Funções de duas variaveis - Derivadas Parciais

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Funções de Várias Variáveis - 
Derivadas Parciais
Derivadas Parciais
	Seja f: D C R2 →R uma função de duas variáveis e (x0,y0) um ponto do domínio de f.
	Fixado y0 temos que f(x, y0) é uma função de uma variável.
Exemplo: f(x,y)= 7x2+3y3+5xy.
Fixemos y=2. Logo g(x)=f(x,2)= 7x2+24+10x
Da mesma forma, fixado x0 temos que h(y)= f(x0,y) é uma função de uma variável
onde
Pela definição de derivada temos
E assim, a equação 1 se torna:
DEFINIÇÃO
NOTAÇÕES PARA DERIVADAS PARCIAIS
REGRA PARA DETERMINAR AS DERIVADAS PARCIAIS DE z= f(x,y)
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
Lembremo-nos que a equação z=f(x,y) representa uma superfície S.
Se f(a,b)=c então o ponto (a,b,c) pertence a superfície S.
 Fixando y=b, restringimos nossa atenção a curva C1, na qual o plano vertical y=b intercepta S.
 Da mesma forma, o plano vertical x=a intercepta S na curva C2.
As curvas C1 e C2 passam pelo ponto P.
 Observe que a curva C1 é o gráfico da função g(x)=f(x,b), de modo que a inclinação da tangente T1 em P é g’(a)=fx(a,b).
 A curva C2 é o gráfico da função h(y)=f(a,y), de modo que a inclinação da tangente T1 em P é h’(a)=fy(a,b).
 Então as derivadas parciais fx(a,b) e fy(a,b) podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a,b,c) aos cortes C1 e C2 de S nos planos y=b e x=a.
Exemplo 8:
OBSERVAÇÃO
9
FUNÇÕES DE MAIS DE DUAS VARIÁVEIS
Derivadas Parciais de Ordem Superior
TEOREMA:
TEOREMA DE CLAIRAUT (ou TEOREMA DE SCHWARZ)
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Planos Tangentes e Aproximações Lineares
em que A, B e C são as coordenadas do vetor normal ao plano
Plano Tangente
Exemplo 1:
APROXIMAÇÃO LINEAR
TAREFA
DIFERENCIABILIDADE
Já discutimos o incremento de uma função de uma única variável. Lembremos que se f for uma função derivável de x e y=f(x)
Se f é diferenciável em a:
Isso quer dizer
TEOREMA
TEOREMA
TEOREMA
Do Cálculo de uma variável sabemos que:
"Se uma função f:R→R é diferenciável em um ponto x0 do seu domínio então f é contínua no ponto x0."
No Cálculo de Várias Variáveis isso nem sempre é verdade
"Se uma função f:DR2→R tem derivadas parciais em (x0,y0) não implica que f é contínua em (x0,y0)."
OBS 2: Observe que para uma função de uma variávável a existência da derivada e a diferenciabilidade são equivalentes, o que NÃO acontece para funções de DUAS OU MAIS VARIÁVEIS.
Por esse motivo, não é rigorosamente correto usar o termo “diferenciar” no lugar de “derivar”, embora isso seja comum.
OBS 1: Uma função f:DR2→R é de classe C1 se as derivadas parciais fx e fy existem e são contínuas em D. Ou seja, se f é de classe C1 então f é diferenciável.
DIFERENCIAIS
[Compare com a equação do diferencial das funções de uma variável (slide anterior).] Algumas vezes a notação df é usada no lugar de dz.
(*)
(*)
dz
TAREFA:
FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS
Regra da Cadeia
Para as funções de várias variáveis, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo uma regra de derivação de uma função composta.Estamos admitindo que f seja diferenciável, isto é que fx e fy sejam contínuas.
REGRA DA CADEIA (CASO I)
TEOREMA 1:
de diferenciabilidade temos
38
OBS: dado acima é chamado de derivada total de z em relação
 a t. 
anterior obtemos:
REGRA DA CADEIA (CASO II)
TEOREMA 2:
(ou diagrama de árvore).
TEOREMA 3:
REGRA DA CADEIA (VERSÃO GERAL)
Funções Implícitas - Derivação
Suponhamos que a equação da forma F(x,y) = 0 defina y implicitamente como uma função diferenciável de x, ou seja, y=f(x), onde F(x,y(x))=0.
f(x)
4
y2 - 2yx + x2 - 1=0
a seguir
A funcao f(x,y) = sen x – sen y não define y como função de x nem vice-versa.
Vamos assumir
. Vamos ver como encontrar a derivada dessa função y=f(x)
dada implicitamente.
Considere novamente a equação da forma F(x,y)=0 que define y implicitamente como uma função diferenciável de x, isto é F(x,f(x))=0. Se Fé diferenciável, podemos aplicar o Caso I da Regra da Cadeia para derivar ambos os lados da equação F(x,y)=0 com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos:
Mas
e
Portanto essa equação de torna
abaixo
acima.
Por exemplo, agora os exercícios 45-47 da pag. 846 podem ser resolvidos por essas fórmulas.
Derivada Direcional
A Figura ao lado mostra uma mapa de contorno da função temperatura para os estados da Califórnia e Nevada às 15hs em um dia de Outubro.
 A derivada parcial Tx em um local como Reno, é a taxa de variação da temperatura com relação à distância se nos movemos para o leste a partir de Reno.
 Ty é a taxa de variação da temperatura com relação à distância se nos movemos para o norte.
