Fisica I - kodama

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Física I
Takeshi Kodama
Instituto de Física - UFRJ
March 9, 2008
1 Introdução
Quando observamos o ceu numa noite num local afastado de cidades grandes, e
se refletimos que o nosso sol é apenas uma das milhares destas estrelas, sentimos
realmente a presença de uma imensidão do espaço. As Voygers, que partiram
da Terra nos anos ’70 ainda nem saíram do alcance do sistema solar. A imagem
dessa imensidão estimula a nossa imaginação sobre os mistérios e a profundidade
do Universo. O Universo sempre foi, e será, um palco fundamental para muitas
ficções científicas. Ao mesmo temo, ele é o alvo básico de estudos científicos e
filosóficos desde o início da história humana.
Uma outra questão igualmente fundamental é a origem da matéria. Hoje,
sabemos que a matéria em nossa volta é constituída de moléculas e átomos, e
sabemos que os átomos são compostos de núcleos e uma nuvem de elétrons em
sua volta. O núcleo é composto de prótons e neutrons. Prótons e neutrons tam-
bém são compostos de quarks, ligados pela força de Cromodinâmica Quântica.
Então, esta hierarquia de estruturas da matéria tem um final? As partícu-
las elementares também seriam compostas de alguma coisa? Por outro lado,
sabemos também que para estas partículas existem suas anti-partículas. Uma
mátéria composta de anti-partículas é chamada de anti-matéria. Recentemente
um experimento no Laboratório de CERN/Genebra produziu um anti-atomo
de hidrogêneo. Freqüentemente, os processos associados a origem da matéria
também são um alvo de histórias de ficção científica.
Naturalmente os tópicos acima são apenas dois exemplos dos temas de
pesquisa da área de Física, e hoje, sabemos que as duas questões são intimamente
ligadas uma a outra. Mas a Física abrange muito mais dessas questões funda-
mentais. Podemos dizer que quase todas as bases da tecnologia moderna têm
sua origem nas descobertas da Física, tais como semicondutores, nanotecnolo-
gia, fibras óticas, computação quântica, etc. Hoje, a pesquisa em Física abrange
desde buracos negros, origem da vida, inteligência artificial, e seu método é apli-
cado até na simulação da dinâmica da economia tais como bolsas de valores, ou
aos fenômenos sociais, psicologia, controle de transitos nas cidades, etc. Além
das aplicações diretas dos conhecimentos obtidos da Física, as vezes as necessi-
dades de desenvolvimento tecnológico usado na pesquisa de Física podem gerar
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novas técnologias e conhecimentos inovadores. Um exemplo deste tipo é o sis-
tema de Internet (WWW) que foi inicialmente introduzido por físicos no CERN
pela necessicade das atividades de pesquisa na área de Física de Partículas.
O objetivo geral do estudo de Física é, para um dado fenômeno, seja a
explosão de supernova, seja o comportamento da bolsa de valores, ou seja o
mecânismo de memorização nos neurôneos, descrevê-lo numa liguagemmatemática
apropriada e descobrir uma lei universal que está atraz dos fenômenos em
questão. Uma vez descoberta a lei universal para o fenômeno, podemos fazer a
previsão para novos fenômenos.
De modo geral, qualquer ciência tem método e objetivos análogos. O que
caracteriza a Física é a sua linguagem, que é a matemática e a lógica rigorosa.
Muitas vezes, os fenômenos que tratamos na Física não são necessariamente
visíveis diretamente, em particular quando falamos de partículas elementares, o
início do Universo, buracos negros, etc. Estes fenômenos só podem ser descritos
de forma quantitativa usando a linguagem matemática adequada. Neste curso
de Física I, introduzimos um treinamento do uso da linguagem matemática para
descrever fenômenos simples que já são bem conhecidos, tais como movimento
de um corpo sob a ação de uma força. Em particular, abordamos as questões e
os problemas listadas abaixo. Estas são as perguntas sobre os conceitos básicos
que devem ser refletidos e respondidos conscientemente. Cada aluno deve ter
preocupação de responder essas questões constantemente. Ao mesmo tempo, os
alunos devem inventar, por si próprio, os exemplos e exercícios correspondente
as questões. Debates e discussões entre alunos são estimuladas.
1. O papel da Ciência e da Física
(a) Porque se estuda?
(b) Porque se estuda Ciência?
(c) Qual é a diferença entre a Ciência e Ficção científica?
(d) Qual é a diferença entre Física e Engenharia ? Exite?
(e) Porque a disciplina Física é necessária nos cursos de outras ciências,
tais como engenharia, geociências, químicas ?
(f) Quais são as questões fundamentais da área da Física Contemporânea?
Quais são suas importâncias? Tem retorno social imediato?
(g) O que é a responsabilidade profissional?
2. Conceitos básicos, medição, números, unidades, etc.
(a) O que é a descrição científica?
(b) Como quantificar vários conceitos? (Exemplos: distância, massa,
tempo, velocidade, temperatura, força, riqueza, capacidade pessoal,
inteligência, beleza, estilo, carater, gosto,..). O que é método para
medi-los?
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(c) Qual a diferença entre utilizar símbolos e números numa afirmação
científica? Qual a vantagem de utilizar os símbolos para expressar
as quantidades? Quando é necessário transformar estas quantidades
em números?
(d) Todas as unidades são independentes?
3. Sistema de coordenadas, espaço, tempo, redução de dimensão para sistema
simétrico, escolha de sistema de coordenadas apropriadas
(a) Como medir o raio da Terra?
(b) Como medir a distância entre a Terra e Lua?
(c) Como medir o tempo?
(d) O que é o sistema de coordenadas Cartesianas? Qual é o papel da
origem? Como definir a direção, por exemplo, X?
(e) O que significa quando se fala “unidimensional ”,“bi-dimensional ” e
“tridimensional ”?
(f) O que é “grau de liberdade”?
(g) Em quais situações a redução de graus de liberdade aparece?
4. Método Científico e Desenvolvimento
(a) O que é o método científico?
(b) Porque a abstração é indispensável no processo acima?
(c) Qual é o mecanismo em que novas tecnologias surgem?
(d) Qual é o mecanismo em que novos conceitos surgem?
(e) Como é o mecanismo de re-alimentação no desenvolvimento da Ciên-
cia?
5. Descrição de Trajetória (Noção de Funções, continuidade, derivada)
(a) O que é suficiente para caracterizar cientificamente o movimento de
uma partícula no espaço?
(b) Como fazer um gráfico de uma função? Linear, quadrático, polinômio,
exponencial, logarítmica, raiz quadrada, raiz cubica, sen, cos, arcsen,
senh, cosh, ...? As funções inversas?
(c) O que quer dizer uma função contínua?
(d) Em quais casos o uso da função é necessário para descrever um fenô-
meno?
(e) O que é a derivada de uma função? Qual é seu significado geométrico?
(f) O que quer dizer uma função suave e contínua?
(g) Como definir a velocidade? Qual é a diferença entre a velocidade
instantânea e a velocidade média? Dê exemplos.
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(h) Treinar o cálculo de derivada de várias funções. Como calcular a
derivada de uma função implícita? Como calcular a derivada de uma
função de outra função? Como simplificar os cálculos?
6. Noção de aceleração e força(unidimensional)
(a) O que é aceleração?
(b) O que é a derivada segunda? Qual é o significado geométrico da
segunda derivada num gráfico da função?
(c) Relação de máximos e mínimos.
(d) O que é um sistema inercial ?
(e) O que é um movimento linear uniforme? Como se descreve?
(f) O que é um movimento circular uniforme? Como se descreve?
7. Leis de Newton
(a) O que são as Leis de Newton? Seu significado?
(b) Calcular as forças para movimentos linear, quadrático, sen, exp, e
outros exemplos que você mesmo deve pensar.
(c) O que corresponde um “choque” (por exemplo a colisão entre carros)
em termos de força e aceleração? Em termos de velocidade? Em
termos de trajetória?
(d) O que é uma equação diferencial?
(e) O que é a condição inicial?
(f) O que significa “resolver uma equação diferencial ”?
(g) Como aplicar as Leis de Newtonde forma geral? Dê vários exemplos.
Onde é preciso usar as abstrações (modelagem) nestes exemplos?
(h) Qual é a natureza da força no movimento retilíneo uniforme, em
queda livre, no pêndulo, no sistema mola+massa, no movimento cir-
cular, na colisão e impacto, freio, atrito, ...?
(i) Quais são as forças fundamentais da Natureza?
(j) Quais são as origens das forças dos fenômenos do dia a dia, por
exemplo, força de contato, atritos, viscosidades, forças centrifugas,
etc?
(k) Como resolver as equações diferenciais simples correspondentes a um
movimento unidimensional?
(l) Como descrever a Equação de Newton para o movimento de queda
livre? Como resolver?
(m) Como surge o conceito de energia no problema acima? E a energia
potencial e a energia cinética?
(n) Como é o efeito de atrito do ar?
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8. Vetores
(a) O que é um vetor?
(b) Porque é necessário o uso de vetores em física? Dê vários exemplos.
(c) O que significa multiplicar um número por um vetor?
(d) É possível somar um vetor com um número?
(e) Qual é a regra de soma de dois vetores?
(f) A posição de uma partícula é um vetor? O que significa neste caso a
“soma ” de dois vetores?
(g) A velocidade de uma partícula é um vetor? O que significa neste caso
a “soma ” de dois vetores? Dê um exemplo.
(h) Sabendo que a posição é um vetor, pode-se provar que a velocidade
é um vetor?
(i) O que é a norma de um vetor? No caso do vetor de posição, o que
corresponde a norma? No caso de velocidade?
(j) Como fica a norma da soma de dois vetores? O que significa a norma
no caso de soma de dois vetores de posição? Qual é o maior, a norma
da soma de dois vetores ou a soma das normas dos vetores?
(k) O que significam os elementos de um vetor?
(l) Se os elementos de um vetor forem funções de um parâmetro, por
exemplo, o tempo, qual é a imagem deste vetor?
(m) Como calcular a derivada de um vetor dependente no tempo, por
exemplo?
(n) Qual é o significado geométrico da derivada acima?
(o) Como graficar as trajetórias de vetores, expressos parametricamente
com o tempo t como parâmetro. Criar exemplos bidimensionais. Em
que caso pode-se obter a expressão de trajetória analiticamente no
plano x− y?
(p) Como são os gráficos de trajetórias de velocidades dos exemplos acima
citados?
(q) O que é a integral de um vetor? Que vetores correspondem às inte-
grais
R t
0
dt r(t) dos vetores da questão acima?
9. Equação de Newton na forma vetorial
(a) Forças são vetores? Como verificar experimentalmente?
(b) Como é a forma de Equação de Newton na forma vetorial?
(c) Quando souber a trajetória de uma partícula,
r (t)
é possível saber a força que está aplicada nela? Se for possível,
obtenha a força para os exemplos anteriores.
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(d) A equação de Newton é consistente com a lei da inércia? Em que
sentido?
(e) Como obter a solução da equação de movimento, quando a força
é nula? Como o movimento é especificado em termos da condição
inicial?
(f) Como é o movimento quando existe apenas a força de atrito?
(g) Como obter a solução da equação de movimento com força constante?
Dê um exemplo de força constante.
(h) Como escolher a direção e a velocidade inicial de uma bala para
atingir um alvo num movimento balístico sob o efeito da gravidade
da Terra?
(i) Se existir o vento?
(j) O que é a força de vínculo?
10. ENERGIA, TRABALHO, POTENCIAL
(a) Como surge o conceito de energia? O que é a energia cinética?
(b) O que significa a conservação de energia?
(c) O que é o trabalho feito por uma força?
(d) Quando a energia cinética não é conservada?
(e) Qual é a relação entre a perda de energia cinética e o trabalho da
força de atrito para o movimento de uma partícula sujeita apenas a
força de atrito?
(f) Na queda livre de uma partícula, sem atrito, qual é a quantidade
conservada?
(g) O que é uma força conservativa?
(h) Dê exemplos de forças conservativas.
(i) A força elétrica uniforme atuando sobre uma carga é conservativa?
(j) O que é o potencial de uma força?
(k) Qual é a forma do potencial da força gravitacional uniforme?
(l) Quando a força é obtida por um potencial, como mostrar que a en-
ergia total se conserva?
(m) Mostre que a energia total se conserva para uma massa ligada a uma
mola.
(n) Para o movimento de uma partícula, porque o trabalho feito por uma
força de vínculo é nula?
11. CONSERVAÇÃODE ENERGIA EMOMENTO, PROBLEMADE 2 COR-
POS
(a) Em que caso vale a conservação de energia e momento?
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(b) Para questão acima, qual é o papel da terceira lei de Newton?
(c) O que é o Centro de massa de um sistema?
(d) Descreva matematicamente o mecanismo que faz um foguete acelerar.
(e) O que é a colisão elástica?
(f) Como determinar as velocidades finais de duas partículas após a col-
isão elástica, com a energia incidente dada, quando o ângulo de es-
palhamento for especificado?
(g) Considere uma espaçonave viajando no espaço. Suponha que a nave
entra numa região onde pequenos asteróides colidem constantemente
com a nave. Como calcular a taxa de perda de velocidade quando as
colisões de asteróides com a superfície da nave forem elásticas? Se
forem completamente inelásticas?
12. Descrição Matemática de Alguns Exemplos
(a) Força constante e uniforme.
(b) Força eletrostática e Força gravitacional de fonte puntiforme
(c) Força gravitacioal com mais de uma fonte.
(d) Força de atrito, viscosidade, dissipação. O processo de dissipação se
contradiz com a conservação de energia?
13. ROTAÇÃO E MOMENTO ANGULAR
(a) Noção de momento angular, sua conservação. Em que situação o
momento angular se conserva?
(b) Corpo rígido, Momento de inercia, Equação de movimento.
(c) Precessão e Nutação
14. SISTEMAS DE COORDENADAS NÃO INERCIAL
(a) Mudança de sistema de coordenadas, sistemas inerciais.
(b) Princípio da relatividade de Galilei.
(c) Mudança de sistema de coordenadas, sistemas não inerciais.
(d) Forças de aceleração, Força centrifuga, força de Coliori.
(e) Princípio de equivalência para força gravitacional.
Embora seja uma das disciplinas mais antigas da Física, os conceitos e metó-
dos introduzidos na Mecânica Clássica formam uma base essencial para o estudo
mais avançado para qualuer área de Física, mesmo para a Física Moderna. Por
exemplo, não seria possível falar sobre Mecânica Quântica sem noção sobre os
conceitos básicos da estrutura da Mecânica Clássica. Ao mesmo tempo, na área
da Mecânica Clássica propriamente dito há muitos desenvolvimentos novos e,
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portanto, existem e estão surgindo muitos problemas fundamentais não resolvi-
dos. Desta forma, ao contrário do que o nome diz, a Mecânica Clássica continua
sendo uma das áreas de pesquisa de ponta mais importantes. Os estudos sobre
sistemas não lineares, fenomômenos caóticos, fractais, etc. são destes exemplos.
Um dos objetivos principais deste curso de Mecânica é introduzir vários
métodos matemáticos para tratar certa classe de sistemas físicos que são gov-
ernados pelas leis de Newton. Na verdade, quase todos os fenômenos que ob-
servamos em torno de nós diáriamente são governados pelas leis de Newton.
Assim, na Mecânica, usualmente tratamos apenas sistemas físcos nos quais a lei
de Newton por si é o único elemento dinâmico necessário para compreender seu
comportamento. Isto é, não tratamos fenômenos que envolvem as propriedades
da matéria, a origem da natureza da interação, os fenômenos eletromagnéti-
cos, etc. Esses assuntos são abordados na Física II, III e IV. Entretanto, como
listadas nas questões acima, é recomendavel que sempre tenha em mente as
questões fundamentais.
Um outro ponto fundamental que gostaria de enfatizar neste curso, além
do aspecto técnico-acadêmico da matéria, é que a estrutura da Mecânica é um
excelente exemplo para ilustrar o método científico utilizado na Física, que é
fundamental nos estudos da ciência emgeral. Neste sentido, antes de iniciar
o curso, vamos refletir um pouco sobre o que é a Ciência, o que é o método
científico, e até, porque estudamos Ciência.
1.1 Ciência e Método Científico
O que distingue um estudo científico de uma ficção científica? Devem existir
vários fatores. Mas, um dos mais fundamentais é que, enquanto uma ficção
científica se propõe a curtir a imaginação sem compromisso, a Ciência assume
uma responsabilidade sobre suas afirmações. É claro, uma afirmação científica
pode ter sua origem na imaginação ou na criatividade. Mas, o que distingue a
Ciência de uma ficção científica é que uma afirmação científica deve, no final das
contas, ser sempre confrontada pelos fatos observacionais de forma universal.
Uma afirmação científica não é apenas afirmação sem base, mas deve ser
posta como uma conclusão inevitável baseada numa série de raciocínios lógicos e
observações experimentais. Neste sentido, se uma afirmação científica contradiz
o fato observacional, então a origem desta contradição deve ser investigada mais
cuidadosamente. Esta descrepância tem como origem, por exemplo, a interpre-
tação dos dados, ou a suposição inicial do modelo, ou até o próprio princípio
que foi utilizado. Muitas vezes, o que traz um novo salto no desenvolvimento
da Ciência é justamente esta discrepância entre uma previsão teórica e os dados
observacionais. Em outras palavras, nos sempre aprendemos muito pelos erros.
Mas para isto, devemos sempre deixar bem claro a origem do erro.
Um outro aspecto importante é que uma afirmação científica deve ser univer-
sal. O que quer dizer que uma afirmação é considerada universal? Naturalmente
a tal afirmação deve ter uma sequência de raciocínios lógicos universalmente
aceitos. Ou seja, deve ser expressa numa liguagem lógica universal. No mundo
das Ciências Exatas, esta linguagem é a matemática. Um dos objetivos bási-
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cos do estudo de Física é expressar matematicamente as leis que governam os
fenômenos da Natureza na sua forma mais geral possível.
Os fenômenos da Naturaza são infinitamente variados e as vezes extrema-
mente complexos. A Física busca uma descrição dos fenômenos em que esta
complexidade possa ser entendida como combinações de certas leis bem mais
simples. Uma vez aceita essa posição, o que devemos descobrir é a lei universal
por tráz dos fenômenos aparentemente complexos. Só que as aparências dos
fenômenos são também extremamente variadas e, portanto, a tentativa não or-
ganizada de estudar um determinado fenômeno não é produtiva. Além disto,
as vezes, as novas leis descobertas não necessariamente têm uma interpretação
simples, nem comprehensível. Como podemos construir uma lei fundamental
atraz de um conjunto de fenômenos completamente fora do conceito estabele-
cido? Deve haver um método sistemático. Este método é em geral chamado o
método científico.
Podemos dividir este método científico em três fases. A primeira fase é
de observações organizadas para extrair certas regras sistemáticas que existem
entre os dados. Uma sistemática entre dados observacionais é referida como
uma lei empírica. Para uma classe de fenômenos podemos estabelecer várias
leis empíricas. Em geral, estas leis devem ser expressas quantitativamente na
linguagem matemática. Estas leis empíricas não necessariamente são todas in-
dependentes. Algumas leis empíricas para uma determinada classe de fenô-
menos podem ser reduzidas a outras leis empíricas com a introdução de hipóte-
ses ou idéias simplificadoras. Este processo seria a segunda fase do estudo,
onde tentamos organizar as leis empíricas utilizando modelos para o sistema
em estudo e buscamos as leis mais fundamentais possíveis. Esta segunda fase
é as vezes chamada de fenomenologia. Quando estabelecemos a lei mais fun-
damental possível e tendo uma imagem do sistema (modelo), podemos então
extrapolar esta teoria fenomenológica e fazer previsões sobre o comportamento
do sistema numa condição que ainda não tenha sido testada. Isto induz uma
nova área de pesquisa experimental, estimulando o desenvolvimento de métodos
tecnológicos. Ao mesmo tempo, do lado teórico, a abstração ou generalização
da teoria fenomonológica pode ser introduzida, que eventualmente unifica vários
modelos distintos ou conflitantes. Nesta terceira fase, é fundamental encontrar
um novo campo de fenômenos onde o sistema em estudo ou a lei obtida nas
fases anteriores manifeste-se de forma inteiramente diferente daquelas até então
conhecidas. Como consequência desta terceira fase, junto com os desenvolvi-
mentos tecnológicos estimulados, em geral são induzidas novas descobertas e
novos fenômenos. Para estes, iniciamos novamente a primeira fase de analise
empírica, só que com um novo horizonte de conhecimento comparado com a
etapa anterior. Este é o processo de desenvolvimento da Ciência. Por exemplo,
na área da Mecânica, o recém desenvolemento do estudo sobre sistemas não
lineares deve essencialmente no desenvolvimento de computadores. Em particu-
lar, quando encontramos uma contradição insolúvel entre as conclusões obtidas
nestes processos, pode surgir um conceito completamente novo que englobe de
uma forma natural os dois conceitos contraditórios. Este novo conceito está cer-
tamente em um nível superior que dificilmente teria sido alcançado sem se ter
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explicitado o conflito fatal dos conceitos anteriores. O surgimento da Mecânica
Quântica é um excelente exemplo desta dialética científica.
Naturalmente, as três fases não necessariamente são claramente distinguíveis
uma da outra, e nem sempre cronologicamente ordenadas. As vezes, novas
idéias ou fenômenos podem surgir sem nenhuma correlação com estudos básicos
trabalhosos. Mas estas são exceções e, via de regra, o metódo sistemático acima
é fundamental para o real e seguro desenvolvimento da pesquisa científica. Desta
forma, vemos claramente que o que é mais importante no estudo de Ciência é
o processo de encadeamento das idéias utilizadas para resolver um determinado
problema e não os resultados individuais.
