Livro Didático Cálculo numérico

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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, vamos começar a aprender os zeros das funções. Queremos encontrar as raízes de uma função.
Isso é muito importante, pois elas são os pontos em que uma função cruza o eixo x, ou seja, é o ponto em que
a função tem o valor zero. Vamos aprender a encontrar esses pontos de forma precisa e e�ciente, utilizando
dois métodos: o da bisseção e o de Newton-Raphson.
Com esta aula, você será capaz de utilizar interpolação polinomial e integração numérica com as regras de
zeros de funções reais na aplicação de problemas. Você será capaz de encontrar as raízes de uma função de
forma precisa e e�ciente, o que é essencial para resolver problemas matemáticos no dia a dia.
Bons estudos!
Aula 1
ZERO DE FUNÇÕES
Os zeros das funções são os pontos em que uma função cruza o eixo x, ou seja, é o ponto em que a
função tem o valor zero.
23 minutos
CÁLCULO NUMÉRICO
 Aula 1 - Zero de funções
 Aula 2 - Interpolação e aproximação
 Aula 3 - Integração numérica
 Aula 4 - Resolução de EDOs por métodos numéricos
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
117 minutos
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ZERO DE FUNÇÕES E MÉTODOS PARA ENCONTRÁ-LO
Em matemática, uma função é um conjunto de regras que associam a cada elemento de um conjunto
(domínio) um único elemento de outro conjunto (imagem) (APOSTOL, 2014).
Zero de uma função é um valor do domínio da função que, quando inserido nela, produz zero na imagem. Em
outras palavras, é um ponto no qual a função cruza o eixo x (BURDEN; FAIRES, 2011), como mostrado na
Figura 1.
Figura 1 | Zero de uma função
Fonte: elaborada pelo autor.
Por que precisamos encontrar os zeros de uma função? Eles são importantes porque podem ajudar a
entender o comportamento da função, como suas raízes ou pontos de interseção com o eixo x. Além disso, os
zeros de uma função são úteis em muitas aplicações práticas, como na solução de equações, modelagem de
fenômenos naturais, entre outros (BURDEN; FAIRES, 2011).
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Há diversos métodos numéricos para encontrar os zeros de uma função, como o método da bisseção e o
método de Newton-Raphson. Cada um deles funciona de maneira diferente e é aplicável a diferentes tipos de
funções e situações. Esses métodos serão mais detalhados adiante, mas agora vamos brevemente conhecer
cada um deles.
O método da bisseção é um dos métodos mais antigos e simples de encontrar zeros de uma função. Ele
funciona ao dividir em duas partes iguais o intervalo no qual a função muda de sinal, testando o sinal da
função no meio do intervalo e continuando a dividir o intervalo até que se encontre o ponto su�cientemente
próximo do zero.
Uma das grandes vantagens desse método é que ele garante encontrar um zero, desde que haja pelo menos
um no intervalo inicial. Além disso, ele é fácil de ser implementado e não requer o conhecimento da derivada
da função. Ele tem como desvantagem ser lento e convergir para o zero de maneira muito lenta. Isso signi�ca
que pode ser necessário muitas iterações para chegar a um resultado preciso.
Já o método de Newton-Raphson é baseado na ideia de que uma função pode ser aproximada por uma reta
tangente a ela em um determinado ponto. A partir daí, o método itera sobre o ponto inicial, ajustando a reta
tangente e encontrando a interseção com o eixo x até chegar a um resultado preciso (BURDEN; FAIRES, 2011).
Esse tem como vantagem ser muito mais rápido do que o método da bisseção e converge para o zero muito
mais rapidamente, mas tem como desvantagem que requer o conhecimento da derivada da função, Além
disso, pode falhar se o ponto inicial escolhido estiver longe do zero ou se houver múltiplos zeros na função
(BURDEN; FAIRES, 2011).
Em resumo, ambos os métodos têm suas vantagens e desvantagens e a escolha entre eles depende da
situação especí�ca e dos objetivos da aplicação. É importante conhecer ambos os métodos e saber quando e
como utilizá-los de maneira e�ciente.
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MÉTODO DA BISSEÇÃO
O método da bisseção é uma técnica numérica utilizada para encontrar as raízes de uma função (BRAESS,
2006). Em outras palavras, é uma maneira de encontrar o valor de x que torna uma determinada função igual
a zero.
A ideia é dividir várias vezes um intervalo especí�co ao meio, sucessivamente, até que se encontre uma
aproximação satisfatória da raiz da equação. Esse processo de dividir o intervalo ao meio é repetido até que a
precisão desejada seja atingida.
Vamos agora entender como de�nir esse intervalo inicial, e para isso precisamos conhecer o teorema de
Bolzano. Este teorema a�rma que se uma função contínua possui sinais diferentes em dois pontos de um
intervalo, como mostra a Figura 2, então existe pelo menos uma raiz da função nesse intervalo.
Figura 2 | Função com sinais diferentes
Fonte: Wikimedia Commons.
Em outras palavras, se f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a) é positivo e f(b) é negativo, ou vice-versa),
então existe pelo menos uma raiz da função entre a e b.
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Com o teorema de Bolzano aplicado, o método da bisseção funciona da seguinte forma:
1. Escolha um intervalo [a, b] no qual você suspeita existir uma raiz da função.
2. Calcule o ponto médio c = (a + b)/2.
3. Veri�que o sinal de f(a) e f(c). Se f(a) e f(c) têm sinais opostos, então a raiz da função está entre a e c. Caso
contrário, a raiz está entre c e b.
4. Escolha o novo intervalo [a, c] ou [c, b] de acordo com o resultado da veri�cação do sinal.
5. Repita os passos 2 a 4 até que a solução seja encontrada com precisão su�ciente.
É importante destacar que a precisão da solução depende do número de iterações realizadas. Quanto mais
iterações você realizar, mais precisa será a solução.
Veja alguns exemplos para ilustrar o método da bisseção:
Exemplo 1: encontre a raiz da função f(x) = x - 4.
1. Escolha o intervalo [1, 4].
Podemos ter valores conforme o quadro, nesse intervalo (repare na mudança de sinais):
Quadro 1 | Valores para o método da bisseção
x f(x)
1 -3
1.5 -1.75
2 0
2.5 2.25
3 5
3.5 8.25
4 12
Fonte: elaborado pelo autor.
2. Calcule c = (1 + 4)/2 = 2,5.
3. Veri�que o sinal de f(1) e f(2,5). f(1) = -3 e f(2,5) = 2.25, ambos sinais diferentes, então a raiz está entre 1 e
2,5.
4. Escolha o novo intervalo [1, 2,5].
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5. Repita os passos 2 a 4 até encontrar a solução com precisão su�ciente.
Exemplo 2: Encontre a raiz da função f(x) = x - x + 2.
1. Escolha o intervalo [0, 2].
2. Calcule c = (0 + 2)/2 = 1.
3. Veri�que o sinal de f(0) e f(1). f(0) = 2 e f(1) = 0, ambos sinais diferentes, então a raiz está entre 0 e 1.
4. Escolha o novo intervalo [0, 1].
5. Repita os passos 2 a 4 até encontrar a solução com precisão su�ciente.
Com isso, concluímos nossa teoria sobre o método da bisseção. Lembre-se de que a precisão da solução
depende do número de iterações realizadas, então, quanto mais iterações você realizar, mais precisa será
a solução. Porém, lembre-se de que também é importante escolher o intervalo correto inicialmente, para
garantir que a solução seja encontrada.
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
O método de Newton-Raphson (NEWTON, RAPHSON, 1669) é uma das técnicas mais poderosas e amplamente
utilizadas para encontrar raízes de funções. Ele se baseia na ideia de que, partindo de uma estimativa inicial
para uma raiz, é possível aproximar-se cada vez mais de seu valor real por meio de iterações.
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que utiliza o conceito de tangente para encontrar o
zero de uma função.
O processo começa com a escolha de uma estimativa inicial, x0.Em seguida, calculamos o valor da função f(x)
e sua derivada f’(x) na estimativa x0. A partir disso, encontramos a equação da tangente à função em x0 e o
zero da tangente para obter x1, a próxima estimativa. Esse processo é repetido até que x1 seja
su�cientemente próximo do zero da função.
Resumidamente, temos os seguintes passos (BURDEN; FAIRES, 2010):
1. Escolher uma estimativa inicial x0.
2. Calcular o valor da função f(x) e sua derivada f’(x) na estimativa x0.
3. Encontrar a equação da tangente à função em x0.
4. Encontrar o zero da tangente para obter x1, a próxima estimativa.
5. Repetir os passos 2 a 4 até que a estimativa x1 seja su�cientemente próxima do zero da função.
Lembre-se de que o zero da tangente se refere ao ponto no qual a tangente à função intercepta o eixo x, ou
seja, o ponto no qual o valor da função é igual a zero, e o cálculo da equação da reta tangente em um ponto
(x0, f(x0)) de uma função f(x) é dada por y = f’(x0)(x - x0) + f(x0).
Veja alguns exemplos para entender o método:
3 2
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Exemplo 1: encontrar o zero da função f(x) = x - 4.
Escolha x0 = 2.
Calcular f(x) e f’(x) em x0:
f(x) = 2 - 4, portanto  f(2) = 0,
f’(x) = 2x, portanto  f’(2) = 4.
Encontrar a equação da tangente:
y = f’(x0)(x - x0) + f(x0).
y = 4 * (x - 2) + 0
y = 4 * (x - 2), portanto y = 4(x - 2).
Encontrar o zero da tangente:
4(x - 2) = 0, portanto x = 2.
Como x1 = x0, a solução encontrada é su�cientemente próxima do zero da função.
Exemplo 2: encontrar o zero da função f(x) = cos(x) - x
Escolha x0 = 1.
Calcular f(x) e f’(x) em x0:
f(x) = cos(1) - 1, portanto f(x) = -0.41,
f’(x) = -sen(x) - 1, portanto f’(x) = -1.84.
Encontrar a equação da tangente: y = -1.84(x - 1) - 0.41
Encontrar o zero da tangente:
-1.84(x - 1) - 0.41 = 0, portanto x = 1.22
Como x1 ≠ x0, repetir os passos 2 a 4 usando x1 como nova estimativa até obter uma solução precisa.
Esses são apenas alguns exemplos simples, mas o método de Newton-Raphson pode ser aplicado a funções
mais complexas também. É importante destacar que a escolha de x0 é crucial para o sucesso do método. Se
x0 for escolhido muito longe do zero da função, podem ser necessárias muitas iterações para chegar a uma
solução precisa.
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você aprenderá sobre três importantes conceitos em cálculo numérico: zero de funções, método
da bisseção e método de Newton-Raphson. Você verá exemplos práticos e intuitivos que o ajudarão a
entender como esses conceitos são aplicados na solução de equações. Além disso, você terá a oportunidade
de analisar e resolver problemas com as suas próprias mãos.
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 Saiba mais
Para aprofundar ainda mais seus conhecimentos, leia mais sobre:
Função do 1º grau – Estudo da função do 1º grau. 
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Esta aula é dedicada aos conceitos de interpolação e aproximação. Aqui você aprenderá sobre as técnicas de
interpolação por Lagrange, por Newton e a aproximação por mínimos quadrados. Esses conceitos são
extremamente importantes para a compreensão da análise matemática e são aplicados em várias áreas,
como ciência, engenharia e economia.
Você ainda terá a oportunidade de aprender como interpolar e aproximar dados de maneira mais precisa,
tornando-se capaz de solucionar problemas reais e aplicar essas habilidades em sua carreira pro�ssional. Ao
�nal, você estará apto a compreender e comparar as diferentes técnicas de interpolação e aproximação,
identi�cando qual é a mais adequada para a solução de um determinado problema.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO À INTERPOLAÇÃO E À APROXIMAÇÃO
Interpolação é o processo de construir uma função baseada em pontos conhecidos, de forma a representá-los
de maneira precisa. Por exemplo, ao coletarmos as temperaturas em um local ao longo de um ano, podemos
usar interpolação para encontrar uma função que passe exatamente por todas essas temperaturas e
represente a tendência de variação de temperatura ao longo do tempo (BURDEN; FAIRES, 2010).
Aula 2
INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO
As técnicas de interpolação por Lagrange, por Newton e a aproximação por mínimos quadrados são
conceitos são extremamente importantes para a compreensão da análise matemática e são aplicados
em várias áreas, como ciência, engenharia e economia.
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https://www.preparaenem.com/matematica/funcao-.htm
Já aproximação é o processo de encontrar uma função que se aproxime da função original, sem
necessariamente passar por todos os pontos conhecidos. Por exemplo, podemos usar aproximação para
estimar o comportamento de uma determinada população ao longo do tempo, baseados em dados coletados
ao longo de alguns anos, sem a necessidade de ter informações completas sobre todo o período.
Motivação e aplicações
Interpolação e aproximação são técnicas extremamente úteis no cálculo numérico, pois permitem a
representação de dados e funções de maneira mais clara e resumida. Essas técnicas também são aplicadas
em outras áreas, como engenharia, economia, biologia e muitas outras.
