Eletricidade I-Notas de Aula

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ELETRICIDADE I
 
 
NOTAS DE AULA 
 
Prof. Antonio J. da S. Baptista 
 
 
2012.1 
 
 
2 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
1-CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (REVISÃO) 
 
2-DISPOSITIVOS QUE ARMAZENAM ENERGIA 
 
3-CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
4-TRANSFORMADORES 
 
5-SISTEMAS TRIFÁSICOS 
 
 
 
3 
1-CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (REVISÃO) 
 
1.1-CARGA ELÉTRICA 
 
 O átomo é composto por prótons (carga positiva) e elétrons (carga negativa) 
 
 Experimentalmente, estabeleceu-se a unidade “Coulomb” (C) para medir a carga elétrica. 
Assim, a carga de 1 elétron é: 
 
 e = 1,6 x 10-19 C ou 1C = 6,25 x 1018 e 
 
1.2-DIFERENÇA DE POTENCIAL OU TENSÃO 
 
A tensão elétrica é a "força" responsável pela movimentação de elétrons. 
A diferença de potencial é medida volts (V). 
A diferença de potencial entre dois pontos é de 1 volt quando o trabalho realizado para deslocar 
uma carga de 1 Coulomb entre os dois pontos é de 1 Joule. Ou seja: 
 
 1 volt = 
Coulomb1
Joule1
 
 
ou, generalizando: 
 
 v = 
dq
dw
 
 
Pode-se estabelecer uma analogia entre a tensão elétrica e a pressão hidráulica. Quanto maior a 
diferença de pressão hidráulica entre dois pontos, maior será o fluxo, caso haja comunicação entre 
estes dois pontos. O fluxo (que em eletrodinâmica seria a corrente elétrica) será assim uma função 
da pressão hidráulica (tensão elétrica) e da oposição à passagem do fluido (resistência elétrica). 
 
 
 
 
 
 
 
1.3-CORRENTE ELÉTRICA 
 
Trata-se do fluxo ordenado de carga elétrica através de um condutor elétrico. É a quantidade de 
carga q que atravessa a seção reta de um condutor por unidade de tempo t. Ou seja: 
 
 i = 
dt
dq
 
4 
 
A unidade de corrente elétrica é o ampere (A). 
 
 
1.4-RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
É a capacidade de um corpo qualquer se opor à passagem de corrente elétrica. A resistência 
elétrica é medida em Ohms (Ω). 
 
Cada material possui uma resistência específica própria (resistividade ρ) e a resistência R 
depende desta resistividade do material, do comprimento l, da seção A do condutor, sendo 
expressa pela seguinte relação: 
 
 R = ρ 
A
l
 
 
 
Como exemplo, temos a resistividade do cobre dada por ρ = 1,69 x 10-8 Ω.m 
 
 
1.5-LEI DE OHM 
 
Georg Simon Ohm, estabeleceu que a diferença de potencial (V) entre dois pontos de um condutor 
é proporcional à corrente elétrica (I) que o percorre, da seguinte forma: 
 
 V = R x I 
 
onde R é a resistência elétrica do circuito medida em Ohms (Ω) 
 
 
1.6-CIRCUITOS RESISTIVOS 
 
a)-Associação de Resistores em Série: 
 
 
 
 
 
R = R1 + R2 + R3 + ...... + Rn 
 
5 
 
b)-Associação de Resistores em Paralelo: 
 
 
 
n21 R
1
........
R
1
R
1
R
1
+++= 
 
 
1.7-LEIS DE KIRCHHOFF 
 
Formuladas em 1845, estas leis são baseadas no Princípio da Conservação da Energia, no 
Princípio de Conservação da Carga Elétrica e no fato de que o potencial elétrico tem o valor 
original após qualquer percurso em uma trajetória fechada (sistema não-dissipativo). 
 
a)-1a Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes ou Lei dos Nós): 
 
"A soma das correntes que chegam em um nó é igual à soma das correntes que dele se 
afastam" ou "A soma algébrica das correntes que se aproximam e se afastam de um nó 
é igual a zero". 
 
 
 
 
I1+I2+I3+I4+I5+I6=0 
 
 
Generalizando: 0
1
=∑
=
n
k
kI 
 
 
 
b)-2a Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões ou Lei das Malhas): 
 
"A soma algébrica das forças eletromotrizes nos diferentes braços de um circuito fechado é igual 
à soma algébrica das quedas de tensão nos mesmos". 
. 
6 
 
Seja o circuito abaixo: 
 
 
 
 
Nesta estrutura temos os seguintes circuitos fechados ou malhas: 
 
 
 
 
Pela lei das malhas temos: 0
1
=∑
=
n
k
kV 
 
Convenções: 
 
 i)Para as forças eletromotrizes: 
 
 
 
 ii)Para as quedas de tensão: 
 
7 
 
Exemplo: Calcular a tensão E da bateria apresentada no circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
1.8-POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA 
 
Potência é a grandeza que determina a quantidade de energia cedida por uma fonte a cada 
intervalo de tempo. É expressa em watt (W). 
Em eletricidade, sabe-se que a tensão é dada por: 
 
v = 
dq
dw
 ou dw = v.dq 
 
Se verificarmos a variação da energia (dw) em um intervalo de tempo (dt): 
 
 
 ou p(t) = v(t) . i(t) 
 
 
 
 
 
Ou seja, a potência consumida ou produzida por um dispositivo é dada pelo produto da tensão 
pela corrente presentes no dispositivo. 
 
A energia elétrica será a integral da potência ao longo do tempo. 
 
w(t) = ∫ dttp ).( 
 
Para um circuito de corrente contínua, onde não haja variação de tensão e corrente ao longo do 
tempo, a integral torna-se 
 
W = P t 
 
Os medidores instalados pelas concessionárias (Light, Ampla, etc.) nas residências medem a 
energia consumida, normalmente em quilowatt.hora (kWh). 
 
 
 
 
 
dt
dw
 = v. 
dt
dq
 
 
 
 p i 
8 
 
 
 
Exemplo 1: 
 O gráfico abaixo representa a potência consumida por um ferro elétrico em operação. Qual 
a energia consumida pelo aparelho após 5 horas de trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 Calcule a energia consumida por um equipamento cujo perfil de potência está apresentado 
no gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t(horas) 
P(kW) 
 5 
 2 
 60 
t(horas) 
P(kW) 
 5 
 20 
9 
2-DISPOSITIVOS QUE ARMAZENAM ENERGIA 
 
Até aqui foram analisados circuitos apenas com resistores. Os resistores são componentes que 
dissipam energia sob a forma de calor. Os capacitores e indutores que estudaremos a seguir, são 
dispositivos que armazenam energia sob a forma de campos elétrico e magnético, 
respectivamente. 
 
2.1- CAPACITOR 
 
Consiste de dois eletrodos ou placas que armazenam cargas opostas. Estas duas placas são 
condutoras e são separadas por um isolante ou por um dielétrico. A carga é armazenada na 
superfície das placas, no limite com o dielétrico. Devido ao fato de cada placa armazenar cargas 
iguais, porém opostas, a carga total no dispositivo é sempre zero. 
 
 
 
Os elétrons não podem passar diretamente através do dielétrico de uma placa do capacitor para a 
outra. Quando uma tensão é aplicada a um capacitor através de um circuito externo, a corrente flui 
para uma das placas, carregando-a, enquanto flui da outra placa, carregando-a, inversamente. Em 
outras palavras, quando a tensão que flui por um capacitor muda, o capacitor será carregado ou 
descarregado. A relação corrente-tensão em um capacitor é dada por: 
 
 Ic = C 
t
Vc
d
d
 
Onde: 
Ic é a corrente fluindo na direção convencional; 
dVc/dt é a derivada da tensão em relação ao tempo; e 
C é chamada de capacitância e representa a propriedade que os capacitores têm de armazenar 
energia elétrica sob a forma de um campo eletrostático. A capacitância é expressa em Farad (F). 
 
Nos circuitos elétricos, um dos símbolos usualmente utilizado para representar o capacitor é 
mostrado abaixo: 
 
 Capacitor 
 
10 
 
 
2.2- INDUTOR 
 
Um indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo 
magnético. Geralmente é construído como uma bobina de material condutor, por exemplo, fio de 
cobre. 
 
 
 
 
 
INDUTORES MINIATURA 
 
A tensão entre os terminais de um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente que o 
atravessa, sendo expressa por: 
 
VL = L 
t
IL
d
d
 
Onde: 
VL é a tensão nos terminais do indutor; 
dIL/dt é a derivada da corrente em relação ao tempo; e 
L é chamada de indutância e representa a propriedade que os indutores têm de armazenar energia 
sob a forma de um campo magnético. A indutância é expressa em Henry (H). 
 
Nos circuitos elétricos, um dos símbolos usualmente utilizado para representaro indutor é 
mostrado abaixo: 
 
 Indutor
11 
3-CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
3.1-GERAÇÃO DE TENSÃO ALTERNADA 
 
A tensão alternada é produzida girando-se uma bobina. À medida que a bobina corta as linhas de 
força entre os pólos magnéticos, produz-se uma tensão. 
Essa tensão varia de zero até o valor de pico e volta a zero conforme uma senóide. Assim é 
produzida a eletricidade nas usinas hidrelétricas. A geração ocorre quando um condutor se 
movimenta num campo magnético, induzindo uma tensão nesse condutor. 
 
 
 
 
 
 
Esta tensão depende da intensidade do campo magnético, da velocidade do condutor e da direção 
em que se movimenta o condutor. A senóide é obtida pelo movimento de rotação do condutor. A 
polaridade da tensão induzida depende da posição da espira em relação aos pólos do ímã. Na 
corrente alternada os elétrons mudam o sentido do seu movimento. 
 
A corrente alternada foi escolhida como forma de distribuição de eletricidade pois pode ser 
transmitida a grandes distâncias mais economicamente que a corrente contínua, sem grandes 
perdas, atravé do uso de transformadores que permitem elevar e diminuir a tensão. 
 
3.2-CARACTERÍSTICAS DA TENSÃO E DA CORRENTE ALTERNADA 
 
A corrente alternada, devido à construção dos geradores, é produzida sob a forma de uma senóide. 
A onda senoidal é expressa pela função 
 
V = Vmax . sen (wt + ø) 
 
Onde: Vmax => valor máximo da senóide ou amplitude 
 w => é a velocidade angular 
 ø => ângulo de fase 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Senoidal 
 Senóides com diferentes ângulos de fase 
 
 
Senóides com diferentes frequências 
13 
 
 
3.3-VALOR EFICAZ 
 
Como a tensão e a corrente são ondas pulsantes, a potência não é constante ao longo do tempo, 
como ocorre em corrente contínua. Tratando-se de ondas senoidais, utiliza-se o chamado “valor 
eficaz” para expressar as grandezas de tensão e corrente. 
Valor eficaz é o valor no qual teremos a energia que produz o mesmo efeito que um valor em 
corrente contínua produziria. 
 
 
 
 
 
 
Este valor, para ondas senoidais, é expresso por 
 
Vrms = 
2
maxV
 = 0,707 Vmax 
 
O valor eficaz é também chamado de valor RMS (Root Mean Square - valor médio quadrático). 
Assim, ao constatarmos que a tomada de uma residência é de 127V, estamos nos referindo ao seu 
valor RMS. Na verdade o valor de pico é igual a 
 
Vmax = Vrms . 2 = 127 . 1,414 ≈ 179V 
 
No Brasil, o sistema de geração e distribuição da energia elétrica utiliza da freqüência de 60 Hz, 
tanto para luz quanto para força. Logo temos 
 
w = 2πf = 2 . 3,1415 . 60 ≈ 377 rad/s 
 
Conclui-se que a onda senoidal das residências é expressa por 
 
v(t) = 179 sen ( 377t + ø ) 
 
 
14 
 
 
 
3.4-FASORES 
 
Realizar operações com senóides utilizando a representação gráfica não é prático, pelo fato de ser 
bastante trabalhoso e muito complicado, principalmente, quando se trata de compor várias tensões 
ou correntes alternadas. A alternativa que se usa é conhecida como método fasorial. Um fasor 
trata-se de um vetor em rotação num espaço bidimensional, utilizado para representar uma onda 
senoidal. Analisemos a figura abaixo: 
 
 
 
O vetor rotativo Emax gira ao redor do ponto 0, começando do eixo horizontal OX, com uma 
velocidade angular w constante, no sentido anti-horário. 
A projeção do vetor Emax sobre o eixo vertical Y representa Emax .sen(wt), ou seja, o valor da 
senóide num determinado tempo t. Da figura temos oa = e = Emax sen(wt) 
 
Sabemos que um plano bidimensional delimitado por eixos perpendiculares é um plano onde 
podem ser representados os números complexos. Podemos, então, considerar o vetor Emax, 
representado por suas coordenadas, como um número complexo. 
 
A notação matemática utilizada para este vetor em rotação (fasor) é dada pelo número complexo: 
ś = a + j b ; onde j = 1− 
 
 
a + j b 
15 
 
3.4.1-NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Um número complexo ś = a + jb é constituído por 
 
Parte real: Re [ś] = a 
 
Parte imaginária: Im [ś] = b 
 
Módulo: | ś | = Z = 22 ba + 
 
Argumento (ângulo): Arg [ś] = ø 
 
 
Um número complexo, assim como assim como um vetor, também possui uma representação 
polar, indicada pela forma: 
 
ś = r φ/ ; onde r = 22 ba + 
 
Esta representação corresponde à forma da função senoidal 
 
f(t) = r sen(wt + ø) 
 
A velocidade angular w não é explicitada na notação complexa pois pressupõe-se que o sistema 
encontra-se na mesma freqüência. 
 
 
Todos os números reais, em notação complexa, possuem ângulo zero ou 180o, por exemplo: 
 
1 = 1 00/ ; 55 = 55 00/ ; -1 = 1 0180/ ; -35 = 35 0180/ 
 
 
Os imaginários puros possuem ângulo de +90 ou –90 graus, por exemplo: 
 
j = 1 090/ ; -j = 1 090/− ; j 35= 35 090/ ; -j 35 = 35 090/− 
 
 
3.4.2-CONVERSÃO DE COORDENADAS POLARES E RETANGULARES 
 
Z = 22 ba + a = Z . cos ( ø ) 
ø = tan-1 
a
b
 b = Z . sen ( ø ) 
 
 
16 
 
3.4.2-PROPRIEDADES E OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 a)-Propriedades 
 
 => j2 = – 1 
 
 => -j = j
1
 
 
 => Sendo ś = c + jd e seu conjugado ś* = c – jd , temos: 
 
 ś . ś* = Z2 onde Z2 = c2 + d2 
 
 b)-Operações 
 
 =>Adição e Subtração: estas operações devem ser realizadas na forma retangular 
 
 Sendo 
•
Y = a + jb e 
•
Z = c + jd : 
 
 
•
Y + 
•
Z = (a + c) + j (b + d) 
 
•
Y - 
•
Z = (a - c) + j (b - d) 
 
 
 =>Multiplicação e Divisão: estas operações devem ser realizadas na forma polar 
 
 Sendo 
•
Y = r φ/ e •Z = s θ/ : 
 
 
•
Y . 
•
Z = r . s θφ +/ 
 
 
•
•
Z
Y
 = 
s
r θφ −/
 
 
 
17 
3.5-CIRCUITOS BÁSICOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
Como vimos anteriormente, a corrente alternada produzida pelos geradores tem a forma de uma 
senóide. Nos circuitos que trataremos a seguir, as fontes de tensão, por convenção, terão ângulo 
de fase igual a zero, ou seja, a tensão será da forma: 
 
V = Vm . sen (wt) 
 
Onde: Vm => valor máximo da tensão 
 w => é a velocidade angular em radianos por segundo 
 
Sob a forma complexa representaremos esta tensão como: 
 
•
V = Vm 00/ 
 
 
 
 
3.5.1-CIRCUITO RESISTIVO 
 
 Dado o circuito abaixo, 
 
 
Pela Lei de Ohm, 
 
 V = R . i ou i = 
R
mV
 . sen (wt) ou i = Im . sen (wt) 
Conclui-se que, num circuito puramente resistivo, a tensão e a corrente estão em fase, ou seja, 
atingem os valores máximos e mínimos ao mesmo tempo. 
 
 
 
 
18 
3.5.2-CIRCUITO CAPACITIVO 
 
 Vejamos o circuito capacitivo abaixo, 
 
 
 
 
Sabemos que a corrente em um capacitor é expressa por: 
 
i = C 
dt
dV
 = CwVm . cos (wt) = CwVm . sen (wt+900) 
 
Observa-se, então, que, num circuito puramente capacitivo, há uma defasagem de 900 entre a 
corrente e a tensão. 
 
 
 
 
Ou seja, a corrente está adiantada 900 em relação à tensão 
 
Em notação fasorial, temos: 
 
•
I = CwVm 090/ = jCwVm 
 
•
•
I
V
= 
m
m
wV
V
C º90/
º0/
 ==> 
•
V = - j . 
wC
1
 . 
•
I 
 
O fator 
wC
1
 é chamado de reatância capacitiva e representa a resistência que o capacitor oferece 
à passagem da corrente alternada. Este fator é simbolizado por Xc e sua unidade é ohm ( Ω ). 
Assim: 
 
•
V = - j . Xc . 
•
I onde Xc = C
1
w
 = 
C...2
1
fpi 
19 
3.5.3-CIRCUITO INDUTIVO 
 
 Vejamos o circuito indutivo abaixo, 
 
 
 
Considerando que uma corrente I = Im sen (wt) percorre o circuito, sabemos que a tensão em um 
indutor é expressa por: 
 
V = L 
dt
dI
 = LwIm . cos (wt) = LwIm . sen (wt+900) 
 
Observa-se, então, que, num circuito puramente indutivo, ocorre defasagem de 900 entre a 
corrente e a tensão. 
 
 
Ou seja, a corrente está atrasada 900 em relação à tensão 
 
Em notação fasorial,temos: 
 
 
 
•
V
 = LwIm 090/ = jLwIm 
 
O fator Lw é chamado de reatância indutiva e representa a resistência que o indutor oferece à 
passagem da corrente alternada. Este fator é simbolizado por XL e sua unidade é ohm ( Ω ). 
Assim: 
 
•
V = j . XL . 
•
I onde XL = wL = 2.π.f.L 
I
V 
20 
3.5.4-ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 
 
Na associação de capacitores em paralelo mostrada a seguir, o capacitor equivalente Ceq é: 
 
 Ceq = C1 + C2 + .......... + Cn 
 
 
 
Na associação de capacitores em série apresentada abaixo, o capacitor equivalente Ceq é: 
 
 
eqC
1
 = 
1C
1
 + 
2C
1
 + ........... + 
nC
1
 
 
 
 
 
3.5.5-ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 
 
Na associação de indutores em paralelo, o indutor equivalente Leq é: 
 
 
 
eqL
1
 = 
1L
1
 + 
2L
1
 + ........... + 
nL
1
 
 
 
Na associação de indutores em série, o indutor equivalente Leq é: 
 
 
 
Leq = L1 + L2 + .......... + Ln 
 
21 
3.6-ANÁLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
Com base na análise fasorial desenvolvida no capítulo anterior, passaremos a utilizá-lo no cálculo 
de circuitos CA. É oportuno salientar que este método é válido somente para circuitos lineares, 
com grandezas senoidais na mesma freqüência. 
Conforme explicado anteriormente, pressupõe-se que o módulo do fasor seja o seu valor de pico. 
É comum, entretanto, o uso dos valores eficazes (RMS) de tensão e corrente. 
 
3.6.1-IMPEDÂNCIA 
 
Nos capítulos anteriores pode-se observar que, além dos resistores, os capacitores e indutores 
oferecem oposição ao fluxo de uma corrente elétrica. Assim como temos um valor de resistência 
associado a um resistor, também temos reatâncias capacitivas e indutivas associadas a capacitores 
e indutores, respectivamente. 
Como, na prática, os circuitos elétricos são constituídos por resistores, capacitores e indutores, 
define-se então o termo IMPEDÂNCIA para indicar a oposição total que um circuito oferece ao 
fluxo de uma corrente elétrica variável no tempo. 
Matematicamente, impedância , é a relação entre o valor da diferença de potencial (tensão) entre 
dois pontos do circuito em consideração, e o valor da corrente resultante no circuito, sendo 
designada pelo símbolo 
•
Z . A impedância é, portanto, um número complexo e é expressa em ohm. 
Ou seja: 
 
•
Z = 
•
•
I
V
 
 
A associação de impedâncias segue a mesma regra da associação de resistores em um circuito CC, 
mas utilizando-se a álgebra de números complexos: 
 
Assim, para impedâncias em série, teremos: 
 
•
eqZ = 
•
1Z + 
•
2Z + ........... + 
•
nZ 
 
Para impedâncias em paralelo: 
 
•
eqZ
1
 = 
•
1
1
Z
 + 
•
2
1
Z
 + ............. + 
•
nZ
1
 
 
 
3.6.2-CIRCUITOS RESISTIVOS 
 
Como um resistor não altera a fase de uma tensão (ou corrente), o cálculo de um circuito é direto, 
seguindo a lei de Ohm. 
 
22 
3.6.3-CIRCUITOS INDUTIVOS 
 
3.6.3.1-CIRCUITO RL SÉRIE 
 
 Neste caso a corrente no resistor e no indutor será a mesma. 
 
 
 
•
Z = R + jXL = R + jwL 
 
•
I = 
•
•
Z
V
 = 
ϕ/
º0/
Z
V
= 
Z
V ϕ−/
 = I ϕ−/ 
 
 
O ângulo φ dependerá da relação entre o resistor e o indutor. 
 
φ = tan-1 
R
XL
= tan-1 
R
wL
 
 
Calculada a corrente, determinamos as tensões em cada componente: 
 
•
RV = R 
•
I = R . I ϕ−/ 
 
•
LV
 = jXL . 
•
I = XL 
0
90/
 . I ϕ−/ = I . XL 
0
90/ +−ϕ
 
 
 
Observe que as tensões do resistor e do indutor não estão em fase. O diagrama fasorial ilustra o 
resultado, onde 
•
V
 = 
•
RV
 + 
•
LV
 é uma soma vetorial. 
 
 
 
 
23 
 
3.6.3.2-CIRCUITO RL PARALELO 
 
 Neste caso a tensão no resistor e no indutor será a mesma. 
 
 
 
 A corrente em cada ramo será dada por: 
 
•
RI = 
R
V
•
 = 
R
V
 º0/ 
 
•
LI = 
•
•
LZ
V
 = 
LjX
V
•
 = 
º90/
º0/
LX
V
= 
LX
V
º90/−
 
 
 
A corrente total será a soma fasorial das correntes: 
 
•
I = 
•
RI + 
•
LI = 
R
V º0/
 + 
LX
V º90/−
 = 
R
V
 - j.
LX
V
 
 
•
I = V . 





−
LX
j
R
11
 
A corrente terá um ângulo igual a: 
 
φ = tan-1 - 
R
XL
/1
/1
= tan-1 - 
LX
R
 = tan-1 - 
wL
R
 
 
O diagrama fasorial ilustra o resultado, onde 
•
I = 
•
RI + 
•
LI é uma soma vetorial. 
 
 
 
 
24 
3.6.4-CIRCUITOS CAPACITIVOS 
 
3.6.4.1-CIRCUITO RC SÉRIE 
 
 A corrente no resistor e no capacitor será a mesma. 
 
 
 
 
Por analogia com o circuito RL série temos 
 
•
Z = R - jXC = R – j 
wC
1
 
 
•
I = 
•
•
Z
V
 = 
ϕ/
º0/
Z
V
= 
Z
V ϕ−/
 = I ϕ−/ 
 
φ = tan-1 
R
XC−
= tan-1 
R
wC/1−
= tan-1 
wCR
1−
 
 
O ângulo φ será negativo e, portanto, o ângulo da corrente será positivo. 
Calculam-se as tensões: 
 
•
RV = R 
•
I = R . I ϕ−/ 
•
CV = - jXC . 
•
I = XC 
0
90/− . I ϕ−/ 
•
CV = 
wC
1
 
0
90/− . I ϕ−/ = 
wC
I
 
090/ −−ϕ
 
 
Observe que as tensões do resistor e do capacitor não estão em fase. O diagrama fasorial ilustra o 
resultado, onde 
•
V = 
•
RV + 
•
CV é uma soma vetorial. 
 
 
 
25 
 
3.6.4.2-CIRCUITO RC PARALELO 
 
 Como a tensão no resistor e no capacitor é a mesma, calcula-se a corrente em cada 
elemento. 
 
 
 
•
RI = 
R
V
•
 = 
R
V
 
º0/
 
 
•
CI = 
•
•
CZ
V
 = 
CjX
V
−
•
 = 
º90/
/ 0
−CX
0V
= 
CX
V
º90/ 
 
A corrente total será a soma fasorial das correntes: 
 
•
I = 
•
RI + 
•
CI = 
R
V 00/
 + 
CX
V 090/
 = 
R
V
 + j.
CX
V
 
 
•
I = V . 





+
CX
j
R
11
 
 
A corrente terá um ângulo igual a: 
 
φ = tan-1 
R
XC
/1
/1
 = tan-1 
CX
R
 = tan-1 
wC
R
/1
 = tan-1 wRC 
 
O diagrama fasorial ilustra o resultado, onde 
•
I = 
•
RI + 
•
CI é uma soma vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
3.6.5-CIRCUITOS RLC 
 
3.6.5.1-CIRCUITO RLC SÉRIE 
 
 
 
 
 
 
•
Z = R + jXL - jXC = R + j (XL -XC) 
 
•
I = 
•
•
Z
V
 = 
ϕ/
º0/
Z
V
= 
Z
V ϕ−/
 = I ϕ−/ 
φ = tan-1 
R
XX CL −
= tan-1 
R
wC
wL 1−
 
 
Analisando as equações acima, podemos ter três situações: 
 
1º) XL > XC => φ > 0º , o circuito é predominantemente indutivo 
 
2º) XL < XC => φ < 0º , o circuito é predominantemente capacitivo 
3º) XL = XC => φ = 0º e 
•
Z = R (circuito é resistivo). Neste caso dizemos que o circuito está em 
ressonância. O que significa que o indutor está trocando energia diretamente com o capacitor, no 
qual um anula o outro no circuito. Este estado pode ou não ser desejável. Um exemplo de uso de 
ressonância é na transmissão de ondas eletromagnéticas (rádio, TV, celular). 
A freqüência de ressonância de um circuito pode ser calculada: 
 
 XL = XC => 
wC
wL 1= => w2 = 
LC
1
 
 
 w = 
LC
1
 
 
Como w = 2πf 
 f = 
LCpi2
1
 
 
27 
Calculando-se as tensões no circuito: 
 
•
RV = R 
•
I = R . I ϕ−/ 
•
CV = - jXC . 
•
I = XC 
0
90/− . I ϕ−/ = 
wC
I
 
090/ −−ϕ
 
•
LV = jXL . 
•
I = XL 
0
90/ . I ϕ−/ = I . wL 090/ +−ϕ 
 
O diagrama fasorial abaixo mostra o comportamento de um circuito predominantemente indutivo, 
onde XL > XC e 
•
V = 
•
RV + 
•
LV + 
•
CV é uma soma vetorial. 
 
 
 
 
 
Na situação onde XL < XC, temos um circuito predominantemente capacitivo, representado pelo 
diagrama fasorial a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
3.6.5.2-CIRCUITO RLC PARALELO 
 
 
 
 
 
•
RI = 
R
V
•
 = 
R
V
 º0/ 
 
•
CI = 
•
•
CZ
V
 = 
CjX
V
−
•
 = 
º90/
/ 0
−CX
0V
= 
CX
V
º90/
 
 
•
LI = 
•
•
LZ
V
 = 
LjX
V
•
 = 
º90/
º0/
LX
V
= 
LX
V
º90/−
 
 
 
A corrente total será a soma fasorial das correntes: 
 
•
I = 
•
RI + 
•
LI + 
•
CI = 
R
V º0/
 + 
LX
V º90/−
 + 
CX
V 090/
 = 
R
V
 - j.
LX
V
 + j.
CX
V
 
 
•
I = 
R
V
 + jV. 





−
LC XX
11
 
 
A corrente terá um ângulo expresso por: 
 
φ = tan-1 












−
R
XX LC
1
11
 
 
De forma análoga à do circuito RLC série, podemos ter três situações: 
 
1º) XL > XC => φ > 0º , ocircuito é predominantemente capacitivo 
 
2º) XL < XC => φ < 0º , o circuito é predominantemente indutivo 
3º) XL = XC => φ = 0º e 
•
Z = R (circuito é resistivo). Neste caso, o circuito está em ressonância. 
 
 
29 
 
O diagrama fasorial abaixo mostra o comportamento de um circuito predominantemente indutivo, 
onde XL < XC e 
•
I = 
•
RI + 
•
LI + 
•
CI é uma soma vetorial. 
 
 
 
 
Na situação onde XL > XC, temos um circuito predominantemente capacitivo, representado pelo 
diagrama fasorial a seguir: 
 
 
 
 
 
30 
3.7-POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA 
 
A potência variável no tempo ou instantânea na rede elétrica é o produto da tensão pela corrente: 
 
p(t) = v(t) . i(t) 
 
Se v(t) for senoidal, após um período transitório, a tensão periódica e a corrente periódica darão 
como resultado uma potência periódica. Por convenção, uma potência positiva corresponde a uma 
transferência de energia da fonte para a rede, e uma potência negativa a um retorno da energia, da 
rede para a fonte. 
 
 
3.7.1-POTÊNCIA EM CIRCUITOS RESISTIVOS 
 
Sabemos que, em uma resistência, tensão e corrente estão em fase: 
 
 
Temos, então: 
 
 
 
 
Nota-se que a potência sempre será positiva. 
 
 
 
 
 
 
Portanto, em circuitos puramente resistivos, toda a potência é dissipada pelos resistores. 
31 
 
 
3.7.2-POTÊNCIA EM CIRCUITOS REATIVOS 
 
Nestes circuitos, tensão e corrente apresentam uma diferença de fase de 90 graus: 
 
 
 
 
Neste caso, ora a potência é positiva, ora é negativa, significando o envio da energia da fonte para 
a rede e o retorno da mesma energia da rede para a fonte. 
 
 
 
 
 
 
 POTÊNCIA EM CIRCUITO INDUTIVO POTÊNCIA EM CIRCUITO CAPACITIVO 
 
 
Portanto, em circuitos puramente reativos, nenhuma potência é consumida pelas cargas. Pelo 
contrário, a potência é alternadamente absorvida da fonte e devolvida à mesma. 
32 
3.7.3-POTÊNCIA EM CIRCUITOS MISTOS 
 
Neste caso, tensão e corrente apresentam uma diferença de fase entre 0 e 90 graus: 
 
 
 
 
 
Esta diferença de fase fará com que parte da potência seja negativa, ou seja, parte da energia 
retorna ao circuito. Quanto maior for o ângulo de fase, maior será o retorno. No caso extremo, 
uma diferença de fase de 90º, toda a potência retorna e nada é consumido. A figura abaixo, ilustra 
a curva de potência para uma defasagem de 45º entre tensão e corrente. 
A potência reativa é indesejável, mas ela é parte integrante de qualquer circuito magnético, 
principalmente em sistemas industriais que, em geral possuem um componente indutivo 
preponderante devido ao grande número de motores. 
 
 
 
 
 
Portanto, em circuitos compostos de resistências e reatâncias, haverá alguma potência sendo 
dissipada pelas cargas. Entretanto, sempre haverá alguma potência sendo absorvida e devolvida à 
fonte. 
33 
 
 
 
3.7.4-POTÊNCIA APARENTE, ATIVA E REATIVA 
 
 A partir do que foi verificado anteriormente, teremos as seguintes potências em circuitos 
de corrente alternada: 
 
Potência ativa (P): é a potência dissipada por resistores, expressa em watt (W). 
 
Potência reativa (Q): é a potência que retorna dos indutores e capacitores, expressa em volt-
ampere reativo (VAR). 
 
Potência aparente (S): a potência ativa e reativa combinada, expressa em volt ampere (VA). Na 
forma complexa, a potência aparente é o produto da tensão 
•
V com o 
conjugado da corrente *
•
I : 
 
•
S
 = 
•
V . *
•
I 
 Sabendo que num circuito 
•
V = 
•
Z .
•
I : 
 
•
S =
•
Z .
•
I . *
•
I 
 
Como 
•
I . *
•
I = I 2, teremos: 
 
•
S =
•
Z . I 2 
Mas 
•
Z = R + jX. Logo: 
 
•
S = (R + jX) . I 2 
 
•
S = R I 2 + jX I 2 
 
R I 2 é a potência dissipada por resistores, ou seja R I 2 = P 
X I 2 é a potência que retorna dos indutores e capacitores, ou seja X I 2 = Q . Neste caso 
poderemos ter uma potência reativa positiva, proveniente dos circuitos indutivos (X > 0), ou uma 
potência reativa negativa, proveniente dos circuitos capacitivos (X < 0). 
 
Teremos, então: 
 
•
S = P + jQ 
 
A potência aparente será, então, um número complexo, no qual a parte real será a potência 
ativa e a parte imaginária a potência reativa. 
34 
As três potências se relacionam pelo seguinte triângulo: 
 
 
 
 
À razão entre a potência ativa (P) e a potência aparente (S), dá-se o nome de “fator de potência”: 
 
Fator de potência ( fp ) = 
S
P
 = cos (φ) 
 
 
O ângulo da potência aparente será o mesmo ângulo da impedância. As potências ativa e reativa 
podem ser calculadas a partir deste ângulo: 
 
P = Re (
•
S ) = S cos (φ) = V I cos (φ) 
Q = Im (
•
S ) = S sen (φ) = V I sen (φ) 
 
 
Por definição, o fator de potência é um número adimensional entre 0 e 1. Quando o fator de 
potência é igual a zero (0), o fluxo de energia é inteiramente reativo, e a energia armazenada é 
devolvida totalmente à fonte em cada ciclo. Quando o fator de potência é 1, toda a energia 
fornecida pela fonte é consumida pela carga. Normalmente o fator de potência é assinalado como 
atrasado ou adiantado para identificar o sinal do ângulo de fase entre as ondas de corrente e 
tensão. 
 
As perdas de energia aumentam com o aumento da corrente elétrica transmitida. Quando a carga 
tem fator de potência menor do que 1, mais corrente é requerida para suprir a mesma quantidade 
de potência útil. As concessionárias de energia estabelecem que os consumidores, especialmente 
os que possuem cargas maiores, mantenham os fatores de potência de suas instalações elétricas 
dentro de um limite mínimo, caso contrário serão penalizados com cobranças adicionais. 
Engenheiros freqüentemente analisam o fator de potência de uma carga como um dos indicadores 
que afetam a eficiência da transmissão e geração de energia elétrica. 
 
 
35 
4-TRANSFORMADORES 
 
4.1-PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO 
 
O transformador é um dispositivo de corrente alternada que permite a transferência de energia 
entre dois circuitos através de um acoplamento magnético (vide figura 4.1). São duas bobinas 
enroladas sobre um núcleo ferromagnético em comum, onde a primeira bobina (lado primário – 
cor vermelha) produz o fluxo magnético que atravessará a segunda bobina (lado secundário – cor 
verde). É um equipamento usado para reduzir ou aumentar a tensão elétrica. 
 
 
 
Figura 4.1 - Transformador 
 
 
 
Pela Lei de Faraday, aplicando-se uma tensão alternada na primeira bobina (vermelha), haverá 
uma tensão induzida na segunda bobina (verde) proporcional à variação do fluxo magnético e ao 
número de espiras (voltas) da bobina. A figura 4.2 ilustra o princípio de funcionamento do 
transformador. 
 
 
 
Figura 4.2 
36 
Observe que o gerador envia energia elétrica para um enrolamento, o primário, e esse cria o 
campo magnético representado pelas setas vermelhas. Nesse campo, e sem nenhum contato físico 
com o primário, introduzimos outro enrolamento, o secundário, que será induzido por esse campo, 
gerando energia elétrica, que pode ser percebida em um aparelho como um voltímetro, que medirá 
sua intensidade. 
 
O transformador é um dos equipamentos elétricos mais utilizados, dado que permite ajustar 
tensões e correntes às necessidades existentes. 
 
Se pensarmos na forma de abastecimento de energia elétrica das cidades, verificamos que, face à 
enorme quantidade de utilizadores, a potência necessária para consumo é também enorme. Em 
geral, as fontes de produção de energia elétrica (usinas) estão situadas a grandes distâncias dos 
locais de maior consumo. Ocorre que, nas linhas de transmissão (cabos elétricos) que transportam 
a energia das usinas até os centros de urbanos, a perda de potência por liberação de calor é 
proporcional à resistência dos condutores e ao quadrado da intensidade da corrente que os 
percorre (P= RI2). Para diminuir a resistência dos condutores seria necessário usar fios mais 
grossos, o queos tornaria mais pesados e extremamente caros. 
 
Conclusão: temos uma enorme potência elétrica a transportar a uma elevada distância, o que, em 
princípio, introduzirá elevadas perdas por efeito Joule – energia dissipada em forma de calor 
[Pjoule = RI2] – o que não é, claramente, o objetivo pretendido. 
 
Por exemplo, uma central hidroelétrica que tenha um gerador de 300 MVA, a 60 kV. A energia 
elétrica produzida nesta central deverá abastecer uma cidade a 50 km de distância, através de um 
cabo com resistência de 0,2 Ω/km. Teremos, portanto, uma corrente de 300.000.000/60.000 = 
5.000 A, a transportar por um cabo com resistência 50x0,2 = 10Ω, o que introduziria perdas por 
efeito Joule de 10x(5.000)2 = 250x106 W (250.000.000 W). É evidente que este valor de potência 
dissipada é inaceitável – dos 300 MVA iniciais (considerando um fator de potência unitário para 
facilidade de entendimento), apenas chegariam 50 MVA, ou seja 17%, e os restantes 83% 
dissipados sob a forma de calor na atmosfera. 
 
Sendo a energia dissipada por efeito Joule, função do quadrado da intensidade da corrente, 
podemos baixar drasticamente esse valor, se conseguirmos reduzir o valor da corrente. De fato, 
tendo o transformador capacidade de transformar tensões e mantendo-se o princípio de 
conservação de energia (Pprimário = Psecundário), deduz-se que elevando a tensão se abaixará a 
corrente (P = VI), que é o efeito pretendido. Assim, na central hidroelétrica, à saída do gerador, 
coloca-se um transformador elevador (Vsecundário > Vprimário) obtendo-se uma corrente, no 
secundário, mais baixa (Isecundário < Iprimário) o que provocará perdas menores por aquecimento. No 
destino, como a tensão foi elevada para valores muito altos (na origem), coloca-se um 
transformador abaixador (ou redutor), agora com o efeito contrário – baixar a tensão e elevar a 
corrente. A figura 4.3 ilustra a distribuição de energia da usina geradora até os centros 
consumidores 
 
37 
 
 
 
Figura 4.3 
 
 
A solução, portanto, é o uso do transformador que aumenta a tensão, nas saídas das linhas da 
usina, até atingir um valor suficientemente alto para que o valor da corrente desça a níveis 
razoáveis (P=V.I). Assim, a potência transportada não se altera e a perda de energia por 
aquecimento nos cabos de transmissão estará dentro de limites aceitáveis. 
 
 
Tensões de linha mais utilizadas no Brasil: 
Transmissão: 230kV, 440kV, 500kV, 600 kV(CC), 750kV; 
Subtransmissão: 69kV, 138kV; 
Distribuição primária: 11,9kV, 13,8kV, 23kV, 34,5kV; 
Distribuição secundária: 115V, 127V, 220V; 
Sistemas industriais: 220V, 380V, 440V, 2,3kV, 4,16kV e 6,6kV. 
 
 
As figuras 4.4 a 4.6 mostram transformadores típicos utilizados nos sistemas de distribuição. 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Transformador de Subestação 
39 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Transformador de Distribuição 
 
Transformador para distribuição de energia ao consumidor final (concessionárias de energia, 
cooperativas, instaladoras e empresas de modo geral) 
 
Principais Características 
Potência: 30 à 300 kVA 
Alta Tensão: 15 ou 24,2 kV 
Baixa Tensão: 380/220 ou 220/127 V 
Normas: conforme ABNT/IEC. 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 – Transformador Subterrâneo 
 
Transformador de construção adequada à instalação em câmaras, podendo ser prevista sua 
utilização onde haja possibilidade de submersão. 
 
Principais Características 
Potência: 150 à 2.000 kVA 
Alta Tensão: 15 ou 24,2 kV 
Baixa Tensão: 216, 5/125; 220/127; 380/220; ou 400/231 V 
Normas: conforme NBR 9369/1986 ABNT. 
41 
4.2-TRANSFORMADOR MONOFÁSICO 
 
Conforme já analisamos, um transformador é constituído de um enrolamento primário (onde se 
aplica a tensão de entrada), um enrolamento secundário (onde se obtém a tensão de saída 
desejada) e um caminho (núcleo) para o fluxo magnético, construído de material ferromagnético 
(Figura 4.7). Quando a tensão no lado primário é maior que a tensão no lado secundário, diz-se 
que o transformador é “abaixador”. Quando a tensão no primário é menor que no secundário, o 
transformador é chamado de “elevador”. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8 – Símbolos de transformador utilizados em circuitos elétricos 
 
O funcionamento do transformador baseia-se nas leis de Faraday e de Lenz. A movimentação de 
um campo magnético sobre um condutor faz surgir uma tensão induzida em seus terminais, isto é, 
um campo magnético variável produz fluxo magnético variável, o qual produz a tensão induzida. 
Na Figura 4.7, alimentando-se o primário com uma tensão variável (senoidal, por exemplo), fará 
surgir um fluxo magnético variável no núcleo ferromagnético. Este fluxo variável atingirá o 
enrolamento secundário, produzindo então em seus terminais uma tensão variável induzida. Se for 
utilizada uma tensão senoidal com freqüência de 60 Hz, isto fará surgir no secundário uma tensão 
também com freqüência de 60 Hz. 
42 
Uma propriedade muito importante nos transformadores, e que o torna tão útil, é a relação entre o 
número de espiras nas bobinas dos enrolamentos primário e secundário e os valores das tensões e 
correntes obtidas. 
 
A tensão nas bobinas de um transformador é diretamente proporcional ao numero de espiras das 
bobinas. Esta relação é expressa através da equação 
 
 
 
 
onde: 
Vp= tensão na bobina do primário [V] 
Vs= tensão na bobina do secundário [V] 
Np=número de espiras da bobina do primário 
Ns=número de espiras da bobina do secundário 
 
A razão Vp/Vs é chamada de razão ou relação de tensão. A razão Np/Ns é chamada de razão ou 
relação de espiras. 
Uma razão de tensão de 1:4 (lê-se um para quatro) significa que para cada volt no primário do 
transformador há 4 volts no secundário. Quando a tensão do secundário é maior do que a tensão 
do primário, o transformador é chamado de transformador elevador. Uma razão de tensão de 4:1 
significa que para 4V no primário há somente 1V no secundário. Quando a tensão no secundário 
for menor do que no primário, o transformador é chamado de transformador abaixador. 
 
Outra propriedade importante do transformador é que ele não aumenta nem diminui a 
potência de um sistema elétrico. Isto é a potência que entra no lado primário, sairá no 
secundário. Lembrando a equação 
 
 
 
 
Sendo: P = potência elétrica em watts. 
V = tensão elétrica em volts. 
I = corrente elétrica em ampères. 
 
Aplicando-se a propriedade, pode-se escrever: 
 
Pp = Ps , isto é a potência do primário é igual à potência do secundário. 
 
Daí resulta: 
Vp Ip = Vs Is => = 
 
Como 
 
 = 
 
43 
Teremos: 
 
 = = 
 
 
Isto que dizer que além da tensão ser diferente nos lados primário e secundário, também a 
corrente será diferente. No lado de maior tensão circulará a corrente de menor intensidade e no 
lado de menor tensão circulará a corrente de maior intensidade. 
44 
4.3-TRANSFORMADOR TRIFÁSICO 
 
Muito utilizado na distribuição de energia pública e por indústrias. Podem ser vistos como um 
conjunto de três transformadores monofásicos idênticos, isto é com as mesmas características 
construtivas, número de espiras, seção dos condutores, potência e principalmente impedância. Isto 
significa que haverá três primários e três secundários. Na Figura 4.9 há três enrolamentos 
primários e três secundários, cada qual em uma coluna do entreferro do transformador. Os 
terminais do primário foram identificados com a letra H e o secundário com a letra X. A potência 
total do transformador trifásico será a soma das potências de cada unidade monofásica. Na Figura 
4.10 pode ser visto como é construído um transformador trifásico. 
 
 
Figura 4.9 
 
 
 
 
Figura 4.10 
 
 
As ligações dos enrolamentos do primário e do secundário de um transformador trifásico podem 
ser em estrela ou em triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na prática podemoster quatro tipos de ligações: 
• Triângulo - Estrela (∆-Y) 
• Estrela - Triângulo (Y-∆) 
• Triângulo - Triângulo (∆-∆) 
• Estrela - Estrela (Y-Y) 
As ligações trifásicas e as respectivas grandezas nos lados primário e secundário são mostradas 
nas Figuras 4.11 a 4.14. Nestas figuras a = 
s
p
N
N
 (razão de espiras). 
 
 
Figura 4.11 – Ligação Triângulo-Estrela (∆-Y)
Ligação em Triângulo (∆) Ligação em Estrela (Y) 
46 
 
 
Figura 4.12 – Ligação Estrela-Triângulo (Y-∆) 
 
 
 
 
Figura 4.13 – Ligação Triângulo-Triângulo (∆-∆) 
47 
 
 
Figura 4.14 – Ligação Estrela- Estrela (Y-Y) 
 
 
 
 
48 
5-SISTEMAS TRIFÁSICOS 
 
5.1-INTRODUÇÃO 
 
Um sistema trifásico (3φ) é uma combinação de três sistemas monofásicos (1φ). Num sistema 
trifásico balanceado, a potência é fornecida por um gerador de corrente alternada que produz três 
tensões iguais mas separadas, cada uma delas defasada de 120º em relação às demais. 
 
As três fases de um sistema 3φ podem ser ligadas de duas formas: 
a)-Ligação em Estrela ou Y => os três terminais comuns de cada fase são ligados juntos 
num terminal comum indicado por N (neutro) e as outras três extremidades são ligadas a uma 
linha 3φ. 
b)- Ligação em Triângulo ou ∆∆∆∆ => as três fases são ligadas em série, formando um 
circuito fechado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2-LIGAÇÕES ENTRE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS 
 
Conforme visto anteriormente, os enrolamentos dos transformadores trifásicos (três no primário e 
três no secundário) podem ser ligados para formar um conjunto 3φ de qualquer uma das 4 (quatro) 
formas apresentadas esquematicamente na Figura 5.1. Cada enrolamento primário está associado 
ao enrolamento secundário desenhado paralelo a ele. 
 
A tensão de linha é a tensão entre duas linhas, enquanto a tensão de fase é a tensão através do 
enrolamento de um transformador. 
A corrente de linha é a corrente em uma das linhas, enquanto a corrente de fase é a corrente no 
enrolamento do transformador. 
 
As tensões e correntes dos transformadores individuais estão indicadas esquematicamente na 
Tabela 5.1. 
 
Supondo-se que os transformadores sejam ideais, a potência em kVA de cada transformador é um 
terço da potência do conjunto, independentemente da forma de ligação dos transformadores. 
 
N 
Enrolamento de fase 
Condutor da linha 
Ligação em Triângulo (∆) Ligação em Estrela (Y) 
49 
 
 
Figura 5.1 – Formas de ligação dos transformadores 3φφφφ 
 
 
Tabela 5.1 – Relações de tensão e corrente de transformadores 3φφφφ 
 
 
 
aaaa = 
s
p
N
N
 
* aaaa = 
s
p
N
N
 
50 
5.3-POTÊNCIA EM CARGAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS 
 
Uma carga equilibrada tem a mesma impedância em cada enrolamento do secundário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um sistema equilibrado, as correntes que circulam pelas impedâncias de fase de cargas Y ou ∆ 
são iguais e a potência ativa de uma fase é um terço da potência ativa total. 
A potência ativa de fase é: 
Pf = Vf.If.cosθ 
 
A potência ativa total é: 
PT = 3Vf.If.cosθ 
 
A potência ativa total em função da tensão de linha (VL) e da corrente de linha (IL) é dada por: 
 
PT = 3VL.IL.cosθ 
 
As equações acima são válidas para a potência ativa total de cargas em Y e ∆. θ é ângulo de fase 
determinado pela impedância da carga e cosθ é o fator de potência da carga. 
 
Uma carga trifásica (em Y ou ∆) equilibrada tem a potência ativa (PT), a potência reativa (QT) e a 
potência aparente (ST) dadas pelas equações: 
 
PT = 3VL.IL.cosθ 
QT = 3VL.IL. senθ 
ST = 3VL.IL 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
Cada fase de um gerador 3φ ligado em ∆ alimenta uma carga com corrente máxima de 100A 
numa tensão de 240V e com um fator de potência (fp) de 0,6 indutivo. Calcule (a) a tensão da 
linha, (b) a corrente da linha, (c) a potência 3φ aparente e (d) a potência 3φ ativa. 
IL 
VL = Vf 
VL = Vf 
Vf 
C 
B 
A 
N 
C 
B 
A 
ZC ZA 
ZB 
VL 
VL 
VL 
ZC 
ZA 
ZB 
Carga ∆∆∆∆ equilibrada => ZA=ZB=ZC Carga Y equilibrada => ZA=ZB=ZC 
IL