Integrais Definidas e Teorema Fundamental do Cálculo

dx = arcsecx+ k
d(arccscx)
dx = −
1
|x|
√
x2−1
∫
1
|x|
√
x2−1
dx = −arccscx+ k
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Primitivas Imediatas
Tabela: Fun�c~oes Hiperb�olicas
d(senhx)
dx = cosh x
∫
cosh xdx = senhx+ k
d(cosh x)
dx = senhx
∫
senhxdx = cosh x+ k
d(tanh x)
dx = sech
2x
∫
sech
2xdx = tanh x+ k
d(coth x)
dx = −csch
2x
∫
csch
2xdx = − coth+k
d(sechx)
dx = − tanh x sechx
∫
tanh x sechxdx = −sechx+ k
d(cschx)
dx = − coth x cschx
∫
coth x cschxdx = −cschx+ k
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Primitivas Imediatas
Tabela: Fun�c~oes Hiperb�olicas Inversas
d(arcsenhx)
dx =
1√
1+x2
∫
1√
1+x2
dx = arcsenhx+ k
d(arccoshx)
dx =
1√
x2−1
∫
1√
x2−1
dx = arccoshx+ k
d(arctanhx)
dx =
1
1−x2
∫
1
1−x2
dx = arctanhx+ k
d(arccothx)
dx = −
1
1−x2
∫
1
1−x2
dx = −arccothx+ k
d(arcsechx)
dx = −
1
x
√
1−x2
∫
1
x
√
1−x2
dx = −arcsechx+ k
d(arccschx)
dx = −
1
|x|
√
x2+1
∫
1
|x|
√
x2+1
dx = −arccschx+ k
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Exemplos
Exemplo 1
Calcule as primitivas das seguintes fun�c~oes
1
∫
x3 − 4x+ 8dx
2
∫
(3x+ 1)2dx.
Use a primitiva encontrada para calcular∫ 1
0
(3x+ 1)2dx e
∫ 2
−3
(3x+ 1)2dx
3
∫
2sen(x) − 5 cos(x)dx.
Use a primitiva encontrada para calcular∫ pi
4
pi
2
2sen(x) − 5 cos(x)dx
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Exemplos
Exemplo 2
Mostre que a fun�c~ao arcsen(x) + arccos(x) �e constante. Qual o valor
dessa constante?
Exemplo 3
Repita o exerc��cio anterior para a fun�c~ao arctan(x) + arccot(x).
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T�ecnicas de Integra�c~ao
Nem toda fun�c~ao elementar possui uma primitiva imediata. S~ao
exemplos de fun�c~oes elementares que N
~
ao Possuem Primitivas
Imediatas: tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) e ln(x) al�em de seus
equivalentes hiperb�olicos e fun�c~oes inversas e inversas hiperb�olicas.
Para tais fun�c~oes - e muitas outras - existem t�ecnicas que permitem
reduzi-las a casos elementares tais como substitui�c~ao simples,
integra�c~ao por partes, substitui�c~ao trigonom�etrica, fra�c~oes parciais e
substitui�c~oes racionalizante, dentre outras.
Mais ainda, a maior parte das fun�c~oes nem sequer possuem primitivas
que podem ser escritas em termos de fun�c~oes elementares. Nestes
casos, recorremos a Me´todos Nume´ricos para aproximar as integrais
de�nidas correspondentes (eg.
∫
exp(−x2)dx).
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T�ecnicas de Integra�c~ao: Substitui�c~ao Simples
Teorema∫
f(g(x))g ′(x)dx =
∫
f(u)du com u = g(x)
Demonstra�c~ao:
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Exemplos
Exemplo 1
Encontre uma substitui�c~ao apropriada para calcular cada uma das
seguintes integrais:
1
∫
(3x+ 1)2dx
2
∫
xe3x
2
dx
3
∫ 2
0
x(x2 − 1)dx
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Exemplos
Exemplo 2
Use a substitui�c~ao indicada para calcular cada uma das seguintes
integrais:
1
∫
sen
4(x) cos3(x)dx (fa�ca u = sen(x))
2
∫
6
x2 + 9
dx (fa�ca u =
x
3
)
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T�ecnicas de Integra�c~ao
A escolha da substitui�c~ao adequada a cada caso ser�a estudada mais
profundamente adiante assim como outras t�ecnicas de integra�c~ao.
O uso combinado das diferentes t�ecnicas �e necess�ario para resolu�c~ao de
integrais mais complexas. Exemplos tamb�em ser~ao estudados adiante.
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Fim do M�odulo 1
Pr�oximo M�odulo
Aplica�c~oes da Integra�c~ao
1
Aplica�c~oes de Integrais De�nidas
1
C�alculos de �areas limitadas por fun�c~oes
2
Volumes de s�olidos com sec�c~ao transversal conhecida.
3
Volumes de s�olidos de revolu�c~ao. Teorema de Pappus.
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