Em engenharia, essas técnicas são utilizadas para estimar propriedades de materiais, como sua resistência e
dureza, a partir de ensaios em amostras pequenas. Na economia, elas são empregadas para prever o
comportamento de mercados �nanceiros, a partir de dados históricos de preços e volume de negociação. Já
na biologia, interpolação e aproximação são ferramentas valiosas para estudar a relação entre espécies de
plantas e animais, e entre estes e o meio ambiente.
Interpolação linear ou polinomial
Há 2 tipos de interpolação: a interpolação linear e a interpolação por polinômios. A interpolação linear utiliza
uma reta para aproximar uma função que passe por dois pontos conhecidos. Já a interpolação por polinômios
é um método mais abrangente, por meio do qual uma função é aproximada por um polinômio de grau
elevado, com base em um conjunto de pontos conhecidos. Este método é mais preciso do que a interpolação
linear, mas também é mais complexo e requer mais cálculos. Ambas as técnicas de interpolação são
amplamente utilizadas em cálculo numérico para aproximar funções e resolver problemas práticos. Na Figura
1, podemos ver a diferença entre uma interpolação linear e uma interpolação polinomial.
Figura 1 | Interpolações
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Fonte: Wikimedia Commons.
Métodos de Interpolação
Mais adiante, vamos ver de forma detalhada os métodos para interpolarmos. Alguns dos mais comuns
incluem o método de Lagrange, o de Newton, o de splines e outros.
O método de Lagrange é baseado em polinômios, e encontra uma função que passa por todos os pontos
conhecidos usando uma soma ponderada de funções polinomiais. O método de Newton é baseado em
diferenças divididas, e encontra uma função polinomial que se ajusta aos pontos conhecidos usando
diferenças progressivas. Já o método de splines é baseado em splines cúbicos, que são peças de funções
cúbicas colocadas juntas para formar uma função contínua que passe por todos os pontos conhecidos.
Cada um destes métodos tem suas próprias vantagens e desvantagens, e o melhor método a ser usado
depende do problema em questão.
MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO
Agora, vamos apresentar alguns métodos para interpolação, como mencionado anteriormente.
Interpolação por Lagrange
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A interpolação por Lagrange é um método que busca encontrar uma função polinomial que passe exatamente
por todos os pontos dados. Essa função é construída a partir da combinação lineardas funções básicas de
Lagrange, de�nidas como:
Em que   são os pontos dados. A função polinomial resultante é dada por:
Acompanhe o exemplo a seguir:
Imagine que você tem os seguintes pontos: (1,2), (2,0), (3,1). Podemos encontrar a função polinomial que
passe exatamente por eles usando o método de Lagrange. As funções básicas de Lagrange são:
Repare que a primeira equação considera todos os valores de x dos pontos dados, exceto o primeiro. A
segunda considera todos os valores de x dos pontos dados, exceto o segundo, e assim por diante.
A função polinomial resultante por esse método é:
Interpolação por Newton
A interpolação por Newton é outro método para aproximar uma função a partir de um quadro de valores
conhecidos. Esse método usa o conceito de diferenças divididas e baseia-se em aproximações sucessivas para
encontrar a equação da função que melhor representa os dados conhecidos.
Vamos considerar o seguinte quadro de valores conhecidos:
Quadro 1 | Conjunto de dados: exemplo de interpolação de Newton
x f(x)
1 1
2 4
3 9
Fonte: elaborado pelo autor.
Li(x)  =  (x−x 0)(x−x1) ... (x−xi−1)(x−xi+1) ... (x−xn−1)
(xi−x0)(xi−x1)(xi − x1) ... (xi − xi−1)(xi − xi+1) ... (xi − xn−1)
x0,  x1,  . . . ,  xn
P(x)  =  f(x0)L0(x)  +  f(x1)L1(x)  +  . . .   +  f(xn)Ln(x)
LO(x)  =   (x−2)(x−3)
(1−2)(1−3)   =   (x−2)(x−3)
2
L1(x)  =   (x−1)(x−3)
(2−1)(2−3)   =   − (x− 1)(x− 3)
L2(x)  =   (x−1)(x−2)
(3−1)(3−2)   =   (x−1)(x−2)
2
P(x) = 2L0(x) + 0L1(x) + 1L2(x) = (2(x− 2)(x− 3))/2 + (1(x− 1)(x− 2))/2 = x2 − 4x+ 4
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O quadro de diferenças divididas pode ser preenchido assim:
Quadro 2 | Diferenças divididas: exemplo de interpolação de Newton
x f(x)
Donec eleifend Donec eleifend Cell 3 Cell 4
Donec eleifend Donec eleifend Cell 3 Cell 4
Donec eleifend Donec eleifend Cell 3 Cell 4
Fonte: elaborado pelo autor.
Agora, podemos escrever o polinômio interpolador usando as diferenças divididas, seguindo a fórmula:
Nesse caso, temos
Se quisermos veri�car esse polinômio em x = 3, podemos utilizar o polinômio encontrado:
Este é exatamente o valor dado no quadro. Podemos ver com isso que há diferentes formas de encontrarmos
o polinômio interpolador. Mais adiante, vamos compará-los.
COMPARAÇÃO DE MÉTODOS E APROXIMAÇÃO POR POLINÔMIOS
Você viu que o método de Lagrange e o método de Newton são duas técnicas diferentes de interpolação
polinomial. Vamos resumir os dois e compará-los, apresentando as vantagens e desvantagens de cada um:
Método de Lagrange
Vantagens:
Fácil de implementar.
Não requer muitos cálculos complexos.
Pode ser usado para interpolar dados em qualquer quantidade de pontos.
Desvantagens:
O polinômio resultante pode ter alto grau, o que pode levar a problemas de estabilidade numérica.
Não é tão preciso quanto outros métodos, como o método de Newton.
Δf(x) Δ2f(x)
f (x)  =  f (x _ 0)  +  Δf (x _ 0,x _ 1)  (x  −  x _ 0)  +  Δ²f (x _ 0,x _ 1,x _ 2)  (x  −  x _ 0) (x  −  x _ 1)  +  ...
f(x)  =  1  +  3 (x− 1)  +  2 (x− 1)(x− 2)
f(3)  =  1  +  3 (3 − 1)  +  2 (3 − 1)(3 − 2)  =  9
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Método de Newton
Vantagens:
Mais preciso do que o método de Lagrange.
Pode ser usado para interpolar dados em poucos pontos.
Desvantagens:
Mais complexo de implementar do que o método de Lagrange.
