Lista_Final_de_matematica_Discreta_-_gabarito

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Lista de matemática Discreta –II – Circuitos Lógicos e Probabilidade
Simplifique a expressão abaixo:
F= (AB + C) A
F = AC
 
Abaixo, dê a tabela verdade e a expressão resultante S
Fazer a tabela verdade
Abaixo, dê a tabela verdade e a expressão resultante S
RESPOSTA NA AV1
Qual a probabilidade que uma moeda caia com o lado CARA para cima em seis
jogadas seguidas da mesma moeda?
½ . ½ . ½. ½ . ½ . ½ 
Qual a probabilidade que João, Carlos e Silvia ganhem, respectivamente, primeiro,
segundo e terceiro lugares em um sorteio com 200 pessoas, considerando que um ganhador não pode ser sorteado duas vezes?
1/200 x 1/199 x 1/198
Em uma roleta não viciada temos 38 números com 18 vermelhos, 18 pretos e dois
que não são nem pretos nem vermelhos, designados por <0> e <00>. A probabilidade que a
bolinha caia em um dos números é 1/38. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade da bolinha cair em um número vermelho?
b) Qual a probabilidade da bolinha cair em um número preto duas vezes seguidas?
c) Qual a probabilidade da bolinha cair no <0> ou no <00>?
d) Qual a probabilidade da bolinha não cair nenhuma vez no <0> ou no <00> em cinco
rodadas seguidas?
A)18/38
B) 18/38 X 18/38
C) 1/38 + 1/38 = 2/38 
D) 36/38 X 36/38 x 36/38 X 36/38 X 36/38
Assuma que a probabilidade de nascimento de um menino seja de 0,51 e que o sexo
dos filhos de um casal seja um evento independente. Qual a probabilidade que uma família com cinco filhos tenha:
a) Exatamente três meninos.
b) Pelo menos um menino.
c) Pelo menos uma menina.
d) Todos os filhos do mesmo sexo.
a) 0,51 X 0,51 X 0,51 X 0,49 X 0,49
b) P( nascer menino) = 1 – P( só nascer menina) = 
P(só nascer menina) = 0,49 X 0,49 X 0,49 X 0,49X 0,49 = 0,028
1 – 0,028 = 0,972 ( probabilidade de nascer pelo menos 1 menino)
c) P( nascer menina) = 1 – P( só nascer menino) 
P(só nascer menino) = 0,51 X 0,51 X 0,51X 0,51 X 0,51 = 0,034
1 – 0,034 = 0,966 (probabilidade de nascer pelo menos 1 menina)
d) 0,51 X 0,51 X 0,51X 0,51 X 0,51 + 0,49X 0,49 X 0,49 X 0,49 X 0,49 
No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar.
26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras
10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).
Agora é só multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000
Resposta para a questão: existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par.
5) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
Resposta na AV1
6) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?
Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.
Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:
Segundo o enunciado  e , então:
Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.
A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5.
Desconsiderar este exercício porque versa sobre probabilidade condicional
2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.
3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.
Então:
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.
5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula  e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .
Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.
Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:
Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:
Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14:
Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:
6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?
A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2.
A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:
Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:
A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.
7) Prove por indução matemática que para todos inteiros n≥1,
Ver na aula 5
9) Prove por indução matemática a seguinte proposição para (n>=0):
P(n) : 1 + 21 + 22 + 23 + ...+ 2n = 2n+1 - 1Base de indução P(n0) - 20 = 20+1 -1 = 1 ok
Hipótese de indução p(K) P (K + 1) – Passo de indução
P(K)= 1 + 21 + 22 + 23 + ...+ 2k = 2k+1 – 1
P(K + 1 ) = 1 + 21 + 22 + 23 + ...+ 2k+1 = 2k+1+1 – 1 = 2k+2 – 1
P(K + 1 ) = 1 + 21 + 22 + 23 + ...+ 2k + 2k+1 = 2k+1+1 – 1
 2k+1 – 1 + 2k+1
 2. 2k+1 -1 = 21. 2k+1 -1 = 2k+2 – 1 ok 
10) Conceitue Criptologia.
11) Conceitue Esteganografia.
12) Qual a diferença entre criptografia e criptoanálise?
13) Quais os tipos de cifras existentes? Conceitue cada tipo.
14) Qual a diferença entre códigos e cifras?
Ver os conceitos na aula 6
15) De acordo com a tabela, representada pela teoria dos códigos detectores de erros de Hamming, verificar se existe erro no conjunto de bits apresentado e em qual bit encontra-se o erro.
	Posição do bit
	1
1
	2
0
	3
0
	4
1
	5
1
	6
1
	7
0
	
	XOR
	
	11
	bits codificados
	p1
	p2
	d1
	p4
	d2
	d3
	d4
	
	
	
	d7
	bits
de
paridade
	p1
	1
	
	0
	
	1
	
	0
	
	0
	
	X
	
	p2
	
	0
	0
	
	
	1
	0
	
	1
	
	X
	
	p4
	
	
	
	1
	1
	1
	0
	
	1
	
	
	
	p8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	X
	
	p16
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Como o resultado XOR deu 1 na paridade 2 e paridade 4 , existe erro, e o erro está no bit = p2 + p4 = 2 + 4 = 6 . o valor correto do bit seria 0 e não 1.
	A 
	B 
	XOR 
	0 
	0 
	0 
	0 
	1 
	1 
	1 
	0 
	1 
	1 
	1 
	0 
Qual o número de posições de memória disponíveis na função de Hashing:
h(k) = k mod 285
Resposta = 285, porque podemos ter resto de 0 até 284.
17) Informar qual a posição de memória dos seguintes clientes utilizando a função Hashing:
h(150) = 150 mod 40 30
h (220) = 220 mod 40 20
h(200) = 200 mod 50 0
18) Quais seriam a posições de memória dos seguintes clientes de uma empresa:
h(83) = 83 mod 9 2
h (92) = 92 mod 9 3
19) Verifique se existe congruência linear nos casos abaixo:
a) 24 ≡ 2 (mod 6) não
b) 23 ≡ 3 (mod 5) sim
c) 58 ≡ 4 (mod 9) sim
20) Verifique se a expressão abaixo é verdadeira:
mod 3 = 7 mod 3 22 ≡ 7 (mod 3)
1= 1 sim
21) Escreva formalmente o Grafo G do diagrama abaixo, isto é, ache o conjunto V (G) de vértices de G e o conjunto E (G) das arestas de G. Ache o grau de cada vértice. 
Existem SEIS vértices e V(G) = {A, B, C, D, E, F}. Existem OITO pares de vértices {x,y}, onde o vértice x é conectado com o vértice y, portanto: E(G) = [{A,B}, {A,D}, {B,C}, {B,E}, {C,E}, {C,F}, {D,E}, {E,F}].
O grau de um vértice é igual ao número de arestas aos quais ele pertence, por exemplo, deg (A) =2, já que A pertence a três arestas {A,B}, {A,D}. Analogamente, deg (B)=3, deg (C)= 3, deg (D)= 2, deg (E) = 4 E deg (F) = 2
A soma dos graus dos vértices é 2+3+3+2+4+2 = 16, que é igual a duas vezes o numero de arestas. 
22) diga os tipos de grafos representados no desenho abaixo:
 
____ponderado_________________ dirigido_________
 _______regular___________
 
 v1 v2 
__________nulo_________ _____________completo_________