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2.4 Lista 4 - Campos Conservativos
2.4.1 Exerćıcio 1
Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo
C2 e prove que as suas componentes verificam:
∂ak
∂xj
=
∂aj
∂xk
(2.46)
Resposta:
Enunciado:
Temos um campo vetorial a que é dado como o gradiente de uma função escalar ϕ, ou seja,
a = ∇ϕ. Queremos provar que as componentes desse campo vetorial verificam a igualdade:
∂ak
∂xj
=
∂aj
∂xk
Passo a Passo:
1. Definição do Gradiente
Primeiro, lembramos que o gradiente de uma função escalar ϕ(x1, x2, . . . , xn) é dado por:
∇ϕ =
(
∂ϕ
∂x1
,
∂ϕ
∂x2
, . . . ,
∂ϕ
∂xn
)
Neste caso, as componentes do vetor a são:
ai =
∂ϕ
∂xi
2. Derivadas Parciais Cruzadas
Para provar a relação ∂ak
∂xj
=
∂aj
∂xk
, usamos o fato de que ϕ é uma função de classe C2. Isso
significa que suas derivadas parciais de segunda ordem são cont́ınuas e, portanto, as derivadas
mistas são iguais. Ou seja, pelo teorema de Schwarz (ou teorema da igualdade das derivadas
parciais mistas):
∂2ϕ
∂xj∂xk
=
∂2ϕ
∂xk∂xj
3. Aplicação no Campo Vetorial a
Considerando ak =
∂ϕ
∂xk
e aj =
∂ϕ
∂xj
, temos:
∂ak
∂xj
=
∂
∂xj
(
∂ϕ
∂xk
)
=
∂2ϕ
∂xj∂xk
∂aj
∂xk
=
∂
∂xk
(
∂ϕ
∂xj
)
=
∂2ϕ
∂xk∂xj
Pelo teorema de Schwarz, as derivadas mistas são iguais:
∂2ϕ
∂xj∂xk
=
∂2ϕ
∂xk∂xj
Portanto, conclúımos que:
∂ak
∂xj
=
∂aj
∂xk
Conclusão
Mostramos que, para um campo vetorial a que é o gradiente de uma função escalar de
classe C2, as componentes do vetor satisfazem a relação de igualdade das derivadas cruzadas.
2.4.2 Exerćıcio 2
Um campo de forças f é definido no R3 pela equação
f(x, y, z) = yi+ zj + yzk (2.47)
2.4.2.1 Item a
Determine se f é um campo conservativo.
Resposta:
Enunciado:
Um campo de forças f é definido no R3 pela equação:
f(x, y, z) = yi+ zj+ yzk
Determine se f é um campo conservativo.
1. Expressão do Campo Vetorial
Dado o campo de forças:
f(x, y, z) = yi+ zj+ yzk
Podemos escrever as componentes do campo f como:
f = (f1, f2, f3) = (y, z, yz)
2. Cálculo do Rotacional
O rotacional de um campo vetorial f = (f1, f2, f3) em R3 é dado por:
∇× f =
(
∂f3
∂y
− ∂f2
∂z
,
∂f1
∂z
− ∂f3
∂x
,
∂f2
∂x
− ∂f1
∂y
)
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
∂f3
∂y
− ∂f2
∂z
=
∂(yz)
∂y
− ∂z
∂z
= z − 1
- Segunda componente:
∂f1
∂z
− ∂f3
∂x
=
∂y
∂z
− ∂(yz)
∂x
= 0− 0 = 0
- Terceira componente:
∂f2
∂x
− ∂f1
∂y
=
∂z
∂x
− ∂y
∂y
= 0− 1 = −1
Portanto, o rotacional de f é:
∇× f = (z − 1, 0,−1)
3. Conclusão
O rotacional de f não é nulo, já que (z − 1, 0,−1) ̸= (0, 0, 0). Portanto, o campo f não é
conservativo.