Assim, o estudo da Física, ou da Ciência em geral, nunca deve ser encarado
como o de simplesmente adquirir conhecimentos enciclopédicos sobre fatos, re-
sultados ou teoremas. O estudo da Física exige aprendiz a dada metodologia e
o processo de desenvolvimento de raciocínío. Os leitores devem ser bem cientes
do fato de que os problemas tratados num curso como este são meros exemplos
utilizados só para ilustrar esta metodologia e o processo de desenvolvimento de
raciocíneo. Saber apenas os resultados de certos problemas sem saber reconsti-
tuir sua sequência lógica e métodos utilizados será completamente inútil. Neste
curso, enfatizaremos este ponto. Assim, os estudantes deste curso deve encarar
os exercícios não como problema isolado mas uma ilustração de idéias. Será re-
comendado que o leitor procure sempre exemplos análogos ou contra-exemplos
do problema proposta.
1.2 Conceito de Modelo - Simplificação, Idealização, Ab-
stração
Na seção anterior, mencionamos modelos científicos. O que é um modelo cien-
tífico? Por exemplo, suponhamos que queremos estudar o movimento da Terra
em torno do Sol. Neste caso, estamos acustomados a pensar em uma massa
pontiforme MTerra girando em torno de um ponto com a massa do Sol, MSol,
fixo no centro. Obviamente, esta imagem é uma simplificação e, portanto, uma
aproximação. Quais fatores físicos deveriam ser considerados para descrição
mais precisa do movimento da Terra? Existem vários, tais como: a presença de
outros planetas, a presença da Lua, o tamanho finito da Terra e do Sol, o movi-
mento do Sol, a rotação da Terra, a não rigidez da Terra (efeito de maré), etc,
etc... Para cada aspecto, devemos introduzir as quantidades matemáticas para
descrevê-lo quantitativamente. Mas, neste exemplo, a imagem do Sol fixo no
centro e a Terra como uma massa puntiforme que se move em sua volta parece
ser, intuitivamente, aceitável comoprimeira aproximação. Nesta imagem, ape-
nas o vetor de posição da Terra em relação ao Sol precisa ser especificado para
a resolução do problema.
Introduzir a simplificação (aproximação) adequada para tratar um deter-
minado problema é muito importante para identificar o(s) parâmetro(s) prin-
cipal(is) do problema. Uma imagem aproximada de um sistema introduzida
intencionalmente a fim de identificar o(s) aspecto(s) mais relevante(s) dos fenô-
menos é chamado de modelo. Um modelo é um espécie de caricatura que rep-
10
resenta um ou alguns aspectos do sistema físico para especificar os graus de
liberdades relevantes. Assim, um determinado modelo para um sistema não
necessariamente representa todas as propriedades deste sistema. Dependendo
da complexidade do sistema é necessário e, até melhor, introduzir modelos difer-
entes para representar aspectos distintos do sistema. Uma nova visão, ou uma
nova dimensão nas idéias, pode surgir dentro dos esforços para unificar vários
modelos distintos atribuídos a um dado sistema. Assim, um modelo e sua rep-
resentação matemática servem como um meio de abstração dos componentes
essenciais da natureza do problema.
Por outro lado, um modelo não é apenas uma caricatura. Um modelo deve
representar a realidade fielmente dentro de suas limitações e, portanto, deve ter
o poder de previsão. Note que a palavra “fielmente” acima não necessariamente
significa “exatamente”. Dentro de um modelo científico válido, as relações entre
quantidades observadas devem ser representadas corretamente. No sentido am-
plo, qualquer descrição matemática de um determinado sistema é um modelo.
Quando um modelo deste tipo tem poder de descrever todas as propriedades
do sistema, aceitamos o modelo como representação da realidade. Por exemplo,
o Modelo Padrão para descrição de interações entre partículas elementares tem
atingido um nível de sucesso bastante elevado de forma tal que este modelo é
atualmente considerado a representação correta da natureza, até que se prove o
contrário com experiências a serem realizadas.
1.3 Importância da Linguagem Universal -Matemática
Para validar uma teoria física, devemos confrontar as previsões desta teoria
com os dados experimentais. A ciência exige que a confrontação seja feita não
apenas qualitativamente, mas quantitativamente. Este é o aspecto fundamental
da ciência moderna.
Por exemplo, na epoca AD140, o astronomo da Alexandria, Ptolomeu es-
tabeleceu um conceito que é conhecido como o Sistema de Ptolomeu no qual
os movimentos dos planetas (e do Sol) seriam explicados basicamente por uma
combinação de dois movimentos circulares uniformes. A filosofia por tráz disto é
uma crença de que o movimento circular uniforme tem harmonia e, portanto, os
movimentos dos planetas devem obedecer esta regra. O princípio inicial era um
dogma e não uma lei empírica. Este tipo de pensamento dogmático muitas vezes
dificulta o caminho de encontrar o princípio real. O pior foi que este sistema
funciona razoavelmente. Mesmo o Thyco-Brahe e o Kepler (Johanes Kepler)
que perceberam as falhas deste sistema Ptolemeu, não se conseguiu librar da
imagem dos conceitos dogmáticos. O trabalho do Galileo (Galileo Galilei 1564-
1642) foi fundamental para a implementação das bases da Ciência moderna,
onde buscamos as leis da Natureza baseados somente nos fatos observáveis e re-
jeitamos qualquer imposição dogmática como ponto de partida. Foi o primeiro
enfatizou explicitamente o uso de experimentos como o meio fundamental para
verificar hipóteses ou idéias. Assim, não deve haver dogmas, mas hipotese de
trabalho.
Para expressar qualquer idéia, precisamos de uma linguagem. A linguagem
11
que expressa os fatos observáveis numa sequência lógica é a matemática. Note
que a matemática em si não necessariamente reflete os fenômenos da Natureza.
Ela é uma linguagem que trata dos relacionamentos lógicos entre diferentes
afirmações. Pode acontecer que a matemática pode concluir uma afirmação não
é real se o ponto de partida não tem compromisso com o fenômeno real.
Em geral, os dados observados são conjuntos de números. Na Física, uti-
lizamos os modelos para encaixar estes dados numa sequência de lógica matemática.
Uma vez expressos os fatos observados numa forma matemática, podemos ex-
trapolar a idéia dentro do raçocínio lógico da matemática. As conclusões obtidas
desta forma serão universais no sentido de não depender de quem utilizou esta
linguagem. Nas linguagens comuns, não é fácil de garantir este aspecto. De-
scrições feita em uma linguagem comum dependem muito da pessoa e do modo
que a utiliza. Na verdade, este aspecto de subjetividade numa língua é fun-
damental na literatura. Mas a linguagem para expressar uma lei da natureza
não deve depender da forma como esta linguagem é utilizada. Deve expressar
puramente as ligações lógicas entre afirmações1.
Um outro aspecto importante da linguagem matemática é a precisão e o
poder de quantificar as afirmações. Se ficássemos satisfeitos apenas com ar-
gumentos qualitativos baseados nas intuições, nunca alcançaríamos o nível da
ciência de hoje. Devemos também lembrar que, embora a intuição seja um el-
emento muito importante para compreensão, ela é às vezes bastante traidora.
Por exemplo, responda rapidamente o seguinte quebra-cabeça: “Suponha que
existe um fio que tem o comprimento certinho para fazer uma volta completa à
Terra no equador (cerca de 40.000 km). Naturalmente, utilizando um fio com
comprimento um pouco maior, teremos uma folga entre o fio e a superfície da
Terra. Agora, se este comprimento extra for de 1 (um) metro, a altura deste es-
paço entre o fio e da Terra será suficiente para que uma formiga passa (supondo
que a Terra é uma esfera ideal com superfície lisa e que seja possível manter o
espaço entre o fio e a superfície constante em toda a volta) ?” É claro, fazendo
uma conta simples, podemos obter imediatamente a resposta correta, mas se
dependesse somente da intuição, a maioria das pessoas ficariam na dúvida para
responder esta questão pela primeira vez. Este exemplo mostra que a intuição
não ajuda muito mesmo para uma questão tão simples e, imagine, nas situações
mais complicadas.
Por outro lado, as intuições são produtos de acúmulo do nosso conhecimento
e das experiências de cada um. Isto significa que, quanto mais se treina e se
adquire experiência, o horizonte e a capacidade da intuição aumentam. Sabemos
muito bem que a língua materna é melhor para apreciar a sutileza e beleza de
um texto literario ou uma poesia. Mas, dependendo de treino, podemos alcançar
esta capacidade em outras línguas. Desta forma, para entender o real significado
das leis da Natureza, devemos nos acostumar com o uso da matemática como
uma língua materna. Considerando este aspecto didático, enfatizarei bastante
o uso e trainamento da matemática neste curso. Mas isto não quer dizer que
1 Isto não quer dizer que os conceitos subjetivos não possam ser tratados em linguagem
matemática. Como tratar subjetividade numa linguagem científica é um dos assuntos de
estudos modernos.
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apenas as contas que é importante. O objetivo mais importante é que saber
expressar os conceitos físicos em termos de expressões matemáticas adequadas.
Inversamente, saber interpretar o significado de uma expressão matemática em
termos de uma imagem física correspondente. Neste sentido, é fundamental se
acustomar pensar que, para cada etapa de uma dedução de uma fórmula, sempre
o significado do cada resultado.
13
2 Lei de Newton para uma partícula em movi-
mento unidimensional
2.1 Coordenadas
Consideramos o movimento de uma partícula punteforme. Quando falamos “o
movimento de uma partícula”, estamos pensando como a posição dessa partícula
varia no tempo. Para simplificar, vamos começar o movimento de partícula
numa reta. Neste caso, podemos descrever a posição da partícula em termos
de uma coordenada asscociadanesta reta. Ou seja, qualquer ponto na reta,
digamos P pode ser especificada através da distância a partir de um ponto de
referência, digamos O. Assim, a posição de uma partícula numa reta pode ser
especificada em termos de uma variável, x, que representa a distância medida de
um ponto de referência O (ver a figura abaixo). Convencionamos que quando o
ponto P esteja no lado esquerdo do ponto O, então associamos o valor negativo
para a distância.
O P
x
Assim, discutir o movimento de uma partícula punteforme numa reta se reduz
ao problema matemático para estudar como a variável x se comporta como
função de uma outra variável, chamado tempo, t. Ou seja, se sabemos a função
x = x(t),
sabemos o movimento da partícula.
Exercício: Descreva as características dos movimentos de uma partícula ex-
pressos como A,B,C no grafico abaixo.
14
-10 0 10 20
t
-10
0
10
20
30
x
A
B
C
Fig.1
A discussão acima sobre uso de coordenada x e o tempo t para descrição
de um movimento parece que é trivial. Entretanto, na verdade já introduzimos
várias hipoteses fundamentais sobre os conceitos do espaço e tempo. Por exem-
plo, como medir a distância? Existe o conceito de distância independentemente
da existência da matéria? Como medir o tempo? Existe o conceito do tempo
independentemente da existência da matéria? etc, etc. Votaremos esses pontos
no final do curso, mas no momento, supormos que existe o espaço e o tempo
absolutos que permitem descrever o movimento de uma partícula em termos de
coordenada x e o tempo t.