Requer mais cálculos do que o método de Lagrange.
Aproximação por polinômios
Neste ponto, vamos tratar um pouco de aproximação. A aproximação por polinômios é uma técnica utilizada
para aproximar uma função com dados sujeitos a erros ou incertezas, com o objetivo de aproximar o valor da
função a pontos especí�cos. Uma das formas mais comuns de aproximação por polinômios é a aproximação
por mínimos quadrados.
A aproximação por mínimos quadrados é uma técnica que tem como objetivo encontrar o melhor polinômio
de aproximação para uma dada série de pontos. A ideia é minimizar a soma dos quadrados das diferenças
entre os valores reais dos pontos e os valores estimados pelo polinômio.
Vamos considerar o seguinte exemplo: temos 4 pontos (1,2), (2,3), (3,4) e (4,5) e queremos encontrar o
polinômio de aproximação de grau 2.
Para encontrar o polinômio de aproximação de grau 2 pelo método de mínimos quadrados, podemos seguir
os seguintes passos:
1. De�nir o polinômio que desejamos encontrar: no nosso caso, queremos um polinômio de grau 2.
Portanto, vamos utilizar a seguinte fórmula:  
2. Encontrar as matrizes necessárias: precisamos encontrar a matriz A e a matriz B para achar os valores
dos coe�cientes do polinômio. Para isso, podemos preencher a matriz A utilizando as potências de x dos
pontos dados e a matriz B com os valores correspondentes de y.
3. Resolver o sistema linear: agora, precisamos resolver o seguinte sistema linear para encontrar os
coe�cientes do polinômio:   .    é a transposta de A multiplicada por A e    é a
transposta de A multiplicada por B.
4. Encontrar os coe�cientes do polinômio: usando a solução do sistema linear encontrado, podemos
determinar os coe�cientes   ,    e    do polinômio.
Aplicando esses passos ao nosso exemplo, temos:
1. De�nir o polinômio:  
2. Encontrar as matrizes A e B:
p(x) = a(0) + a1 + a2x
2
 ATAx = ATB ATA ATB
a0   a1  a2
p(x)  =  a0  + a1 + a2x
2
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3. Resolver o sistema linear:
Resolvendo esse sistema linear, encontramos:
4. Encontrar os coe�cientes do polinômio:
Assim, o polinômio de aproximação de grau 2 é dado por:
Podemos avaliar esse polinômio em um ponto especí�co ou plotá-lo para veri�car sua aproximação aos
dados.
VÍDEO RESUMO
Nesta aula, você terá a oportunidade de conhecer e compreender a interpolação e aproximação. Vamos
explorar o método de interpolação por Lagrange, por Newton e a aproximação por mínimos quadrados. Além
disso, você analisará exemplos práticos para �xar o conhecimento adquirido.
 Saiba mais
Encorajamos fortemente a buscar mais informações sobre o assunto, por ser um assunto denso. Quanto
mais você ler sobre ele e estudá-lo, melhor será a �xação.
São fontes interessantes os seguintes livros:
Métodos Numéricos para Engenharia e Ciências Aplicadas de William L. Briggs e Lyle Cochran. Este
livro é uma referência completa para métodos numéricos em engenharia e ciências aplicadas. O
capítulo 3 é dedicado à interpolação, abordando temas como a forma de Lagrange, diferenças
divididas e interpolação de Hermite.
Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB para Engenheiros e Cientistas, de Steven C. Chapra.
Este livro é um guia prático para a aplicação de métodos numéricos usando o software MATLAB. O
A =
⎡⎢⎣1 1 1
1 2 4
1 3 9
⎤⎥⎦B =
⎡⎢⎣234⎤⎥⎦ ATAx =  ATB ATA = ATB =
⎡⎢⎣ 3 6 21
6 14 56
21 56 146
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 9
20
47
⎤⎥⎦x = [a0,  a1,  a2] = [0, 5714;  0, 8571;  0, 5714]
P(x) = 0, 5714 + 0, 8571x+ 0, 5714x2
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capítulo 18 é dedicado à interpolação, abrangendo tópicos como interpolação polinomial,
interpolação de spline e interpolação trigonométrica.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você aprenderá a calcular a área presente sob uma curva, isto é, a integral, porém de forma
numérica. Vamos revisitar conceitos básicos de integração, como o método analítico e o método numérico.
Você saberá escolher o método ideal de acordo com a complexidade da função e as necessidades da
aplicação.
A integração numérica tem muitas aplicações práticas na indústria, incluindo análise de preços, modelagem
de preços de energia e outros. Neste curso, você aprenderá sobre os métodos de integração numérica, como
o método dos trapézios, e também conhecerá o método de Simpson, o método de Gauss-Legendre, o método
de Monte Carlo e o método de Newton-Cotes.
Começaremos com o método de integração mais simples,a regra do trapézio, e depois passaremos para o
método de Simpson, que é mais preciso.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Esta é uma área fascinante e extremamente relevante do cálculo numérico; com ela, você aprenderá a calcular
a área presente sob uma curva. Com certeza, você já deve ter ouvido falar sobre integração antes; porém, é
sempre importante revisitar conceitos básicos para que possamos compreendê-los ainda mais
profundamente.
Aula 3
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
A integração numérica tem muitas aplicações práticas na indústria, incluindo análise de preços,
modelagem de preços de energia e outros. Nesta aula, você aprenderá sobre os métodos de integração
numérica, como o método dos trapézios, e também conhecerá o método de Simpson, o método de
Gauss-Legendre, o método de Monte Carlo e o método de Newton-Cotes.
19 minutos
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A integração é o processo matemático que busca calcular a área presente sob uma curva representada por
uma função matemática. Existem dois métodos principais para se realizar a integração, sendo eles o método
analítico e o método numérico. O método analítico se baseia na teoria do cálculo e utiliza fórmulas
matemáticas para encontrar a solução; já o método numérico se utiliza de técnicas computacionais para
aproximar a solução da integração. É importante destacar que, apesar de ambos os métodos serem úteis,
cada um deles possui suas próprias vantagens e desvantagens.
A integral de uma função f(x) entre os limites a e b pode ser representada matematicamente como:
∫f(x)dx = Área debaixo da curva de f(x) entre os limites a e b.
Quando usar um e quando usar o outro método?
A integração analítica é utilizada quando é possível encontrar a solução exata da integral de uma função por
meio de técnicas matemáticas. Esse método requer conhecimento em cálculo e é útil em casos nos quais a
função é simples o su�ciente para ser integrada. Além disso, a integração analítica permite que você entenda
a natureza da área sob a curva, o que pode ser útil em aplicações cientí�cas e matemáticas.