2.4.2.2 Item b - CONFERIR
Calcule o trabalho realizado por uma part́ıcula que percorre a curva descrita
por:
γ(t) = cos ti+ sin t+ etk, t ∈ [0, π] (2.48)
Resposta:
Enunciado:
Um campo de forças f é definido no R3 pela equação:
f(x, y, z) = yi+ zj+ yzk
Calcule o trabalho realizado por uma part́ıcula que percorre a curva descrita por:
γ(t) = cos t i+ sin t j+ et k, t ∈ [0, π]
1. Vetor Diferencial da Curva
O vetor diferencial é:
dr = (− sin t i+ cos t j+ et k) dt
2. Substituição na Curva
Substituindo γ(t) no campo de forças:
f(γ(t)) = (sin t)i+ (et)j+ (sin t · et)k
3. Produto Escalar
f(γ(t)) · dγ
dt
= − sin2 t+ et cos t+ sin t · e2t
4. Integral de Linha
W =
∫ π
0
(
− sin2 t+ et cos t+ sin t · e2t
)
dt
**Integral 1:**
∫ π
0
− sin2 t dt = −π
2
**Integral 2:**
∫ π
0
et cos t dt = − eπ
2
− 1
2
**Integral 3:**
∫ π
0
sin t · e2t dt = 1
5
(e2π + 1)
5. Resultado Final
W = −π
2
− eπ
2
− 1
2
+
1
5
(e2π + 1)
2.4.3 Exerćıcio 3
Um campo de forças f radial no plano é da forma f(x, y) = f(r)r, em que
r = xi+ yj e r = ||r||. Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina ϕ(r) =
∫ R
sf(s)ds, pois ∂iϕ(r) = ϕ′(r)1
r
xi = f(r)xi
Resposta:
1. Definição do Campo Radial
Dado o campo de forças radial:
f(x, y) = f(r)r
onde:
r = xi+ yj, r =
√
x2 + y2
2. Definindo a Função Potencial
Definimos a função potencial ϕ(r) como:
ϕ(r) =
∫ R
sf(s) ds
3. Derivadas Parciais da Função Potencial
A derivada parcial de ϕ em relação a x e y é dada por:
∂ϕ
∂x
=
dϕ
dr
· ∂r
∂x
= f(r)r · x
r
= f(r)x
∂ϕ
∂y
=
dϕ
dr
· ∂r
∂y
= f(r)r · y
r
= f(r)y
4. Verificação
O gradiente de ϕ é:
∇ϕ =
(
∂ϕ
∂x
,
∂ϕ
∂y
)
= (f(r)x, f(r)y)
Comparando com o campo dado f(x, y) = f(r)(xi+ yj), vemos que f = ∇ϕ.
5. Conclusão
O campo de forças f(x, y) = f(r)r é conservativo, pois pode ser expresso como o gradiente
de uma função potencial ϕ(r).
2.4.4 Exerćıcio 4
Considere o campo de força gravitacional (com G = m = M = 1) definido
para todo ponto distinto da origem por:
F =
−1
(x2 + y2 + z2)
2
3
(x, y, z) (2.49)
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma part́ıcula
se traslada de (x1, y1, z1) a (x2, y2, z2) longo de uma trajetória qualquer, depende
exclusivamente dos rádios R1 =
√
x21 + y21 + z21 e R2 =
√
x22 + y22 + z22
Resposta:
1. Definição do Campo de Força
O campo de força gravitacional é dado por:
F =
−1
(x2 + y2 + z2)
3
2
(x, y, z)
onde r =
√
x2 + y2 + z2.
2. Verificação se o Campo é Conservativo
O campo é conservativo se existe uma função potencial ϕ tal que:
F = −∇ϕ
3. Encontrando a Função Potencial ϕ
Definimos:
ϕ(r) =
∫
1
r2
dr = −1
r
Assim, temos:
F = −∇
(
−1
r
)
= ∇
(
1
r
)
4. Cálculo do Trabalho Realizado
O trabalho W realizado pelo campo F ao longo de uma trajetória C é:
W =
∫
C
F · dr = ϕ(R1)− ϕ(R2)
Substituindo a função potencial, obtemos:
W =
(
− 1
R1
)
−
(
− 1
R2
)
=
1
R2
− 1
R1
5. Conclusão
O trabalho realizado depende exclusivamente dos raios R1 e R2, mostrando que o campo
é conservativo.
2.4.5 Exerćıcio 5
Considere o plano sem o semi-eixo ”X”negativo: T = R2−{(x, y) | y = 0, x ≤ 0}.
Se (x, y) ∈ T , considere x = r cosθ, y = r sinθ, r > 0 e − π 0
π
2
, se x = 0, y > 0
−π
2
, se x = 0, y∂a2
∂x
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
∂a1
∂y
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
Como:
∂a2
∂x
=
∂a1
∂y
Verificação da Função Potencial
Para que o campo seja um gradiente, deve existir uma função escalar ϕ(x, y) tal que:
a(x, y) = ∇ϕ(x, y)
Ou seja:
− y
x2 + y2
=
∂ϕ
∂x
x
x2 + y2
=
∂ϕ
∂y
Integrando ∂ϕ
∂x
:
ϕ(x, y) =
∫
− y
x2 + y2
dx
Verificar se:
∂
∂y
(∫
− y
x2 + y2
dx
)
=
x
x2 + y2
Se não for posśıvel encontrar tal função escalar ϕ, então o campo vetorial a(x, y) não é
um gradiente.
