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Prof. Martinho Machado Júnior, MSc.
Disciplina: Matemática Instrumental
Determinantes
CAMPUS LARANJEIRAS DO SUL
Objetivos:
 Identificar o conceito e propriedades de determinantes de matrizes;
 Identificar os conceitos de Menor complementar e Cofator;
 Analisar o Método de Laplace no cálculo de determinantes de matrizes; 
Matemática Instrumental
História e Evolução dos Conceitos em FísicaHistória e Evolução dos Conceitos em Física
Matemática Instrumental
1.0 - DETERMINANTES
Para sabermos se uma matriz é inversível basta sabermos seu determinante !!!
Determinante  det(A)
Aplicado no cálculo de : Forças resultantes, Corrente elétrica, sistemas lineares quaisquer.
Matemática Instrumental
1.1 - Determinante de Matrizes e Propriedades
Determinante de 1ª ordem
Para uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], 
tem-se: det(M) = a11:
Exemplos:
M= [5] det (M = 5 ou I 5 I = 5 
Não significa módulo as duas barras !!!
Matemática Instrumental
1.2 - Propriedades dos determinantes 
P1) ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 
Matemática Instrumental
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Matemática Instrumental
P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 
Matemática Instrumental
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. 
Matemática Instrumental
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. 
Matemática Instrumental
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por . . 
        . 
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P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, tem-se:                           . 
                                                                      
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1.3- Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
Matemática Instrumental
Exemplo:
det(M) = ?
Matemática Instrumental
Exercício
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2) Determine o conjunto solução da equação:    
 
 
 
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1.4 - Cálculo de Determinante de 3ª Ordem
1º passo: Repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
Regra de Sarrus:
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2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
Matemática Instrumental
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Matemática Instrumental
O determinante será:
Matemática Instrumental
Exemplo:
Matemática Instrumental
Exemplo: Calcule o determinante abaixo:
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1.5 - Método Menor Complementar
Matemática Instrumental
1.5.1 - Menor complementar de ordem 3
Matemática Instrumental
Exercício:
Determine o menor complementar dos elementos a21 em cada caso:
A) 1 -3
 4 2
B) 1 -3 0
 2 1 3
 6 1 9
C) 1 2 3 4 1
 2 -1 0 3 2
 0 1 1 1 1
 -1 2 -3 1 2
Matemática Instrumental
1.6 - Cofator
 Denomina-se cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que:
  Aij = (-1)i+j . MCij 
Matemática Instrumental
Dada , os cofatores relativos aos 
elementos a11 e a12 da matriz M são:
 
 
             , 
Matemática Instrumental
1.6.1 - Cofatores em matrizes de ordem 3
 
 Qual o cofator A23?
Matemática Instrumental
Exercícios
Determine os cofatores dos elementos a21 e a22 em cada caso:
 A) 1 -3
 4 2
B) 1 -3 0
 2 1 3
 6 1 9
C) 1 2 3 4 1
 2 -1 0 3 2
 0 1 1 1 1
 -1 2 -3 1 2
Matemática Instrumental
1.7 - Determinante de ordem > 3
   Para ordens superiores a 3 a regra de Sarrus não é válida !!! 
Podemos usar o Teorema de Laplace para calcular o determinante para uma matriz quadrada de ordem qualquer !!!
Vamos aprender a fazer por Laplace...
Matemática Instrumental
Teorema de Laplace
Soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Matemática Instrumental
Aplicando Laplace então:
Matemática Instrumental
Calcule o determinante 
Matemática Instrumental
A = 3 2 -1
 6 0 4
 2 -3 5
B= 0 4 2 0
 1 -1 0 3
 2 0 3 7
 -1 0 0 2
Identifique calculando o determinante por Laplace;