
Tratamentos 3 0,4124 0,1398 38,13 
Resíduo 8 0,0293 0,003667 
TOTAL 11 0,4417 
Como 597F 01083 ,).;,(  podemos concluir que pelo menos duas médias 
de tratamentos diferem significativamente (p<0,01) entre si quanto ao ganho de 
peso diário de suínos. A continuação da análise pode envolver a comparação 
das médias dos tratamentos por meio de um dos procedimentos de 
comparações múltiplas conhecidos, como os testes de Tukey, Duncan, t-
Student, Scheffé etc. 
Uma alternativa de análise mais simples e mais informativa, está 
baseada no esquema fatorial dos tratamentos. Utilizando o quadro com os 
totais das combinações dos níveis dos fatores A e B e as fórmulas 
apresentadas anteriormente, podemos construir um novo quadro de análise de 
variância que permitirá testar se existe interação entre os dois fatores e se 
cada um dos fatores tem efeito significativo sobre o desenvolvimento dos 
suínos. 
Quadro auxiliar com os totais das combinações dos níveis de 
antibióticos (a0, a1)e vitamina B12 
 b0 b1 Totais 
a0 3.57 3,66 7,23 
a1 3,10 4,637,73 
Totais 6,67 8,29 14,96 
Assim, 
.1728,02187,00208,04124,0︶︵
;2187,0
︶3︵4
96,14
︶3︵2
29,8
︶3︵2
67,6
︶︵
;0208,0
︶3. ︵4
96,14
︶3. ︵2
73,7
︶3. ︵2
23,7
︶︵
22
222



AxBSQ
BSQ
ASQ
 
 
,,,,
;,
))()((
),(,,,,
;,
),(
))()((
),...,(
),...,(
029304124044180SQTrSQTSQR
41240
322
9614
3
634
3
103
3
613
3
573
SQTr
44170
12
9614
322
551301
551301SQT
22222
22
22





148 
 
Estatística Experimental 
Notem que SQTr = SQ(A) + SQ(B) + SQ(AxB) e que as somas de 
quadrados associadas ao total e ao resíduo permanecem inalteradas. 
O novo quadro da ANOVA fica: 
 Fonte de variação gl SQ QM F 
Antibótico (A) 1 0,0208 0,0208 5,68 
Vitamina B12 (B) 1 0,2187 0,2187 59,65
 
Int. AxB 1 0,1728 0,1728 47,13 
Tratamentos (3) 0,4124 0,137 37,33 
Resíduo 8 0,0293 0,00367 
TOTAL 11 0,4417 
Da tabela apropriada, temos F(3, 8; 0,01) = 7,59; F(1, 8, 0,05) = 5,32 ; F(1, 8 ; 
0,01) = 11,26 Comparando os valores calculados das estatísticas F, podemos 
concluir que: 
 o teste para a interação AxB foi significativo (p < 0,01), indicando 
que o efeito da vitamina B12 na presença ou ausência de antibiótico 
é significativamente diferente. 
 
Como a interação AxB resultou significativa (veja o gráfico apresentado 
acima), as interpretações da significância dos testes dos efeitos simples de 
Antibiótico (A) e de Vitamina B12 (B) perdem o significado. Precisamos estudar 
a interação fazendo os seguintes desdobramentos: 
a) Desdobramento da interação AxB para estudar o comportamento dos 
fator A dentro de cada nível de vitamina B12 (b0 e b1) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1568,0
︶3︵2
︶29,8︵︶63,466,3︵3
1
︶︵2
︶︵
1
︶︵
,0368,0
︶3︵2
︶67,6︵︶10,357,3︵3
1
︶︵2
︶︵
1
︶︵
2
22
2
22
22
2
12
2
22
2
12
21
2
11
1
0








r
YYY
r
ASQ
r
YYY
r
ASQ
bdedentro
bdedentro
149 
 
Estatística Experimental 
Assim, monta-se a seguinte análise de variância do desdobramento dos 
graus de liberdade da interação A x B para se estudar o efeito do antibiótico 
no ganho de peso diário de suínos na ausência e na presença da vitamina B12. 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F Pr.Fc 
0bdedentro
A 1 0,0368 0,0368 10,04 0.0132 
1bdedentro
A 1 0,1568 0,1568 42,76 2e-04 
Residuo 8 0,0293 0,00367 
A linha do resíduo é a mesma da ANOVA anterior. 
Comparando os valores calculados da estatística F com o valor tabelado 
311Fe325F 0108105081 ,, ),;,(),;,(  , conclui-se que o efeito do fator antibiótico 
no peso diário de suínos no nível b0 de vitamina B12 é significativo (p<0,05) e 
significativo (p<0,01) no nível b1 da vitamina B12. Ou então, que: 
 Quando se utiliza a dose b0 de vitamina B12 existe uma diferença 
no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dado por 
KgbabaA bdedentro 16,019,103,10001)( 0  , e ela é 
significativa pelo teste F da ANOVA do desdobramento, indicando 
que somente o efeito do antibiótico prejudica o peso diário dos 
suínos, em média de 0,16 kg. 
 Quando se utiliza a dose b1 de vitamina B12 existe uma diferença 
no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dada por 
KgbabaA bdedentro 32,022,154,11011)( 1  
é significativa pelo teste F da ANOVA do desdobramento, indicando 
que a combinação dos níveis a1 do antibiótico e b1 da vitamina B12, 
favorece em média 0,32 kg o peso diário dos suínos. 
 
b) Desdobramento da interação AxB para estudar o comportamento dos 
fator B dentro de cada nível de antibiótico A (a0 e a1) (como exercício 
preencher os espaços) 

 
2
2
12
12
2
11adedentro
3
1
r2
Y
YY
r
1
BSQ
0
)(
)(
)(
)()(
 

 
2
2
22
22
2
21adedentro
3
1
r2
Y
YY
r
1
BSQ
1
)(
)(
)(
)()(
 
Assim, monta-se a seguinte análise de variância do desdobramento dos 
graus de liberdade da interação A x B para se estudar o efeito da vitamina B12 
no ganho de peso diário de suínos na ausência e na presença de antibiótico: 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
0adedentro
B 1 0,00135 0,00135 0,3682 
1adedentro
B 1 0,39015 0,39015 106,4045 
Residuo 8 0,0293 0,00367 
 
(Concluir como no desdobramento anterior) 
150 
 
Estatística Experimental 
Podemos comparar as médias de peso diário de suínos dos antibióticos, 
para cada uma dos níveis de vitamina B12, utilizando o Teste de Tukey (5%). 
Para tanto, calculamos: 
11400
3
0,00367 
263
3
QMR
q
r
QMR
qdms 05082050resíduodogla ,,),;,(),:,(  
Quadro auxiliar com as médias dos antibióticos para cada um dos níveis 
da vitamina B12, 
 b0 b1 
a0 1,19 A 1,22 A 
a1 1,03 B 1,54 B 
Obs.: médias seguidas pelas mesmas letras maiúsculas, nas colunas, não diferem entre si a 5% de 
probabilidade, pelo Teste de Tukey 
(fazer como exercício o teste de Tukey a 5%, para as linhas) 
Notação geral dos totais de um esquema fatorial 2 x 2 organizados em 
uma tabela 2x2, do tipo: 
(r) b0 b1 Totais 
a0 11Y 12Y 1Y 
a1 21Y 22Y 2Y 
TOTAL 1Y 2Y Y 
As fórmulas das Somas de Quadrados podem ser escritas de uma forma 
geral: 
)()()(
;
))()((
)(
)()(
))()((
)(
)()(
;
))()((
)(
)(
))()((
)...(
BSQASQSQTrBxASQ
rba
Y
YY
r2
1
BSQ
rba
Y
YY
r2
1
ASQ
rba
Y
YYYY
r
1
SQTr
rba
Y
YYSQT
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
22
2
21
2
12
2
11
2
2
222
2
111












 
Script no r para obter os resultados acima 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1 <- read.table("ex1fat.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1 
head(dados.ex1) 
 
# anexando o objeto dados.ex1 no caminho de procura 
attach(dados.ex1) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(g.peso, list(anti, vitb12), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator vitamina B12 
total.vitb12<- tapply(g.peso,vitb12,sum) 
total.vitb12 
151 
 
Estatística Experimental 
 
# calculo dos totais marginais do fator antibiótico 
total.anti<- tapply(g.peso,anti,sum) 
total.anti 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(g.peso, list(anti, vitb12), mean) 
int.media 
 
# calculo das médias marginais do fator vitamina B12 
media.vitb12<- tapply(g.peso,vitb12,mean)# calculo das médias do fator 
vitamina b12ibiótico 
media.vitb12 
 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.anti<- tapply(g.peso,anti,mean)# calculo das médias do fator vitb12 
media.anti 
 
# anova sem o desdobramento do fatorial 
gpeso.av <- aov(g.peso~trat) 
summary(gpeso.av) 
 
# quadro da anova no esquema fatorial 
gpesofat.av <- aov(g.peso~anti+vitb12+anti*vitb12) 
summary(gpesofat.av) 
 
# gráfico da interação 
interaction.plot(vitb12, anti, g.peso,col=2,lwd=2, 
ylab="médias",xlab="Vitamina B12", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
fat2.crd(anti, vitb12, g.peso, quali = c(TRUE, TRUE), mcomp = "tukey", 
fac.names = c("Antibiótico", "Vitamina B12")) 
 
# dms do teste de tukey para antibiótico dentro de cada nível da vitamina 
dms<- qtukey(0.95,2,8)*sqrt(anova(gpesofat.av)[4,3]/3) 
dms 
 
# retirando o objeto dados.ex1 do caminho de procura 
detach(dados.ex1) 
152 
 
Estatística Experimental 
 8º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL  
1) Num experimento fatorial 22 ou 2 x 2, no delineamento inteiramente casualizado, com 6 
repetições, foram estudadas as influências de 2 fatores (A: Antibiótico e B: Vitamina B12) sobre 
o ganho de peso diário em suínos. 
Os tratamentos utilizados foram: 
1- a0v0 - Testemunha = sem antibiótico e sem vitamina B12 
2- a1v0 - 40 
 g de antibiótico 
3- a0v1 - 5 mg de vitamina B12 
4- a1v1 - 40  g de antibiótico + 5 mg de vitamina B12. 
Os resultados do ganho de peso diários, em gramas, foram os seguintes: 
Tratamentos 1ª Rep. 2ª Rep. 3ª Rep. 4ª Rep. 5ª Rep. 6ª Rep. 
a0v0 590 540 491 532 545 544 
a1v0 476 454 476 481 464 463 
a0v1 572 549 540 558 563 562 
a1v1 690 708 703 712 691 721 
a) Escreva o modelo matemáticodeste experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando o programa R, pede-se: 
 Quadro dos Totais Quadro das Médias 
 b0 b1 Totais b0 b1 Médias 
 a0 a0 
a1 a1 
Totais Médias 
b) Formule as hipóteses estatísticas para os fatores do fatorial e monte o quadro da análise de 
variância com desdobramento dos graus de liberdade dos tratamentos de acordo com o 
esquema fatorial 2 x 2 e preencha os espaços das fórmulas abaixo: 
 
 
 
 
 
Complete o quadro da anova abaixo: 
 F. V. gl SQ QM F p 
Antibótico (A) 
Vitamina B12 (B) 
Int. AxB 
Tratamentos 
Resíduo 
TOTAL 
Conclusões: 
 
 
153 
 
Estatística Experimental 
Preencha as fórmulas abaixo com os seus respectivos valores 









   
 22
2
2
1i
2
j
6
1k
ijk
abr
Y
abr
y
CM
)...()(
 
 
  
 abr
y
ySQT
2r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk
)(
 
     222i CMybr
1
ASQ )()()(
 
     222 ︶︵︶︵1︶︵ CMyarBSQ j
 
   



22
2
22
2
21
2
12
2
11
...︶︵
︶︵
1
︶,︵︶︵︶︵
CMyyy
r
SQTr
sendoBSQASQSQTrBxASQ
 
 )(AxBSQSQBSQASQTSQR 
 








)1)(1(
)(
)(;
1
;
1
ba
AxBSQ
AxBQM
b
SQB
QMB
a
SQA
QMA
 




pdevalor
QMR
QMA
F
ababr
SQR
QMR
A
 
 pdevalor
QMR
QMB
FB 
 
 pdevalor
QMR
AxBQM
FAB
)( 
 
 
 
 
 
 
154 
 
Estatística Experimental 
c) Caso a interação seja significativa, fazer o desdobramento da interação, estimando testando 
os efeitos simples dos efeitos dos antibióticos dentro de vitaminas e da vitamina dentro de 
antibióticos (teste da análise de variância), ou seja, preencha as fórmulas abaixo e o quadro da 
anova 
 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p 
0bdedentro
A 
1bdedentro
A 
Resíduo 
Conclusões: 
 
 
 
 
 
Mostre como foi obtido os valores do quadro acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monte o quadro da anova abaixo e escreva as fórmulas para o desdobramento de Bdentro de ao e 
Bdentro de a1, 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p 
0adedentro
B 
1adedentro
B 
Residuo 
Conclusões: 
 
 
 
 
 
  
 
)(
)(
)()(
)(
)(
1
)(
2
22
2
12
21
2
110 rb
y
yy
r
ASQ bdedentro
  




)(
)(
)(
)(
)()(
)(
2
2
2
22
22
2
12bdedentro
2
1 r2
y
yy
r
1
ASQ
155 
 
Estatística Experimental 

 
2
2
12
12
2
11
︶︵︶︵
︶︵
︶︵
1
︶︵ 0 ra
yyy
r
BSQ adedentro
 

 
2
2
22
22
2
211
1
︶︵︶︵
︶︵
︶︵︶︵ ra
yyy
r
BSQ adedentro
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Ainda com relação ao item c), dê uma estimativa dos efeitos simples de antibióticos e de 
vitaminas e conclua se eles são significativos. Aplique o teste de Tukey para localizar as 
diferenças entre as médias dos antibióticos dentro de vitaminas e das médias das vitaminas 
dentro de antibióticos Represente as diferenças com as médias, seguidas de letras. Tire as 
conclusões práticas para este ensaio. Esboce o gráfico da interação. 

r
QMR
qdms resíduodogla )05,0:,( 
 b0 b1 Médias 
a0 
a1 
Médias 
Conclusões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboce o gráfico da interação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
156 
 
Estatística Experimental 
a) Dê uma estimativa dos efeitos simples de antibióticos e de vitaminas. 
 
 
 
b) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. 
 
 
 
 
 
 
g) Calcular os coeficientes de determinação (R2) e o de variação do experimento (CV). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(escrever um script no R para resolver esta questão) 
 
2) Num experimento fatorial 2 x 4 , no delineamento em blocos casualizados, com 2 repetições 
(2 Blocos), foram estudadas as influências da primeira alimentação de colostro no nível de 
imunoglobulina em vacas leiteiras. O fator A foi a quantidade de comida (0,5 e 1,5 kg) e o fator 
B foi o tempo da primeira alimentação (1, 2, 6, ou 12 horas depois do nascimento). Os valores 
observados são unidades de “turbidimetric” relativas ao sulfato de bário padrão de 20 quando o 
sangue foi amostrado 48 horas após o nascimento. O colostro foi misturado para eliminar a 
variação entre as vacas. 
 Tempo da 1ª alimentação 
Bloco Quantidade 
de comida 
(kg) 
 
1 
 
2 
 
6 
 
12 
I 0,5 7,9 10,2 6,1 2,3 
1,5 11,7 10,7 9,9 5,4 
II 0,5 9,5 6,0 7,8 7,1 
1,5 15,0 11,7 9,4 7,2 
Responder aos mesmos itens do exercício 1) (Atenção este é um fatorial 2 x 3) 
 
3) Um experimento foi realizado para estudar a influência no tempo de hemorragia do período, 
fator A, e um composto estrogênio, fator B , em plasma de sangue em ovelhas. Cinco ovelhas 
foram sorteadas para cada um dos quatros tratamentos: a1b1 – de manhã e sem estrogênio; 
a1b2 – de manhã com estrogênio; a2b1 – de tarde e sem estrogênio; a2b2 – de tarde com 
estrogênio 
 
Tratamentos Rep. 1 Rep. 2 Rep. 3 Rep. 4 Rep. 5 
a0 b0 8,53 20,53 12,53 14,00 10,80 
a0 b1 17,53 21,07 20,80 17,33 20,07 
a1 b0 39,14 26,20 31,33 45,80 40,20 
a1 b1 32,00 23,80 28,87 25,06 29,33 
Responder aos mesmos itens do ecercício 1) 
 
4) Um experimento para verificar o peso aos 180 dias de suínos com as raças Landrace e 
Large White, utilizou-se de 480 suínos, machos e fêmeas, sendo estes distribuídos em três 
suínoculturas. a) Quais os fatores que podem influenciar a resposta medida. b) Estabeleça um 
modelo matemático para o experimento. c) Faça um esquema da análise de variância (F.V. e 
g.l.) para o experimento. 
 
157 
 
Estatística Experimental 
5) Em um experimento realizado na Fazenda Experimental Iguatemi da Fundação Universidade 
Estadual de Maringá, para verificar o efeito de diferentes tipos de instalações durante o inverno 
e verão sobre o ganho de peso e conversão alimentar de coelhos da raça Nova Zelândia, aos 
40 e 70 dias de idade, foram utilizados 3 tipos de instalações, gaiolas ao ar livre, gaiolas de 
arame galvanizado em galpão aberto e gaiolas de arame galvanizado em galpão fechado. 
Utilizou-se 178 animais machos e fêmeas para a obtenção dos dados. a) Quais os fatores que 
podem influenciar a resposta medida. b) Estabeleça um modelo matemático para o 
experimento. c) Faça um esquema de análise de variância para o experimento. 
158 
 
Estatística Experimental 
Aula 9 Experimentos fatoriais: analisando um fatorial A x B 
O método de análise de um experimento fatorial 2 x 2 pode, de uma maneira geral, ser 
estendido a qualquer experimento fatorial A x B. A estratégia para analisar um 
experimento fatorial a x b é a mesma utilizada para os experimentos fatoriais 2 x 2. 
 teste a interação entre os dois fatores. 
 se a interação é significativa, então analisamos os efeitos simples 
dos dois fatores. 
 se a interação é não significativa, então analisamos os efeitos 
principais de cada fator 
 
Exemplo 1 Casualização dos tratamentos de um esquema fatorial 2 x 3 em 
DBC com 4 repetições: 
 
 Tratamentos 
 b1 a1b1 
a1 b2 a1b2 
 b3 a1b3 
 
 b1 a2b1 
a2 b2 a2b2 
 b3 a2b3 
 
Com o seguinte esquema da ANOVA 
Fonte de Variação g l 
Fator A a - 1 
Fator B b - 1 
Int. A x B (a – 1)(b – 1) 
Tratamentos ab - 1 
Blocos r -1 
Resíduo (ab -1)(r – 1) 
Total abr - 1 
 
De uma maneira geral as somas de quadrados são dadas por: 
︶︵︶︵︶︵︶,︵︶︵︶,︵︶︵
;...︶︵
;...︶︵
;...
︶...︵
2
.
22
2
2
1
222
2
2
1
222
12
2
11
2
22
111
BSQASQSQTrAxBSQouBSQASQBASQAxBSQ
abr
Y
ar
Y
ar
Y
ar
YBSQ
abr
Y
br
Y
br
Y
br
YASQ
abr
Y
r
Y
r
Y
r
YSQTr
abr
YYYSQT
j
i
ab
abk









 
Como dissemos na aula passada: nos fatoriais A x B a Soma de 
Quadrados Conjunta SQ(A,B) é igual à Soma de Quadrados dos Tratamentos 
SQTr. 
Bloco I Bloco IIBloco III Bloco IV 
a2b1 a2b3 a1b2 a1b1 
a1b2 a2b2 a2b1 a1b3 
a2b2 a1b1 a2b2 a2b1 
a2b3 a2b1 a1b3 a2b2 
a1b1 a1b2 a2b3 a1b2 
a1b3 a1b3 a1b1 a2b3 
159 
 
Estatística Experimental 
Quadro da ANOVA no DIC 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
A a-1 S.Q.(A) Q.M.(A) FA 
B b-1 S.Q.(B) Q.M.(B) FB 
Interação A x B (a-1)(b-1) S.Q.(AB) Q.M.(AB) FAB 
Tratamentos ab-1 S.Q. Trat. Q.M. Trat. FTr 
Resíduo ab (r-1) S.Q. Res. Q.M. Res. 
Total abr-1 S.Q. Total 
Exemplo 1. Fatorial 2 x 3 (com interação não significativa): 
O crescimento do conteúdo de água em tecidos de lesmas sob 6 
diferentes condições experimentais foi avaliada. As 6 condições foram obtidas 
combinado-se os dois níveis de temperatura (fator A) com três níveis de 
umidade (fator B) com. Foram feitas 4 repetições para cada combinação de 
tratamento. Os resultados, em porcentagem, foram : 
Fator A 
(Temperatura ºC) 
Fator B – Umidade (%) 
45 75 100 
 
20 
76 64 72 82 100 96 
79 71 86 86 92 100 
 
30 
72 72 72 75 100 94 
64 70 82 84 98 99 
 Formato no Excel (.xls) Formato no Bloco de notas (.txt) 
Temp umi trat ca 
20 45 t1 76 
20 45 t1 64 
20 45 t1 79 
20 45 t1 71 
20 75 t2 72 
20 75 t2 82 
20 75 t2 86 
20 75 t2 86 
20 100 t3 100 
20 100 t3 96 
20 100 t3 92 
20 100 t3 100 
30 45 t4 72 
30 45 t4 72 
30 45 t4 64 
30 45 t4 70 
30 75 t5 72 
30 75 t5 75 
30 75 t5 82 
30 75 t5 84 
30 100 t6 100 
30 100 t6 94 
30 100 t6 98 
30 100 t6 99 
 
temp umi trat ca 
20 45 t1 76 
20 45 t1 64 
20 45 t1 79 
20 45 t1 71 
20 75 t2 72 
20 75 t2 82 
20 75 t2 86 
20 75 t2 86 
20 100 t3 100 
20 100 t3 96 
20 100 t3 92 
20 100 t3 100 
30 45 t4 72 
30 45 t4 72 
30 45 t4 64 
30 45 t4 70 
30 75 t5 72 
30 75 t5 75 
30 75 t5 82 
30 75 t5 84 
30 100 t6 100 
30 100 t6 94 
30 100 t6 98 
30 100 t6 99 
 
 
 
 
Os totais das 4 repetições para o fatorial A x B = (2)(3)= 6 tratamentos 
são os seguintes: 
160 
 
Estatística Experimental 
(4) 
Níveis de A 
(Temperatura ºC)) 
 
Níveis de B (Umidade (%)) 
 
b1 = 45 % b2 = 75 % b3 = 100 % Total 
a1 = 20 ºC 290 326 388 1004 
a2 = 30 ºC 278 313 391 982 
Total 568 639 779 1986 
Cálculos das soma de quadrados: 
08,2075,288117,200,2922
︶︵︶︵︶*︵
;75,2881
︶4︶ ︵3︶ ︵2︵
1986
︶4︶ ︵2︵
779...
︶4︶ ︵2︵
568
︶︵
;17,20
︶4︶ ︵3︶ ︵2︵
1986
︶4︶ ︵3︵
982
︶4︶ ︵3︵
1004
︶︵
;0,2922
︶4︶ ︵3︶ ︵2︵
1986
4
491...
4
326
4
290
5,3386
︶4︶ ︵3︶ ︵2︵
1986
︶99...76︵
222
222
2222
2
22






BSQASQSQTrBASQ
BSQ
ASQ
SQTr
SQT
 
Quadro da anova 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F Pr>(Fc) 
Temperatura (A) 1 20,17 20,17 0,78ns 0.388 
Umidade (B) 2 2881,75 1440,88 55,85
** 1.91e-08 
Interação A x B 2 20,08 10,04 0,39ns 0.683 
Tratamentos (5) 2922,0 584,40 22,65* 3.48e-07 
Resíduo 18 464,5 25,81 
Total 23 3386,5 
F(1, 18; 0,05) = 4,41 ; F(1, 18, 0,01)= 8,29; F(2, 18; 0,05)= 3,55; F(2, 18, 0,01)= 6,01 
F(5, 18; 0,05) = 2,77; F(5, 18, 0,01)= 4,25 
Do quadro acima, observamos que o teste da interação entre a 
temperatura e umidade não é significativa (p>0,05), e concluímos que os dados 
não suportam a hipótese de uma interação entre temperatura e umidade. Dado 
que a interação não foi significativa, a análise prossegue analisando-se os 
efeitos principais da temperatura e da umidade isoladamente. Isto pode ser 
feito analisando-se os dois tipos de diferenças: 
 as diferenças entre os conteúdos médios da água nos tecidos nos 
dois níveis de A (temperatura). 
 as diferenças entre os conteúdos médios da água nos tecidos nos 
três níveis de B (umidade). 
O teste F para o efeito principal A é não significativo (p>0,05), e portanto 
não existe evidências suficientes para concluir que os valores médios do 
conteúdo da água nos tecidos são diferentes nos dois níveis de temperatura, 
entretanto, o teste F para o efeito principal da umidade é altamente significativo 
(p<0,01), o que implica que os dados suportam a conclusão de que os valores 
médios do conteúdo da água nos tecidos não são os mesmos nos três níveis 
da umidade. 
Isto pode ser visualizado na tabela de médias abaixo (última linha): 
 
161 
 
Estatística Experimental 
Quadro de médias dos tratamentos 
(4) 
(Temperatura ºC)) 
Níveis de B ( Umidade (%) ) 
b1 = 45 % b2 = 75 % b3 = 100 % Médias 
a1 = 20 ºC 72,50 81,50 97,00 83,67 A 
a2 = 30 ºC 69,50 78,25 97,75 81,83 A 
Médias 71,00 c 79,88 b 97,38 a 82,75 
Médias com a mesma letra maiúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Médias com a mesma letra minúscula nas linhas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Fazendo o gráfico da interação (níveis de b no eixo x e níveis de a em y) 
 
Cálculos do teste de Tukey: 
 para o efeito principal A (temperatura): 
 
364
12
8125
972dms
972q
A
050182
,
,
,
,),;,(


 
 para o efeito principal de B (Umidade): 
 
486
8
8125
9o63dms
6093q
B
050183
,
,
,
,),;,(


 
Gráfico das médias dos tratamentos
Interação A x B
Umidade (%)
M
éd
ia
 o
bs
er
va
da
 d
o 
co
nt
eú
do
 d
a 
ág
ua
 (
%
)
66
72
78
84
90
96
102
45 75 100
 20 º C
 30 º
 Média
 
 
O gráfico das médias dos tratamentos fornece um conveniente método 
de mostrar os resultados. As linhas sólidas no gráfico da interação são 
162 
 
Estatística Experimental 
praticamente paralelas, isto confirma o resultado do teste F para a interação 
entre temperatura e umidade. Mais ainda, a proximidade das duas linhas 
sólidas indica que as diferenças entre as respostas médias observadas nas 
duas temperaturas são não significativas; esta conclusão é confirmada pelo 
teste F do efeito principal da temperatura. Uma checagem gráfica para 
presença do efeito principal da umidade é dada pela orientação da linha 
pontilhada. Se o efeito principal de tal efeito não estivesse presente, então a 
linha pontilhada deveria estar paralela ao eixo x. O gráfico mostra que não é 
este o caso. O teste F para o efeito principal de B (umidade) suporta esta 
conclusão. 
Outra forma de explicar a significância do fator B é por meio da 
regressão polinomial, ou seja, as diferenças entre as médias do fator umidade 
são explicadas por equação do segundo grau 
Gráfico das médias do fator B
Equação ajustada
y=82.471-0.585*x+0.007*x^2+eps
Umidade (%)
M
éd
ia
s 
do
s 
co
nt
eú
do
 d
a 
ág
ua
 (
%
)
68
72
76
80
84
88
92
96
100
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
 
Script no R para obter os resultados do exemplo 1 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1_9 <- read.table("ex1fat_9.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1_9 
head(dados.ex1_9) 
 
# anexando o objeto dados.ex1_9 no caminho de procura 
attach(dados.ex1_9) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(ca, list(temp, umi), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator temperatura 
total.temp<- tapply(ca,temp,sum) 
total.temp 
 
# calculo dos totais marginais do fator umidade 
total.umi<- tapply(ca,umi,sum) 
total.umi 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(ca, list(temp, umi), mean) 
163 
 
Estatística Experimental 
int.media 
 
# calculo das médias marginais do fator temp 
media.temp<- tapply(ca,temp,mean) 
media.temp 
 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.umi<- tapply(ca,umi,mean) 
media.umi 
 
# anova sem o desdobramento do fatorial 
ca.av <- aov(ca~trat) 
summary(ca.av) 
 
# quadro da anova no esquema fatorial 
cafat.av <- aov(ca~factor(temp)+factor(umi)+factor(temp)*factor(umi)) 
summary(cafat.av) 
 
# gráfico da interação 
interaction.plot(umi, temp, ca,col=2,lwd=2, 
ylab="médias de ca",xlab="níveis da umidade", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
fat2.crd(factor(temp), factor(umi),log( ca+1), quali = c(TRUE, TRUE), 
mcomp = "tukey", 
fac.names = c("Temperatura", "Umidade")) 
 
# dms do teste de tukey para fator temperatura 
dmsa<- qtukey(0.95,2,18)*sqrt(anova(cafat.av)[4,3]/12)dmsa 
 
# dms do teste de tukey para fator umidade 
dmsb<- qtukey(0.95,3,18)*sqrt(anova(cafat.av)[4,3]/8) 
dmsb 
 
# Regressão Linear 
# Definição de x e y 
x <- c(45,75,100) 
ca.media <- tapply(ca,umi,mean) #c(71.0, 79.88, 97.38) 
ca.media 
 
#ajuste da equação linear 
reg.lin <- lm(ca.media~um ) 
reg.lin 
plot(um,ca.media,pch=16,xlab="umidade") 
abline(reg.lin,col=2,lwd=2) 
 
# análise de variância para testar se o coef angular é significativo 
anova(reg.lin) 
164 
 
Estatística Experimental 
# ajuste de uma equação quadrática 
reg.quad <- lm(ca.media ~ um + I(um^2)) 
reg.quad 
 
# desenhando a curva ajustada e adicionado ao gráfico 
curve(82.488636 -0.585985*x+0.007348*x*x, 40,100, lwd=2,col=4,add=T) 
 
# retirando o objeto dados.ex1_9 do caminho de procura 
detach(dados.ex1_9) 
 
Exemplo 2: Análise e interpretação de um experimento fatorial com três fatores 
Esquema fatorial 2 x 2 x 2 = 23 em um delineamento em blocos 
casualizados (DBC)para estudar a produção de leite de vacas holandezas 
arranjadas em 6 lotes com a mesma idade. 
idade) de classes 6 ( Blocos 6
B vitamina de mg 5 : c2
B vitamina de mg 0 : c1
milho de rolão de kg 1,0 : b2
milho de rolão de kg 0,5 : b1
B tipo ração de kg 0,5 : a2
 Atipo ração de kg 0,5 : a1
:.
12
12







































2222
1221
2
2122
1221
1
2
2212
1211
2
2112
1111
1
1
cbac
cbac
b
cbac
cbac
b
a
cbac
cbac
b
cbac
cbac
b
a
sendoTrat
 
Dados 
Níveis dos 
fatores 
BLOCOS 
A B C I II III IV V VI Total 
1 1 1 3,029 3,857 2,448 2,448 3,543 4,314 19,639 
1 1 2 2,438 3,086 3,771 4,657 1,962 3,210 19,124 
1 2 1 3,448 3,600 3,895 4,267 3,086 3,657 21,953 
1 2 2 3,533 5,048 3,467 4,095 1,876 2,895 20,914 
2 1 1 3,362 3,714 3,429 3,190 2,686 4,038 20,419 
2 1 2 4,905 6,295 4,924 4,952 5,381 5,543 32,000 
2 2 1 4,171 3,114 4,124 3,981 3,038 3,590 22,018 
2 2 2 4,476 4,752 4,848 4,676 6,829 3,771 29,352 
Total 29,362 33,466 30,906 32,266 28,401 31,018 185,419 
 Para calcular as somas de quadrados dos efeitos A, B e C, inicialmente 
devemos organizar quadros auxiliares, que relacionam os níveis dos fatores 2 
a 2, o que dá 3 quadros A com B, A com C e B com C. 
Exemplo: Quadro I (A x B) totais de : 
 
a1b1 = a1b1c1 + a1b1c2 = 19,639 + 19,124 = 38,763 
a1b2 = a1b2c1 + a1b2c2 = 21,953 + 20,914 = 42,867 
a2b1 = a2b1c1 + a2b1c2 = 20,419 + 32,000 = 52,419 
a2b2 = a2b2c1 + a2b2c2 = 22,018 + 29,352 = 51,370 
 
 
 
 
165 
 
Estatística Experimental 
Quadro I (totais da interação A x B) 
 
(12) 
Níveis de A 
(Qtde de ração) 
 
 Níveis de B (Rolão de milho kg) 
b1 = 0,5 kg b2 = 1,0 kg Total 
a1 = 0,5 kg de A 38,763 42,867 81,630 
a2 = 0,5 kg de B 52,419 51,370 103,789 
Total 91,182 94,237 185,419 
 
Quadro II (totais da interação A x C) 
(12) 
Níveis de A 
(Qtde de ração) 
 
Níveis de C (Dose de vit. B12 mg) 
c1 = 0,0 mg c2 = 5,0 mg Total 
a1 = 0,5 kg de A 41,592 40,038 81,630 
a2 = 0,5 kg de B 42,437 61,352 103,789 
Total 84,029 101,390 185,419 
 
Quadro III (totais da interação B x C) 
(12) 
Níveis de B 
 Níveis de C (Dose de vit. B12 mg) 
c1 = 0,0 mg c2 = 5,0 mg Total 
b1 = 0,5 kg 40,058 51,124 91,182 
b2 = 1,0 kg 43,971 50,266 94,237 
Total 84,029 101,390 185,419 
 
Somas de quadrados da ANOVA preliminar: 
;,
))()()((
,
))((
,
))((
,
)(
;,
))()()((
,
))((
,
))((
,
)(
;,
))()()(())((
,
))((
,
)(
,
;,
))()()((
,
),...,(
;,
))()()((
,,
...
,
;,
))()()((
,
),...,(
2796
6222
419185
122
390101
122
02984
CSQ
1940
6222
419185
122
23794
122
18291
BSQ
23010
6222
185419
122
789103
122
63081
ASQ
96320SQBlSQTrSQTSQR
1342
6222
419185
0183136229
8
1
SQBl
74826
6222
419185
6
35229
6
45919
SQTr
84549
6222
419185
31440293SQT
222
222
222
2
22
222
2
22








 
Para o cálculo das soma de quadrados das interações precisamos 
calcular as somas de quadrados conjuntas. Para a interação AxB, temos: 
568019402301019210BSQASQBASQAxBQS
99210
6222
419185
3705176338
12
1
BASQ
2
22
,,,,)()(),()(.
,
))()()((
,
),...,(),(


 
 
Para a interação AxC, temos: 
166 
 
Estatística Experimental 
729,8279,6230,10238,25︶︵
358,25
︶6︶ ︵2︶ ︵2︶ ︵2︵
419,185
︶352,61...592,41︵12
1
︶,︵
2
22


AxCSQ
CASQ
 
 
Para a interação BxC, temos: 
4750279619409486BxCSQ
9486
6222
419185
2665005840
12
1
CBSQ
2
22
,,,,)(
,
))()()((
,
),...,(),(


 
 
2890BxCSQAxCSQAxBSQ
CSQBSQASQSQTrAxBxCSQ
,)()()(
)()()()(


 
Fonte de variação Gl S.Q. Q.M. F 
Ração (A) 1 10,230 10,230 17,078**
Rolão (B) 1 0,194 0,194 0,324ns
Vitamina B12 (C) 1 6,279 6,279 10,482
**
Int.( AxB) 1 0,568 0,568 0,948ns
Int. (AxC) 1 8,729 8,729 14,573**
Int. ( BxC) 1 0,475 0,475 0,793ns
Int. (AxBxC) 1 0,289 0,289 0,482ns
Tratamentos (7) 26,748 3,821 6,380**
Blocos 5 2,134 0,427 0,713ns
Resíduo 35 20,963 0,599 
Total 47 48,845 
F(5, 35; 0,05) = 2,49 F(3, 35; 0,01) = 3,61 F(1, 35; 0,05) = 4,13 F(1, 35; 0,01) = 7,44 
 
Conclusões: 
 a interação AxBxC é não significativa (p>0,05), indicando a 
possibilidade de independência entre os fatores conjuntamente. 
 os testes F das interações duplas indicam que somente a interação 
AxC é significativa (p<0,01), ou seja, os dados suportam uma 
conclusão de que os tipos de rações interagem com a dose de 
vitamina B12 na produção de leite. 
 
Desdobramento da interação AxC: estudo dos efeitos simples do fator 
ração (A) nos níveis das doses de vitamina B12 (C) 
 Cálculo da SQ do efeito da ração na ausência da vitamina B12 
0300
24
02984
4374259241
12
1
ASQ
2
22
Cdentro 1
,
,
),,()(  
 Cálculo da SQ do efeito da ração na presença da vitamina B12 
92918
24
390101
3526103840
12
1
ASQ
2
22
Cdedentro 2
,
,
),,()(  
Quadro da ANOVA do desdobramento: 
 
Fonte de variação gl. SQ QM F 
1Cdedentro
A 1 0,030 0,030 0,0497*
2deCdentro
A 1 18,929 18,929 31,601** 
Resíduo 35 20,963 0,599 
 
167 
 
Estatística Experimental 
Conclusão: as rações produzem efeito significativo (p<0,05) na ausência 
da vitamina B12, enquanto que na presença da vitamina B12 as rações têm 
efeito significativo (p<0,01) diferenciado. 
Desdobramento da interação AxC: estudo dos efeitos simples do fator 
vitamina (C) nos níveis das Rações (A) 
 Cálculo da SQ do efeito da vitamina no nível a1 da ração 
1026,0
24
029,84
︶038,40592,41︵12
1
︶︵
2
22
1 adentroCSQ 
 Cálculo da SQ do efeito da vitamina no nível a2 da ração 
9074,14
24
789,103
︶352,61437,42︵12
1
︶︵
2
22
2
adedentroCSQ 
Quadro da ANOVA do desdobramento: 
Fonte de variação gl. SQ QM F 
1adedentro
C 1 0,1006 0,1006 0,168
NS
2deadentro
C 1 14,9074 14,9074 24,88
**
Resíduo 35 20,963 0,599 
Conclusão: as vitaminas não produzem efeito significativo (p>0,05) na 
ração tipo A, enquanto que na ração tipo B a vitamina B12 tem efeito 
significativo (p<0,01) diferenciado. 
 
Exemplo 4 Análise de um fatorial 3 x 4 : experimento sobre a qualidade do 
ovo, em unidades Haugh, segundo 3 embalagens e 4 tempos de 
armazenamento de estocagem. 
Embalagem Tempo Blocos 
Ai Bj I II III IV 
1 1 66 52 57 68 
1 2 47 47 32 43 
1 3 43 50 39 40 
1 4 20 23 43 41 
2 1 81 68 60 55 
2 2 62 34 44 45 
2 3 43 41 47 54 
2 4 51 32 29 34 
3 1 81 82 80 78 
3 2 84 68 66 65 
3 3 58 43 37 57 
3 4 75 45 59 48 
Quadro da anova 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Embalagem (A) 2 3427,125 1713,562 24,586**
Tempo (B) 3 5186,229 1728,748 24,803
**
Interação A x B 6 768,708 128,118 1,838ns
Tratamentos (11) 9382,06 852,91 12,24**
Blocos 3 829,729 276,576 3,968*
Resíduo 33 2300,021 69,697 
Total 47 12511,812 
 
Conclusões: 
 o efeito da interação A x B é não significativo (p>0,05), ou seja, 
existe uma independência entre os fatores. 
 efeito do fator embalagem (A) é significativo (p<0,05). 
168 
 
Estatística Experimental 
 efeito do fator tempo(B) é significativo (p<0,05). 
Teste de Tukey para o fator A 
287
16
69769
493dms
493q
A
050333
,
,
,
,),,,(


 
Teste de Tukey para o fator B 
289
12
69769
853dms
853q
B
050334
,
,
,
,),,,(


 
Quadro dos valores médios observados 
 
(4) B1 B2 B3 B4 
iY 
A1 60,75 42,25 43,00 31,75 44,44 B 
A2 66,00 46,25 46,25 36,50 48,75 B 
A3 80,25 70,75 48,75 56,75 64,12 A 
 jY 
69,00 a 53,08 b 46,00 bc 41,67 c 52,44 
Médias com a mesma letra minúscula nas linhas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Médias com a mesma letra maiúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
 
Exemplo 5 Em um experimento de substituição do farelo de soja pelo farelo de 
girassol na ração de suínos, montou-se um experimento fatorial 2x5, com os 
fatores Sexo (machos e fêmeas) e Ração com substituição de farelo de soja 
por farelo de girassol (0%, 25%, 50%, 75% e 100%), utilizando-se 30 suínos 
(15 machos e 15 fêmeas) castrados da raça Duroc-Jersey, num delineamento 
em blocos casualizados com 3 repetições, de acordo com os grupos de pesos 
iniciais. Os resultados de ganho de peso dos animais aos 112 dias de 
experimento estão apresentados na tabela a seguir: 
 
Bloco 
Machos Fêmeas 
G0 G25 G50 G75 G100 G0 G25 G50 G75 G100 
1 85,0 94,5 99,5 93,0 83,0 77,9 71,5 67,5 71,5 89,5
2 86,0 96,0 98,0 96,0 80,0 83,2 73,5 63,5 70,8 91,8
3 84,0 95,8 104,0 90,5 78,5 83,5 70,5 65,0 72,5 92,9
 Total 255,0 286,3 301,5 279,5 241,5 244,6 215,5 196,0 214,8 274,2
Pede-se: 
 Montar os quadros auxiliares dos totais e das médias, da Análise 
de Variância e fazer um estudo do desdobramento da interação 
entre os fatores os testes convenientes; 
 Construir gráficos da interação para ilustrar o comportamento das 
respostas médias dos fatores Sexo e Ração. 
 
 
 
 
169 
 
Estatística Experimental 
Quadros auxiliares 
Sexo 
Ração 
Total G0 G25 G50 G75 G100 
1 255,0 286,3 301,5 279,5 241,5 1363,8 
2 244,6 215,5 196,0 214,8 274,2 1145,1 
Total 499,6 501,8 497,5 494,3 515,7 2508,9 
 
Bloco B1 B2 B3 Total 
Total 832,9 838,8 837,2 2508,9 
 
 
(Resolver os exemplos 4) e 5) no R) 
170 
 
Estatística Experimental 
9º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Num experimento fatorial 32 = 3 x 3, com os fatores A e B, no delineamento em blocos ao 
acaso, com 4 repetições, para se estudar uma determinada característica, foram obtidos os 
seguintes resultados 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 4º Bloco 
a0b0 25,3 24,2 24,3 33.0 
a0 b1 31,6 29,7 30,6 32,2 
a0 b2 19,7 18,2 16,0 17,0 
a1 b0 24,7 34,7 28,9 27,6 
a1 b1 28,4 44,4 41,1 38,4 
a1 b2 30,8 42,4 33,6 35,1 
a2 b0 37,2 47,6 38,6 40,6 
a2 b1 42,6 45,8 38,4 43,4 
a2 b2 56,0 58,8 57,0 55,0 
Os resultados da análise de variância preliminar foram: 
FV G.L. S. Q. Q. M. F P 
Blocos 3 150,3 50,1 4,2 0,016
Tratamentos 8 3967,3 495,9 
41,8 0,000 
Resíduo 24 284,3 11,8 
 Total 35 4401,9 
 
a) Checar os resultados do quadro da ANOVA acima e concluir, em seguida fazer a análise de 
variância com o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, segundo o 
esquema fatorial e concluir. 
b) No desdobramento da interação fazer a análise de variância do desdobramento e aplicar o 
teste de Tukey (5%) valores médios do fator A nos níveis do fator B e vice versa. 
c) Calcular os coeficientes de determinação e de variação do experimento. 
 