Conclusão
Como as derivadas parciais são iguais, mas a função potencial não pode ser encontrada,
conclúımos que o campo vetorial a(x, y) não é um gradiente.
	Sumário
	2024-1 - Celso Nishi
	Lista 3
	Exercício 1 - OK
	Exercício 2 - OK
	Exercício 3 - CORRIGIR
	Exercício 4 - ENTENDER
	Exercício 5 - ENTENDER
	Exercício 6 - OK
	Exercício 7 - ENTENDER - CORRIGIR CÁLCULO
	Exercício 8 - OK
	Exercício 9 - OK - CORRIGIR CÁLCULO
	Exercício 10 - ENTENDER
	Exercício 11 - ENTENDER
	Exercício 12 - REVER
	Exercício 13 - REVER
	Exercício 14 - REVER
	Lista 4
	Exercício 1
	Item a - REVER
	Item b - FAZER CONFORME PROFESSOR
	Item - REVER
	Item d - FAZER CONFORME PROFESSOR
	Exercício 2
	Item a - REVER
	Item b - REVER
	Item c - REVER
	Exercício 3 - REVER
	Exercício 4 - REVER
	Exercício 5 - REVER
	Exercício 6 - REVER
	Teorema de Stokes
	Teorema de Gauss
	Exercício 7 - REVER
	Exercício 8 - REVER
	Exercício 9 - REVER
	Lista 5
	Exercício 1 - REVER
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Item e
	Item f
	Item g
	Exercício 2 - REVER
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Item e
	Item f
	Item g
	Exercício 3 - REVER
	Exercício 4 - REVER
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Item e
	Item f
	Exercício 5 - REVER
	Item a
	Item b
	Exercício 6 - REVER
	Exercício 7
	Exercício 8
	Exercício 9
	Exercício 10
	Exercício 11
	Exercício 12
	Lista 6
	Exercício 1
	Item a
	Item b
	Exercício 2
	Item a
	Item b
	Item c - CORRIGIR
	Exercício 3
	Exercício 4
	Exercício 5
	Identidade 1: ( ) = ( ) 
	Identidade 2: ( ) = ( ) - ( ) 
	Exercício 6
	Exercício 7
	Exercício 8
	Exercício 9
	Item a
	Item b
	Prova 1
	Exercício 1
	Item a
	Item b - VERIFICAR NOVAMENTE
	Item c - VERIFICAR NOVAMENTE
	Exercício 2
	Exercício 3
	Item a
	Item b
	Item c - VERIFICAR!
	Exercício 4
	Item a - VERIFICAR
	Item b - VERIFICAR
	Prova 2
	Exercício 1
	Item a
	Item b
	Exercício 2
	Item a
	Item b - REVER
	Exercício 3
	Item a
	Item b
	Exercício 4
	Item a
	Item b
	Prova REC
	Exercício 1
	Exercício 2
	Item a
	Item b
	Item c
	Exercício 3
	Item a
	Exercício 4
	Item a
	2024-2 - Francisco Gozzi
	Lista 1 - Álgebra Linear
	Exercício 1
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Item e
	Item f
	Item g
	Item h
	Item i
	Item j
	Item k
	Exercício 2
	Item a
	Item b
	Item c
	Exercício 3
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Item e
	Item f
	Item g
	Item h
	Lista 2 - Operadores Diferenciais
	Exercício 1
	Item a
	Item b
	Exercício 2
	Item a
	Item b
	Exercício 3
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Exercício 4
	Exercício 5
	Exercício 6
	Exercício 7
	Exercício 8
	Item a
	Item b
	Item c
	Lista 3 - Curvas
	Exercício 1
	Exercício 2
	Item a
	Item b
	Exercício 3
	Exercício 4
	Item a
	Item b
	Item c
	Item d
	Item e
	Exercício 5
	Exercício 6
	Lista 4 - Campos Conservativos
	Exercício 1
	Exercício 2
	Item a
	Item b - CONFERIR
	Exercício 3
	Exercício 4
	Exercício 5
	Exercício 6
	Item a
	Item b
	Lista 5 - Teorema de Green
	Exercício 1
	Item a
	Item b
	Exercício 2
	Item a
	Item b
	Item c
	Exercício 3
	Item a
	Item b
	Exercício 4
	Item a
	Item b
	Exercício 5
	Exercício 6
	Exercício 7
	Exercício 8
	Item a
	Item b
	Item c