E se quisermos saber a taxa de variação da temperatura quando viajamos para sudoeste ou para alguma outra direção??
Veremos agora a DERIVADA DIRECIONAL que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção.
O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C. A inclinação da reta tangente T em C é a taxa de variação de z na direção de u.
DEFINIÇÃO
TEOREMA
EXEMPLO 1:
VETOR GRADIENTE
O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente em derivadas direcionais, mas também em muitas outras situações e por isso ele recebe um nome especial: “o vetor gradiente de f”.
Com a notação de gradiente podemos reescrever a expressão para derivada direcional dada no TEOREMA como:
EXEMPLO 3:
FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS
ou
MAXIMIZANDO A DERIVADA DIRECIONAL
Este é um dos resultados mais importantes dessa teoria!!
TEOREMA:
 Ou seja, a maior variação de f ocorre na direção do vetor gradiente, isto é, o maior crescimento de f ocorre na direção do gradiente.
 Logo a taxa máxima de variação ocorre no gradiente de f aplicado no ponto de partida.
 “ESTANDO EM UM PONTO P(x0,y0) A DIREÇÃO E O SENTIDO EM QUE F CRESCE MAIS RAPIDAMENTE É A DO VETOR GRADIENTE.
Dem: Temos
EXEMPLO 5:
FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS ESPACIAIS 
(SEÇÃO 13.1 – STEWART)
Essas equações
PLANOS TANGENTES ÀS SUPERFÍCIES DE NÍVEL
(*)
(*)
(**)
(**)
(***)
Assim
OBS: Note que o vetor gradiente é perpendicular à superfície de nível.
suas equações simétricas são
Logo a equação do plano tangente para superfícies de funções de três variáveis, se torna:
que é a equação do plano tangente já vista por nós.
EXEMPLO:
IMPORTÂNCIA DO VETOR GRADIENTE
Parabolóide Hiperbólico
Valores Máximo e Mínimo
Olhe os picos e os vales do gráfico da f mostrado na figura.
 Existem dois pontos da forma (a,b) nos quais f tem um máximo local, ou seja, onde f(a,b) é maior que os valores próximos de f(x,y). O maior destes valores é o máximo absoluto.
 Existem dois pontos da forma (a,b) nos quais f tem um mínimo local, ou seja, onde f(a,b) é menor que os valores próximos de f(x,y). O menor destes valores é o máximo absoluto.
máximo absoluto
máximo local
mínimo local
mínimo absoluto
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DEFINIÇÃO
1)
2) Uma função de duas variáveis tem um mínimo local em (a,b) se
 quando (x,y) está próximo de (a,b). O número f(a,b) é chamado valor mínimo local.
3)
das definições dadas em 1) e 2)
OBS:
TEOREMA:
OBSERVAÇÕES:
1)
2)
EXEMPLO 1:
Parabolóide Elíptico
EXEMPLO 2:
Perto da origem o gráfico tem o formato de uma sela e por isso (0,0) é chamado ponto de sela. 
Teste da Derivada Segunda
OBS 1:
OBS 2:
OBS 3:
EXEMPLO 3:
Valores Máximo e Mínimo Absolutos
Conjuntos Fechados
Conjuntos que não são fechados
Teorema do Valor Extremo para as Funções de Duas Variáveis
Para achar os pontos extremos, cuja existência é dada pelo Teorema acima observamos que se f tem um valor extremo em (x1,y1), então (x1,y1) ou é um ponto crítico de f ou um ponto de fronteira de D. Portanto temos a seguinte extensão do Método dos Intervalos Fechados.
EXEMPLO 6:
EXEMPLO 7:
TAREFA
Multiplicadores de Lagrange
 Em
um exemplo feito anteriormente maximizamos a função volume V=xyz sujeita à restrição 2xz+2yz+xy=12. 
 Será apresentado agora o método de Lagrange para maximizar uma função genérica f(x,y,z) sujeita a uma restrição (ou vínculo) da forma g(x,y,z). 
 Problemas dessa forma são chamados de problema com extremos com restrições (ou condicionados ou vinculados).
 Um problema de encontrar os extremos de uma função que não apresenta restrições é chamado de problema com extremos livres.
Vamos tentar determinar os valores extremos de f(x,y) sujeita a uma restrição da forma g(x,y)=k. Em outras palavras, queremos achar os valores extremos de f(x,y) quando o ponto (x,y) pertence a curva de nível g(x,y)=k.
Maximizar f(x,y) sujeita a g(x,y)=k é achar qual o valor de c tal que a curva de nível f(x,y)=c intercepte g(x,y)=k. Isso acontece quando essas duas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas tem uma reta tangente em comum, caso contrário poderíamos aumentar o valor de c.
Isso significa que as retas normais ao ponto (x0,y0) onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores gradientes são paralelos, ou seja, para algum escalar
EXEMPLO 2:
EXEMPLO 3:
DUAS RESTRIÇÕES
vínculos
essa
EXEMPLO 5:
Obtenção de uma função a partir de seu gradiente e diferencial exata
(Leithold – Vol 2 – Seção 17.6)
O primeiro objetivo desta seção é encontrar a função f se for conhecido seu gradiente. Isto é, temos
e queremos encontrar f(x,y).
.
Vejamos a seguir uma condição para que um vetor defina um vetor gradiente de uma função f.
TEOREMA 1:
DEFINIÇÃO 1:
TEOREMA 2:
Este Teorema pode ser estendido para funções de três variáveis.
TEOREMA 3:
TEOREMA 4: