Matrizes e Operações Matriciais

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MATRIZES E OPERAÇÕES MATRICIAIS 
 
Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Os números neste agrupamento são chamados de 
entradas da matriz. 
 
 O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas e de colunas que contém. 
 
Exemplos: 
 
   
21 2
1
3 0 , 2 1 0 3 , 0 1/ 2 1 , , 4
3
0 0 01 4
e    
     
     
       
 
 
A entrada que ocorre na i-ésima linha e na j-ésima coluna de uma matriz A é denotada por 
i ja
. Por 
exemplo, uma matriz arbitrária 
3 4
 pode ser escrita como 
1311 12 14
2321 22 24
31 32 33 34
aa a a
aa a a
a a a a
 
 
 
  
 
 
Exemplo: Dada a matriz 
5 01 1
3 52 4
32 4 1
 
 
 
 
 
 determine: 
13 21 32, ,a a a
. 
 
 
Operações com matrizes: 
 
1. Igualdade de matrizes: Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm o mesmo tamanho e 
suas entradas correspondentes são iguais. 
 2 1 2 1
5
3 3 5
x
x
   
     
   
 
2. Soma e diferença: Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a soma A + B é a matriz obtida 
somando as entradas de A com as entradas correspondentes de B, e a diferença A – B e a matriz 
obtida subtraindo as entradas de A das entradas correspondentes de B. 
 
 Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtraídas. 
 
0 32 1
01 2 4
7 04 2
A
 
 
  
 
 
 e 
3 54 1
02 2 1
3 52 4
B
 
 
  
 
 
 ,A B A B
   
   
      
   
   
 
 
3. Multiplicação por escalar: Se A é uma matriz e c é um escalar, então o produto cA é a matriz 
obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por c. 
 
5 01 1
3 52 2 4
32 4 1
   
   
    
   
   
` 
 
4. Multiplicação de matrizes: Se A é uma matriz 
m r
 e B é uma matriz 
r n
, então o produto AB é 
a matriz 
m n
cujas entradas são determinadas como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
34 1 4
1 2 4
, 0 31 1
6 02
7 52 2
A B
 
  
    
   
 
 
AB
 
  
 
 
 
 
AB BA
 
 1 0
2 3
A
 
  
 
 e 1 2
3 0
B
 
  
 
 
 
Matriz transposta: Se A é uma matriz 
m n
 qualquer, então a transposta de A, denotada por A
t
, é definida 
como a matriz 
n m
 que resulta da permutação das linhas com as colunas de A. 
 
32
1 4
5 6
tA A
 
   
     
  
 
 
 
Matriz identidade: são matrizes quadradas com entradas 1 na diagonal principal e 0 fora da diagonal 
principal. 
 
2 3 4
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
, 0 1 0 ,
0 1 0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
I I I
 
   
                  
 
 
 
 
 Se Multiplicarmos qualquer matriz A pela matriz identidade I resulta a matriz A, ou seja, 
IA A AI 
. 
 
Matriz inversa: Dada uma matriz A quadrada, se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal 
que 
AB I BA 
, então diremos que A é invertível e denotamos por 1A . 
 
Exemplo: A matriz 3 5
1 2
B
 
  
 
 é uma inversa de 2 5
1 3
A
 
   
, pois 
 e AB I BA I 
. 
 
Para obter a entrada na linha i e coluna j de AB: 
 a) destaque a linha i de A e a coluna j de B; 
 b) multiplique as entradas correspondentes desta linha e desta coluna; 
 c) e então some os produtos. 
Método para encontrar a inversa de uma matriz 
2 2
: 
A matriz a b
A
c d
 
  
 
 é invertível se 
det 0A
, caso em que a inversa é dada pela fórmula: 
1 1 det det
det
det det
d b
d b A A
A
c a c aa
A A

 
  
       
  
. 
 
Passos: 
1) Inverte os elementos da diagonal principal; 
2) Troca o sinal da diagonal secundária; 
3) Divide todos os elementos por 
det A
. 
 
 Para uma matriz ter inversa, obrigatoriamente, o determinante tem que ser diferente de zero. 
 
Método prático para inverter matrizes: Seja A uma matriz quadrada qualquer. 
 
1) Calcular o determinante para verificar se a matriz tem inversa (
det 0A
); 
2) Escrever a matriz 
 |A I
; 
3) Escalonar a matriz obtida até que o lado esquerdo esteja reduzido a I. 
4) Estas operações vão converter o lado direito a 1A , de modo que a matriz final terá a forma 
1|I A  
. 
 
Exemplo: Encontre a inversa de 
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
 
 
 
  
.