2) Um experimento fatorial 2 x 5, com os fatores Sexo (A) e Ração (B) , em um delineamento 
em blocos ao acaso, com 3 repetições, foi realizado para se estudar a “Substituição do farelo 
de soja pelo farelo de girassol em ração de suínos” (Kronka,1969)- BIA, n.26 pg 147-154. Os 
dados abaixo referem-se ao ganho de peso (kg) em 112 dias de experimento. 
Descrição dos fatores : Sexo a1 : Machos; a2 : Fêmeas 
Rações: 
b1 : Ração Básica (RB) + farelo de soja (100%); 
b2 : RB + farelo de soja (75%) + farelo de girassol (25%); 
b3 : RB + farelo de soja (50%) + farelo de girassol (50%); 
b4 : RB + farelo de soja (25%) + farelo de girassol (75%); 
b5 : RB + farelo de girassol (100%); 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 
a1 b1 95,0 86,0 94,0 
a1 b2 91.5 99,0 94,0 
a1 b3 94,5 93,0 94,0 
a1 b4 89,0 86,0 90,5 
a1 b5 93,0 80,0 78,0 
a2 b1 87,0 79,0 84,0 
a2 b2 91,0 93,5 103,5 
a2 b3 77,5 68,5 70,0 
a2 b4 82,5 80,5 82,5 
a2 b5 64,5 65,5 60,5 
 
Resultados da anava preliminar 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Blocos 2 60,02 30,01 1,56ns
Trat. 9 2994,54 332,73 17,34**
Res. 18 345,48 19,19 
Total 29 3400,04 
171 
 
Estatística Experimental 
a) Checar os resultados do quadro da ANOVA acima e concluir, em seguida fazer a análise de 
variância com o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, segundo o esquema 
fatorial e concluir. 
b) Fazer a análise de variância com o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, 
segundo o esquema fatorial e teste a significância da interação entre os efeitos. Se a interação 
for significativa teste a diferença média dos ganhos de peso do efeito de sexo para cada ração 
e as diferenças entre os valores médios das rações para cada sexo. 
c) Calcular os coeficientes de determinação e de variação do experimento. 
172 
 
Estatística Experimental 
Aula 10 Experimentos em parcela subdividida 
1 Introdução 
Nos experimentos fatoriais ou esquemas fatoriais os tratamentos 
gerados pelas combinações dos níveis dos fatores são designados às unidades 
experimentais de acordo com o procedimento de aleatorização do 
delineamento inteiramente casualizado (DIC), ou do delineamento em blocos 
casualizados (DBC), ou do delineamento em quadrado latino (DQL). 
Entretanto, outros tipos de aleatorização são possíveis. Uma dessas 
aleatorizações alternativas dá origem aos experimentos em parcelas 
subdivididas, os quais são um caso especial de blocos incompletos. O 
princípio básico deste delineamento é que parcelas principais que recebem 
níveis de um fator são subdivididas em subparcelas ou subunidades, as quais 
recebem os níveis de um outro fator. Assim cada parcela funciona como um 
bloco para as subparcelas. Os níveis do fator sorteado nas parcelas são 
denominados de tratamentos principais e os níveis do fator sorteados nas 
subparcelas são denominados de tratamentos secundários. O delineamento 
em parcela subdividida teve sua origem na experimentação agronômica, com 
as parcelas, quase sempre, sendo grandes áreas de solo e as subparcelas 
sendo áreas menores de solo dentro das grandes áreas. Os tratamentos 
principais são distribuídos às parcelas de acordo com um delineamento 
especificado (DIC, DBC, DQL etc.) e os tratamentos secundários são 
distribuídos aleatoriamente às subparcelas dentro de cada parcela. 
A seguir apresentamos um possível croqui de um experimento em 
parcelas subdivididas com o Fator A, com 2 níveis (tratamentos principais) 
aplicados às parcelas de acordo com um delineamento em blocos casualizados 
com 3 repetições e o Fator B, com 3 níveis (tratamentos secundários) aplicados 
às subparcelas. Vale notar que os níveis de A são sorteados entre as duas 
parcelas de cada bloco e os níveis de B são sorteados entre as três 
subparcelas de cada parcela. 
 BLOCO 1 BLOCO 2 BLOCO 3 
 
Parcelas A1 A2 A2 A1 A2 A1 
 
Subparcelas 
 B1 B2 B3 B2 B1 B2 
B3 B3 B2 B3 B3 B3 
B2 B1 B1 B1 B2 B1 
 
Se os tratamentos estivessem num esquema fatorial, o croqui poderia 
ser: 
BLOCO 1 BLOCO 2 BLOCO 3 
A1B1 A1B2 A1B3 A2B2 A1B1 A2B2 
A2B3 A1B3 A2B2 A1B3 A2B3 A1B3 
A2B2 A2B1 A2B1 A1B1 A1B2 A2B1 
ou seja, o delineamento em parcelas subdivididas representa uma restrição à 
casualização completa existente em um ensaio fatorial envolvendo o mesmo 
número de fatores e de níveis. 
Na análise estatística desses experimentos, as Fontes de Variação que 
fazem parte da variação entre as parcelas (Fator-A e Blocos, por exemplo) são 
usualmente agrupadas separadamente daquelas que fazem parte da variação 
dentro das parcelas ou entre as subparcelas (Fator-B e interação AxB). Neste 
caso, temos doisresíduos distintos: um referente às parcelas e outro referente 
às subparcelas. 
173 
 
Estatística Experimental 
 
2 Análise de variância 
No quadro a seguir, apresentaremos a partição dos graus de liberdade 
de um experimento em parcelas subdivididas com “a” tratamentos primários, 
“b” tratamentos secundários, “r” repetições em diferentes delineamentos para 
os tratamentos aplicados às parcelas. 
 
3 Modelo matemático e suposições 
Considerando um experimento em parcelas subdivididas envolvendo “a” 
tratamentos primários arranjados em um DIC com “r” repetições e “b” 
tratamentos secundários, o modelo pode ser descrito como: 
b1ja1ir1k
comY ijkijjikiijk
,...,;,...,;,...,
,)(

 
 
 ).(),(~
);)((),(~
;)(
;
;
:
berro0Naleatórioerrodoefeito
aerro0NAdenívelésimoiorecebendoparcelaésimakdaefeito
BdenívelésimojeAdenívelésimoidoconjuntoefeitooe
subparcelanaBdenívelésimojdoefeitoo
principalparcelanaAdenívelésimoidoefeitoogeralmédiaa
sendo
2
ijk
2
ik
ij
j
i










Um esquema de análise de variância para este modelo é 
Parcelas Sub-divididas no D.I.C. (“r” repetições) 
Fonte de Variação g.l. 
A (a-1) 
Resíduo (a) a(r-1) 
(Parcelas) (ar-1) 
B (b-1) 
AxB (a-1)(b-1) 
Resíduo (b) a(r-1)(b-1) 
Total abr-1 
 
Considerando agora, um experimento em parcelas subdivididas 
envolvendo “a” tratamentos primários arranjados em “r” blocos casualizados e 
“b” tratamentos secundários, o modelo pode ser escrito como: 
 
b1ja1ir1k
comY ijkijjikikijk
,...,;,...,;,...,
,)(

 
 
 
174 
 
Estatística Experimental 
),(~
);,(~
;
;
)(;,
,;
:
2
ijk
2
ik
ik
k
ijj
i
0Naleatórioerrodoefeito
0Ne
blocoésimoknoprincipalparcelanaAdenívelésimoidoconjuntoefeitoo
blocoésimokdoefeitoo
BdenívelésimojeAdenívelésimoi
deconjuntoefeitooesubparcelanaBdenívelésimojdoefeitoo
principalparcelanaAdenívelésimoidoefeitoogeralmédiaa
sendo













 Um esquema de análise de variância para este modelo é 
 
Parcela Subdivida no D.B.C.(“r” blocos) 
Fonte de Variação g.l. 
Blocos (r-1) 
A (a-1) 
Resíduo (a) (a-1)(r-1) 
(Parcelas) (ar-1) 
B (b-1) 
AxB (a-1)(b-1) 
Resíduo (b) a(r-1)(b-1) 
Total abr-1 
 
4 Hipótese estatística 
As seguintes hipóteses podem ser testadas nos experimentos em 
parcelas subdivididas. 
 A hipótese de que não existe ou existe interação AB é equivalente 
às hipóteses estatísticas 
b1jea1icom0H
0H
ij11
ij01
...,,...,,)(:
)(:




 
e para testá-las, usamos a estatística 
 ;);Re..;int..(~)(Re bsdolgeraçãodalg01
F
bsQM
QMAB
F  , 
a qual sob H0, tem distribuição F-Snedecor com graus de liberdade 
da interação no numerador e graus de liberdade do resíduo (b) no 
denominador. 
No DIC temos ));)(();)((( 1b1ra1b1aF  , no DBC temos ));)(();)((( 1b1ra1b1aF  . 
 A hipótese de que não existe ou existe efeito principal do fator A é 
a1icom0H
0H
i12
i02
...,,:
:




, 
e para testá-las, usamos a estatística 
 ;);Re..;..(~)(Re asdolgAfatordolg02
F
asQM
QMA
F  , 
a qual sob H0, tem distribuição F-Snedecor com graus de liberdade 
do fator A no numerador e graus de liberdade do resíduo (a) no 
denominador. 
175 
 
Estatística Experimental 
 No DIC temos ));1();1((  raaF , no DBC temos ));1)(1();1((  raaF . 
 as hipóteses de que não existe ou existe efeito principal do fator B 
é 
bjcomH
H
j
j
...,,10:
0:
13
03




, 
e para testá-las, usamos a estatística 
 ;);Re..;..(03 ~)(Re bsdolgBfatordolg
F
bsQM
QMB
F  . 
que sob H0, tem distribuição F-Snedecor com graus de liberdade do 
fator B no numerador e graus de liberdade do resíduo (b) no 
denominador. 
No DIC temos ));)(();(( 1b1ra1bF  , no DBC temos ));)((();(( 1b1ra1bF  . 
 
5 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
No DIC: 
 Soma de Quadrados do Total (SQT) 
;
)(
,
)(
abr
Y
Csendo
abr
Y
YSQT
22r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk

  
 
 Soma de Quadrados do fator A, SQ(A) CY
br
1
ASQ
a
1i
2
i  

)( ; 
 Soma de Quadrados da Parcelas, SQ(Parc) 
CY
b
1
ParcSQ
ba
ji
2
ij   
,
,
)( ; 
 SQRes(a) = SQ(Parc) – SQ(A); 
 Soma de Quadrados do fator B, SQ(B) CY
ar
1
BSQ
b
1j
2
j  

)( ; 
 Soma de Quadrados da interação AxB, SQ(AxB)=SQ(A,B)-SQ(A)-
SQ(B) ou CY
r
1
AxBSQ
a
1i
b
1j
2
ij  
 
)( , sendo a SQ(A,B) a soma de 
quadrado conjunta, a qual nos fatoriais a x b é igual à soma de 
quadrados dos tratamentos (SQTr). 
 
 SQRes(b) = SQ(Parc) – SQ(B)-SQ(AB); 
 
Para calcular os coeficientes de variação para as parcelas e para as 
subparcelas usamos, respectivamente: 
100x
Y
asQM
aCV


)(Re
)( 100x
Y
bsQM
bCV


)(Re
)( 
)()()(, AxBSQBSQParcSQSQModeloquesendo100x
SQT
SQModelo
R2  
Dos testes de hipóteses sugeridos anteriormente, se ocorrer interação 
AxB significativa, torna-se imprescindível fazer o desdobramento 
)(
iAdedentro
BSQ , para i = 1, 2, ..., a ou )(
jBdedentro
ASQ , para j = 1, 2, ..., b. Para 
176 
 
Estatística Experimental 
testar se “as médias de B são iguais, dentro de cada nível de A” usaremos 
como denominador da estatística F, bE = QMRes(b), com seus a(r-1)(b-1) 
graus de liberdade. 
Comparações de duas médias de A, no mesmo ou em diferentes níveis 
de B, envolve o efeito principal de A e a interação AB, ou seja, elas são ambas, 
comparações das parcelas e das subparcelas. Neste caso é apropriado usar 
uma média ponderada dos erros Ea e Eb , definida como: 
 ba EbEbsQM )1((
1
(*)Re  
Para tais comparações a razão da diferença dos tratamentos pelo seu 
erro padrão não segue uma distribuição t-student . Uma aproximação 
para testar se “as médias de A são iguais, dentro de cada nível de B” usaremos 
como denominador da estatística t, o valor obtido de 
 ba E1bEb
1
sQM )(((*)Re  , que tem n* graus de liberdade, o qual é 
calculado pela Fórmula de Sattertwait: 
 
   
.
),(Re),(Re,
)(
)(*
subparceladaliberdadedegrausosn
eparceladaerrodoliberdadedegrausosn
bsQMEasQMEsendo
n
E1b
n
E
E1bE
n
b
a
ba
b
2
b
a
2
a
2
ba





 
 
6 Comparações múltiplas entre médias de tratamentos 
Após tirarmos as conclusões sobre os testes de hipóteses da Análise de 
Variância, poderemos estar interessados em comparar as médias dos 
tratamentos primários (A), dos secundários (B) ou da interação (AxB). Daí, o 
problema consiste em usar a estimativa da variância (2) apropriada. A seguir, 
apresentaremos esses problemas para os casos mais freqüentes. Aqui 
consideraremos a notação )(Re),(Re bsQMEasQME ba  
1º Caso: entre médias do tratamento primário 
 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
aa2211 cccY   ... , sendo )...,,,( a21ii  as médias dos 
tratamentos primários, ou seja, 0YH0 : , usamos a estatística 
)(
2
i
~
c 
r
ˆ
aEdogl
i
a
i t
E
Y
t

 , sendo 
)( aEdogl
t o quantil de ordem )
2
1(

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Ea. 
 Para testar um contraste entre duas médias de A, ,iiY   , ou 
seja, 0YH0 : usamos a estatística 
177 
 
Estatística Experimental 
)(~
ˆ
aEdogl
a
t
br
E2
Y
t  , sendo 
)( aEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Res(a). 
 Para os testes de Tukey e de Duncan usamos, respectivamente, 
br
E
qdms aEdoglaA a );( e br
E
zdms aEdoglaA a );( 
Sendo, que “q” e “z” correspondem aos valores tabelados da 
distribuição de Tukey e Duncan. 
 
2o Caso: entre médias do tratamento secundário 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
bb2211 cccY   ... , sendo )...,,,( b21jj  as médias dos 
tratamentos secundários, ou seja, 0YH0 : , usamos a estatística 
)(
2
i
~
c 
ar
ˆ
bEdogl
i
b
i t
E
Y
t

 , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
grausde liberdade do Eb. 
Para testar um contraste entre duas médias de B, ,iiY   , 
usamos a estatística 
)(~
ˆ
bEdogl
b
t
E
ar
2
Y
t  , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Eb. 
 Para os testes de Tukey e de Duncan usamos, respectivamente, 
ar
E
qdms bdoEglbB b );( ar
E
zdms bEglbB b );( 
Sendo que “q” e “z” correspondem aos valores tabelados da 
distribuição de Tukey e Duncan. 
 
3o Caso: entre médias do tratamento secundário num mesmo nível 
de i de A 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
ibb2i21i1 cccY   ... , sendo )...,,,( b21jij  as médias dos 
tratamentos secundários num mesmo nível “i” de A, ou seja, 
0YH0 : , usamos a estatística 
178 
 
Estatística Experimental 
)(
2
i
~
c 
r
ˆ
bEdogl
i
b
i t
E
Y
t

 , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com graus 
de liberdade do Eb. 
 Para testar um contraste entre duas médias de B num mesmo nível 
de A, ,ijijY   , usamos a estatística 
 )(~
ˆ
bEdogl
b
t
r
E2
Y
t  , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Eb. 
 Para os testes de Tukey e de Duncan usamos, respectivamente 
r
E
qdms bEglb b );( r
E
zdms bEdoglb b );( 
Sendo que “q” e “z” correspondem aos valores tabelados da 
distribuição de Tukey e Duncan. 
 
4o Caso: entre médias do tratamento primário num mesmo nível de 
B 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
ajaj22j11l cccY   ... , sendo a21iij ...,,, as médias dos 
tratamentos primários num mesmo nível “j” de B, usamos a 
estatística 
)(
2
i
ba
*
*
c 
br
1)E-(b E
ˆ
n
i
i tmenteaproximada
Y
t

 , 
Sendo n* os graus de liberdade calculados pela Fórmula de 
Sattertwait (o asterisco indica que esta razão não tem uma 
distribuição t-student). 
 
 
 Para testar um contraste entre duas médias de A num mesmo nível 
de B, ,ijijlY   , usamos a estatística aproximada 
 
*
 1)E-(b E
br
ˆ
ba
*
n
i tmenteaproximada
2
Y
t

 
 
com n* os graus de liberdade calculados pela Fórmula de 
Sattertwait 
 
 
179 
 
Estatística Experimental 
 Correspondentemente uma aproximação para o teste de Tukey 
temos: 
  s(b) (b-1)QMReQMRes(a) 
br
1
qdms
nb

),( *
 e , 
sendo os valores de “q” e “z” correspondem a “b” tratamentos e n* 
graus de liberdade para o resíduo (calculados pela Fórmula de 
Sattertwait) e são encontrados em tabelas próprias. 
EXEMPLO 1: Supor um experimento com três rações A, B e C em seis blocos 
casualizados, sendo cada parcela constituída de dois bovinos de corte. Em 
uma determinada fase do experimento, os bovinos dentro de cada parcela, 
passaram a receber, por sorteio, um dos dois tipos de suplementos minerais M 
e P. A variável dependente é o ganho de peso no final do experimento. 
Um possível croqui deste experimento em parcelas subdivididas no 
delineamento em blocos casualizados: 
B A C 
P M M P P M 
 
A C B 
P M M P P M 
 
B C A 
P M M P M P 
 
A B C 
M P M P P M 
 
C A B 
P M M P P M 
 
C B A 
M P M P P M 
 
1ª letra fator ração e 2ª letra fator suplemento mineral 
BLOCOS 
I II III IV V VI 
BP AM BP AM CP CM 
BM AP BM AP CM CP 
AM CM CM BM AM BM 
AP CP CP BP AP BP 
CP BP AM CP BP AP 
CM BM AP CM BM AM 
 
 
 
 
Bloco I 
Bloco III 
Bloco IV 
Bloco V 
Bloco VI 
Bloco II 
180 
 
Estatística Experimental 
Esquema da análise de variância 
Causas da variação g.l. 
Blocos 5 
Ração (Trat. principal) A 2 
Erro (a) 10 
Parcelas (17) 
Suplemento mineral (Trat. Secundário) B 1 
Ração x Suplemento 2 
Erro (b) 15 
Total 35 
Os ganhos individuais ao final do experimento foram: 
Blocos Ração A Ração B Ração C Total 
 M P M P M P 
I 107 89 116 101 90 96 599 
II 117 101 136 110 112 89 665 
III 122 98 130 104 99 92 645 
IV 111 101 122 91 105 78 608 
V 90 95 117 100 110 90 602 
VI 116 90 114 94 114 93 621 
Total 663 574 735 600 630 538 3.740 
 (Veja estrutura do arquivo na última página) 
Quadro de Totais I 
Blocos ( 2 )* Ração A Ração B Ração C Total 
I 196 217 186 599 
II 218 246 201 665 
II 220 234 191 645 
IV 212 213 183 608 
V 185 217 200 602 
VI 206 208 207 621 
Total 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740 
(*) Os números entre parênteses representam o total de parcelas somadas para se obter os valores 
observados da tabela. 
Cálculos para montar o quadro da anova: 
44388544
623
3740
9389107SQT
2
222 ,
))()((
)...(  
22582
623
3740
621665599
6
1
SQBl
2
222 ,
))()((
)...(  
Para obtermos a soma de quadrados das parcelas usamos o quadro 
auxiliar I com os totais de cada parcela. Como temos duas subparcelas em 
cada parcela a soma de quadrados das parcelas fica 
562377
623
3740
207217196
2
1
SQParcelas
2
222 ,
))()((
)...(  
Para as demais SQ, organizamos o seguinte quadro de totais II que 
relaciona os níveis dos dois fatores entre si: 
(6) 
SUPLEMENTOS 
RAÇÃO 
Totais A B C 
M 663 735 630 2028 
P 574 600 538 1712 
Totais 1237 1335 1168 3740 
Cálculos do quadro da ANOVA 
181 
 
Estatística Experimental 
731173
623
3740
116813351237
12
1
SQRações
2
222 ,
))()((
)(  
6162173117322582562377
SQRaçõesSQBlSQParcelasasSQ
,,,,
)(Re


 
782773
623
3740
17122028
18
1
SQSupl
2
22 ,
))()((
)(  
894057
623
3740
538574663
6
1
SRSQ
2
222 ,
))()((
)...(),(  
38110782773731173894057
SSQRSQSRSQRxSSQ
,,,,
)()(),()(


 
84799
RxCSQSQSuplSQParcelasSQTbsSQ
,
)()(Re


 
Quadro da anova 
Causas da variação g.l. S.Q. QM F 
Blocos 5 582,22 116,44 1,87ns 
Ração (Trat. Principal) A 2 1173,73 586,86 9,44** 
Erro (a) 10 621,61 62,16 
Parcelas (17) 2377,56 
Suplemento (Trat. Secundário) B 1 2773,78 2773,78 52,02** 
Ração x Suplemento 2 110,38 55,19 1,04ns 
Erro (b) 15 799,84 53,32 
Total 35 6061,56 
Obs. Os efeitos das rações e dos blocos são testados usando o resíduo (a). Os efeitos dos suplementos e da 
interação são testados usando o resíduo b. 
F(5,10; 0,05)=3,33 ; F(5,10; 0,01)= 5,64; F(2,10; 0,05)= 4,10; F(2,10; 0,01)= 7,56; F(1,15; 0,05)= 4,54 
F(1,15; 0,01)= 8,86; F(2,15; 0,05)= 3,68; F(2,15; 0,01)= 6,36 
 
Conclusão: como a interação não foi significativa (p>0,05) devemos 
interpretar as diferenças significativas dos efeitos principais da ração e do 
suplemento. 
Teste de Tukey: 
 duas médias de A )(Re,).;..,( asQMEsendorb
E2
qdms A
A
ElgaA a
 
4412
12
32124
883dmsA ,
,
,  
 duas médias de B )(Re,).;..,( bsQMEsendora
E2
qdms b
b
ElgbB b
 
337
18
64106
013dmsB ,
,
,  
 
 
 
 
182 
 
Estatística Experimental 
Quadro de médias 
(6) 
SUPLEMENTOS 
RAÇÃO 
Totais A B C 
M 110,5 122,5 105,0 112,7 A 
P 95,7 100,0 89,7 95,1 B 
Totais 103,1 ab 111,3 a 97,3 b 103,9 
Médias seguidas pela mesma letra minúsculas na linha não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Médias seguidas pela mesma letra maiúsculas na coluna não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Coeficientes de variações 
%,
,
,)(Re..
)( 59789103
1662
Y
asMQ
CV a  
%,
,
,)(Re..
)( 03789103
3253
Y
bsMQ
CV b  
Script no R para obter os resultados acima 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1_10 <- read.table("ex1ps_10.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1_10 
head(dados.ex1_10) 
 
# anexando o objeto dados.ex1_10 no caminho de procura 
attach(dados.ex1_10) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(gp, list(suplemento, racao), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator suplemento 
total.supl<- tapply(gp,suplemento,sum) 
total.supl 
 
# calculo dos totais marginais do fator racao 
total.racao<- tapply(gp,racao,sum) 
total.racao 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(gp, list(suplemento, racao), mean)round(int.media,1) 
 
# calculo das médias marginais do fator suplemento 
media.supl<- tapply(gp,suplemento,mean) 
round(media.supl,1) 
 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.racao<- tapply(gp,racao,mean) 
round(media.racao,1) 
 
# quadro da anova no esquema pelo comando aov() 
gpps.av <- aov(gp~factor(bloco)+factor(racao)+factor(suplemento)+ 
factor(racao):factor(suplemento)+Error(bloco/racao)) 
183 
 
Estatística Experimental 
summary(gpps.av) 
# gráfico da interação 
interaction.plot(racao,suplemento,gp,col=2,lwd=2, 
ylab="médias de ganho de peso",xlab="rações", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
split2.rbd(racao, suplemento, bloco, gp, quali = c(TRUE, TRUE), 
 mcomp = "tukey", fac.names = c("Ração", "Suplemento")) 
 
