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H. Osciladores Acoplados
Para compreender o mecanismo de fenomenos de ondas, é interessante começar com um
sistema de osciladores acoplados.
1. Caso n = 2, Exemplos
Consideramos 2 massas ligadas pelas molas no meio de duas paredes fixas, como ilustrado
abaixo.Consideramos o movimento das massas e molas é limitado numa reta (1 dimensional),
e por simplicidade, assumimos que as constante das molas são iguais, κ e todas tem o
comprimento natural, l0. Aqui, desprezamos o efeito de qualquer dissipação.
M M
L
Escolhendo a origem de coordenadas na posição da parede esquerda, podemos escrever
as equacões de movimento para as posições de massas no instante t, x1 (t) e x2 (t) . Temos
M
d2x1
dt2
= −κ (x1 − l0) + κ (x2 − x1 − l0) ,
M
d2x2
dt2
= −κ (x2 − x1 − l0) + κ (L− x2 − l0) ,
A melhor forma de ver a estrutura deste sistema das equações é utilizar a notação vetrial.
Introduzindo o vetor
x (t) =
⎛
⎝ x1
x2
⎞
⎠ ,
podemos escrever a equação acima como
M
d2
dt2
⎛
⎝ x1
x2
⎞
⎠ =
⎛
⎝ −2κ κ
κ −2κ
⎞
⎠
⎛
⎝ x1
x2
⎞
⎠+
⎛
⎝ 0
κL
⎞
⎠ (104)
42
Introduzindo a constante,
ω0 =
r
κ
M
,
podemos re-escrever
d2x
dt2
= −ω20
³
Cx−b
´
,
onde
C =
⎛
⎝ 2 −1
−1 2
⎞
⎠ ,
b =
⎛
⎝ 0
L
⎞
⎠ .
Podemos escrever ainda
d2x
dt2
= −ω20C
³
x− C−1b
´
(105)
onde C−1 é a matriz inversa de C, e fácil de calcular como:
C−1 =
1
3
⎛
⎝ 2 1
1 2
⎞
⎠
Exercício: Obtenha as coordenadas de ponto de equilibrio, x01 e x
0
2 a partir da Eq.(105) e discuta
a adequacidade da resposta.
Vamos introduzir uma nova variável (vetor) q por
q (t) = x (t)− xeq,
onde
xeq = C
−1b =
⎛
⎝ x
0
1
x02
⎞
⎠
é o vetor correspondente a posição de equilíbrio. O vetor q satisfaz a equação diferencial,
d2q
dt2
= −ω20C q, (106)
o que tem formalmente a mesma forma da equação de oscilador harmônico. Só que, agora
o coeficiente não é um número, mas uma matriz.
Podemos utilizar o método utilizado para resolver Eq.(37). Vamos introduzir uma nova
transformação de variável por
ξ = Sq
43
onde S é uma matriz constante 2× 2 não singular. Em termos de ξ, Eq.(106) se torna
d2ξ
dt2
= −ω20 SCS−1 ξ, (107)
na forma análoga no caso da Eq.(37). Agora, podemos escolher a matriz S tal que
SCS−1 = D,
onde D é a matriz diagonal,
D =
⎛
⎝ λ1 0
0 λ2
⎞
⎠ .
Os valores λ´s são autovalores da matriz C e obtidos pela euqação de autovalor,
det
¯¯¯
C − λb1¯¯¯ = 0.
Como vimos, podemos obter a matriz S, atravéz de resolver a equação de autovetor para
cada autovalores,
Cu1 = λ1u1,
e
Cu2 = λ2u2.
Exercício: Demonstre que para uma matriz C real e simétrica, os autovalores são reais.
Exercício: Demonstre que para uma matriz C real e simétrica, os autovetores são ortogonais para
autovalores distintos.
Podemos sempre normalizar os autovetores e, portanto, sem perder generalidade, con-
sideramos que os autovetores são normalizados. Para uma matriz C real e simétrica, os
autovetores formam uma base ortonormal, ou seja, para a matriz n× n, temos
{ui, i = 1, .., n}
e
(ui, uj) = δij
A matriz S que diagonaliza a matriz C é construida como
S−1 = (u1 u2)
=
⎛
⎝ u11 u21
u12 u22
⎞
⎠ (108)
44
no caso n = 2, onde
u1 =
⎛
⎝ u11
u12
⎞
⎠ , u2 =
⎛
⎝ u21
u22
⎞
⎠ .
Exercício: Demonstre de fato que para a matriz C real e simétrica,
SCS−1 =
⎛
⎝ λ1 0
0 λ2
⎞
⎠
para S dada pela Eq.(108).
Exercício: Demonstre que para a matriz C real e simétrica, S é ortogonal,
STS = 1,
ou seja
ST = S−1
Voltando a Eq.(107), temos
d2ξ
dt2
= −ω20
⎛
⎝ λ1 0
0 λ2
⎞
⎠ ξ,
Explicitando os componentes, temos
d2ξ1
dt2
= −ω20λ1ξ1,
d2ξ2
dt2
= −ω20λ2ξ2,
Assim, vemos que, se λ1 e λ2 são positivos, as variáveis, ξ1 e ξ2 são osciladores harmõnicos
independentes, cujas frequências são dadas por
√
λ1ω0 e
√
λ2ω0, respectivamente.
ξ1 (t) = A1 sin
³p
λ1ω0t+ δ1
´
,
ξ2 (t) = A2 sin
³p
λ2ω0t+ δ2
´
, (109)
onde A1, A2, δ1 e δ2 são determinados pela condição inicial.
Exercício: Para a matriz,
C =
⎛
⎝ 2 −1
−1 2
⎞
⎠
obtenha autovalores e autovetores e construa a matriz S.
45
 x1 x2 x3 x0
É interessante verificar o significado físico do resulado dos movimentos da Eq.(109). Para
isto, devemos expressar ξ em termos de variáveis originais, q. Temos
ξ1 =
1√
2
(q1 + q2) ,
ξ2 =
1√
2
(q2 − q1) .
Da Eq.(109), o ponto médio das duas massas,
xM =
1
2
(x1 + x2)
e a coordenada relativa,
∆x = x2 − x1
oscilam na forma independente (os coeficientes 1/
√
2 podem ser absorvidos nos constantes
A1 e A2. Ou seja, se dê a condição inicial de tal forma que as velocidades iniciais para x1 e
x2 iguais nas direções opostas nas posição de equilibrio, as duas molas oscilam sem deslocar
o centro da massa. Por outro lado, se dê a mesma velocidade inicial na mesma direção, as
duas molas oscilam mantendo sua distância constante, como se fosse a mola no meio uma
barra rígida.
2. Caso n = 4 com condição de contorno
Vamos considerar a situação com 4 massas conectadas com as molas iguais, mas sem
presença de paredes.
Podemos escrever as equações de movimento para as posições de molas como
M
d2x0
dt2
= −κ (x0 − x1 + l0) , (110)
M
d2x1
dt2
= +κ (x0 − x1 + l0)− κ (x1 − x2 + l0) , (111)
M
d2x2
dt2
= +κ (x1 − x2 + l0)− κ (x2 − x3 + l0) , (112)
M
d2x3
dt2
= +κ (x3 − x2 + l0) . (113)
46
Naturalmente, substituindo x0 = 0, e x3 = L, e despensando as Eqs.(110) e (113), recu-
peramos as mesmas equações do caso de 2 massas com os paredes fixos. Escrevemos esse
sistema na forma matricial como
M
d2
dt2
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x0
x1
x2
x3
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= κ
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−1 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1
0 0 1 −1
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x0
x1
x2
x3
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ κl0
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−1
0
0
−1
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Naturalmente, a equação acima é equivalente a Eq.(104), se colocamos x0 = 0 e x4 = L,
descartando as primeras e últimas equações. Isto é,
M
d2
dt2
⎛
⎝ x1
x2
⎞
⎠ = κ
⎛
⎝ 1 −2 1 0
0 1 −2 1
⎞
⎠
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0
x1
x2
L
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Note que, nesta forma, as informações dos pontos extremos, x0 = 0 e x3 = L está embutido
no vetor do lado direito, e desaparece o vetor inhomogêneo. Por outro lado, a matriz não
fica retangular (não quadratica) e, portanto, não há matriz inversa no sentido usual nem
autovetores e autovalores. Mas podemos considerar o problema de autovalores, só para a
parte de subespaço de dimenão 2 no espaço vetorial de dimensão 4 formado os componentes
dos extremos. Ou seja,
⎛
⎝ 1 −2 1 0
0 1 −2 1
⎞
⎠
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0
x1
x2
L
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= λ
⎛
⎝ x1
x2
⎞
⎠
Em termos de variáveis
q (t) = x (t)− xeq,
a equação acima fica na forma,
⎛
⎝ 1 −2 1 0
0 1 −2 1
⎞
⎠
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0
q1
q2
0
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= λ
⎛
⎝ q1
q2
⎞
⎠ (114)
47
Voltaremos nesta forma de problema de equação de autovalores para a matriz não quadratica,
quando tratamos o meio contínuo.
