matematica raiz DEF4

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Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 7 
b) f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x + 7 
c) f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5x - 7 
d) f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5x + 7 
 
Resposta: a) f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 7 
 
Explicação: Para encontrar a derivada de uma função polinomial, basta aplicar a regra da 
potência em cada termo da função. Dessa forma, a derivada de 3x^4 é 12x^3, a derivada de -
2x^3 é -6x^2, a derivada de 5x^2 é 10x, a derivada de -7x é -7 e a derivada de 4 (constante) 
é 0. Assim, a derivada da função f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4 é f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 
10x - 7. Portanto, a alternativa correta é a letra a). 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida do seno ao quadrado de x, de 0 a π? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) π/2 
c) π 
d) 2π 
 
Resposta: b) π/2 
 
Explicação: Para encontrar a integral definida do seno ao quadrado de x de 0 a π, utilizamos 
a propriedade da paridade do seno ao quadrado, que diz que sen²(-x) = sen²(x). Ou seja, a 
função é par. Dessa forma, podemos encontrar a integral definida de 0 a π dividindo por 2 a 
integral indefinida de -π/2 a π/2, onde o seno é positivo e os valores são iguais. 
 
Assim, a integral definida de sen²(x) de 0 a π é igual a (1/2) * π = π/2. Portanto, a resposta 
correta é a opção b) π/2. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1)? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2x / (x^2 + 1) 
b) f'(x) = 2x / (2x^2 + 1) 
c) f'(x) = (2x^2) / (x^2 + 1) 
d) f'(x) = (2x) / (x^2 + 1) 
 
Resposta: a) f'(x) = 2x / (x^2 + 1) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1), usamos a regra da 
cadeia, que nos diz que a derivada da função ln(u) é dada por u'/u. Neste caso, u = x^2 + 1. 
Portanto, a derivada de ln(x^2 + 1) em relação a x é dada por f'(x) = 2x / (x^2 + 1). 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida de x^2 de 0 a 1? 
 
Alternativas: 
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/5 
d) 1/6 
 
Resposta: a) 1/3 
 
Explicação: Para encontrar a integral definida de x^2 de 0 a 1, usamos o Teorema 
Fundamental do Cálculo, que diz que a integral definida de uma função é a diferença entre 
os valores da função nos limites de integração. A integral de x^2 é (1/3)x^3. Então, 
calculamos (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3 - 0 = 1/3. Portanto, o valor da integral definida de 
x^2 de 0 a 1 é 1/3, correspondendo à alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 
b) f'(x) = 2x^2 + 4x - 5 
c) f'(x) = 3x^2 + 4x - 1 
d) f'(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5 
 
Resposta: a) f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos derivar termo a termo. 
Assim, a derivada de x^3 é 3x^(3-1) = 3x^2, a derivada de 2x^2 é 2*(2*x)^(2-1) = 4x e a 
derivada de -5x é -5. Como a derivada da constante 1 é zero, desaparecendo, temos que a 
derivada de f(x) é f'(x) = 3x^2 + 4x - 5. Portanto, a alternativa correta é a letra a).