Já a integração numérica é utilizada quando a solução exata da integral não é possível ou não é fácil de se
obter por meio da integração analítica. Esse método usa técnicas computacionais para aproximar a solução da
integral e é útil em casos em que a função é complexa e não pode ser integrada analiticamente. Além disso, a
integração numérica é importante em aplicações práticas, como a análise de dados, na qual é necessário
calcular a área sob curvas para entendê-los melhor.
Em resumo, a escolha entre a integração analítica ou numérica depende da complexidade da função e das
necessidades especí�cas de cada aplicação. Em casos em que é possível obter a solução exata, a integração
analítica é a escolha ideal. Caso contrário, a integração numérica é uma opção válida que fornece
aproximações precisas da solução da integral.
É possível ver aplicações práticas desse conceito na indústria? Existem diversos exemplos de como a
integração numérica é utilizada nas empresas para solucionar problemas práticos. Alguns incluem:
1. Análise de preços: a integração numérica é amplamente utilizada para determinar o valor justo de uma
opção �nanceira, como compra ou venda de ações. Para fazer isso, os analistas utilizam a integração
numérica para integrar as curvas de preços das ações ao longo do tempo.
2. Modelagem de preços de energia: a integração numérica é usada para modelar os preços futuros da
energia elétrica, levando em conta fatores como a oferta e demanda, a disponibilidade de recursos
renováveis e a tecnologia. Essas modelagens são importantes para as empresas que negociam energia,
pois ajudam a tomar decisões informadas sobre quando comprá-la ou vendê-la.
Como são realizados os cálculos?
Existem diversos métodos, que serão explorados mais adiante, com exemplos e de�nições. Os principais são:
método dos trapézios e método de Simpson. Há também o método de Gauss-Legendre, método de Monte
Carlo e método de Newton-Cotes.
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Durante nossos estudos, vamos passar pelos principais métodos, como o do trapézio e de Simpson!
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA – MÉTODO DO TRAPÉZIO
O método da regra do trapézio é uma maneira fácil e rápida de calcular a integral de uma função. A ideia é
dividir a área sob a curva da função em trapezoides pequenos, e então somar as áreas deles, como mostra a
Figura 1 a seguir:
Figura 1 | Exemplo de aplicação da regra do trapézio
Fonte: Wikimedia Commons.
Aqui está como fazer isso:
1. Escolha os limites da integral, ou seja, os valores inicial e �nal. Decida quantos trapezoides você quer
usar.
2. Divida o intervalo entre os limites em N partes iguais.
3. Calcule o valor de f(x) em cada um dos N + 1 pontos, que são calculados com base na divisão do intervalo.
4. Aproxime a integral da função f(x) como a soma das áreas dos N trapezoides:
5. Quanto menor o número de trapezoides, menor será a precisão da aproximação.
Lembre-se de que este método não é muito preciso quando a função é curva ou tem mudanças bruscas. Mas
é uma boa escolha se você precisa de uma resposta rápida ou se a função é relativamente suave.
Exemplo: suponha que queiramos calcular a integral da função f(x) = no intervalo [0,2] usando 4 trapezoides
1. Escolha os limites da integral: a = 0 e b = 2, e o número de trapezoides: N = 4.
2. Divida o intervalo [0, 2] em 4 partes iguais, com   .
∫ b
a f(x)dx ≈   h2 *(f(x0) + 2*f(x1) +…+ 2*f(xN−1) + f(xN))
h  = 2−0
4   =  0.5
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3. Calcule o valor de f(x) em cada um dos 5 pontos   : 
4. Aproxime a integral da função f(x) como a soma das áreas dos 4 trapezoides:
Portanto, a integral da função f(x) = x   no intervalo [0, 2] é aproximadamente 2,75 usando 4 trapezoides. De
fato, se calcularmos matematicamente, a integral é aproximadamente 2,6667.
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA – MÉTODO DE SIMPSON
O método de Simpson é uma maneira mais precisa de calcular a integral de uma função. A ideia é dividir a
área sob a curva da função em parábolas pequenas, e então somar as áreas dessas parábolas. Como mostra a
�gura abaixo:
Figura 2 | Método de Simpson
Fonte: Wikimedia Commons.
x0,  x1,  x2,  x3,  x4
x0 = 0;  f(x0) = 02 = 0
x1 = 0,5;  f(x1) = 0,52 = 0,25
x2 = 1;  f(x2) = 12 = 1
x3 = 1,5;  f(x3) = 1,52 = 2,25
x4 = 2;  f(x4) = 22 = 4
∫ 2
0 x2dx ≈ ( 0,5
2 ).(f(x0) + 2. f(x1) + 2. f(x2) + 2. f(x3) + f(x4))
=  ( 0.5
2 ). (0 + 2.0,25 + 2.1 + 2.2,25 + 4) = 2,75
2
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Aqui está como fazer isso:
1. Escolha os limites da integral, ou seja, os valores inicial e �nal. Decida quantas parábolas você quer usar.
O número de parábolas deve ser par.
2. Divida o intervalo entre os limites em N partes iguais.
3. Calcule o valor de f(x) em cada um dos N + 1 pontos, que são calculados com base na divisão do intervalo.
4. Aproxime a integral da função f(x) como a soma das áreas das N parábolas:
5. Quanto menor o número de parábolas, menor será a precisão da aproximação.
Este método é mais preciso do que o método da regra do trapézio, mas também é um pouco mais complexo.
Se você precisa de uma resposta mais precisa, este método pode ser uma boa escolha.
Exemplo: vamos calcular a integral da função f(x) = x no intervalo [0, 1]. Vamos usar 2 parábolas:
1. Escolha os limites da integral: a = 0 e b = 1, e o número de parábolas: N = 2.
2. Divida o intervalo [0, 1] em 2 partes iguais, com   .
3. Calcule o valor de f(x) em cada um dos 3 pontos  
4. Aproxime a integral da função f(x) como a soma das áreas das 2 parábolas:
Portanto, a integral da função f(x) = x no intervalo [0, 1] é aproximadamente 0.25 usando 2 parábolas.Esses são os principais métodos de integração numérica. Porém, há outros métodos bastante interessantes.
Veja, por exemplo:
1. Método de Newton-Cotes: aproxima a área sob a curva da função como a soma das áreas de retângulos
aproximados.
2. Método de Gauss-Legendre: este método utiliza a técnica de integração por quadratura, ou seja,
aproxima a área sob a curva da função como a soma de pequenas áreas determinadas por polinômios.
3. Método Monte Carlo: este método utiliza técnicas estatísticas para estimar a integral da função.
∫ b
a f(x)dx ≈ ( h
3 ). (f(x0) + 4. f(x1) + 2. f(x2) + 4. f(x3) +…+ 2. f(xN−2) + 4. f(xN−1) + f(xN))
3
h = 1 − 0
2 = 5
x0,  x1,  x2
x0 = 0;  f(x0) = 03 = 0
x1 = 0,5;  f(x1) = 0,53 = 0,125
x2 = 1;  f(x2) = 12 = 1
∫ 1
0 x3dx ≈ h
3 . (f(x0) + 4. f(x1) + f(x2))
= ( 0,5
3 ). (0 + 4 .  0,125 + 1)
= ( 0,5
3 ).(1,5)
= 0,25
3
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VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá como realizamos o cálculo sob uma curva por integração numérica. Analisaremos
exemplos práticos de como a integração numérica é utilizada na indústria. Você aprenderá sobre os métodos
de cálculo, como o dos trapézios e o de Simpson.
 Saiba mais
Encorajamos fortemente a continuar nos estudos; para isso, há muito material interessante on-line, além
de livros. A seguir, referenciamos alguns:
Métodos Numéricos para Engenharia de Steven C. Chapra e Raymond P. Canale. Capítulo 9:
Integração Numérica.
Matemática Aplicada à Engenharia de Michael B. Cutlip e Mordechai Shacham. Capítulo 11:
Integração Numérica.
Métodos Numéricos com Aplicações em Cálculo e Engenharia de J. E. Akin. Capítulo 5: Integração
Numérica.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, estudaremos a resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) por método numérico.
Abordaremos os métodos de Euler, Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta, que são ferramentas importantes para
solucionar problemas que envolvem EDOs. Elas são amplamente utilizadas em diversas áreas da ciência e
engenharia.
Aula 4
RESOLUÇÃO DE EDOS POR MÉTODOS NUMÉRICOS
Nesta aula, estudaremos a resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) por método numérico.
Abordaremos os métodos de Euler, Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta, que são ferramentas importantes
para solucionar problemas que envolvem EDOs. Elas são amplamente utilizadas em diversas áreas da
ciência e engenharia.
20 minutos
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O objetivo é ajudar você a utilizar estes métodos para obter soluções aproximadas de EDOs, quando a solução
analítica não é facilmente encontrada. Ao �nal desta aula, você será capaz de aplicar os métodos de Euler,
Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta em problemas práticos e interpretar as soluções encontradas.
Lembre-se: a resolução numérica de EDOs é um tópico fundamental para uma grande variedade de áreas, tais
como física, engenharia, economia, biologia e muitas outras. Ao dominar esses métodos, você terá mais uma
ferramenta poderosa para resolver problemas complexos em seu cotidiano pro�ssional.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
As equações diferenciais ordinárias (EDOs) descrevem a relação entre as taxas de variação de uma ou mais
variáveis dependentes e uma ou mais variáveis independentes. Em outras palavras, são equações que
descrevem como uma quantidade muda ao longo do tempo.
Um exemplo de EDO é a equação da taxa de variação da temperatura de um corpo. Essa equação descreve
como a taxa de variação da temperatura do corpo muda ao longo do tempo, relacionando-a à temperatura
ambiente e a outros possíveis fatores..
As EDOs são classi�cadas com base no número de variáveis envolvidas e na complexidade da equação.
Por exemplo, as EDOs de primeira ordem são as mais simples e descrevem a mudança de apenas uma
quantidade. Já as EDOs de segunda ordem são um pouco mais complexas e envolvem duas quantidades
diferentes.
Em geral, quanto maior o número de variáveis envolvidas e quanto mais complexa a equação, mais difícil é
resolvê-la. Por isso, é importante entender como essas equações funcionam e como resolvê-las para poder
aplicá-las em várias áreas, como engenharia, biologia e economia.
As EDOs podem ser resolvidas de duas maneiras diferentes: por resolução analítica ou por resolução
numérica.
A resolução analítica é o método de solução de EDOs que utiliza fórmulas matemáticas para encontrar a
solução exata. Este método é aplicável quando a equação diferencial é fácil o su�ciente para ser resolvida por
fórmulas matemáticas.
Já a resolução numérica é o método de solução de EDOs que utiliza algoritmos computacionais para estimar a
solução aproximada. Este método é aplicável quando a equação diferencial é complexa demais para ser
resolvida por fórmulas matemáticas ou quando a solução analítica é difícil de se obter.
Em geral, a resolução numérica é mais �exível e aplicável a uma ampla gama de equações diferenciais, mas
também pode ser mais imprecisa do que a resolução analítica. Por outro lado, a resolução analítica oferece
uma solução exata, mas apenas quando a equação é fácil o su�ciente para ser resolvida por fórmulas
matemáticas. Nesta aula, veremos a resolução numérica de EDOs
Vamos ilustrar alguns exemplos de EDOs que estão presentes em nossas vidas cotidianas:
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Equação da velocidade de uma partícula em queda livre:   .
Equação da taxa de crescimento de uma população:   .
Equação da variação da temperatura de um objeto:   .
Equação da pressão de um gás:   .
Equação da concentração de uma substância em um sistema químico:   .
MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUÇÃO DE EDOS – MÉTODO DE EULER
O Método de Euler é um método numérico para resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs). É um
dos métodos mais simples e consiste em aproximar a solução da EDO em intervalos pequenos de tempo.
A teoria por trás do método de Euler é baseada no conceito de que a taxa de variação de uma quantidade é
constante em um intervalo de tempo pequeno. Portanto, podemos estimar a solução da EDO em um ponto
especí�co usando a taxa de variação da solução no ponto anterior.
Para exempli�car e entender o método, vamos direto a um exemplo.
Suponha que temos a equação:
Problema: queremos aproximar y(1,2) usando h = 0,1
Do problema sabemos que y(1) = 2, então x  = 1, y  = 2
Como sabemos o x  e y , vamos montar um quadro para passos h = 0,1 até 1,2
Veja:
Quadro 1 | Passos de h = 0,1 até 1,2
x x x
x 1 1,1 1,2
y 2 ? ?
Fonte: elaborado pelo autor.
O primeiro passo é encontrarmos o y’, isto é, queremos encontrar o   . Para isso, usamos a equação dada
no problema e isolamos até encontrar a razão acima.
Da equação temos:
dv
dt = −g.
dP
dt = kP
dT
dt = −k
dp
dt = −k(p− p0)
dc
dt = k1 − k2c
(y2 − x2)dx+ xydy = 0; y(1) = 2;
0 0
0 0
0 1 2
dy
dx
(y2 − x2)dx  +  xydy  =  0
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Portanto, encontramos o que queríamos:  
Para o método de Euler, temos a seguinte equação para resolvermos o problema:
Vamos resolver então de forma iterativa.