3. n Osciladores linearmente acoplados
A generalização da Eq.(104) para n osciladores acoplados no meio de dois paredes é
immediata. Temos
M
d2
dt2
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
x3
...
xn
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= −κ
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −1 0 · · · 0
−1 2 −1 0 ...
0 −1 2 . . . 0
... 0
. . . . . . −1
0 · · · 0 −1 2
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
x3
...
xn
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ κ
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0
0
...
0
L
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Em termos de variáveis q (t) = x (t)− xeq, temos
M
d2
dt2
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
q1
q2
q3
...
qn
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= −κ
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −1 0 · · · 0
−1 2 −1 0 ...
0 −1 2 . . . 0
... 0
. . . . . . −1
0 · · · 0 −1 2
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
q1
q2
q3
...
qn
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ou, na notação vetorial,
d2q
dt2
= −ω20C q, (115)
onde C é a matriz n× n,
C = ω20
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −1 0 · · · 0
−1 2 −1 . . . ...
0 −1 . . . . . . 0
...
. . . . . . 2 −1
0 · · · 0 −1 2
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
com ω20 = k/M . Explicitamente em termos de componentes, as equação de movimento para
qi fica
d2qi
dt2
= −ω20 (qi+1 − 2qi + qi−1) , i = 1, ..., n, (116)
48
onde convencionamos que q0 = qn+1 = 0.
Para obter soluções desta equação, podemos aplicar o mesmo método que utilizado no
caso de n = 2. Ou seja, introduzindo uma nova variável pela uma transformação linear,
ξ = Sq
onde S é uma matriz constanten× n não singular. Em termos de ξ, Eq.(115) se torna
d2ξ
dt2
= −ω20 SCS−1 ξ, (117)
e escolher S para diagonalizar a matriz S,
SCS−1 =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
λ1 0 0 · · · 0
0 λ2 0
...
0 0 λ3 0
...
. . . 0
0 · · · 0 λn
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Uma outra forma, completamente equivalente, mas mais direto é que assumir existência
de solução tipo
q (t) = ζ eiωt, (118)
onde u é um vetor constante, λ é um incognito. Substituindo Eq.(115), temos
−ω2 ζ = −ω20C ζ, (119)
ou seja, o vetor ζ é um autovetor da matriz C com autovalor ω2/ω20. O valor de ω é chamado
autofrequência. Os autofrequência ω tem que satisfazer a equação,
det
¯¯
ω2 1ˆ− ω20C
¯¯
= 0, (120)
pois, se não, ζ ficaria identicamente nulo, e não existe oscilação da forma Eq.(118). As
Eqs.(118) e (119) mostram que existem os modos de oscilações que possuem uma única
frequência bem definida. Esses modos são chamados os modos normais do sistema e ocorrem
quando ζ é proporcional a um dos autovetor da matriz C. Cada modo normal oscila com
frequência bem definida, dada pelo autovalor da matriz C.
49
Exercício: Para a matriz n× n,
C =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −1 0 · · · 0
−1 2 −1 0 ...
