logica do aprendizado avançado 968

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Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 4x - 2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x + 4 
b) f'(x) = 3x + 2 
c) f'(x) = x^2 + 2x 
d) f'(x) = 3x^2 + 4x 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), utilizamos a regra da potência e regra 
da constante. Primeiramente, derivamos cada termo da função: 
- Derivada de 3x^2 é 6x 
- Derivada de 4x é 4 
- A derivada de -2 é 0, pois uma constante derivada por zero. 
 
Agora, reunimos os resultados obtidos para obter a derivada da função f(x): 
f'(x) = 6x + 4 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra a), f'(x) = 6x + 4. 
 
Questão: Qual o valor da integral de \(\int x^{2} \cos(x) \, dx\)? 
 
Alternativas: 
a) \(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x) - x^{2}\cos(x) + C\) 
b) \(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x) + 2x\cos(x) + C\) 
c) \(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x) + x^{2}\cos(x) + C\) 
d) \(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x) + \sin(x) + C\) 
 
Resposta: c) \(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x) + x^{2}\cos(x) + C\) 
 
Explicação: Para resolver a integral dada, utilizamos a integração por partes, que é dada 
pela fórmula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), onde \(u\) é uma função diferenciável e 
\(dv\) é uma função integrável. 
 
Neste caso, tomamos \(u = x^{2}\) e \(dv = \cos(x) \, dx\). Assim, obtemos \(du = 2x \, dx\) 
e \(v = \sin(x)\). 
 
Aplicando a fórmula, temos: 
\(\int x^{2} \cos(x) \, dx = x^{2} \sin(x) - \int 2x \sin(x) \, dx\) 
\(= x^{2} \sin(x) + 2 \int x \sin(x) \, dx\) 
 
Para resolver a segunda integral, fazemos integração por partes novamente, tomando \(u = 
x\) e \(dv = \sin(x) \, dx\). Temos \(du = dx\) e \(v = -\cos(x)\). 
 
Assim, obtemos: 
\(\int x^{2} \cos(x) \, dx = x^{2} \sin(x) + 2(x(-\cos(x)) - \int -\cos(x) \, dx)\) 
\(= x^{2} \sin(x) + 2(-x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx)\) 
\(= x^{2} \sin(x) - 2x \cos(x) + 2\sin(x) + C\) 
 
Portanto, a resposta correta é \(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x) + x^{2}\cos(x) + C\). 
 
Questão: Qual é o valor da integral de \(\int 2x^3 dx\)? 
 
Alternativas: 
a) \(\frac{2}{3}x^4 + C\) 
b) \(\frac{1}{2}x^4 + C\) 
c) \(\frac{1}{3}x^4 + C\) 
d) \(x^4 + C\) 
 
Resposta: a) \(\frac{2}{3}x^4 + C\) 
 
Explicação: Utilizando a regra da potência para integrais, podemos integrar cada termo da 
expressão termo a termo. Portanto, a integral de \(2x^3\) em relação a \(x\) é 
\(\frac{2}{4}x^4 + C\), que simplifica para \(\frac{1}{2}x^4 + C\). 
 
Questão: Qual é o resultado da integral definida de f(x) = 3x^2 + 2x + 1 no intervalo de 0 a 
2? 
 
Alternativas: 
a) 15 
b) 13 
c) 9 
d) 7 
 
Resposta: b) 13 
 
Explicação: Para resolver essa questão, primeiro devemos calcular a integral da função f(x) 
= 3x^2 + 2x + 1. A integral de uma função é a área sob a curva dessa função entre dois 
pontos. A integral definida de f(x) de 0 a 2 será dada por: