aprendendo e fazendo com explicação II3

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Alternativas: 
a) \(e^{2x}\) 
b) \(2e^{2x}\) 
c) \(2e^{2x} + C\) 
d) \(e^{2x} + C\) 
 
Resposta: b) \(2e^{2x}\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \(f(x) = e^{2x}\), utilizamos a regra da 
derivada de uma função exponencial. A derivada de uma função exponencial \(e^{ax}\), 
onde "a" é uma constante, é dada por \(a \cdot e^{ax}\). Portanto, a derivada de \(e^{2x}\) 
será \(2 \cdot e^{2x}\), que simplifica para \(2e^{2x}\). Assim, a alternativa correta é a 
letra b). 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 7? 
 
Alternativas: 
a) x^4 + (5/3)x^3 - (3/2)x^2 + 7x + C 
b) (2/4)x^4 + (5/3)x^3 - (3/2)x^2 + 7x + C 
c) (2/4)x^4 + (5/2)x^3 - (3/2)x^2 + 7x + C 
d) x^4 + (5/2)x^3 - (3/2)x^2 + 7x + C 
 
Resposta: a) x^4 + (5/3)x^3 - (3/2)x^2 + 7x + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função f(x), é necessário aplicar as 
regras de integração. Neste caso, utilizando a regra de integração para potências de x, temos 
que a integral de x^n é (1/(n+1)) * x^(n+1). 
Portanto, a integral indefinida de f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 7 é x^4 + (5/3)x^3 - (3/2)x^2 + 
7x + C, onde C é a constante de integração. 
 
Questão: Qual é o limite de \( \lim_ {x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) ? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1 
c) -1 
d) Não existe 
 
Resposta: b) 1 
 
Explicação: Para calcular este limite, podemos utilizar a regra de L'Hôpital ou a propriedade 
fundamental dos limites de trigonometria que afirma que \( \lim_ {x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} 
= 1 \). 
 
Usando a propriedade fundamental dos limites de trigonometria, sabemos que \( \sin(0) = 
0 \) e que \( \lim_ {x \to 0} x = 0 \). Portanto, temos \( \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \) 
que é uma forma indeterminada. 
 
No entanto, ao aplicar a propriedade fundamental dos limites de trigonometria, obtemos \( 
\lim_ {x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). Assim, a resposta correta é b) 1. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 – 2x + 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x 
b) f'(x) = 3x – 2 
c) f'(x) = 6x – 2 
d) f'(x) = 6x + 2 
 
Resposta: c) f'(x) = 6x - 2 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função dada, utilizamos as regras de derivação. 
Para derivar x^2, aplicamos a regra da potência que diz que a derivada de x^n é n*x^(n-1). 
Assim, a derivada de 3x^2 é 2*3*x^(2-1) = 6x. Da mesma forma, a derivada de -2x é -2. 
Como a derivada de uma constante é sempre zero, a derivada de 5 é zero. Portanto, a 
derivada de f(x) = 3x^2 – 2x + 5 é f'(x) = 6x - 2. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 - 2x + 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x - 2 
b) f'(x) = 9x - 2 
c) f'(x) = 3x - 2 
d) f'(x) = 6x + 2 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x - 2 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), utilizamos a regra do poder, que diz 
que a derivada de x^n é n*x^(n-1). Assim, para a função f(x) = 3x^2 - 2x + 5, temos que a 
derivada será f'(x) = 2*3x^(2-1) - 1*2x^(1-1) + 0 = 6x - 2. Portanto, a alternativa correta é a 
letra a).