0 −1 2 . . . 0
... 0
. . . . . . −1
0 · · · 0 −1 2
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
denotamos a determinante de C como Dn. É facil de verificar que Dn satisfaz uma
fórmula de recorrência, que relacione Dn com Dn−1 e Dn−2. Obtenha essa fórmula de
recorrência, e a partir dessa fórmula de recorrência, obtenha Dn como função de n.
Exercício: Para matriz acima, obtenha a última coluna da matriz inversa A−1 e calcule xeq e
confere adequacidade.
A matriz C é uma matriz simétrica e tridiagonal. Isto é, todos os elementos de matriz
são nulos, exceto os dois lados da linha diagonal. Nosso caso, a matriz C tem, além de
tridiagonal e simétrica, todos os elementos diagonais são iguais, e os dois fora de diagonal
são iguais. Em geral, uma matriz desta forma pode ser diagonalizada analiticamente como
segue. Seja
A =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a b 0 · · · 0
b a b
. . .
...
0 b
. . . . . . 0
...
. . . . . . a b
0 · · · 0 b a
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
uma matriz n× n. Queremos resolver o problema de autovalor,
Aζ = λζ. (121)
Em termos de componentes, temos
bζk−1 + aζk + bζk+1 = λζk, k = 1, ..., n (122)
onde convencionamos que
ζ0 = ζn+1 = 0. (123)
A equação acima tem forma,
ζk−1 + ζk+1 ∝ ζk.
50
A equação de diferença Eq.(122) pode ser resolvida em termos de ansatz,
ζk = sin (γk) , (124)
onde γ é um parâmetro a ser determinado. Isto porque, sabemos que
sin (α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ,
sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ,
e portanto,
sin (α− β) + sin (α+ β) ∝ sinα.
Substituindo este ansatz (124) na Eq.(122), temos
sin (γ (k − 1)) + sin (γ (k + 1)) = µ sin (γk) ,
onde µ = (λ− a) /b. Lembramos que λ é a única incognita que queremos determinar.
Utilizando a formula de adição para dois senos,
2 sin (γk) cos γ = µ sin (γk) ,
Esta equação é satisfeita para todo k = 1, .., n, se e só se
2 cos γ = µ =
λ− a
b
, (125)
que determinará o valor do parâmetro γ como
λ = 2b cos γ + a.
Note que a condição Eq.(123) para k = 0 é satisfeita automaticamente pela ansatz (124)
mas para satisfazer a condição para k = n+ 1
ζn+1 = 0,
devemos ter
γ(n+ 1) = mπ, (126)
onde m é um número inteiro. Em outras palavras, existem alguns valores possíveis de γ
para os quais a Eq.(124) é a solução da Eq.(121), dependendo do valor do inteiro m. Vamos
denotar o valor de γ corespondente ao valor m por γm. Para um dado m 6= 0, temos
γm =
π
n+ 1
m, (127)
51
e consequentemente devemos ter
µ→ µm = 2 cos
π
n+ 1
m. (128)
Esta equação impor uma condição para o valor de λ pois µ = (λ− a) /b
Assim, para um dado m, o autovalor λ é determinado por
λm = a+ 2b cos
π
n+ 1
m. (129)
Note que existem n diferentes valores de λm para m = 1, ..., n.
Aplicando o resultado acima para nosso problema original, temos
a = 2,
b = −1,
e, portanto, os autovalores são
λm = 2 (1− cos γm) (130)
=
³
2 sin
γm
2
´2
, m = 1, ..., n, (131)
onde utlizamos a fórmula
cos 2θ = 1− 2 sin2 θ.
Vemos que todos os autovalores são reais e positivos. O autovetor correspondente para λm
com dado m é
ζm =
1√
Zm
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin (γm)
sin (2γm)
...
sin (kγm)
...
sin (nγm)
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
. (132)
onde Zm é a constante. Se queremos que o vetor ζm seja normalizado, então, podemos
52
determinar-lo por
Zm = ζTm · ζm =
nX
k=1
sin2 (kγm)
=
nX
k=1
1− cos (2γmk)
2
=
n
2
− 1
2
cos (πm) sin nn+1πm
sin γm
=
n+ 1
2
, (133)
onde utilzamos a fórmula,
nX
k=1
cosxk = cos
µ
n+ 1
2
x
¶
sin
³n
2
x
´
/ sin
³x
2
´
(134)
para x arbitrário.