2.2 Velocidade
Quando uma partícula se desloca do ponto x = x1 a outro ponto x = x2 dentro
de intervalo do tempo ∆t, definimos a velocidade média v deste movimento por
v =
x2 − x1
∆t
.
Chamamos de velocidade média, pois não sabemos que se a partícula manteve
a velocidade constante durante o movimento dentro do intervalo do tempo ∆t.
Sabemos que se saimos de carro do ponto x1 e parar quando chegar no ponto x2,
a velocidade no meio é bem mais alta do que a velocidade calculada acima, pois
precisamos accelerar no inicio e freiar no final. Então, como calcular a velocidade
de cada instante? A ideia é que podemos escolher um intervalo do tempo ∆t
bastante pequena de tal forma que a velocidade não varia praticamente nada
dentro desse intervalo e podemos calcular a velocidade média neste intervalo
como antes,
v[t,t+∆t] =
x(t+∆t)− x(t)
∆t
.
15
Se a velocidade não varia praticamente nada, então, podemos considerar a ve-
locidade média acima como a velocidade do movimento no instante t. Na situ-
ação real, o intervalo ∆t pode ser finita. Mas para poder ser rigoroso, devemos
calcular a velocidade com intervalo do tempo cada vez menor. Assim, introduz-
imos o conceito, “tomar o limite para ∆t tender ao zero”, e denotamos como
lim∆t→0 . Assim, a velocidade instantânea no instante t é calculado como
v (t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)
∆t
.
Quando o movimento é suave, esperamos que o tal limite deve existir. O lado
direito é chamado “derivada” da função x(t) em relação ao t, e escrevemos como
dx
dt
e representa a taxa de variação de x em relação ao tempo. Isto é,
dx
dt
= lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)
∆t
. (1)
Em outras palavras, a velocidade instantânea é a derivada da coordenada x (t)
em relação ao t. Note que na expressão acima, ∆t→ 0 não implica que substituir
o valor ∆t = 0 diretamente no denominador e numerador. O valor ∆t→ 0 deve
ser utilizado somente quando não cria a situação como 0/0, ou ∞/∞.
Note também que a velocidade nula implica que o objeto é parado e per-
manece parado. Para o objeto fica parado, a velocidade tem que permanecer
nula como função do tempo.
Exercício: Discuta os comportamentos de velocidade em função ao tempo t
dos movimentos A,B,C da Fig.1.
2.2.1 Derivada como uma operação
Um ponto de vista pragmático (esclarecemos depois), é útel considerar o cálculo
de uma derivada no ponto t como uma espécie de operação atuando numa função
x (t) criando uma outra função, v (x) . Isto é, se interpretamos o lado direito da
derivada Eq.(1) como uma operação de modificar a função x (t) para obter nova
função v (t) = dx/dt,
v(x) = Calcular a derivada [x (t)] .
Podemos escrever
v (t) =
d
dt
x (t) ,
onde expressamos simbolicamente a operação, {Calcular a derivada} como d/dt.
O simbolo, d/dt é chamado o operador de derivada em relação a t. Simbolica-
mente
d
dt
[] = lim
∆t→0
[](t+∆t) − [](t)
∆t
16
Assim, vale as seguintes expresões,
v (t) =
dx
dt
=
d
dt
x (t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)
∆t
.
3 Acceleração
Para movimentar um carro inicialmente parado devemos pisar no accelerador.
Assim ganha-se a velocidade. Para parar, devemos pisar no freio, e desaccelerar
o carro. Com este exemplo, deve ser óbvio que definimos acceleração como a
variação da velocidade. Usando o argumento análogo no caso da velocidade,
podemos definir a acceleração instantanêa como a derivada da velocidade,
a (t) =
dv (t)
dt
=
d
dt
v (t) .
Como v (t) é a derivada de x (t) , a acceleração é a derivada de derivada de x (t) .
A derivada de derivada é chamada de segunda derivada. Podemos escrever
a (t) =
d
dt
v (t)
=
d
dt
µ
d
dt
x (t)
¶
Formalmente podemos considerar que isto é o resultado de atuação de operador
d/dt duas veses seguido. Escrevemos assim
a (t) =
µ
d
dt
¶2
x (t)
=
d2
dt2
x (t)
Escrevemos também
a (t) =
d2x
dt2
.
Exercício: Discuta os comportamentos da acceleração em função ao tempo t
dos movimentos A,B,C da Fig.1.
4 Lei de Newton
4.1 Lei de Inercia
Muitas pessoas associam a força com a velocidade. Por exemplo, quando um
carro está com a alta velocidade, falamos que o motor do carro está com potência
alta para manter sua alta velocidade. Por outro lado, também muitas pessoas
sabem a lei de inércia, o que diz que na ausencia de uma a força para freiar,
17
o objeto em movimento mantem sua velocidade. Aparentemente as duas afir-
mações acima são contraditórias. Para manter alta velocidade, precisa aplicar
a grande força, ou não precisa?
Sabemos que a chave para resolver a contradição acima é a presença (ou
ausência) de forças de atrito. No exemplo de um carro com sua velocidade
máxima, o motor do carro está gastando sua potência básicamente para manter
a velocidade do carro contra as forças de atritos (do ar, pneu, etc). No mundo
real, é fundamental a existência de forças de atritos, e por isso, as vezes estamos
falando uma situação em que a força é basicamente utilizada para manter a
velocidade contra atritos (por exemplo, mexer um colher mergulhado num pote
de mel). Por outro lado, quando as forças de atritos são suficientemente pequena
em relação a força aplicada, a velocidade não é associada (proporcional) a força.
Quem primeiramente formulou a lei de inercia foi Galileo Galilei (15/02/1564—
08/01/1642). Para deduzir a lei, ele introduziu o método chamado experimento.
Ele é considerado o pai do método científico moderno. O Newton (Isaac New-
ton, 04/01/1643 — 31/03/1727) incorporou a lei de inércia na sua primeira lei
de movimento como
• Um objeto repouso fica repouso e um objeto em movimento uniforme fica
em movimento uniforme, enquanto não aplica a força externa total não
nula.
4.2 Leis de Movimento de Newton
A segunda lei generaliza a primeira lei, explicitando o papel de uma força.
• A variação da velocidade de um objeto é proporcional a força total aplicada
e inversamente proporcional a sua massa. Podemos expressar como
a ∝ f
m
onde a é a acceleração, m a massa da partícula, e f é a força total atua na
partícula. Inversamente, a força é proporcional à variação da velocidade.
Isto pode ser considerada como a definição da força. Ou seja, a força é
algo que altera a velocidade. Escolhendo a unidade para a força, podemos
fixar a constante de proporcionalidade acimacomo sempre um (1) . Temos
f = ma. (2)
Quando a massa é medida na unidade de kg e a acceleração é medida em
termos de m por (seg)2, a força é medida na unidade, Newton (sistema
MKS) Quando a massa é medida na unidade de g e a acceleração é medida
em termos de cm por (seg)2, a força é medida na unidade, dyne (sistema
cgs).
Exercício: Quanto vale a força de 1 (um) Newton em dyne ?
18
A segunda lei de Newton Eq.(2) deve ser aplicada para cada instante. Ou
seja, para cada instante t, devemos ter
f (t) = ma (t) .
A equação acima mostra que se sabemos o movimento de uma partícula como
função do tempo t,
x = x (t) ,
podemos calcular a força que atua em cada instante para essa partícula.
A terceira lei descreve a lei de ação e reação. Discutiremos essa lei porteri-
ormente.
19
5 Revisão de Básicos de Cálculos
6 Algebras, Graficos
1. Fatorize as seguintes expressões.
a3 ± b3
an − bn
a4 + a2b2 + b4
2. Seja y = ax2 + bx+ c, onde a, b, c são reais:
(a) Sejam α e β os raízes de
y = 0.
Mostre que
α+ β = − b
a
,
αβ =
c
a
.
(b) Prove que a condição suficiente e necessária para ter duas raízes pos-
itivos é expressa por
ab < 0, ac > 0, D = b2 − 4ac ≥ 0.
(c) Prove que a condição suficiente e necessária para ter uma raíz posi-
tiva, e outra negativa é
ac < 0.
3. Prove as seguintes desigualdades (a, b, c, x, y, z reais).
a2 + b2 + c2 + ab+ bc+ ca ≥ 0,
(a2 + b2)
¡
x2 + y2
¢
≥ (ax+ by)2 .
4. Usando o resultado da questão acima, prove em geral que (via indição
matemática) Ã
nX
i=1
a2i
!Ã
nX
i=1
x2i
!
≥
Ã
nX
i=1
aixi
!2
.
(Desigualdade de Schwartz).
5. Esboce os gráficos das seguintes funções e analize sua forma em relação
aos parâmetros, a, b, c (em particular, seus sinais).
20
(a)
y = ax+ b,
(b)
y = ax2 + bx+ c
(c)
y = ax3 + bx2 + cx+ d
(d)
y = ax+ b+
1
dx+ e
,
(e)
y =
1
(x− a)2 + b2 ,
(f)
y =
a
x
+
b
x2
,
(g)
y = Ceax+b,
(h)
y = Ceax
2+bx+c,
(i)
y =
1
eax+b + 1
.
6.1 Sequências e Séries, limites
Consideramos uma sequência infinitos de números indexados,
{an, n = 1, 2, ....} ≡ {a1, a2, a3, · · · } .
Aqui, an representa n− esimo número na sequência. Isto significa, se especifi-
camos o valor de n, então, saberemos o valor de an. Neste sentido, an é uma
função de n.
Exemplo:
{an, n = 1, 2, ....} =
½
1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, · · ·
¾
=
½
1,
1
2
,
1
22
,
1
23
,
1
24
, · · ·
¾
Neste caso, podemos inferir que
an =
1
2n
.
21
Vemos que para maior valores de n, an diminui, e para n→∞, temos
an → 0.
Falamos que a sequência tende indifinidameente a 0 para n → ∞. Quando o
valor de an aproxima indefinidamente, digamos para α, quando n→∞, dizemos
que a sequência converge a α, e escrevemos
lim
n→∞
an = α.
ou
an → α para n→∞.
Exercício: Obtenha o valor limite das seguintes sequências.
an =
1
n
,
an =
2n− 1
n
,
an =
1
2n− 1 ,
an = 1 +
1
2n
,
an = 1 +
µ
−1
2
¶n
,
Dependendo da sequência, não necessariamente converge. Por exemplo, as
seguitnes seqências
{an} = {n}
{bn} =
©
−n2
ª
obviamente não convergem, mas divergem. Escrevemos neste exemplo,
lim
n→∞
an = ∞.
lim
n→∞
bn = −∞.
Mas não convergência não necessariamente a infinidade. Por exemplo
an = 1 + (−1)n .
Neste caso, dependendo do valor de n, an assume os valores 0 ou 2, altenativa-
mente. Esta é um exemplo de sequência que não converge, mas não tem valor
limite fixo.
Podemos citar as seguintes propriedades para limites de sequências. Sejam
{an} e {bn} duas sequências que convergem, tendo
lim
n→∞
an = α,
lim
n→∞
bn = β.
Então,
22
1. Para um constante x,
lim
n→∞
xan = xα,
2.
lim
n→∞
(an + bn) = α+ β.
Usando a propriedade 1, podemos generalizar,
lim
n→∞
(xan + ybn) = xα+ yβ,
onde x e y são constantes.
3.
lim
n→∞
(anbn) = αβ,
4. Se β 6= 0,
lim
n→∞
µ
an
bn
¶
=
α
β
,
5. Se para todo n vale an ≥ bn, então α ≥ β.
Usando as propriedades acima, obtenha o valor limite das sequências abaoxo.
an =
µ
1− 2
n
+
1
n2
¶µ
2 +
1
n
¶
,
an =
1 + 1n
3− 1n
,
an =
3n+ 1
2n− 1 ,
an =
p
n2 + n− n
an =
n+ 1
2n2 − 1 ,
an =
√
n+ 1−
√
n,
an =
p
n2 − 2n− n
Denotamos a soma dos primeiros n termos de uma sequência por Sn. Es-
crevemos
Sn =
nX
i=1
ai
= a1 + a2 + a3 + · · ·+ an.
23
Note que a variável /i no simbolo de somatório Σ representa os índices dos ele-
mentos e pode ser usado qualquer nome, por exemplo,
Sn =
nX
i=1
ai
=
nX
i=j
aj
=
nX
l=1
al
...
Para somatório, valem também as duas primeiras propriedades no caso de lim-
ite2. Sejam Sn e Tn os somatórios das duas sequências {an} e {bn},
Sn =
nX
i=1
an,
Tn =
nX
i=1
bn
Então,
1. Para um constante x,
nX
i=1
(xan) = xSn,
2.
nX
i=1
(an + bn) = Sn + Tn.
Usando a propriedade 1, podemos generalizar,
nX
i=1
(xan + ybn) = xSn + yTn.
onde x e y são constantes.
3.
nX
i=1
ak =
n+kX
i=k
ai
2Estas propriedades é chamadas ”linearidade”.
24
Quando a sequência {Sn} converge a S, digamos que a série infinita converge,
e escrevemos ∞X
n=1
an = S.
Exercício:
1. Mostre que
nX
i=1
i =
n (n+ 1)
2
,
nX
i=1
ri =
r (1− rn)
1− r .
2. Vamos calcular a soma
Sn =
nX
i=1
i2.
Para isto consideramos a soma
Tn =
nX
i=1
i3.
Podemos notar que
Tn − Tn−1 = n3. (3)
Mas
Tn − Tn−1 =
nX
i=1
i3 −
n−1X
i=1
i3
=
n−1X
i=0
(i+ 1)3 −
n−1X
i=1
i3
=
n−1X
i=0
¡
i3 + 3i2 + 3i+ 1
¢
−
n−1X
i=1
i3
=
n−1X
i=0
¡
3i2 + 3i+ 1
¢
= 3Sn−1 + 3
n(n− 1)
2
+ n. (4)
Combinando as Eqs.(3) e (4), concluimos que
3Sn−1 +
n
2
(3n− 1) = n3.
Obtenha a forma de Sn.
25
3. Use o método análogo acima, obtenha a expressão de
nX
i=1
i3.
(dica: Comece com a série
Tn =
nX
i=1
i4.
4. Obtenha a soma das seguintes séries infinitas.
∞X
n=1
µ
−1
2
¶n−1
,
∞X
n=1
3
µ
1√
3
¶n−1
.
5. Discuta a convergência das seguintes séries geométricas e se converge,
obtenha o valor da soma.
16 + 8 + 4 + 2 + · · · ,
1− 2 + 4− 8 + · · · ,
3− 1 + 1
3
− 1
9
+ · · · ,
0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
6. Um número em que uma determindada sequência aparece repetidamente
é chamado de dizima, que tem a forma,
q = 0. (n1n2 · · ·nk) (n1n2 · · ·nk) (n1n2 · · ·nk) (n1n2 · · ·nk) · · ·
onde ni são digitos. Escrevemos também como
q = 0.n˙1n2 · · · n˙k
Por exemplo, no caso
q = 0.253253253253253 · · ·
= 0.2˙53˙
temos k = 3 e
n1 = 2, n2 = 5, n3 = 3.
Também
q = 0.16521521521 · · ·
= 0.165˙21˙.
Mostre que uma dizima sempre pode ser expressa em termos de um número
racional.
26
7. Tem duas retas A e B cruzando com o ângulo θ (ver a figura). A partir
do ponto P0 da reta A, liga para o ponto P1 na reta B pelo um fio per-
pendicular a reta B. Em seguida, liga do ponto P1 para o ponto P2 na
reta A de novo, perpendicular a A. Repetindo este processo até chega o
ponto O. Qual é o comprimento do fio necessário?
A
B
P0
P1
P2
P3O
θ
8. Determine o domínio de variável x para que cada uma das seguintes séries
geométricas converge neste domínio.
1) 1 +
x
2
+
x2
4
+ · · ·
2) 1− x
3
+
x2
9
− · · ·
3) 1− 5x+ 25x2 − 125x3 + · · ·
9. Calcule as seguites somas.
1
1 · 2 +
1
2 · 3 +
1
3 · 4 + · · ·+
1
n · (n+ 1) + · · ·
1
1 · 3 +
1
3 · 5 +
1
5 · 7 + · · ·+
1
(2n− 1) · (2n+ 1) + · · ·
10. Calcule a soma
Sn =
nX
i=1
1√
i+
√
i+ 1
Sn =
1
1 +
√
3
+
1√
3 +
√
5
+
1√
5 +
√
7
+ · · ·+ 1√
2n− 1 +
√
2n+ 1
.
27
11. Advinheo termo n da sequência,
1
1 · 4 ,
1
4 · 7 ,
1
7 · 10 , · · ·
e obtenha a soma até n. Calcule o limite para n→∞.
12. Definimos o número e por3
e = lim
n→∞
µ
1 +
1
n
¶n
= 2.7182818284590452353602874713527 . . .
Mostre que
ex = lim
n→∞
³
1 +
x
n
´n
.
Mostre também que
ex = 1 +
1
1!
x+
1
2!
x2 +
1
3!
x3 + · · · ,
utilizando a formula binomial,
(a+ b)n =
nX
r=0
Cnr a
n−rbr,
onde
Cnr =
n!
(n− r)!r! =
n (n− 1) (n− 2) · · · (n− r + 1)
r!
13. Calcule
lim
x→0
ex − 1
x
,
lim
x→0
ex − 1− x2/2
x3
6.2 Funções, Limites de Funções, Derivadas
1. Escreve a equação e esboce o seu grafico no plano x− y de uma reta que
passa os seguintes dois pontos.
P1 = (1, 1) , P2 = (3,−2)
2. Escreve a equação de uma parabola e esboce o seu grafico no plano x− y
que passa os seguintes dois pontos.
P‘1 = (0, 1) , P2 = (1, 2) , P3 = (2, 1)
3Tente calcular no seu calculadora o valor de e utilizando n = 1.000.000, e n = 100.000.000
e compare com o valor aqui.
28
3. Para as seguintes relações paramétricas, {y = f(t), x = g(t)} obtenha a
equação de trajetória no plano x− y, (ou seja, y = h (x) , ou φ (x, y) = 0)
eliminando o tempo t e esboce os graficos
(a)
x = a sin (ωt) , y = b cos(ωt).
(b)
x = a cos (ωt) , y = a sin (2ωt) .
(c)
x =
cos (ωt)
1− e cos (ωt) , y =
sin (ωt)
1− e cos (ωt) ,
send e é uma constante.
4. Para um polinômio de ordem n,
fn(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn,
se vale
fn(a) = 0,
então, mostre que podemos fatorizar fn(x) por
fn(x) = (x− a)fn−1(x)
onde fn−1(x) é um polinômio de ordem n−1. Podemos construir fn−1(x)
pela divisão de polinômios,
fn−1(x) = fn(x)/(x− a).
Fatorize as seguints funções:
f(x) = x3 − 4x2 + 9x− 6
f(x) = 6x4 + 25x3 + 28x2 − x− 10
5. Demonstre as seguintes propriedades de função parabólica: Seja y = ax2+
bx+ c.
(a) Condição de positividade:
∀x, ay(x) ≥ 0 ⇐⇒ D ≡ b2 − 4ac ≤ 0
(b) Interprete a forma quadratica perfeita do ponto de vista grafico.
y = a(x+
b
2a
)2 − D
4a
.
6. Demonstre geometricamente como deduzir as formulas de adição de trigono-
metricas,
sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ,
cos (α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ.
29
6.3 Limites e Derivadas (continuação)
1. Calcule o limite de seguinte expressões.
lim
x→1
4x2 + 1
x+ 1
,
lim
x→1
x3 − 1
x− 1 ,
lim
x→2
√
x+ 7− 3
x− 2 ,
lim
x→2
x2 − 3x+ 2
x− 2 ,
lim
x→0
1
x
(
1
(x+ 2)2
− 1
4
)
,
lim
x→−1
2−
√
x+ 5
x+ 1
,
lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
.
2. Utilizando a figura abaixo, mostre que para 0 < θ < π/2, temos
sin θ < θ < tan θ
θ
(dica: a area de uma pedaço de ”pizza” com o ângulo θ é θ/2.)
30
3. Mostre que a desigualdade acima é equivalente a
cos θ <
sin θ
θ
< 1.
Usando este resultado, argumente que
lim
θ→0
sin θ
θ
= 1.
4. Prove que
lim
θ→0
1− cos θ
θ
= 0.
lim
θ→0
1− cos θ
θ2
=
1
2
.
5. A derivada df/dx de uma função f (x) é definida por
df
dx
= lim
δx→0
f (x+ δx)− f (x)
δx
.
Usando somente esta definição e os conhecimentos adquiridas nesta lista,
calcule a derivada das seguintes funções.
x2,
x3,
xn,
sinx,
cosx,
ex.
6. Seja x a coordenada na direção X de uma partícula e t. Se o movimento
x = x (t)
é dada por seguintes funções, esboce os graficos e discuta o comportamento
da velocidade e aceleração do cada caso.
1) x (t) = 3t2 − 1, −∞ < t <∞
2) x (t) = 2t− 10¡
t−5
5
¢2
+ 1
, t > 0,
3) x(t) =
t2
1 + t/10 + (t/100)3
, t > 0
4) x(t) = ln
µ
et−5 + e3(t−5)
e−5 + e−15
¶
, t > 0
31
7. Usando a definição de derivada, mostre que as seguintes propriedades são
válidas quando f = f (x) , g = g (x) são funções contínuas e possuem
derivadas dfdx e
dg
dx .
d
dx
(f + g) =
df
dx
+
dg
dx
,
d
dx
(αf) = α
df
dx
, α : const.
d
dx
(fg) =
df
dx
g + f
dg
dx
,
d
dx
µ
f
g
¶
=
1
f2
µ
df
dx
g − f dg
dx
¶
.
df (g (x))
dx
=
df
dg
dg
dx
.