1º passo:   ;
Pela equação de Euler, substituindo os valores, encontramos que:
Com isso, podemos reescrever o Quadro anterior para 1,85 no   :
Quadro 2 | 1,85 no  
x x x
x 1 1,1 1,2
y 2 1,85 ?
Fonte: elaborado pelo autor.
Agora vamos para o segundo passo e encontramos o que queremos, o , isto é, o y(1,2).
2º passo:    ;
Pela equação de Euler, substituindo os valores, encontramos que:
Então essa é a nossa solução.
Aproximamos y(1,2) usando h = 0,1, e encontramos que y(1,2) é aproximadamente 1,7413.
Nesse exemplo, �ca claro qual problema estamos tentando resolver e, como se dá essa solução baseado no
método de Euler. Em resumo, o problema é encontrar alguma aproximação a uma equação, combase em um
tamanho de passo. Com isso, são feitos os passos iterativamente a partir da equação de Euler. 
INTRODUÇÃO A RESOLUÇÃO DE EDOS POR MÉTODOS NUMÉRICOS: EULER APERFEIÇOADO E
RUNGE-KUTTA
y'  =   dydx   =
x2−y2
xy   = x
y   −   yx   =  f(x, y)
y'  =   xy   −   yx  
y k+1  =  yk  + hy' k
x 0  =  1;  y 0  =  2;  h  =  0,1
y1 = yo + hy′0= 2 + 0, 1*( 1
2 − 2
1 ) = 1, 85.
y 1
y 1
0 1 2
x1  =  1, 1;  y 1  =  1,85;  h  =  0,1
y2 = y1 + hy′1= 1, 85 + 0, 1*( 1,1
1,.85 − 1,85
1,.1 ) = 1, 7413.
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Entendido o método de Euler, agora podemos ver outros métodos, mais so�sticados. Como vimos, a ideia de
resolver problemas numéricos de EDO é realizar uma aproximação para um valor. Por exemplo, por meio de
iterações, encontramos uma aproximação para o valor de y(1,2) no exercício anterior. Porém, analiticamente,
o valor é outro, por isso o conceito de aproximação.
Dito isso, à medida que melhoramos o método usado, essa aproximação se dá melhor e mais próxima ao
valor real.
Ainda olhando para o problema anterior, no método de Euler, encontramos o seguinte quadro:
Quadro 3 | Método Euler
x x x
x 1 1,1 1,2
y 2 1,85 1,7413
Fonte: elaborado pelo autor.
Isso resolve o problema baseando-se na equação de Euler, isto é:
Agora vamos ver outros métodos. O primeiro deles é chamado de Euler aperfeiçoado (ou Runge-Kutta de 2ª
ordem).
Nesse novo método, temos agora que seguir a seguinte equação:
Onde:  
Consideremos novamente, por exemplo, o problema anterior, em que queríamos aproximar y(1,2) usando
h=0,1 e resolvemos com o método de Euler.
Para o primeiro passo encontramos que  
Com o método de Euler aperfeiçoado, esse será o  
Assim, poderíamos encontrar o novo  do método de Euler aperfeiçoado como:
   (dado no problema)
0 1 2
y k+1  =  yk  + hy' k
y k+1  =  yk  + h
2 [f(xk,  yk ) + f(x k+1,  y k+1*)]
f(xk,  yk ) = y'  k
y k+1*  =  Euler  =   yk  + hy' k
 y1  =  y(1,1)  =  1,85
y 1*  =  1,85
y1 = 2 + 0,1
2 [( 1
2 − 2
1 ) + ( 1,1
1,.85 − 1,85
1,.1 )] = 1, 8706
yk  =  y0  =  2
h  =  0, 1
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De forma semelhante, no segundo passo podemos encontrar  
Na solução exata desse problema, temos que o valor de y(1,2) é 1,7750. Quando resolvemos pelo método de
Euler encontramos 1,7413 e com Euler Aperfeiçoado encontramos 1,7758.
Veja que a aproximação �ca bem mais próxima do valor exato, por isso esse é considerado um método
melhor.
Além destes métodos de Euler, temos também o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, em que seguimos o
mesmo processo dos anteriores, porém com esta fórmula:
Onde:
Então, seguimos a mesma ideia, calculando os    e seguindo os passos iterativos.
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, estudaremos a resolução de equações diferenciais ordinárias EDOs por método numérico. Nele,
apresentaremos as aplicações e os métodos de Euler, Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta, que são ferramentas
importantes para a solução de problemas em diversas áreas da ciência e engenharia.
 Saiba mais
Os livros a seguir podem servir de guia para aprender mais. Encorajamos a leitura deles para �xação de
conteúdo e para entender mais sobre o assunto.
Métodos Numéricos para Engenharia de Steven C. Chapra e Raymond P. Canale. Capítulo 25
(Métodos Numéricos para EDOs).
Métodos Numéricos de Richard L. Burden e J. Douglas Faires. Capítulo 6 (Métodos para EDOs de
primeira ordem) e Capítulo 7 (Métodos para EDOs de ordem superior).
f(x
k
,  yk) = y′k= y′0= 1
2 − 2
1
f(x k+1,  y k+1*)  =  y k'*  = 1,.1
1,.85 − 1,85
1,.1
y 2 = y(1,2)  = 1,7758 
y k+1  =  yk  + 1
6 [k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4]
k1 = h*f(xk , yk)
k2 = h*f(xk  + h
2 , yk +
k1
2 )
k1 = h*f(xk  + h
2 , yk +
k2
2 )
k1 = h*f(xk  + h
2 , , yk +
k3
2 )
k i
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Métodos Numéricos para Equações Diferenciais de Ronaldo de Freitas Zampieri. Capítulo 3 (Métodos
para EDOs de primeira ordem) e Capítulo 4 (Métodos para EDOs de ordem superior).
Equações Diferenciais Ordinárias e Métodos Numéricos de Edson Denis Leonel. Capítulo 4 (Métodos
Numéricos para EDOs de primeira ordem) e Capítulo 5 (Métodos Numéricos para EDOs de ordem
superior).
Introdução à Análise Numérica de Marco Antonio de Andrade. Capítulo 5 (Métodos Numéricos para
EDOs).
ENTENDENDO CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE CÁLCULO NUMÉRICO
Olá, estudante!