Exercício: Prove a Eq.(134) (Dica: use a representação complexa e série geométrica).
Exercício: Também prove
nX
k=1
sinxk = sin
µ
n+ 1
2
x
¶
sin
³n
2
x
´
/ sin
³x
2
´
. (135)
Exercício: Complete os cálculos da Eq.(133).
Com ζ 0ms normalizados, podemos provar que
ζTm · ζl = δml, (136)
ou seja, o conjunto de vetores, Eq.(132), m = 1, ..n, forma uma base ortonormal.
Exercício: Prove a Eq.(136) diretamente fazendo o produto escalar. Demostre também que a
Eq.(136) é uma consequência esperada pelo argumento mais geral.
Em resumo, para um sistema de n massas ligadas pelas molas iguais no meio de dois
paredes, existem certas situações em que as molas vibram de uma forma coerente. Estes
modos de oscilações são os modos normais e são escritas como
qm (t) = Am sin (ωmt+ δm) ζm,
53
onde Am, δm são constantes arbitrários.
Para visualizar a situação, vamos graficar os componentes do vetor ζm de modos normais
em termos de posições de equilíbrios das molas. Como vimos, a posição de equilíbrio de
i− esma massa é dada por
x¯i =
L
n+ 1
i,
onde i = 1, ..., n. Podemos considerar os componentes do autovetor ζm como uma função de
x¯i. Na figura abaixo, demostramos os componentes dos vetores ζm como função de ponto de
equilíbrio xi = i L/ (n+ 1) , i = 1, ..n, para n = 100.
Neste grafico, uma curva conectada corresponde um vetor ζm para um valor de m indi-
dado. Aqui, só demonstrados os casos de m = 1, 2, 3 e 10. Existem no total de 100 curvas
como estas para n = 100.
Como vimos, os n vetores, n
ζm,m = 1, .., n
o
(137)
formam uma base ortonormal no espaço de vetores de dimensão n. Isto significa que, para
um vetor arbitrário q(t) dependente no tempo, podemos escrever esse vetor em termos de
uma combinação linear destes vetores base,
q (t) =
nX
m=1
ηmζm, (138)
54
onde η0ks são as coeficientes dependentes no tempo,
ηm = ηm(t), (139)
pois a base Eq.(137) é constante no tempo. A componente do vetor q, qk (t), fica
qk (t) =
nX
m=1
ηm (t)
1√
Zm
sin (χmk) =
r
2
n+ 1
nX
m=1
ηm (t) sin
µ
πmk
n+ 1
¶
. (140)
A Eq.(138) pode ser vista como a mudança de variáveis de {ζk} para {ηm}. Se q(t)
satisfaz a equa’c~ao de movimento, Eq.(115), podemos mostrar que os coeficientes ηm (t)
tem que satisfazer a equação,
d2ηm (t)
dt2
= −ω2mηm (t) . (141)
Exercício: Prove a Eq.(141), usando Eqs.(115) e (140), com as propriedades da basen
ζm,m = 1, .., n
o
Assim, temos a solução para ηm por
ηm = Am sinωmt+Bm cosωmt,
com
ωm = 2ω0 sin
µ
π
2
m
n+ 1
¶
. (142)
Desta forma, vemos que o sistema de n massas ligadas pelas molas iguais, com a condição de
contorno, Eq.(??) tem os modos normais de vibrações com frequências dadas pela Eq.(142).
Em geral, a solução da equação de movimento fica escrita pela combinação linear das soluções
correspondente a modos mormais,
nX
m=1
[Am sin (ωmt) +Bm cos (ωmt)] ζm, (143)
onde as coeficientes Am e Bm são determinadas pela condição inicial do sistema.
55