32
7 Integrais
7.0.1 Noções Basicas
A (segunda) lei de Newton relacione a força f e a aceleração a através da equação
f = ma,
onde m é a massa do objeto. Esta equação pode ser usada para obter a força
que atua no objeto quando sabe-se a massa e a acelerção do objeto, ou, para
obter a aceleração quando a força e a massa são conhecidas. Desta forma,
quando sabemos a força, podemos construir o movimento do objeto. Para isto,
precisamos o conceito inverso da derivada, isto é, a integral. Por exemplo,
quando sabemos a aceleração a, como obter a velocidade? Como sabemos que
a aceleração é a derivada da velocidade v, temos
dv
dt
= a. (5)
Assim, a questão se reduz a problema inverso da derivada.
Seja f (t) uma função dada. Queremos obter a função F (t) cuja derivada
igual a f (t) , isto é,
dF (t)
dt
= f (t) . (6)
A equação acima pode ser escrita como
F (t+∆t)− F (t) = f (t)∆t, (7)
para ∆t infinitesimal. Na verdade, a equação acima para ∆t exatamente nulo
(∆t = 0) se torna
0 = 0
e não traz nenhuma informação. O significado da Eq.(7) mais preciso é
F (t+∆t)− F (t) = f (t)∆t+O
¡
∆t2
¢
, (8)
ou seja, a diferença do lado esquerdo e o lado direito da Eq.(7) se converge mais
rapidamente do que ∆t em si, portanto, para ∆t suficientemente pequeno, o
erro relativo da Eq.(7) fica cada vez menor.
Exercício: Considera uma função
f(x) = 3x+ 2x2
Para x¿ 1, podemos aproximiar f (x) como
f (1) (x) = 3x
Avalie o erro relativo da expressão acima para os casos de x = 0.1, x =
0.01, e x = 0.0001.
33
Daqui adiante, por simplicidade, utilizamos a expressão Eq.(7) no lugar da
Eq.(8) exceto quando precisamos lembrar o fato explicitamente.
Para obter a forma da F , vamos considerar o intervalo do tempo, [t0, t],
dividindo igualmente pelo intervalo ∆t. Introduzimos tempos descretizados,
t0, t1, t2, . . . , ti, . . . , tn
onde
tn = t
e
t1 = t0 +∆t,
t2 = t1 +∆t = t0 + 2∆t,
...
ti = ti−1 +∆t = t0 + i∆t,
...
tn = t0 + n∆t.
Temos
n∆t = tn − t0,
ou
∆t =
tn − t0
n
.
Escolhemos n→∞, e portanto, ∆t→ 0. Note que a Eq.(7) vale para todos os
t0is. Assim, temos (na aproximação de primeira ordem em ∆t),
F (t0 +∆t)− F (t0) = f (t0)∆t,
F (t1 +∆t)− F (t1) = f (t1)∆t,
F (t2 +∆t)− F (t2) = f (t2)∆t,
...
F (ti +∆t)− F (ti) = f (ti)∆t,
...
F (tn−1 +∆t)− F (tn−1) = f (tn−1)∆t.
Somando todas as equações e lembrando que
ti +∆t = ti+1
para todo i, temos
F (tn)− F (t0) =
n−1X
i=0
f (ti)∆t.
34
Se o lado direito converge para n→∞ e ∆t→ 0, escrevemos o limite como
lim
n→∞
n−1X
i=0
f (ti)∆t =
Z t
t0
f (t0) dt0.
Na notação acima da integral, a função
f (t0)
é chamada de integrando, e a variavel da integração t0 “varre” todos os valores
de t do intervalo [t0, t]. Neste sentido, a variável para indicar integração pode
ser descrito por qualquer simbolo, por exemplo,Z t
t0
f (t0) dt0 =
Z t
t0
f (s) ds =
Z t
t0
f (u) du = · · ·
análogo do caso de uma somatório, por exemplo,
S =
NX
i=1
ai =
NX
k=1
ak =
NX
µ=1
aµ, ..
7.1 Exercícios
1. Pela definição, Z t
t0
f (t0) dt0 = lim
n→∞
n−1X
i=0
f (ti)∆t,
mostre as seguintes propriedades de uma integral,Z t
t0
{f (t0) + g (t0)} dt0 =
Z t
t0
f (t0) dt0 +
Z t
t0
g (t0) dt0,Z t
t0
{αf (t0) + βg (t0)} dt0 = α
Z t
t0
f (t0) dt0 + β
Z t
t0
g (t0) dt0,Z α
t0
f (t0) dt0 +
Z t
α
f (t0) dt =
Z t
t0
f (t0) dt0,Z t
t0
f (u) du−
Z t
α
f (s) ds =
Z α
t0
f (t) dt,Z β
α
f (t) dt = −
Z α
β
f (t) dt,
onde α e β são constantes.
2. Usando a definição da integral,Z t
t0
f (t0) dt0 = lim
n→∞
n−1X
i=0
f (ti)∆t,
35
mostre que Z t
t0cdt = c (t− t0) ,Z t
0
ctdt =
1
2
ct2,Z t
0
ct2dt =
1
3
ct3.
(dica: Use os resultados do exercício anterior,
nX
i=1
i =
n (n+ 1)
2
,
nX
i=1
i2 =
n (n+ 1) (2n+ 1)
6
.
3. Quando o gráfico da aceleração a = a(t) do movimento retilinear de uma
partícula é dada como ilustrado abaixo,
t
a
0
esboce as possíveis formas de gráficos da velocidade correspondente.
4. A partir dos gráficos da velocidade obtidos da questão acima, esboce o
grafico da posição x (t) para um valor da velocidade inicial. Discuta como
varia o grafico quando o valor da velocidade inicial varia.
5. Para o movimento unidimensional de uma partícula de massa m sob a
força constante, obtenha a velocidade v e a coordenada x em função do
36
tempo t usando a segunda lei de Newton,
f = ma,
quando a aceleração a é constante no tempo.
6. Construa o grafico da coordenada x (t) em função de t, nos seguintes casos.
(v0, x0 são velocidade inicial e posição inicial respectivamente).
(a)
a = −1 m/ sec2,
m = 1kg,
v0 = 5m/ sec
x0 = 0.
(b)
a = 1 m/ sec2,
m = 1kg,
v0 = 1m/ sec
x0 = 0.
7. Dois carros (um fusca na frente, um BMW atraz) estão correndo numa
alto-estrada sem curvas, com distância entre eles de 30m, e tendo a mesma
velocidade de 72km/h.OBMW resolve ultrapassar a fusca, colocando uma
aceleração de a = 5m/ sec .
(a) Quantos segundos são necessário para que o BMW alcance o Fusca?
(b) Quantos segundos são necessários para que o BMW fique 30m na
frente do fusca?
(c) Qual é a velocidade do BMW na situação b) acima?
8. Para o movimento unidimensional de uma partícula de massa m sob ação
de uma força constante, obtenha a velocidade v e a coordenada x em
função do tempo t usando a segunda lei de Newton,
f = ma,
quando a aceleração a tem a dependência temporal como
a (t) = a0 + bt.
9. Um carro está correndo com a velocidade v0. O motorista freia num
instante t0 com uma deacerelação a0 e, em seguida, reduz a deaceleração
37
linearmente no tempo (reduzindo o freio linearmente no tempo) de tal
forma que
a = a0 − bt.
Determine o coeficiente b de tal forma que a aceleração se torna nula
justamente quando o carro para completamente. Obtenha a distância
percorrida desde que o motorista começou a freiar.
7.2 Integral como operação inversa de derivada
A integral de uma função f (t) Z t
f (s) ds
em geral não necessariamente uma função fácil de expressar. As vezes não possui
a forma analitica explicitamente (note que isto não implica que não existe!) Já
que se
F (t) =
Z t
f (s) ds,
então
d
dt
F (t) = f (t) ,
podemos utilizar o conhecimento da derivada para obter a integral.
Exercício: Utilizando
d
dx
eαx = αeαx,
obtenhea a fórmula
d
dt
tα = αtα−1,
para α constante.
A equação acima mostra também queZ t ¡
αsα−1
¢
ds = tα + const.
Assim, colocando α− 1→ α, temosZ t
sαds =
1
α+ 1
tα+1 + const.
Em geral, se sabemos que
dF (t)
dt
= f (t) ,
então Z t
f (s) ds = F (t) ,
38
mas devemos tomar cuidado de que a integral de uma dada função não é de-
termindada univocamente (Lembre o caso da velocidade. Saber a aceleração
não determina univocamente a velocidade. Precisa-se fixar o valor inicial da
velocidade). A resposta mais geral no caso acima éZ t
f (s) ds = F (t) + Const.
Aqui, Const. é chamada de constante da integração. A constante da integração
é determinada o valor inicial do processo da integração. Isto é, na equação
acima, se a integração inicia com s = t0, então devemos terZ t
t0
f (s) ds = F (t) + Const.
Isto vale para qualquer t, inclusive t = t0. MasZ t0
t0
f (s) ds = 0,
(prove), temos
F (t0) + Const. = 0,
portanto
Const. = −F (t0) .
Finalmente temos Z t
t0
f (s) ds = F (t)− F (t0) .
1. Calcule a derivada das seguintes funções e estabelece a tabela de integrais
correspondentes.
sinx
cosx
sin2 x
cos2 x
tanx
cotx
ex
lnxp
1− x2
1
1 + x2
,
xx,
xx
x
39
2. Calcule a integral
I =
Z b
a
exdx
usando a definição,
I = lim
n→∞
∞X
i=0
exi ∆x
e compare o resultado da questão anterior.
3. Vimos que para produto de duas funções, vale a fórmula,
d
dx
{f (x) g (x)} = df
dx
g + f
dg
dx
.
Isto implica queZ x
x0
½
df
dx
g + f
dg
dx
¾
dx = f (x) g (x)− f (x0) g (x0) .
Chamamos
u =
df
dx
,
v = g,
mostre que vale a seguinte fórmula (integração por parte) para o produto
de duas funções.Z x
x0
u (x) v (x) dx =
µZ x
u (x0) dx0
¶
v (x)
¯¯¯¯x
x0
−
Z x
x0
(ÃZ x0
u (x00) dx00
!
dv (x0)
dx
)
dx0.
Utilizando a fórmula acima, calcule as seguintes integrais.Z x
x sinxdxZ x
x2 cosxdxZ x
x2e−xdx
7.3 Função Inversa, Função composta, Integração por mu-
dança de variáveis
A equação,
y = f (x)
estabelece uma relação entre duas variáveis x e y. A mesma relação pode ser
escrita em termos de função inversa,
x = f−1 (y)
40
1. Obtenha a função inversa das seguintes funções.
f (x) = ax+ b,
f (x) =
ax+ b
cx+ d
,
f (x) = ex,
f (x) = x2.
2. Demostre que
df (x)
dx
=
µ
df−1 (y)
dy
¶−1
.