Anteriormente, estudamos zero de funções. Você aprendeu sobre métodos para encontrar os zeros de
funções: o método da bisseção, o método de Newton-Raphson e os erros e estimativas para o erro. O método
da bisseção é um método iterativo que divide o intervalo de busca em duas partes e veri�ca qual delas
contém o zero da função. Já o método de Newton-Raphson é uma técnica que utiliza a derivada da função
para aproximar o zero da função. Além disso, você aprendeu sobre os erros que podem ocorrer ao encontrar
zeros de funções e como estimá-los.
Aprendemos sobre zeros de funções, pois esses conceitos são utilizados em muitas áreas, como a física, a
engenharia e a economia. Além disso, é importante saber estimar o erro para garantir que a solução
encontrada seja precisa o su�ciente para a aplicação em questão.
 Estudamos, ainda, interpolação e aproximação. Você aprendeu sobre métodos de interpolação, como o
polinômio de Lagrange e o polinômio de Newton, e sobre o erro na interpolação polinomial. Além disso, você
viu o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a reta que melhor se aproxima dos
dados.
Aprendemos isso, pois interpolação e aproximação são conceitos importantes para entender como aproximar
soluções de problemas que não podem ser resolvidos de forma exata.
Além disso, vimos a  integração numérica. Você teve a oportunidade de compreender o método de Newton-
Cotes e as regras do trapézio e de Simpson para aproximar a integral de uma função.
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
32 minutos
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Abordamos, também, a resolução de EDOs por métodos numéricos, entendendo como resolver equações
diferenciais ordinárias (EDOs), como o método de Euler.
Este aprendizado é importante, pois esses conceitos são essenciais para resolver problemas que envolvem
mudanças ao longo do tempo, como o movimento de um corpo ou a evolução de uma população.
Em resumo, você aprendeu muito sobre cálculo numérico ao longo dos nossos estudos e, agora, tem uma boa
base para continuar sua jornada nesta área. 
REVISÃO DA UNIDADE
Neste vídeo, você terá acesso a uma revisão completa dos conceitos aprendidos sobre zero de funções,
interpolação, integração numérica e resolução de EDOs por métodos numéricos. Este vídeo é a oportunidade
perfeita para você consolidar seus conhecimentos e �car preparado para enfrentar qualquer desa�o na
disciplina.
ESTUDO DE CASO
Para contextualizar sua aprendizagem, imagine que você trabalha para uma empresa de consultoria. Durante
sua trajetória, surgem quatro projetos para trabalhar, que serão explicados abaixo. Leia com atenção e pense
em uma solução para cada um deles.
Projeto 1:
Uma empresa de investimentos quer determinar o ponto de equilíbrio de uma função para avaliar o momento
ideal para investir em ações. O ponto de equilíbrio é o ponto em que o valor da função é igual a zero.
Portanto, é necessário a determinação do ponto de equilíbrio de uma função, dada como 
 .
Intervalo de busca: [-10, 10].
Precisão: 0,01.
Projeto 2:
Uma empresa de produção de material térmico precisa determinar a temperatura de um material em
diferentes instantes de tempo para garantir que ele atenda aos requisitos térmicos.
Tempos e temperaturas medidas:
Em 0 min: 20°C
Em 5 min: 25°C
Em 10 min: 30°C
f(x) =  x3 −  6x2 +  9x  +  3
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Em 15 min: 35°C
Problema: determinar a temperatura do material aos tempos 2 min, 7 min e 12 min utilizando interpolação
polinomial.
Projeto 3:
Uma empresa de agricultura precisa determinar a área sob uma curva para calcular a quantidade de cultivo
necessária para atender à demanda (em kg). A área sob a curva representa a quantidade de cultivo produzida
ao longo do tempo.
Portanto, é necessário a determinação da área sob uma curva.
Função de produção de cultivo:   .
Intervalo de integração: [0, 10].
Projeto 4:
Uma organização ambiental precisa modelar o comportamento de uma população de animais para avaliar o
impacto de uma ação de conservação. Para isso, é necessário resolver uma equação diferencial que
represente o crescimento da população.
Problema: modelagem do comportamento de uma população de animais.
Equação diferencial:   , onde k é a taxa de crescimento da população.
População inicial: P(0) = 1000.
Taxa de crescimento: k = 0,1.
Intervalo de tempo: [0, 10].
 Re�ita
Você tem uma tarefa desa�adora pela frente em sua carreira como consultor, na qual terá que
solucionar quatro projetos diferentes, cada um requerendo habilidades matemáticas especí�cas que
precisam ser aplicadas com e�ciência.
O primeiro projeto envolve encontrar o ponto de equilíbrio de uma função, para avaliar o momento
ideal para investir em ações. Para isso, você pode utilizar o método da bisseção; temos aqui a equação
�nal a resolver: encontrar o ponto de equilíbrio da função
  utilizando o método da bisseção.
O segundo projeto requer a determinação da temperatura de um material em diferentes instantes de
tempo, e você pode utilizar a interpolação polinomial para resolvê-lo.
f(t) =  2t2 + 3t+ 1
dP
dt = kP
f(t) =  2t2 + 3t+ 1
11/10/2024, 17:41 wlldd_232_u2_met_mat
https://www.avaeduc.com.br/mod/url/view.php?id=3340517 29/34
O terceiro projeto envolve calcular a área sob uma curva para determinar a quantidade de cultivo
necessária, para isso, você pode utilizar a integração numérica. Equação �nal a resolver: calcular a área
sob a curva
  no intervalo [0, 10] utilizando integração numérica.
Por �m, o quarto projeto é sobre modelar o comportamento de uma população de animais, e você pode
utilizar resolução de EDO por métodos numéricos para resolvê-lo. Equação �nal a resolver: determinar a
população de animais ao longo do tempo utilizando resolução de EDO por métodos numéricos. É
fundamental prestar atenção a cada problema e buscar uma solução e�ciente para eles.
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO
Vamos agora então entender os projetos que temos para trabalhar e obter um caminho de solução para cada
um deles. Será resumido a seguir o passo a passo para encontrar a solução de cada problema.
Projeto 1:
Nesse, podemos utilizar do método da bisseção para encontrar as raízes de funções.
Para resolver este problema, utilizaremos o método da bissecção. Este método é um algoritmo de busca de
raízes que divide sucessivamente o intervalo de busca pela metade até encontrar uma raiz com a precisão
desejada.
1. De�na a função   .
2. Escolha o intervalo de busca, a = -10 e b = 10.
3. De�na a precisão desejada, ε = 0,01.
4. Veri�que se f(a) * f(b)11/10/2024, 17:41 wlldd_232_u2_met_mat
https://www.avaeduc.com.br/mod/url/view.php?id=3340517 34/34
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