# retirando o objeto dados.ex1_10 do caminho de procura 
detach(dados.ex1_10) 
 
O uso do delineamento em parcelas subdivididas é desejável quando: 
 O experimento pode ser usado quando um fator adicional tem de 
ser incorporado em um experimento para aumentar a sua 
amplitude. 
 Pode-se saber que as maiores diferenças podem ser esperadas de 
ocorrer entre os níveis de um fator do que nos níveis do outro fator. 
Neste caso, as combinações dos tratamentos em que as grandes 
diferenças são esperadas podem ser atribuídas aleatoriamente às 
parcelas principais simplesmente por conveniência. 
 O experimento é usado quando grande precisão é desejada para 
comparações entre os níveis de um fator do que em níveis do outro 
fator. 
Em resumo, dado que nos experimentos em parcelas subdivididas a 
variação entre as subparcelas é esperada ser menor do que a variação entre 
as parcelas principais, o fator que requerer menor quantidade de material 
experimental, ou que é mais importante, ou que é esperado apresentar 
menores diferenças, ou sobre o qual é desejado maior precisão por qualquer 
motivo, são atribuídos ás subparcelas. 
184 
 
Estatística Experimental 
10º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL  
Num experimento em parcelas subdivididas para se estudar o ganho de peso médio diário em 
suínos foram utilizados quatro tratamentos principais ( A ) e dois secundários ( B ), no 
delineamento em blocos casualizados com cinco repetições. Os tratamentos principais, rações 
A1, A2, A3, e A4 foram aplicadas as parcelas constituídas de seis suínos cada uma logo após a 
desmama. Decorridos trinta dias, três suínos de cada parcela passaram a receber por sorteio 
uma suplementação alimentar, com dois tipos de vitaminas B1 e B2 . 
Ao final do experimento os aumentos de peso médio dos três animais por subparcela em 
quilogramas estão dados na tabela abaixo: 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 4º Bloco 5º Bloco Total 
A1 B1 1,30 1,35 1,28 1,25 1,32 6,50 
 B2 1,32 1,35 1,29 1,31 1,35 6,62 
A2 B1 1,10 1,15 1,12 1,18 1,11 5,66 
 B2 1,20 1,21 1,15 1,18 1,20 5,94 
A3 B1 1,45 1,48 1,45 1,44 1,46 7,28 
 B2 1,48 1,45 1,47 1,50 1,41 7,31 
A4 B1 1,22 1,24 1,24 1,30 1,22 6,22 
 B2 1,24 1,23 1,25 1,28 1,26 6,26 
Total 10,31 10,46 10,25 10,44 10,33 51,79 
Obs. 
 
4
1i
2
1j
2
ijy 67.56730 Usar 5 casas decimais para os cálculos. 
a) Estabelecer as hipóteses estatísticas, reproduza os resultados do quadro abaixo, o gráfico 
da interação, fazer a análise de variância e concluir. Caso haja interação fazer os 
desdobramentos necessários e os testes de comparações múltiplas. 
b) Calcule as médias dos tratamentos principais, os erros padrões e compare-as pelo teste de 
Tukey a 5% de probabilidade. 
c) Calcule os coeficientes de variação ( C.V. ) e de determinação ( R2 ) do experimento. 
Quadros auxiliares: 
1) 
(2) I II III IV V Total 
A1 2,62 2,70 2,57 2,56 2,67 13,12 
A2 2,30 2,36 2,27 2,36 2,31 11,60 
A3 2,93 2,93 2,92 2,94 2,87 14,59 
A4 2,46 2,47 2,49 2,58 2,48 12,48 
Total 10,31 10,46 10,25 10,44 10,33 51,79 
2) 
(5) A1 A1 A1 A1 Total 
B1 6,50 5,66 7,28 6,22 25,66 
B2 6,62 5,29 7,31 6,26 26,13 
Total 13,12 11,60 14,59 12,48 
 
2) Cinco jumentos foram utilizados, dentro do manejo regular de colheita de sêmem com o 
qual já estavam acostumados, para testar sobre o primeiro ejaculado, três diferentes diluentes 
e após as diluições, três diferentes tempo de conservação do material (5ºC). A resposta medida 
foi a motilidade observada no sêmem em função daqueles fatores. Para cada jumento, o 
primeiro ejaculado foi divido em três alíquotas, diluídas cada uma em um dos diluentes e este 
volume novamente dividido em outras três alíquotas, uma para cada tempo de conservação. 
Percebe-se que a parcela é definida pelo diluente e dentro dele, as três subparcelas 
correspondentes aos tempos. Trata-se portanto de um delineamento em parcelas subdivididas 
, em que cada jumento assume o papel de um bloco, já que pela utilização de alíquotas todos 
os tratamentos (diluentes) provêm de um mesmo ejaculado. 
 
 
 
 
 
 
 
185 
 
Estatística Experimental 
DILUENTE 
 A B C 
ANIMAL T1 T2 T3 T1 T2 T3 T1 T2 T3 
1 75 73 66 214 81 75 62 218 68 61 50 179 
2 65 60 61 186 69 62 51 182 60 55 50 165 
3 78 83 70 231 79 76 60 215 72 68 61 201 
4 68 61 51 180 76 66 51 193 61 57 53 171 
5 44 43 37 124 55 51 41 147 34 24 21 79 
Total 330 320 285 935 360 330 265 955 295 265 235 795 
3I2I1IiLinear
3
1I
3
1j
ij
3
1I
3
1j
2
ij 101Y2685Y169173Y  )()()(; )(  
  
 
a) Checar os resultados das fórmulas acima e preencher os quadros auxiliares abaixo. 
b) Estabelecer as hipóteses estatísticas e fazer a análise de variância e concluir. 
c) No gráfico abaixo teste a significância da tendência linear dos valores médios da motilidade 
em cada diluente. 
d) Calcule os coeficientes de variação do experimento. 
Quadros auxiliares: 1) 
 Jumentos (Blocos) 
( ) I II III IV V Total 
A 
B 
C 
Total 
2) 
( ) T1 T2 T3 Média 
A 
B 
C 
Média 
A
B
C
Motilidade observada em sêmem de jumentos segundo o diluidor e o tempo
Tempo
M
ot
il
id
ad
e
44
50
56
62
68
74
6 10 14 18 22 26 30 34 38
 
 
186 
 
Estatística Experimental 
Aula 11 Experimentos em parcelas subdivididas - Análise de medidas 
repetidas no tempo. 
Como nos experimentos em parcelas subdvididas, experimentos 
utilizando delineamentos de medidas repetidas no tempo têm estruturas que 
envolvem mais de um tamanho de unidade experimental. Por exemplo, um 
animal pode ser observado durante certo período de tempo, onde tempo é um 
dos fatores na estrutura de tratamentos do experimento. Tais dados são 
análogos aos dados de um experimento em parcela subdividida em muitos 
aspectos e sua análise é frequentemente conduzida tal como um experimento 
em parcela subdividida e denominado como parcela subdividida no tempo, ou 
análise de medidas repetidas no tempo. 
Exemplo: um experimento envolvendo 3 drogas foi conduzido para 
estudar cada efeito de droga no batimento cardíaco dos animais. Depois que 
cada droga era administrada, o batimento cardíaco era medido de 5 em 5 
minutos durante 20 minutos. 
 DA DB DC
Animais T5 T10 T15 T20 T5 T10 T15 T20 T5 T10 T15 T20 
1 78 86 81 77 85 86 83 80 69 73 72 74 
2 71 83 88 81 82 86 80 84 66 62 67 73 
3 72 82 81 75 71 78 70 75 84 90 88 87 
4 72 83 83 69 83 88 79 81 80 81 77 72 
5 66 79 77 66 86 85 76 76 72 72 69 70 
6 74 83 84 77 85 82 83 80 65 62 65 61 
7 62 73 78 70 79 83 80 81 75 69 69 68 
8 69 75 76 70 83 84 78 81 71 70 65 65 
 
Quadro auxiliar 1) Totais das parcelas 
 Animais Total 
DA 322 323 310 307 288 318 283 290 2441 
DB 334 332 294 331 323 330 323 326 2593 
DC 288 268 349 310 283 253 281 271 2303 
Total 944 923 953 948 894 901 887 887 7337 
Quadro auxiliar 2) Totais dos fatores 
 T5 T10 T15 T20 Total 
DA 564 644 648 585 2441 
DB 654 672 629 638 2593 
DC 582 579 572 570 2303 
Total 1800 1895 1849 1793 7337 
 
Cálculo das somas de quadrados do quadro da ANOVA: 

))()((
)...(
843
7337
658678SQT
2
222 
Do QUADRO I, temos243604
843
7337
271323322
4
1
SQ
2
222
Parcelas ,))()((
)...(  
081315
843
7337
23032441
32
1
SQ
2
22
Droga ,))()((
)...(  
162289081315243604DrogaQSparcelasQSSQ aErro ,,,....)(  
 
Do QUADRO II, temos 
187 
 
Estatística Experimental 
61282
543
7337
179318951800
24
1
SQ
2
222
Tempo ,))()((
)...(  
862128
843
7337
570644564
8
1
SQ
2
222
Conjunta ,))()((
)...(  
 
17531
61282081315862128
SQSQSQTempoxDrogaSQ TempoDrogaConjunta
,
,,,
)(



 
474891753161282243604494907
TempoxDrogaSQSQSQSQTSQ TempoParcelasbErro
,,,,,
)()(

 
Quadro da ANOVA 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p 
DROGA 2 1315,08 657,54 6,03** 0.008512 
Erro(a) 21 2289,16 109,01 
PARCELAS 23 3604,24 156,71 20,15** 
TEMPO 3 282,81 94,27 12,12** 2.315e-06 
DROGA x TEMPO 6 531,17 88,53 11,39** 1.381e-08 
Erro(b) 63 489,47 7,78 
TOTAL 95 4907,49 
F(2, 21; 0,05) = 3,47 F(2, 21; 0,01) = 5,78 F(3, 63; 0,05) = 2,76 F(3, 63; 0,01) = 4,13 
F(6, 63; 0,05) = 2,25 F(6, 63; 0,01) = 3,12 
Conclusão: existe uma interação tempo*droga significativa (p<0,01); 
então devemos comparar os tempos em cada droga e drogas em cada tempo. 
Script no R para os cálculos acima 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1_11 <- read.table("ex1mr_11.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1_10 
head(dados.ex1_11) 
 
# anexando o objeto dados.ex1_11 no caminho de procura 
attach(dados.ex1_11) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(fc, list(droga,tempo), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator suplemento 
total.droga<- tapply(fc,droga,sum) 
total.droga 
 
# calculo dos totais marginais do fator racao 
total.tempo<- tapply(fc,tempo,sum) 
total.tempo 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(fc, list(droga, tempo), mean) 
round(int.media,1) 
 
# calculo das médias marginais do fator suplemento 
188 
 
Estatística Experimental 
media.droga<- tapply(fc,droga,mean) 
round(media.droga,1) 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.tempo<- tapply(fc,tempo,mean) 
round(media.tempo,1) 
 
# quadro da anova no esquema pelo comando aov() 
fc.av <- aov(fc~factor(droga)+factor(tempo)+ 
factor(droga):factor(tempo)+Error(droga:animal)) 
summary(fc.av) 
 
# gráfico da interação 
interaction.plot(tempo,droga,fc,col=2,lwd=2, 
ylab="médias da frequência cardíaca",xlab="tempo", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
split2.crd(droga, tempo, animal, fc, quali = c(TRUE, TRUE), 
 mcomp = "tukey", fac.names = c("Droga", "Tempo")) 
 
# retirando o objeto dados.ex1_11 do caminho de procura 
detach(dados.ex1_11) 
 
Para comparar tempo em cada droga, o erro padrão da diferença de 
duas médias é 
391
8
7872
r
E2
YYES bilij ,
),(
).(.
)(
..  , 
e o teste de tukey é dado por 
734391393YYESqdms ilij050633 .),)(,().(. ..),;,(  
Do quadro auxiliar das médias temos, 
 T5 T10 T15 T20
DA 70,50b 80,50ª 81,00a 73,13b 
DB 81,75a 84,00a 78,63a 79,75a 
DC 72,75b 72,38b 71,50b 71,25b 
Médias com a mesma letra minúscula nas linhas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%. 
Assim do quadro auxiliar das médias temos, 
 T5 T10 T15 T20
DA 70,50bB 80,50aA 81,00aA 73,13abB 
DB 81,75aA 84,00aA 78,63aA 79,75aA 
DC 72,75aB 72,38aB 71,50aB 71,25aB 
Médias com a mesma letra minúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%. 
Médias com a mesma letra maiúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%. 
Dado que os níveis do fator tempo são quantitativos e igualmente 
espaçados, polinômios ortogonais podem ser usados para checar a tendência 
linear e quadrática na resposta de cada droga 
189 
 
Estatística Experimental 
 
A tendência linear para a Droga B (DB) é definida pelo contraste 
371175793637810084175813
Y3Y1Y1Y3Y 24232221Linear
,),)((),)((),)((),)((
ˆ

  
com erro padrão do contraste dado por: 
414
8
787
3113S 2222
YLinear
,
,
))()((ˆ  
A estatística t-student correspondente é 
582
414
3711
S
Y
t
LinearY
Linear
Calc ,,
,ˆ
ˆ
. 

 , 
o valor tabelado é t(63; 0,05) = 2,00. Concluímos, então, que a tendência linear 
negativa observada no gráfico para a Droga B (DB) é significativa (p<0,05) pelo 
teste t-student. 
A tendência quadrática para a Droga a (DA) pode ser definida pelo 
contraste 
14131211Quad 1111Y  . 
o qual é estimado por 
8717Y1Y1Y1Y1Y 14131211Quad ,ˆ   
com erro padrão do contraste dada por: 
971
8
787
1111S 2222Yuad ,
,
))()((
.
 
a estatística t-student correspondente é 
079
971
8717
YES
Y
t
Quad
Quad
Calc ,,
,
)ˆ.(.
ˆ
.
.  
o valor tabelado é t(63; 0,05) = 2,00. Concluímos, então que a forte tendência 
quadrática observada no gráfico para a Droga A (DA) é significativa (p<0,05) 
pelo teste t-student. 
190 
 
Estatística Experimental 
Aula 12 Transformação de dados 
 
1 Introdução 
Existem duas maneiras nas quais as hipóteses da ANOVA podem ser 
violadas. Primeiro, os dados podem consistir de medidas em uma escala 
ordinal ou nominal; neste caso métodos mais apropriados para dados ordinais 
e nominais são necessários. Segundo, os dados, embora medidos em escala 
contínua, podem não satisfazer pelo menos uma das três hipóteses requeridas 
pela análise de variância: 
Como vimos anteriormente, as hipóteses da análise de variância são: 
 os termos dos erros são aleatóriamente, independentemente e 
normalmente distribuídos ),(~ 2ij 0Ne  
 a variância de diferentes amostras são homogêneas; variâncias e 
médias de diferentes amostras não são correlacionadas; 
 os efeitos dos tratamentos são aditivos. 
 
Nestes casos, duas opções se oferecem para analisar os dados. Uma é 
reduzir o intervalo dos dados para dados medidos em uma escala nominal ou 
ordinal apropiada e fazer uma análise para este tipo de dado. A outra 
possibilidade é ver se os dados podem ser transformados para satisfazer as 
hipóteses da ANOVA. Se tal transformação é encontrada, os dados 
transformados podem então serem analisados pelos métodos da ANOVA. A 
hipótese de variâncias iguais é essencial para a realização da análise de 
variância. Em muitos casos a transformação que torna as variâncias mais 
homogêneas, também tornam os dados mais próximos de uma distribuição 
normal. 
Considere o exemplo, no qual os pesos, em “pounds”, de animais, em 
um DBC, foram observados. Os tratamentos estão em um esquema fatorial 3 x 
2, três espécies de animais e dois grupos, um tratado com uma nova vitamina e 
outro contrôle, em 4 blocos 
 
 Bloco 
Tratamentos I II III IV 
mice contrôle 0.18 0.30 0.28 0.44 
mice vitamina 0.32 0.40 0.42 0.46 
galinha controle 2.0 3.0 1.8 2.8 
galinha vitamina 2.5 3.3 2.5 3.3 
ovelha controle 108.0 140.0 135.0 165.0
ovelha vitamina 127.0 153.0 148.0 176.0
 
O quadro da anova dos dados deste experimento mostra os seguintes 
resultados 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
factor(bloco) 3 984 328 2.631 0.0881 . 
factor(fatorA) 2 108321 54161 434.507 5.28e-14 *** 
factor(fatorB) 1 142 142 1.140 0.3025 
factor(fatorA):factor(fatorB) 2 250 125 1.004 0.3896 
Residuals 15 1870 125 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
191 
 
Estatística Experimental 
A alta significância entre as espécies (fatorA) não é surpreendente para 
o pesquisador. O que parece estranho é que não foi detectada diferença 
significativa devido a vitamina(fatorB), tendo em vista que todo animal em 
todas as replicações que receberam vitamina mostraram um peso maior do que 
o correspondente animal contrôle. Parece estranho também que não foi 
encontrado evidências de interação entre os efeitos de vitamina e espécies, 
dado que a resposta aparente a vitamina é tão diferente nas diferentes 
espécies. Tudo que podemos concluir é que mice, galinhas e ovelhas diferem 
em peso. 
Vamos olhar estes dados com as supsições da anova em mente e ver o 
que podemos fazer se uma das suposições não é atendida. 
 
O gráfico de resíduos vs valores preditos mostra claramente uma 
heterogeneidade de variâncias e o QQ-plot mostra um comportamento dos 
dados que não é muito convicente da distribuição normal. A mensagem parece 
clara, entretanto, podemos ainda fazer testes para verificar o desvio dos 
pressupostos. 
Teste de normalidade de normalidade de Shapiro-Wilk no R 
 
# teste de normalidade 
shapiro.test(pesotrat.av$res) 
Saída fornecida pelo R: 
 
Shapiro-Wilk normality test 
 
data: pesotrat.av$res 
W = 0.9536, p-value = 0.3236 
Este teste mostra o teste é não significativo (p=0,3236), portanto não 
rejeitamos ),(~: 2ij0 0NH  , ou seja, os resíduos e por conseguinte os dados 
deste experimento suportam a suposição de normalidade. Assim, a primeira 
suposição é prenchida. 
192 
 
Estatística Experimental 
Agora vamos examinar a suposição de homogeneidade das variâncias. 
Vamos aplicar o teste de Bartlett usando o R. 
 
# teste da homogeneidade das variâncias dos tratamentos 
bartlett.test(peso~factor(trat)) 
 
 Saída do teste de Bartlett no R: 
Bartlett test of homogeneity of variances 
 
data: peso by factor(trat) 
Bartlett's K-squared = 81.8698, df = 5, p-value = 3.408e-16 
 
O teste é significativo (p=3.408e-16), rejeitamos 26
2
10H   ...: , ou 
seja, as variâncias dos tratamentos não são homocedásticas (homogêneas). 
Logo, a segunda suposição não é observada nos dados deste experimento. 
Para tentar contornar o problema vamos usar a transformação Box-Cox, 
que consiste em transformar os dados de acordo com a expressão 
 
 
 
 
sendo um parâmetro a ser estimado dos dados. Se a equação 
acima se reduz a 
 
sendo ln é o logaritmo neperiano. Uma vez obtido o valor de encontramos 
os valores dos dados transformados conforme a equação acima e utilizamos 
estes dados transformados para efetuar as análises. A função boxcox() do 
pacote MASS calcula a verossimilhanca perfilhada deste parâmetro. Devemos 
escolher o valor que maximiza esta função. Nos comandos a seguir 
começamos carregando o pacote MASS e depois obtemos o gráfico da 
verossimilhanca perfilhada no R: 
 
# requerendo o pacote MASS 
require(MASS) 
boxcox(peso ~ factor(trat),plotit = T) 
 Estes comandos fornecem o gráfico da verossimilhança perfilada 
 
Como estamos interessados no máximo da função vamos dar um zoom 
no gráfico com o comando 
 

 1y
y

'
 0
)ln(' yy 

193 
 
Estatística Experimental 
# zoom no gráfico par maiores detalhes do valor do parâmetro 
boxcox(a_peso ~ racoes, lam = seq(1,2, 1/10)) 
 
O gráfico mostra que o valor que maximiza a função é aproximadamente 
0,1. Assim, próximo passo é obter os dados transformados e depois fazer as 
analise utilizando estes novos dados. 
 
# obtenção dos dados transformados 
lambda<-0.1 
peso.trans <- (peso^(lambda) - 1)/lambda 
 
# fazendo a análise de variância dos dados transformados 
peso.avtrans <- aov(peso.trans ~ factor(trat) 
summary(peso.avtrans) 
plot(peso.avt) 
 
O quadro da anova dos dados transformados mostra o seguinte quadro 
da anova 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
factor(bloco) 3 0.85 0.28 18.244 2.88e-05 *** 
factor(fatorA) 2 237.35 118.68 7678.808 < 2e-16 *** 
factor(fatorB) 1 0.31 0.31 19.879 0.00046 *** 
factor(fatorA):factor(fatorB) 2 0.02 0.01 0.502 0.61518 
Residuals 15 0.23 0.02 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Este quadro mostra um resultado mais satisfatório do que a análise dos 
dados sem transformação. Nesta análise, também é mostrado uma 
significância do fator B (p=0,00046). Mesmo assim, o resultado do teste da 
significância da interação (p = 0,61518) permaneceu não significativo. 
NOTA: No gráfico da verossimilhança perfilhada notamos que é mostrado um 
intervalo de confiança para  e que o valor 0 está contido neste intervalo. Isto 
indica que podemos utilizar a transformação logaritímica dos dados e os 
resultados da anova serão bem próximos dos obtidos com a transformação 
com 10, , préviamente adotada. 
 
 
 
194 
 
Estatística Experimental 
# quadro da anova dos dados transformados 
pesolog.av <-aov(log(peso+1)~factor(bloco)+factor(fatorA)+factor(fatorB)+ 
factor(fatorA):factor(fatorB)) 
summary(pesolog.av) 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
factor(bloco) 3 0.22 0.07 12.85 0.000201 *** 
factor(fatorA) 2 96.89 48.44 8573.72 < 2e-16 *** 
factor(fatorB) 1 0.07 0.07 12.11 0.003361 ** 
factor(fatorA):factor(fatorB) 2 0.00 0.00 0.41 0.670832 
Residuals 15 0.08 0.01 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Reparem que os resultados desta anova estão bem próximos dos 
resultados da anova dos dados originais. 
Teste de normalidade de Shapiro-Wilk nos resíduos dos dados 
transformados 
 
# teste da normalidade 
shapiro.test(pesolog.av$res) 
 
Shapiro-Wilk normality test 
data: pesofattrans.av$res 
W = 0.9803, p-value = 0.9014 
 
Teste de da homogeneidade das variâncias dos tratamentos 
# teste de bartlett 
bartlett.test(log(peso+1)~factor(trat)) 
O resultado do teste de Bartlett para os dados transformados é 
 
Bartlett test of homogeneity of variances 
data: log(peso + 1) by factor(trat) 
Bartlett's K-squared = 5.5714, df = 5, p-value = 0.3502 
 
Agora temos confiança de que a nova análise de variância é válida, dado 
que dados transformados satisfazem as duas suposições da análise de 
variância. Com os dados originais a homogeneidade das variâncias não era 
atendida.