3. Calcule as seguintes derivadas.
y = sin−1 x
y = cos−1 x,
y = tan−1 x,
e expresse o resultado em termos de y.
4. Usando os resultados acima, obtenha as seguintes integrais.Z
1√
1− x2
dx,Z
1
1 + x2
dx,
5. Muitas vezes uma integral pode ser feita via mudânça de variável. Por
exemplo, vamos considerar a integral
I (α, β) =
Z β
α
sin θ cos θdθ.
A variável da integral θ pode ser expressa em termos de uma outra variável.
Vamos introduzir uma nova variável,
u = sin θ.
Neste caso, temos a relação entre as variações infinitesimais das variáveis
u e θ como
du = cos θdθ.
Assim, a integral pode ser expressa por
I =
Z
udu.
Devemos tomar cuidado sobre os limites da integral. Os valores dos limites
da integral representam os valores iniciais e finais da variável da integração.
41
Quando mudamos a variável, devemos mudar os valores dos limites, pois
devem representar os valores inicias e finias da variável nova. Isto é,
uinicial = sin (θ = α) ,
ufinal = sin (θ = β) .
Desta forma, temos
I =
Z sinβ
sinα
udu
=
1
2
¡
sin2 β − sin2 α
¢
. (9)
Este exempo pode ser feito sem introduzir a mudânça de variável. Se
notamos que
sin θ cos θ =
1
2
sin 2θ
I =
1
2
Z β
α
sin 2θdθ
=
1
4
Z β
α
sin (2θ) (2dθ)
=
1
4
Z 2β
2α
sin (u) (du)
=
1
4
[− cos (u)]2β2α (10)
Mostre que as Eqs.(9) e (10) são idênticas.
6. Obtenha seguintes integrais.Z
x log xdx,
Z
log x
x2
dx,
Z √
ax+ bdx,Z
x√
x− 1
dx,
Z
sin2 x
1 + cosx
dx,
Z
e2x
ex + 1
dx,Z
x3e−x
2
dx,
Z
x4 + 1
x2 − 1dx,
Z
x√
x2 + 1 + x
dx.
7. Seja f (x) uma função ínpar,
f (x) = −f (−x) .
Prove que Z a
−a
f (x) dx = 0.
42
Também mostre que se f (x) é uma função par,
f (x) = f (−x) ,
então, Z a
−a
f (x) dx = 2
Z a
0
f (x) dx.
8. Seja
I =
Z π/2
0
sinx
sinx+ cosx
dx.
(a) Introduzindo a mudânça de variável,
x =
π
2
− t,
mostre que
I =
Z π/2
0
cos t
sin t+ cos t
dt.
(b) Obtenha o valor da integral.
43
8 Movimento Bi- e Tri-Dimensional
8.1 Noção de Trajetória
Quando um objeto movimenta num plano, ou no espaço, precisamos mais de
uma variável para especificar sua posição em cada instante. Para determinar
a posição de uma partícula num plano, precisamos duas coordinadas, x e y.
No espaço, precisamos três coordenadas, x, y e z. No caso de uma partícula
ponteforme, o movimento desta partícula é completamente determinado pelas
estas coordenadas. O número de coordenadas necessárias para determinar o
movimento de um sistema é chamado de graus de liberdade. Por exemplo, para
determinar o movimentode um objeto não ponteforme, por exemplo, uma bola
de bilhar, além do movimento da posição na mesa, devemos considerar o movi-
mento de rotação da bola. Neste caso, embora o movimento da posição é limi-
tado num plano (mesa), o número de graus de liberdade é mair que 2.
No momento, vamos concentrar o estudo nos casos de objetos ponteformes.
Começamos analises do caso bi-dimensional. Estabelecendo o sistema de coor-
denadas no plano em questão, podemos expressar a posição do objeto pelas sua
coordenadas,
(x, y) .
O par de dois números (x, y) determina a posição. Esta representação corre-
sponde a determinação da posição em termos de ponto numa mapa. Quando o
objeto movimenta, cada variável, x e y dependem no tempo.
x = x (t) , (11)
y = y (t) . (12)
A sequência das posições nos instantes sucessivos,
(x (t1) , y (t1)) , (x (t2) , y (t2)) , (x (t3) , y (t3)) , ...
construi uma curva (em geral) no plano. Esta curva é chamada de trajetória. A
equação de trajetória
y = f (x) (13)
pode ser obtida das Eqs.(11,12), eliminando o parâmetro t.
1. Obtenha a trajetória dos seguintes movimentos e desenhe-a no plano
(x− y).
(a)
x = x0 (const.) ,
y = t,
(b)
x = t− 2
y = 2t+ 1,
44
(c)
x = 3 + t,
y = 1 + t− 1
2
t2,
(d)
x = R cosωt,
y = R sinωt,
(R, ω : const.)
(e)
x = 2R cosωt,
y = 3R sinωt,
(f)
x = 2R cos
³
ωt+
π
4
´
,
y = 3R sin (ωt) ,
(g)
x =
et + e−t
2
,
y =
et − e−t
2
,
45
8.2 Vetores
Percebemos que para movimento bidimensional, diferentemente no caso do movi-
mento unidimensional, o conceito da velocidade deve ser generalizada para in-
cluir, não só a grandeza da velocidade, mas também sua direção. Uma quan-
tidade que tem a grandeza e sua direção é denomidada como vetor e represen-
tamos por uma flecha, que aponta sua direção e atribui sua grandeza ao seu
comprimento, e expressamos como
v,a, y, ...
Note que os vetores não são números comuns e portanto, nunca devem ser con-
fundidos.
Um vetor
Por outro lado, se especificamos a trajetória do objeto em termos de suas
coordenadas x e y,
x = x (t) ,
y = y (t) ,
então, é óbvio que a velocidade na direção x é dada por
vx =
dx
dt
, (14)
e também a velocidade na direção y
vy =
dy
dt
. (15)
46
→
V
dt
dx
dt
dy
As equações (14,15) mostram que num intervalo do tempo infinitesimalmente
pequeno, ∆t, o objeto desloca no plano X − Y , por
∆x = vx∆t
na direção de X e por
∆y = vy∆t.
Pelo teorema de Pitagoras, a distância percorrida pelo objeto é
∆l =
p
∆x2 +∆y2,
e a velocidade é dada por
v = lim
∆t→0
∆l
∆t
= lim
∆t→0
p
∆x2 +∆y2
∆t
= lim
∆t→0
sµ
∆x
∆t
¶2
+
µ
∆y
∆t
¶2
=
q
v2x + v2y.
8.3 Vetor deslocamento
A natureza vetorial da velocidade de um objeto vem de fato que o deslocamento
do objeto tem esta propriedade. Se um objeto desloca do ponto P0 = (x0, y0)
ao ponto P1 = (x1, y1), podemos associar o vetor deslocamento como a seta que
aponta o ponto P1 do ponto P0. Obviamente o deslocamento tem a grandeza (o
comprimento do deslocamento) e a direção. Denotamos este deslocamento por−→
∆r. O vetor
−→
∆r é a a seta
−−−→
P0P1.
−→
∆r =
−−−→
P0P1.
47
Em termos dos componentes, podemos expressar
−→
∆r por
−→
∆r →
µ
x1 − x0
y1 − y0
¶
.
Podemos definir as seguintes operações algêbricas para os vetores deslocamento.
a. Multiplicação de um número a um vetor. Para um dado vetor
−→
∆r e um
constante α > 0, podemos considerar o deslocamento α vezes na direção
do
−→
∆r. Expressamos o vetor resultante como
α
−→
∆r.
Se α < 0, interpretamos que troca a seta na direção oposta do vetor
original. Assim,
(−1)−→∆r
expressa o vetor com o mesmo tamanho e direção oposta do vetor
−→
∆r, e
escrevemos simplesmente como
−−→∆r.
b. Adição de dois vetores. Para dois vetores de deslocamento,
−→
∆r1 e
−→
∆r2,
podemos considerar o deslocamento sucessivo destes dois. O resultado
também é um deslocamento e podemos expressar por um vetor. Isto é,
o vetor resultante dos deslocamento sucessivo é o vetor que ligue o ponto
inicial e o ponto final do deslocamento. Anotamos a operação de desloca-
mento sucessivo por simbolo (+).
0P
1P
2P
1r∆
2r∆
3r∆
Na figura acima, temos
−→
∆r3 =
−→
∆r1 +
−→
∆r2.
48
Note que o simbolo + não deve ser confundido como o simbolo + en-
tre os números. Por exemplo, não existe uma quantidade corresponde a
expressão, −→
∆r1 + α
sendo α é um número (sem ser vetor).
1. Segundo a definição de adição dos vetores de deslocamento, não é óbvio
que vale a regra,
−→
∆r1 +
−→
∆r2
?
=
−→
∆r2 +
−→
∆r1.
Prove (geometricamente) que vale de fato a regra acima.
2. Seguindo as definições a,b acima sobre as operações algebrica, mostre
geometricamente o que é o significado da expressão,
−→
∆r3 =
−→
∆r1 −
−→
∆r2.
3. Para um par de vetores de deslocamento,
−→
∆r1 e
−→
∆r2,e os dois números α
e β, podemos construir o vetor,
−→
∆r3 = α
−→
∆r1 + β
−→
∆r2.
Esta forma é dita combinação linear de
−→
∆r1 e
−→
∆r2.
4. Quando
−→
∆r1 e
−→
∆r2 são dados na figura abaixo
1r∆
2r∆
Os vetores
−→
∆r1 e
−→
∆r2 são perpendicularres entre si e tem o mesmo tamanho.
desenhe o vetor resultante das seguintes combinação linear.
1
2
−→
∆r1 +
1
2
−→
∆r2,
2
−→
∆r1 +
−→
∆r2,
−→
∆r1 +
−−→
2∆r2,
3
−→
∆r1 −
−−→
2∆r2,
49
1r∆
2r∆3r∆
Figure 1:
5. Qual é a condição para os coeficientes α e β de uma combinação linear
dos dois dois vetores, −→
∆r3 = α
−→
∆r1 + β
−→
∆r2
para a qual, os pontos finais dos três vetores
−→
∆r1,
−→
∆r2,
−→
∆r3
ficam numa reta (ver a figura abaixo).
50
8.4 Produto Escalar (Produto Interno)
Para dois vetores a e b, podemos definir uma quantidade chamada o produto
escalar, ³
a,b
´
ou
a ·b,
por
|a|
¯¯¯
b
¯¯¯
cos θ,
onde θ é o ângulo entre os dois vetores (aqui, convencionamos como 0 ≤ θ ≤ π),³
a,b
´
= a ·b = |a|
¯¯¯
b
¯¯¯
cos θ,
onde |a| e
¯¯¯
b
¯¯¯
são os módulos dos vetores a e b, respectivamente.
NOTE: O resultante do produto escalar é um número comum e
NÂO é um vetor.
1. Mostre que o produto escalr
³
a,b
´
tem seguintes propriedades:
(a) Reciprocidade:
a ·b = b · a,
(b) Distribuitividade;
a ·
³
b+ c
´
= a ·b+ a · c,³
a+b
´
· c = a · c+b · c,
(c) Linearidade em ambos argumentos:
a ·
³
xb
´
= x
³
a ·b
´
,
(xa) ·b = x
³
a ·b
´
.
(d) Positividade;
a · a ≥ 0,
onde a igualdade é somente para o vetor nulo, ou seja
a = 0.
Note que
a · a = |a|2 .
51
2. Usando somente as regras obtidas na questões acima, prove as seguintes
igualidades (θ =ângulo entre dois vetores).³
a+b
´
·
³
a−b
´
= |a|2 −
¯¯¯
b
¯¯¯2
,³
a+b
´
·
³
a+b
´
= |a|2 +
¯¯¯
b
¯¯¯2
+ 2
³
a ·b
´
,³
a−b
´
·
³
a−b
´
= 2 (1− cos θ) , se |a| =
¯¯¯
b
¯¯¯
= 1.
3. Sejam e1 o vetor unitário (= tem módulo 1) na direção X, e e2 o vetor
unitário na direção Y . Qualquer vetor no plano X − Y pode ser expresso
como uma combinação linear dos e1 e e2. Por exemplo,
a = a1 e1 + a2 e2,
b = b1 e1 + b2 e2.
O conjunto dos vetores e1 e e2 são chamados de base, e os coeficientes
(a1, a2) são chamados de componentes do vetor a nesta base. (b1, b2) são
compontentes do vetor b nesta base. Expresse o produto escalar
a ·b
em termos dos componentes.
4. Qual é a condição de que dois vetores, a e b sejam paralelos? Como fica
esta condição em termos de componentes? Faça a mesma quando a e b
são ortogonais.
5. Mostre que o múdulo de um vetor
a = a1 e1 + a2 e2,
é dado por
|a|=
q
a21 + a
2
2.
6. Mostre que o ângulo entre dois vetores a e b,
a = a1 e1 + a2 e2,
b = b1 e1 + b2 e2.
é dado por
cos θ =
a1b1 + a2b2p
a21 + a
2
2
p
b21 + b
2
2
,
7. Muitas vezes expressamos um vetor em termos de seus componentes como
a→
µ
a1
a2
¶
.
52
Mostre que µ
a1
a2
¶
+
µ
b1
b2
¶
=
µ
a1 + b1
a2 + b2
¶
,
x
µ
a1
a2
¶
=
µ
xa1
xa2
¶
.
8. Na base {e1, e2}, sejam
a →
µ
2
3
¶
,
b →
µ
3
1
¶
.
Calcule o módulo dos seguintes vetores.
1) a+b,
2) 2a− 3b.
9. Na base {e1, e2}, sejam
a →
µ
5
3
¶
,
b →
µ
2
−1
¶
.
Obtenha o vetor x (e seus somponentes) que satisfaz as seguintes equações.
1) a+ x = 2b,
2) 2a+ x = 3b− x
10. Se
a→
µ
2
3
¶
,
obtenha o vetor unitário que tem a mesma direção de a. (Normalização)
11. Normalize os seguintes vetores: µ
1
1
¶
µ
−1
2
¶
12. Para dois vetores arbitrários a eb commesmo módulo, os seguintes vetores,
u =
1
2
³
a+b
´
v =
1
2
³
a−b
´
são ortogonais entre si. Represente geometricamente esta situação.
53
8.5 Vetor Posição
Qualquer posição no plano X − Y com coordenada (x, y) pode ser obtida da
origem por deslocamento µ
x
y
¶
.
Desta forma, podemos identificar a posição qualquer como sendo um vetor de
deslocamento a partir da origem do sistema de coordenada em uso. Quando ex-
pressamos desta forma, o vetor correspondente é chamado vetor posição. Assim,
para qualquer ponto P (x, y) associamos um vetor posiçãoµ
x
y
¶
como sendo a seta
−−→
OP . Mas lembre que quando tratamos de adição dos vetores,
estamos sempre associando o conceito de deslocamento para um vetor.
1. Consideramos tres pontos, A,B e C no plano X − Y . Escolhendo um
outro ponto O como origem, podemos considerare três vetores posição,
a,b e c,correspondente aos pontos A, B, e C, respectivamente. Expresse
o vetor posição g do centro de massa do triângulo ABC em termos dos
vetores, a,b e c.
2. Se escolhe o centro de massa do triângulo ABC como origem, os vetores
posição a,b e c satisfazem a relação,
a+b+ c = 0.
3. Para um triângulo, podemos associar um vetor para cada uma das arestas.
Sejam a,b e c estes três vetores. Mostre que escolhendo as direções destes
apropriadamente, podemos ter
a+b+ c = 0.
(a) Expresse o centro de massa do triângulo em termos destes vetores.
(b) Mostre que
a2 + b2 − c2
2ab
= cos θ.
onde a,b e c são comprimento das arestas e θ é o ângulo entre as
arestas a e b (ver a Fig. abaixo).
a
b c
θ
54
4. Sejam O,A,B e C os 4 pontos distintos no plano X − Y . Prove que, se
OB ⊥ CA,
OC ⊥ AB,
então temos que ter
OA ⊥ BC.
5. Seja t um parâmetro que varia
−1 ≤ t ≤ 1.
e
e1 =
µ
1
0
¶
,
e2 =
µ
0
1
¶
,
r0 =
µ
1
2
¶
a =
µ
3
−1
¶
Desenhe a trajetória dos seguintes vetores r (t) no plano (X − Y ) . Calcule
o vetor velocidade e desenhe seu movimento em t.
r (t) = 2t e1 − (2 + t)e2,
r (t) = (1− t) a + r0,
r (t) =
¡
1− t2
¢
e2 + t e1 + r0.
r (t) = t2a+ te1 + (1− 2t)e2 + r0
6. Considere o movimento de uma partícula expressa por
r (t) = r0 + v0t,
onde t é o tempo, r0 e v0 são vetores constantes.
(a) Qual é o movimento desta partícula?
(b) Um observador está numa posição cujo vetor posição é dado por a.
Exresse a distância entre a partícla e o observador em termos de
função do tempo t e discuta o comportamento desta função.
(c) Obtenha o instante tmin para o qual a distância seja mínima e o vetor
posição rmin correspondente da partícula.
55
(d) Calcule o vetor velocidade da partícula.
(e) Mostre que o vetor
d (t) = r (t)− a
fica ortogonal a velocidade no tempo t = tmin .
(f) Expresse a distância mímina do observador e a partícula.
56
8.6 Velocidade e Aceleração como vetor
Vamos considerar o movimento de um objeto, cuja trajetória é escrita como
r = r (t) .
A velocidade é definida como a variação do vetor posição num intervalo de tempo
unitária. Já que a variação de um vetor é um vetor, a velocidade é um vetor.
Temos
v ≡ d
dt
(r) .
Note que a definição da derivada de uma função pode ser generalizada como
d
dt
(r) ≡ lim
∆t→0
r (t+∆t)− r (t)
∆t
,
uma vez que todas as operações nesta definição são bem definidas mesmo para
um vetor. Analogamente, o vetor aceleração é defiida como
a =
dv
dt
=
d2r
dt2
.
Podemos também generalizar o conceito de integral para um vetor. Seja v (t)
um vetor que depende da variável t. Podemos definir a integral deste vetor em
t como Z tf
t0
v (t0) dt0 = lim
∆t→0
N→∞
NX
i=0
∆t v (ti) ,
onde
ti = t0 + i∆t,
N∆t = (tf − t0) .
Note que aqui também todas as operações nsta definição são consistentemente
definidas para vetores sem problema.
Como no caso unidimensional, se a aceleração é dada explicitamente como
função do tempo t, podemos integrar a aceleração no tempo, e obtemos o vetor
velocidade, e integrando o vetor velocidade no tempo, teremos o vetor posição.
1. Obtenha o vetor posição como função do tempo para os seguintes casos (v:
vetor velocidade, a: aceleração. e1, e2: vetores constantes, ω : constante).
Assuma a condição inicial como
r (0) = r0,
v (0) = v0.
1) a (t) = e2,
2) a (t) = e1 + t e2
3) a (t) = sin (ωt) e1 + cos (ωt) e2
57
8.7 Equação de Newton na forma vetorial
Podemos generalizar a segunda lei de Newton na forma vetorial. Podemos es-
crever
f = ma,
ondem é a massa do objeto, a a aceleração vetor, e f a força vetor. O significado
desta equação é que para alterar a velocidade, não só apenas o módulo, mas sua
direção precisa-se a força. Note que esta equação é uma relação que vale inde-
pendentemente do sistema de coordenadas. As vezes é útil introduzir uma base
(sistema de coordenadas) e expressa esta relação em termos de componentes.
Sejam e1 e e2 os vetores unitários nas direções de X e Y , respectivamente. Estes
vetores formam uma base ortonormal, isto é,
e1 · e1 = 1,
e1 · e2 = 0,
e2 · e2 = 1,
ou na forma mais compacto,
ei · ej = δij ,
onde o simbolo δij é chamado de delta de Kronecker, tendo seguinte propriedade,
δij =
½
1,
0,
i = j
i 6= j .
1. Seja
i, j ∈ {1, 2, ...,N} .
Mostre que
δij = δ
2
ij ,
NX
i=1
δij = 1.
NX
i=1
δij ai = aj ,
NX
i=1
NX
j=1
δij aibj =
NX
i=1
aibi,
NX
j=1
δijδjk = δik,
NX
i=1
δij (1− δij) = 0.
58
2. Seja a um vetor que expresso em termos da base ortonormal,{e1, e2} , por
a = a1e1 + a2e2.
Mostre que
a1 = e1 · a,
a2 = e2 · a,
ou seja
ai = ei · a, i = 1, 2.
8.8 2a Lei de Newton em termos de componentes
Como vimos, podemos expressar qualquer vetor no plano X − Y em termos de
combinação linear destes vetores base {e1, e2}. Escrevemos
a = a1e1 + a2e2,
f = f1e1 + f2e2.
A segunda lei fica
f1e1 + f2e2 = m (a1e1 + a2e2) .
Rearruamando, temos
(f1 −ma1)e1 + (f2 −ma2)e2 = 0.
Esta equação tem a forma,
xe1 + ye2 = 0,
e sendo e1 e e2 os dois vetores linearmente independentes, somente possível se
x = y = 0,
ou seja,
f1 −ma1 = 0,
f2 −ma2 = 0,
ou equivalentemente, temos
f1 = ma1,
f2 = ma2.
Em outras palavras, a equação vetorial
f = ma,
59
implica que cada componente dos vetores são iguais. Uma equação vetorial bi-
dimensional resulta em duas equações, uma para cada componente. Em termos
de componentes, a equação vetorialµ
f1
f2
¶
= m
µ
a1
a2
¶
,
representa as duas equações,
f1 = ma1,
f2 = ma2.
8.9 Caso Tridimensional
No espaço tridimensional, existem 3 direções independentes. Ou seja, existem
3 vetores linearmente independentes.